Proba Intermedia Basica 2

PROBABILIDAD INTERMEDIA BASICADistribuciones de funciones de vectores

aleatorios.

Profesor: David Josafat Santana Cobian

2012

Facultad de CienciasUNAM

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Indice

Distribuciones de funciones de vectores aleatorios.Distribuciones de Maximos, Mınimos y Estadısticas de Or-den.Metodo usando el Teorema de Cambio de Variable.Metodos usando funciones generadoras.

Distribuciones especiales. χ2, F , t y Normal Bivariada

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Indice



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Distribuciones de Maximos

Definicion

Sean X1, . . . ,Xn, una m.a., definimos como el maximo de lamuestra a la v.a.

Yn = max{X1, . . . ,Xn} (1)

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En la estadıstica es muy importante estudiar el maximo de unam.a. Por ejemplo si estudiamos a n individuos de la poblacionmexicana, nos puede interesar la probabilidad de que el masalto, mida a lo mas 1.90mts. Si modelamos como Xj = esta-tura del j−esimo individuo (en metros), entonces necesitamoscalcular:

P(Yn ≤ 1.9)

¿Como se resuelve este problema?

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Veamos:

FYn (t) = P(Yn ≤ t)

= P(max{X1, . . . ,Xn} ≤ t)

= P(X1 ≤ t , . . . ,Xn ≤ t)

= P(X1 ≤ t) · · ·P(Xn ≤ t)

= FX (t) · · ·FX (t)

= (FX (t))n,

donde FX (t) es la funcion de distribucion comun de la muestra.

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Proposicion

Sean X1, . . . ,Xn una m.a. con funciones de distribucion ydensidad comun, FX (t) y fX (t), respectivamente. Si

Yn = max{X1, . . . ,Xn},

entonces:FYn (t) = (FX (t))n (2)

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Proposicion

y si X1, . . . ,Xn son v.a. continuas

fYn (t) = n(FX (t))n−1fX (t) (3)

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Ejemplo

Sean X1,X2 una m.a. U(0,1). Hallar P(Y2 > t).

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Sol:

P(Y2 > t) = 1− P(Y2 ≤ t)

= 1− FY2(t)

= 1− (FX (t))2

= 1− t2�

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Ejemplo

Supongamos que la edad de una cuerda de guitarra enanos es una v.a. exp(3/5). Si compramos un juego de 6cuerdas nuevas para nuestra guitarra (la guitarra no tenıacuerdas), cual es la probabilidad de que la ultima cuerdaen romperse, dure entre 1 y 2 anos?

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Sol: Sea Tj= el tiempo que tarda en romperse la j-esima cuerda.Entonces nos piden calcular la siguiente probabilidad:

P(1 ≤ max{T1, . . . ,T6} ≤ 2)

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Entonces, solo debemos integrar entre 1 y 2 la densidad de Y6:

P(1 ≤ max{T1, . . . ,T6} ≤ 2) = P(1 ≤ Y6 ≤ 2)

=∫ 2

1 fY6(t)dt

=∫ 2

1 6(FX (t))6−1fX (t)dt

=∫ 2

1 6(1− e−3/5t )5(3/5)e−3/5tdt

=∫ 2

1185 (1− e−3/5t )5e−3/5tdt

= 0.108014�

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Distribuciones de Mınimos

Definicion

Sean X1, . . . ,Xn, una m.a., definimos como el mınimo de lamuestra a la v.a.

Y1 = mın{X1, . . . ,Xn} (4)

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Analogamente, como en el maximo, nos puede interesar la dis-tribucion del mınimo.¿Como se resuelve este problema?

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Veamos:

FY1(t) = P(Y1 ≤ t)

= P(mın{X1, . . . ,Xn} ≤ t)

= 1− P(mın{X1, . . . ,Xn} > t)

= 1− P(X1 > t , . . . ,Xn > t)

= 1− P(X1 > t) · · ·P(Xn > t)

= 1− (1− FX (t)) · · · (1− FX (t))

= 1− (1− FX (t))n,

donde FX (t) es la funcion de distribucion comun de la muestra.

