Probabilidad Bsica e

Inferencia Estadstica

Tema I. Conceptos Bsicos y lgebra de Eventos

ESPECIALIDAD EN MTODOS ESTADSTICOSFACULTAD DE ESTADSTICA E INFORMTICA

UNIVERSIDAD VERACRUZANA

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MTRO. ZOYLO MORALES ROMERO

Fac. de Estadstica e Informtica

Fac. de Economa

Material bibliogrfico

Mendehall, W., Sheaffer R. Y Wackerly, D. (2008). Estadstica Matemtica con Aplicaciones. Grupo Editorial Thomson Mxico.

Freud, J.E. y Walpole, R.E. (2000). Estadstica Matemtica con Aplicaciones, Prentice-Hall.

Walpole R.F. y Myers, R.H. (1999). Probabilidad y Estadstica. Mc Graw-Hill.

GerardoResaltar

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

La primera pregunta que setiene que formular es questudia la estadstica?

Entonces se tiene que laestadstica para su existencianecesita datos.

Para la obtencin de datos esnecesario llevar a cabo unexperimento o ensayo.

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I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

La estadstica estudia el comportamiento de lavariable de inters cuando se realiza el ensayo. Alrealizar un ensayo no se sabe con exactitud cual va aser el resultado que se obtenga,

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Ensayo aleatorio.- Es el que no se sabe que es lo queva a ocurrir, estn relacionados con el azar oprobabilidad.

Ensayo determinista.- Es el cual de antemano se sabecual ser el resultado.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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El conocimiento de la probabilidad es de sumaimportancia en todo estudio estadstico.

El clculo de probabilidades proporciona las reglas parael estudio de los experimentos aleatorios o de azar,que constituyen la base para la estadstica inferencial.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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La probabilidad estudia el tipo de fenmenos aleatorios.

Un experimento es un proceso mediante el cual se obtiene al menos una observacin (o medicin).

Experimento aleatorio.- Es aquel experimento en el que no se puede predecir con exactitud el resultado.

Se considera como aleatorio y estocstico, si susresultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier nmero de vecesesencialmente en las mismas condiciones.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Ejemplos:

1.- Tirar dardos en un blanco determinado

2.- Lanzar un par de dados

3.- Obtener una carta de una baraja

4.- Lanzar una moneda

5.- Inspeccionar los artculos producidos por una mquinahasta que aparezca un artculo defectuoso.

6.- El nmero de alumnos que aprobaran el curso.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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El espacio muestral de un experimento aleatorio es elconjunto formado por todos los posibles resultados delexperimento aleatorio. El espacio muestral es denotado por S.

Experimento: Se lanza un dado.Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de inters:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Tipos de espacios muestrales

Un espacio muestral se denominanumerable finito si el espacio muestraltiene un nmero finito de elementos

Un espacio muestral se denominanumerable infinito si el espacio muestraltiene un nmero infinito de elementospero se puede contar, y ms an, sepuede poner en relacin a los nmerosnaturales.

Un espacio muestral se denomina nonumerable si el espacio muestral tieneun nmero infinito de elementos loscuales no se pueden poner en relacincon los naturales.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Los eventos aleatorios se denotan normalmente con lasletras maysculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C, S

Los eventos aleatorios son conjuntos que puedencontener un solo elemento, una infinidad de elementos, ytambin no contener ningn elemento.

Si el evento esta formado por slo un resultado diremosque es un evento simple.

Si por el contrario el evento consta de dos o masresultados, definiremos el evento como eventocompuesto.

El evento imposible es el evento que no tiene elementos.

El evento seguro es el conjunto de todos los posiblesresultados, es decir, el espacio muestral S.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Ejemplo.Experimento aleatorio:Se tiene dos urnas. La urna 1 contiene tres bolas verdes y dos rojas.La urna 2 contiene una bola verde, una roja y dos bolas azules. Seselecciona una bola de la urna 1 y se coloca en la urna 2. Luego seselecciona una bola de la urna 2. Determine un espacio muestralapropiado.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Diagramas de rbolLos diagramas de rbol nos proporcionan una tcnica til para enumerar todos los resultados de un espacio muestral finito.

roja

Verde

roja

verde

azul

roja

verde

azul

S = {(r, r) (r, v) (r, a) (v, r) (v, v) (v, a)}

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Ejercicio:

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de lossiguientes experimentos aleatorios:

a. Lanzar tres monedas.

b. Lanzar dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c. Un aficionado de bsquetbol ejecuta 3 tiros a una canasta.

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Tcnicas de conteo de puntos muestrales

Debido a que algunas veces puede ser muy complicado, o almenos tedioso, puntualizar el nmero de elementos de unespacio muestral finito por medio de la enumeracin directa.

Principio fundamental del conteoSi cierto experimento E1, puede ocurrir de n1, manerasdiferentes, un segundo experimento E2, puede acontecer de n2modos diferentes, un tercer experimento E3 puede suceder den3 maneras diferentes y as sucesivamente.Entonces el nmero de maneras diferentes en que losexperimentos E1, E2, E3 ,,Ek pueden ocurrir simultaneamentees de n1n2 n3 nk

I.1 Fenmenos aleatorios y espacio muestral

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Tcnicas de conteo de puntos muestrales

PermutacionesOtra tcnica til para determinar el nmero de elementos de unespacio muestral finito, est asociado con los ordenamientos opermutaciones. Una permutacin es un arreglo en un orden enparticular de los elementos que forman un conjunto.

