Diapositivas Proba

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Probabilidad Básica e Inferencia Estadística Tema I. Conceptos Básicos y Álgebra de Eventos ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOS FACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA UNIVERSIDAD VERACRUZANA 1 MTRO. ZOYLO MORALES ROMERO Fac. de Estadística e Informática Fac. de Economía

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Probabilidad Básica e

Inferencia Estadística

Tema I. Conceptos Básicos y Álgebra de Eventos

ESPECIALIDAD EN MÉTODOS ESTADÍSTICOSFACULTAD DE ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

1

MTRO. ZOYLO MORALES ROMERO

Fac. de Estadística e Informática

Fac. de Economía

Material bibliográfico

• Mendehall, W., Sheaffer R. Y Wackerly, D. (2008). Estadística Matemática con Aplicaciones. Grupo Editorial Thomson México.

• Freud, J.E. y Walpole, R.E. (2000). Estadística Matemática con Aplicaciones, Prentice-Hall.

• Walpole R.F. y Myers, R.H. (1999). Probabilidad y Estadística. Mc Graw-Hill.

Gerardo
Resaltar

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

• La primera pregunta que setiene que formular es ¿quéestudia la estadística?

• Entonces se tiene que laestadística para su existencianecesita datos.

• Para la obtención de datos esnecesario llevar a cabo unexperimento o ensayo.

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I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

• La estadística estudia el comportamiento de lavariable de interés cuando se realiza el ensayo. Alrealizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va aser el resultado que se obtenga,

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Ensayo aleatorio.- Es el que no se sabe que es lo queva a ocurrir, están relacionados con el azar oprobabilidad.

Ensayo determinista.- Es el cual de antemano se sabecual será el resultado.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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El conocimiento de la probabilidad es de sumaimportancia en todo estudio estadístico.

El cálculo de probabilidades proporciona las reglas parael estudio de los experimentos aleatorios o de azar,que constituyen la base para la estadística inferencial.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene al menos una observación (o medición).

Experimento aleatorio.- Es aquel experimento en el que no se puede predecir con exactitud el resultado.

Se considera como aleatorio y estocástico, si susresultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de vecesesencialmente en las mismas condiciones.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Ejemplos:

1.- Tirar dardos en un blanco determinado

2.- Lanzar un par de dados

3.- Obtener una carta de una baraja

4.- Lanzar una moneda

5.- Inspeccionar los artículos producidos por una máquinahasta que aparezca un artículo defectuoso.

6.- El número de alumnos que aprobaran el curso.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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El espacio muestral de un experimento aleatorio es elconjunto formado por todos los posibles resultados delexperimento aleatorio. El espacio muestral es denotado por S.

Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Tipos de espacios muestrales

Un espacio muestral se denominanumerable finito si el espacio muestraltiene un número finito de elementos

Un espacio muestral se denominanumerable infinito si el espacio muestraltiene un número infinito de elementospero se puede contar, y más aún, sepuede poner en relación a los númerosnaturales.

Un espacio muestral se denomina nonumerable si el espacio muestral tieneun número infinito de elementos loscuales no se pueden poner en relacióncon los naturales.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Los eventos aleatorios se denotan normalmente con lasletras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… S

Los eventos aleatorios son conjuntos que puedencontener un solo elemento, una infinidad de elementos, ytambién no contener ningún elemento.

Si el evento esta formado por sólo un resultado diremosque es un evento simple.

Si por el contrario el evento consta de dos o masresultados, definiremos el evento como eventocompuesto.

El evento imposible es el evento que no tiene elementos.

El evento seguro es el conjunto de todos los posiblesresultados, es decir, el espacio muestral S.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Ejemplo.Experimento aleatorio:Se tiene dos urnas. La urna 1 contiene tres bolas verdes y dos rojas.La urna 2 contiene una bola verde, una roja y dos bolas azules. Seselecciona una bola de la urna 1 y se coloca en la urna 2. Luego seselecciona una bola de la urna 2. Determine un espacio muestralapropiado.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Diagramas de árbolLos diagramas de árbol nos proporcionan una técnica útil para enumerar todos los resultados de un espacio muestral finito.

roja

Verde

roja

verde

azul

roja

verde

azul

S = {(r, r) (r, v) (r, a) (v, r) (v, v) (v, a)}

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Ejercicio:

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de lossiguientes experimentos aleatorios:

a. Lanzar tres monedas.

b. Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c. Un aficionado de básquetbol ejecuta 3 tiros a una canasta.

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Técnicas de conteo de puntos muestrales

Debido a que algunas veces puede ser muy complicado, o almenos tedioso, puntualizar el número de elementos de unespacio muestral finito por medio de la enumeración directa.

Principio fundamental del conteoSi cierto experimento E1, puede ocurrir de n1, manerasdiferentes, un segundo experimento E2, puede acontecer de n2

modos diferentes, un tercer experimento E3 puede suceder den3 maneras diferentes y así sucesivamente.Entonces el número de maneras diferentes en que losexperimentos E1, E2, E3 ,…,Ek pueden ocurrir simultaneamentees de n1n2 n3 nk

I.1 Fenómenos aleatorios y espacio muestral

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Técnicas de conteo de puntos muestrales

PermutacionesOtra técnica útil para determinar el número de elementos de unespacio muestral finito, está asociado con los ordenamientos opermutaciones. Una permutación es un arreglo en un orden enparticular de los elementos que forman un conjunto.