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Proposicion

Sean X1, . . . ,Xn una m.a. con funciones de distribucion ydensidad comun, FX (t) y fX (t), respectivamente. Si

Y1 = mın{X1, . . . ,Xn},

entonces:FY1(t) = 1− (1− FX (t))n (5)

y si X1, . . . ,Xn son v.a. continuas:

fY1(t) = n(1− FX (t))n−1fX (t) (6)

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Ejemplo

Sean X1 y X2 que forman una muestra aleatoria de unadistribucion Poisson con media 1. Si

Y1 = mın[X1,X2],

calcular P(Y1 = 1).

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Sol:

P(Y1 = 1) = P(Y1 ≤ 1)− P(Y1 ≤ 0)

= 1− (1− FX (1))2 − 1 + (1− FX (0))2

= (1− FX (0))2 − (1− FX (1))2

= (1− P(X ≤ 0))2 − (1− P(X ≤ 1))2

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Sol:

= (1− P(X = 0))2 − (1− P(X = 0)− P(X = 1))2

= (1− e−1 10

0! )2 − (1− e−1 10

0! − e−1 11

1! )2

= (1− e−1)2 − (1− 2e−1)2

= (1− 2e−1 + e−2)− (1− 4e−1 + 4e−2)

= 2e−1 − 3e−2�

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Ejemplo

Suponer que se tienen 100 focos, cuyas vidas (en horas)son v.a.i.i.d. U(0,100). Si los focos son usados todos a lavez. ¿Cual es la probabilidad de que todos siganprendidos despues de 1 hora?

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Sol: La probabilidad de que todos sigan prendidos despues de1 hora, es pedir que todos los focos duren funcionando mas de1 hora, o de manera equivalente que el foco que dure menossobreviva mas de 1 hora. Si Xj = la vida del j−esimo foco. En-tonces:

1. Xj ∼ U(0,100)

2. FX (t) = t100

Entonces:

P(Y1 > 1) = 1− P(Y1 ≤ 1)

= 1− FY1(1)

= 1− [1− (1− FX (1))100]

= 1− [1− (1− 1100)100]

= 0.366032�

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Estadısticas de Orden

Supongamos que lanzamos 10 dados y observamos que obtu-vimos en cada uno. Los resultados son una m.a. X1, . . . ,X10 deuna uniforme discreta con 6 resultados. Supongamos que enuna realizacion del experimento obtenemos la siguiente mues-tra:

2,1,4,5,5,3,2,3,1,6

Si deseamos ordenar la muestra en orden ascendente:

1,1,2,2,3,3,4,5,5,6

Obtenemos una nueva muestra Y1, . . . ,Y10, donde Y1 es el mıni-mo y Y10 es el maximo de la muestra. Hemos obtenido las es-tadısticas de orden.

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Definicion

Sean X1, . . . ,Xn una m.a., entonces definimos sus estadısticasde orden Y1, . . . ,Yn de la siguiente manera:I Y1 = mın{X1, . . . ,Xn}I Y2 = mın{X1, . . . ,Xn, menos Y1}I Y3 = mın{X1, . . . ,Xn, menos Y1,Y2}

...I Yn = max{X1, . . . ,Xn}

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Distribucion de una transformacion de una v.a.continua X

I Supongamos que X es una v.a. continua con densidadfX (x) y funcion de distribucion FX (x).

I Supongamos que queremos conocer la funcion dedensidad de una nueva v.a. Y = u(X ). Normalmente seconoce a Y como una transformacion de X .

I Supongamos que u es una funcion uno a uno y por tantotiene inversa u−1.

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Entonces la funcion de densidad de Y = u(X ) puede encontrar-se de dos manera equivalentes:

Manera I) fY (y) = fX (u−1(y)) ·∣∣(u−1)′(y)

∣∣Manera II) Si u es estrictamente creciente, entonces:

FY (y) = P(Y ≤ y)= P(u(X ) ≤ y)= P(X ≤ u−1(y))= FX (u−1(y))

y por lo tanto:fY (y) = fX (u−1(y))(u−1)′(y)

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Ejemplo

Hallar al densidad de Y si X ∼ N(µ, σ2) y Y = eX .