CombinacionesOtra tcnica disponible, con el mismo propsito que lasanteriores, es conocida como combinaciones. Una combinacinde los elementos de un conjunto es una seleccin de estos sinimportar el orden.

I.2. lgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si nopueden ocurrir simultneamente, esto es, si AB = .Diremos que una serie de eventos son mutuamenteexcluyentes si la interseccin de cualesquiera dos de elloses el conjunto vaco.

I.2. lgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Operaciones con eventos

Unin

Sean A y B dos eventos, el evento unin de los eventos A y B esel evento formado por la unin de los subconjuntos A y B, esdecir, por la unin de los resultados del evento A o del eventoB.

AUB = {x | x A o x B}

I.2. lgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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InterseccinLa interseccin de dos eventos A y B, es el conjunto formado

por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

AB = {x | x A y x B}

I.2. lgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Evento complementoEl evento es el formado por todos los resultados del espaciomuestral que no forman al evento A. El evento complemento delevento A se denota por Ac

Ac = {x x U y x A}

I.2. lgebra de eventos en espacios muestralesfinitos

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Diferencia o negacinLa diferencia de A y B, expresada por A-B, es el conjunto formadopor los elementos que pertenecen a A pero no a B

A-B= ABc = {x | x A y x B}

La diferencia de B-A, se representa como:

B-A= BAc = {x | x A y x B}ABc

BAc

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Definicin clsica de probabilidad

Si los eventos elementales son igualmente probables, laprobabilidad de un evento A es el cociente del nmero de casosfavorables al evento A entre el nmero total de casos posibles,esto es:

La definicin clsica de probabilidad no puede usarse en formageneral debido a que presenta los siguientes inconvenientes:a) No puede aplicarse cuando el espacio muestral es infinito.b) Cuando los eventos elementales no son igualmenteprobables.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Propiedades de la definicin clsica de probabilidad

La definicin clsica de probabilidad posee las propiedadessiguientes:

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Ejemplo

Determinar la probabilidad de cada uno de los siguientes eventosA: Obtener un nmero par al arrojar un dado legal.B: Extraer una carta de diamantes de una baraja de 52 naipes.C: Que aparezcan 3 guilas al lanzar una moneda 3 veces.D: Extraer una bola negra de una urna que contiene 5 bolas rojas, 4 azules y 6 negras.E: Considere que se tiene un lote de 10 artculos de los cuales2 son defectuosos. S se eligen al azar 3 artculos, Cul es laprobabilidad de que la muestra contenga slo un artculodefectuoso?

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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4.- Si es el evento imposible, entonces P()=05.- Si Ac es el complemento de un evento A, entonces P(Ac) =1 - P(A)6.- Si A y B son dos eventos, entonces P(ABc) = P(A) - P(AB)7.- Si A y B son dos eventos no mutuamente exclusivos, entonces

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)8.- Si A, B y C son tres eventos no mutuamente exclusivos, entonces

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)9.- Si A y B son dos eventos. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de ellos se determina mediante:

P(ABcUBAc) = P(A) + P(B) - 2 P(AB)10.- Si A, B y C son tres eventos. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los eventos A, B o C se determina mediante:

P(ABcCcUBAcCcUCAcBc) = P(A) + P(B) + P(C) - 2[P(AB) + P(AC) + P(BC)] + 3 P(ABC)

11.- Si A, B y C son tres eventos. La probabilidad de que ocurran exactamentedos de los eventos A, B o C se calcula mediante:P(ABCcUACBcUBCAc) = P(AB) + P(AC) + P(BC) - 3 P(ABC)

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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Probabilidad subjetiva

Es el grado de creencia en el juicio personal.

No tiene validez cientfica.

En la vida diaria es de las ms comunes.

Aqu no existe un espacio muestral finito.

Ni los elementos son igualmente probables.

Ni se puede calcular la frecuencia relativa, ni hay forma dehacer intervenir los enunciados de la probabilidadaxiomtica.

En estos caso la probabilidad depender del grado decredibilidad que una persona asigne subjetivamente a unaopinin o creencia.

I.3. Probabilidad, reglas de probabilidad

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1.4 Probabilidad condicional

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Probabilidad condicionalCon frecuencia sucede que la ocurrencia de un evento dependede la ocurrencia de otro u otros eventos. En general en ocasionesse desea obtener la probabilidad de algn evento A dado que aocurrido un evento B, este tipo de probabilidad se denominaprobabilidad condicional y se obtiene de la siguiente manera

1.4 Probabilidad condicional

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EjemploUn doctor desea conocer cual es la probabilidad de queuna persona adulta que sufre de depresin, mejore con elmedicamento, si de estudios anteriores se conoce lasiguiente informacin

Se tiene los siguientes eventos A={La persona mejore}, B={La persona es adulta} , y se desea encontrar la probabilidad de la persona mejore dado que es adulta.

I.5. Independencia.

ESPECIALIZACIN EN MTODOS ESTADSTICOS 31

Al ser el evento A independiente del evento B tambin setiene que el evento B es independiente del evento A, por loanterior se dice que los eventos A y B son independientes.

I.5. Independencia.

ESPECIALIZACIN EN MTODOS ESTADSTICOS 32

EjemploSe tienen dos cajas. La caja uno contiene 10 artculos de los cuales 4 son defectuosos y la caja dos contiene 6 artculos con dos defectuosos. De cada caja se extrae un artculo al azar. Encontrar la probabilidad de que los dos artculos sean defectuosos