CombinacionesOtra técnica disponible, con el mismo propósito que lasanteriores, es conocida como combinaciones. Una combinaciónde los elementos de un conjunto es una selección de estos sinimportar el orden.

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si nopueden ocurrir simultáneamente, esto es, si AB = .Diremos que una serie de eventos son mutuamenteexcluyentes si la intersección de cualesquiera dos de elloses el conjunto vacío.

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Operaciones con eventos

Unión

Sean A y B dos eventos, el evento unión de los eventos A y B esel evento formado por la unión de los subconjuntos A y B, esdecir, por la unión de los resultados del evento A o del eventoB.

AUB = {x | x A o x B}

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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IntersecciónLa intersección de dos eventos A y B, es el conjunto formado

por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

AB = {x | x A y x B}

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Evento complementoEl evento es el formado por todos los resultados del espaciomuestral que no forman al evento A. El evento complemento delevento A se denota por Ac

Ac = {x x U y x A}

I.2. Álgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Diferencia o negaciónLa diferencia de A y B, expresada por A-B, es el conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A pero no a B

A-B= ABc = {x | x A y x B}

La diferencia de B-A, se representa como:

B-A= BAc = {x | x A y x B}ABc

BAc

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Definición clásica de probabilidad

Si los eventos elementales son igualmente probables, laprobabilidad de un evento A es el cociente del número de casosfavorables al evento A entre el número total de casos posibles,esto es:

La definición clásica de probabilidad no puede usarse en formageneral debido a que presenta los siguientes inconvenientes:a) No puede aplicarse cuando el espacio muestral es infinito.b) Cuando los eventos elementales no son igualmenteprobables.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Propiedades de la definición clásica de probabilidad

La definición clásica de probabilidad posee las propiedadessiguientes:

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Ejemplo

Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes eventosA: Obtener un número par al arrojar un dado legal.B: Extraer una carta de diamantes de una baraja de 52 naipes.C: Que aparezcan 3 águilas al lanzar una moneda 3 veces.D: Extraer una bola negra de una urna que contiene 5 bolas rojas, 4 azules y 6 negras.E: Considere que se tiene un lote de 10 artículos de los cuales2 son defectuosos. Sí se eligen al azar 3 artículos, ¿Cuál es laprobabilidad de que la muestra contenga sólo un artículodefectuoso?

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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4.- Si es el evento imposible, entonces P()=05.- Si Ac es el complemento de un evento A, entonces P(Ac) =1 - P(A)6.- Si A y B son dos eventos, entonces P(ABc) = P(A) - P(AB)7.- Si A y B son dos eventos no mutuamente exclusivos, entonces

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)8.- Si A, B y C son tres eventos no mutuamente exclusivos, entonces

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)9.- Si A y B son dos eventos. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de ellos se determina mediante:

P(ABcUBAc) = P(A) + P(B) - 2 P(AB)10.- Si A, B y C son tres eventos. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los eventos A, B o C se determina mediante:

P(ABcCcUBAcCcUCAcBc) = P(A) + P(B) + P(C) - 2[P(AB) + P(AC) + P(BC)] + 3 P(ABC)

11.- Si A, B y C son tres eventos. La probabilidad de que ocurran exactamentedos de los eventos A, B o C se calcula mediante:P(ABCcUACBcUBCAc) = P(AB) + P(AC) + P(BC) - 3 P(ABC)

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Probabilidad subjetiva

• Es el grado de creencia en el juicio personal.

• No tiene validez científica.

• En la vida diaria es de las más comunes.

• Aquí no existe un espacio muestral finito.

• Ni los elementos son igualmente probables.

• Ni se puede calcular la frecuencia relativa, ni hay forma dehacer intervenir los enunciados de la probabilidadaxiomática.

• En estos caso la probabilidad dependerá del grado decredibilidad que una persona asigne subjetivamente a unaopinión o creencia.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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1.4 Probabilidad condicional

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Probabilidad condicionalCon frecuencia sucede que la ocurrencia de un evento dependede la ocurrencia de otro u otros eventos. En general en ocasionesse desea obtener la probabilidad de algún evento A dado que aocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denominaprobabilidad condicional y se obtiene de la siguiente manera

1.4 Probabilidad condicional

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EjemploUn doctor desea conocer cual es la probabilidad de queuna persona adulta que sufre de depresión, mejore con elmedicamento, si de estudios anteriores se conoce lasiguiente información

Se tiene los siguientes eventos A={La persona mejore}, B={La persona es adulta} , y se desea encontrar la probabilidad de la persona mejore dado que es adulta.

I.5. Independencia.

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Al ser el evento A independiente del evento B también setiene que el evento B es independiente del evento A, por loanterior se dice que los eventos A y B son independientes.

I.5. Independencia.

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EjemploSe tienen dos cajas. La caja uno contiene 10 artículos de los cuales 4 son defectuosos y la caja dos contiene 6 artículos con dos defectuosos. De cada caja se extrae un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que los dos artículos sean defectuosos