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Sol: Sabemos que

fX (x) = 1√2πσ2 e−

12 ( x−µ

σ)2

con −∞ < X <∞

Primero, buscamos el soporte de Y :

0 < eX <∞⇒

0 < Y <∞.

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Y por otro lado:

FY (t) = P(Y ≤ t)

= P(eX ≤ t)

= P(X ≤ ln(t))

= FX (ln(t))

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derivando,

fY (t) = fX (ln(t))1t

sustituimos y tomando en cuenta el nuevo soporte llegamos a:

fY (t) = 1t

1√2πσ2 e−

12 ( ln(t)−µ

σ)2

, si 0 < t <∞ �

Esta funcion de densidad pertenece a una v.a. que se distribuyeLognormal.

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Distribucion de una transformacion de una v.a.discreta X

Supongamos que X es una v.a. discreta con funcion de den-sidad f (x) y queremos conocer la funcion de densidad de unanueva v.a. Y = u(X ), entonces dado un numero y , Y tiene den-sidad:

fY (y) = P(Y = y)

= P(u(X ) = y)

= P(X = u−1(y))

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Ejemplo

Hallar al densidad de Y si X ∼ Poisson(2) y Y = 3X − 1.

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Sol: Sabemos

fX (x) = e−2 2x

x! 1{0,1,2,...}(x).

Primero buscamos el soporte de Y :

X = 0,1,2, ...

entonces,

3X = 0,3,6,9, ...

y

3X − 1 = −1,2,5,8, ...,

por tanto

Y = −1,2,5,8, ....

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Y por otro lado:

fY (t) = P(Y = t)= P(3X − 1 = t)= P(X = t+1

3 )

= fX ( t+13 )

sustituimos y tomando en cuenta el nuevo soporte llegamos a:

fY (t) = e−22( t+13 )/( t+1

3 )! si x = −1,2,5,8, . . . �

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Transformacion de dos v.a.´s con distribucionconjunta

Teorema

TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE.I Supongamos que las v.a.´s X y Y tiene funcion de

densidad conjunta fX ,Y (x , y).I Supongamos que u y v son funciones que dependen de x

y y.I U = u(X ,Y ) y V = v(X ,Y ) son tambien v.a.´s y

deseamos conocer su densidad conjunta fU,V (u, v).

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Teorema

I Debemos ser capaces de despejar a X y Y del sistema{U = u(X ,Y )V = v(X ,Y )

Obteniendo {X = h(U,V )Y = g(U,V )

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Teorema

I Calculamos el valor absoluto del “Jacobiano de latransformacion”

|J(U,V )| =∣∣∣ ∂h∂U ·

∂g∂V −

∂h∂V ·

∂g∂U

∣∣∣I Entonces la densidad conjunta de U y V esta dada por:

fU,V (u, v) = |J(u, v)| · fX ,Y (h(u, v),g(u, v)) (7)

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¡¡PRECAUCION!!

I Es muy comun que el soporte de la nueva densidadfU,V (u, v) sea distinto al soporte de fX ,Y (x , y).

I Esto depende de la transformacion y puede resultar unatarea difıcil algebraica y geometricamente obtener elnuevo soporte.

I La alternativa a trabajar con las desigualdades quepuedan resultar es graficar en que se transforma elsoporte en el plano U,V .

A continuacion se presentan varios ejemplos de transformacio-nes y las respectivas graficas.

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U = X ,V = X + Y con 0 < X < 10, 0 < Y < 10.

Figura: Plano X ,Y vs Plano U,V con U = X ,V = X + Y

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U = X ,V = X − Y con 0 < X < 10, 0 < Y < 10.

Figura: Plano X ,Y vs Plano U,V con U = X ,V = X − Y

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U = X + Y ,V = X 2 con 0 < X < 1, 0 < Y < 1.

Figura: Plano X ,Y vs Plano U,V con U = X + Y ,V = X 2

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Ejemplo

Suponer que X y Y son variables aleatoriasindependientes con distribucion comun Exp(1). Hallar ladensidad de

Z = X1+Y .

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Sol: Sean {U = 1 + YV = X

1+Y

de lo cual vemos que 1 < U < ∞ y 0 < V < ∞. Ahora despe-jando X y Y : {

X = h(U,V ) = UVY = g(U,V ) = U − 1

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calculando el valor absoluto del Jacobiano:

|J(U,V )| =∣∣∣ ∂h∂U ·

∂g∂V −

∂h∂V ·

∂g∂U

∣∣∣= |V · (0)− U · 1|

= U

entonces:

fU,V (u, v) = |J(u, v)| fX ,Y (uv ,u − 1) = ue−(uv+(u−1)) para1 < u <∞ y 0 < z <∞

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Ahora calculamos la marginal de V :

fV (v) =∫∞

1 ue−(uv+(u−1))du = v+2(v+1)2 e−v para 0 < v <∞ �.

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Hay otro metodo para determinar la distribucion de funcionesde v.a.´s que en ciertas circunstancias resulta muy practico. Suuso mas comun es para encontrar la distribucion de sumas dev.a.´s independientes. Sin embargo, puede usarse para otro tipode transformaciones como se vera en un ejemplo mas adelante.¿En que consiste este metodo?

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I Si X1, . . . ,Xn son v.a.´s con densidad conjunta f (x1, . . . , xn)y

Y = g(X1, . . . ,Xn),calculamos la f.g.m. de Y .

I Comparamos la f.g.m. obtenida con las generadoras masconocidas.

I Si coincide con alguna, entonces Y tiene la distribucionque tiene tal f.g.m.

Lo que hacemos es basarnos en los siguientes resultados.

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Funcion generadora de momentos

Proposicion

Suponiendo que X1, ...,Xn son v.a.´s independientes, y que

Y =n∑

i=1Xi

entonces:

MY (t) =n∏

i=1

MXi (t) = MX1(t)MX2(t) · · ·MXn (t) (8)

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Proposicion

Suponiendo que X1, ...,Xn son una m.a., y que

MXi (t) = M(t) para toda i = 1,2, ...,n,

entonces:MY (t) = (M(t))n (9)

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Proposicion

Si MX (t) y MY (t) son las f.g.m. de X y Y , entonces

X ∼ Y ⇐⇒ MX (t) = MY (t) (10)

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Ejemplo

Supongamos que X ∼ N(0,1). Sea Y = X 2, encontrar ladistribucion de Y .

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Sol:

MY (t) = E(etY )

= E(etX 2)

=∫∞−∞ etx2 1√

2πe−

12 x2

dx

= 1√2π

∫∞−∞ e−

12 x2(1−2t)dx

=(

1/21/2−t

)1/2, t < 1

2 .�

la cual reconocemos como la f.g.m. de una distribucion gamma(12 ,

12),

y de forma equivalente χ2 con un grado de libertad.

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Ejemplo

Supongamos que X1 . . .Xn es una m.a. y Y =∑n

i=1 Xi . SiXi ∼ Bernoulli(p), ¿como se distribuye Y?.

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Sol: Utilizamos (14) con MXi (t) = M(t) = 1− p + pet

MY (t) = (M(t))n

= (1− p + pet )n

la cual reconocemos como la f.g.m. de una distribucion Bin(n,p),y por lo tanto:

Y ∼ Bin(n,p). �

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Ejemplo


i=1 Xi . SiXi ∼ N(1,2), ¿como se distribuye Y?.

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Sol: Utilizamos (14) con MXi (t) = M(t) = et+t2:

MY (t) = (M(t))n

= (et+t2)n

= en(t+t2)

= ent+nt2

la cual reconocemos como la f.g.m. de una distribucion N(n,2n),y por lo tanto:

Y ∼ N(n,2n). �

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Las proposiciones (14) y (15) nos facilitan el trabajo de sabercomo se distribuye una suma de v.a.´s, como se ve en los si-guientes resultados:

Proposicion


i=1 Xi ,entonces:a) Si Xi ∼ Blli(p), entonces Y ∼ Bin(n,p).b) Si Xi ∼ Bin(m,p), entonces Y ∼ Bin(nm,p).c) Si Xi ∼ Poisson(λ), entonces Y ∼ Poisson(nλ).d) Si Xi ∼ Geo(p), entonces Y ∼ BinNeg(n,p).e) Si Xi ∼ BinNeg(m,p), entonces Y ∼ BinNeg(nm,p).

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Proposicion


i=1 Xi ,entonces:a) Si Xi ∼ N(µ, σ2), entonces Y ∼ N(nµ,nσ2).b) Si Xi ∼ Exp(β), entonces Y ∼ gamma(n, β).c) Si Xi ∼ gamma(m, β), entonces Y ∼ gamma(nm, β).d) Si Xi ∼ χ2

k , entonces Y ∼ χ2kn.

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Distribucion χ2

La distribucion normal, tiene dos parametros µ y σ2. Hay ocasio-nes en que se sabra que una m.a. proviene de una distribucionnormal, pero los parametros sean desconocidos. La estadısticaestudia como estimar estos parametros y se encontrara que losmejores estimadores de µ y σ2 son respectivamente:

X n =1n

n∑i=1

Xi (11)

y

S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X n)2. (12)

donde X1, . . . ,Xn es una m.a. normal.

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De aquı, la importancia de saber como se distribuyen las v.a.´sdefinidas en (16) y (17). La funcion de densidad que da vida a ladistribucion de S2 es la distribucion χ2 y esta seccion esta dedi-cada a su estudio.

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Definicion

DISTRIBUCION JI-CUADRADA Si X es una v.a. con densidadf (x), k es un entero positivo y

f (x) =1

Γ(k/2)

(12

)k/2

xk/2−1e−12 x , x > 0 (13)

entonces decimos que X ∼ χ2k (X tiene distribucion

Ji-cuadrada con k grados de libertad).

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OBSERVACION: La densidad de una χ2k es igual a la densidad

de una v.a. gamma(k/2,1/2) y por lo tanto:

E(X ) = (k/2)/(1/2) = k ,Var(X ) = (k/2)/(1/2)2 = 2k y

MX (t) =[

11−2t

]k/2para t < 1/2.

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Proposicion

Si las v.a.´s X1, . . . ,Xk son independientes y tienen distribucionnormal con medias µi y varianzas σ2

i , entonces:

U =k∑

i=1

(Xi − µi

σi

)2

(14)

tiene distribucion χ2k .

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Un caso especial de la proposicion anterior, es cuando cadaXi ∼ N(0,1). Por ejemplo, si k = 1,

X 21 ∼ χ2 (con un grado de libertad).

Y la suma de cuadrados de n normales estandar es una χ2n:

n∑i=1

X 2i ∼ χ

2n.

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Proposicion

Si Z1,Z2, . . . ,Zn es una m.a. N(0,1), entonces:I) Z n ∼ N(0,1/n).

II)n∑

i=1(Zi − Z n)2 ∼ χ2

n−1.

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Corolario

Si S2 = 1n−1

n∑i=1

(Xi − X n)2 es la varianza muestral de una m.a.

que proviene de una distribucion N(µ, σ2), entonces:

U =(n − 1)S2

σ2 ∼ χ2n−1 (15)

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Distribucion F de Fisher-Snedecor

La distribucion F es de interes practico en la Estadıstica, es ladistribucion del cociente de dos v.a.´s χ2 independientes dividi-das por sus respectivos grados de libertad.

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Supongamos que U y V son independientes con distribucionχ2 con m y n grados de libertad, respectivamente. Su densidadconjunta es entonces:

fU,V (u, v) =u(m−2)/2v (n−2)/2e−

12 (u+v)

Γ(m/2)Γ(n/2)2(m+n)/2 (16)

para 0 < u <∞ y 0 < v <∞.

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Entonces con los metodos de este capıtulo, se puede estudiarla distribucion de la transformacion

X = U/mV/n

El lector interesado en los detalles puede consultar el excelentelibro de Mood pag. 246.

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Y se llega a la siguiente densidad

fX (x) =Γ[(m + n)/2]

Γ(m/2)Γ(n/2)

(mn

)m/2 x (m−2)/2

[1 + (m/n)x ](m+n)/2 (17)

para 0 < x <∞.

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Definicion

Si X es una v.a. cuya densidad esta dada por (22), entoncesdecimos que X tiene distribucion F con grados de libertad m yn y se escribe X ∼ Fm,n.

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Teorema

Sea U una v.a. χ2m, V una v.a. χ2

n, y sean U y Vindependientes. Entonces la v.a.

X = U/mV/n ∼ Fm,n

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Corolario

Si X1, . . . ,Xm+1 es una m.a. de una N(µX , σ2), y Y1, . . . ,Yn+1

es una m.a. de una N(µY , σ2), y si las dos muestras son

independientes, entonces:

1. (1/σ2)m+1∑i=1

(Xi − X m+1)2 ∼ χ2m.

2. (1/σ2)n+1∑j=1

(Yj − Y n+1)2 ∼ χ2n.

3.

m+1∑i=1

(Xi−X m+1)2/m

n+1∑j=1

(Yj−Y n+1)2/n∼ Fm,n.

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Otras Propiedades...

Sea X ∼ Fm,n, entonces:1. 1/X ∼ Fn,m.2. E(X ) = n

n−2 para n > 2.

3. Var(X ) = 2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4)

para n > 4.

4. W = mX/n1+mX/n ∼ Beta(m/2,n/2).

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Distribucion t de Student

Otra distribucion de considerable importancia en la estadıstica,en particular para encontrar intervalos de confianza y pruebasde hipotesis, es el cociente de una normal estandar y la raızcuadrada de una χ2 independiente dividida por sus grados delibertad.

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Si Z ∼ N(0,1) y U ∼ χ2k y son independientes Z y U, nos

interesa la distribucion de

X = Z√U/k

En la siguiente definicion se presenta su densidad.

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Definicion

Si X es una v.a. con densidad

fX (x) = Γ[(k+1)/2]Γ(k/2)

1√kπ

1(1+x2/k)(k+1)/2

decimos que X tiene distribucion t con k grados de libertad yescribimos X ∼ tk .

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Teorema

Si Z ∼ N(0,1), independiente de U ∼ χ2k , entonces

Z√U/k∼ tk

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Corolario

Si X1, . . . ,Xn son una m.a. de una N(0,1), entonces√

n(n−1)(X−µ)√∑(Xi−X)2

∼ tn−1

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Otras Propiedades...

Sea X ∼ tk , entonces:1. X 2 ∼ F1,k .2. E(X ) = 0 para k > 1.3. Var(X ) = k

k−2 para k > 2.4. lım

k→∞tk ∼ N(0,1)

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Distribucion Normal Bivariada

Una de las mas importantes densidades multivariadas es laNormal Multivariada. Ya se ha estudiado el caso particular deuna sola variable y ahora estudiaremos el caso especial de laNormal Bivariada.

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Densidad

Sea (X ,Y ) con µX , µY y σ2X , σ2

Y las esperanzas y las varianzasde X y Y respectivamente, y ρX ,Y el coeficiente de correlacion;si tiene funcion de densidad conjunta f (x , y) =

12πσXσY

√1−ρ2

X ,Y

e− 1

2(1−ρ2X ,Y )

[(x−µXσX

)2−2ρX ,Y

x−µXσX

y−µYσY

+(

y−µYσY

)2]

decimos que (X ,Y ) tiene distribucion Normal Bivariada con vec-tor de medias µ y matriz de covarianzas V y se escribe:

(X ,Y ) ∼ N(µ,V)

donde:

µ =

(µXµY

)y V =

(σ2

X Cov(X ,Y )Cov(X ,Y ) σ2

Y

)

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Figura: Normal Bivariada con µ = 0 y V = diag(1)

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Figura: Normal Bivariada vista desde varios angulos con µ = 0 yV = diag(5)

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Teorema

Marginales Si

(X ,Y ) ∼ N(µ,V)

donde:

µ =

(µXµY

)y V =

(σ2

X Cov(X ,Y )Cov(X ,Y ) σ2

Y

)entonces: X ∼ N(µX , σ

2X ), y de igual manera Y ∼ N(µY , σ

2Y )

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Proba Intermedia Basica 2

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