Principios de Las Comunicaciones

Tercera Edicin Edicin Digital

PRINCIPIOS DE LAS COMUNICACIONES

Jos E. Briceo M., Dr. Ing. Profesor Titular, ULA

Mrida, Abril 2005

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PUBLICACIONES DE LA FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

La primera edicin de este libro fu recomendada para su edicin y publicacin por el Departamento de Electrnica y Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Facultad de Ingeniera de la Universidad de los Andes, en su Reunin Ordinaria realizada el 14 de Diciembre de 1989.

Est prohibida la reproduccin total o parcial de este libro sin previa autorizacin del autor. Ediciones: 1990, 1993, 1998, 2004, Digital 2005 Cdigo:

Impreso en Mrida Taller de Publicaciones de la Facultad de Ingeniera, Universidad de Los Andes

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INDICE DE MATERIASPREFACIO A LA EDICIN DIGITAL PREFACIO CAPITULO I REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES 1.1. INTRODUCCION 1.2. MODELOS DE SEALES 1.2.1. Seales Determinsticas y Aleatorias 5 1.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas 5 1.2.3. Seales de Energa y de Potencia 6 1.2.4. Seales Singulares 9 La Rampa Unitaria 10 El Escaln Unitario 10 La Funcin Signo 11 El Impulso Unitario Delta Dirac 12 1.2.5. Seales Ortogonales 14 1.3. EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 1.3.1. Representacin Espectral 15 1.4. SERIES Y ESPECTROS DE FOURIER 1.4.1. Seales Peridicas 18 Definicin 18 1.4.2. Series de Fourier 20 Definicin 20 La Serie Trigonomtrica de Fourier 20 La Serie Exponencial de Fourier 22 1.4.3. El Espectro Discreto 24 Propiedades del Espectro Discreto 27 1.4.4. Espectro de Potencia de Seales Peridicas. Teorema de Parseval 1.5. LA TRANSFORMADA DE FOURIER 1.5.1. Introduccin 31 1.5.2. El Espectro Continuo 33 1.5.3. Propiedades de la Transformada de Fourier de Seales Reales 1.7. TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 1.7.1. Teorema de la Superposicin o Linealidad 40 1.7.2. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en el Tiempo 41 1.7.3. Teorema del Cambio de Escala 42 1.7.4. Teorema de la Dualidad o Simetra 42 1.7.5. Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en Frecuencia 44 Teorema de la Modulacin 44 1.7.6. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en el Tiempo 47 1.7.7. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en Frecuencia 49 xiii xiv 1 1 1 5

15 18

28 31

35 38 40

1.6. DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGIA. TEOREMA DE RALEIGH

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1.8. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIDICAS 1.9. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA 1.9.1. Introduccin 54 Definicin 54 1.9.2. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 1.11. FUNCIONES DE CORRELACION 1.11.1. Introduccin 61 1.11.2. Autocorrelacin 62 Definicin 62 Propiedades de la Funcin de Autocorrelacin 64 1.11.3. Teorema de Wiener-Kintchine 67 1.11.4. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia 1.11.5. Intercorrelacin 69 Propiedades de la Funcin de Intercorrelacin 70 1.11.6. Deteccin de una Seal en presencia de Ruido 71 1.12. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACIN CAPITULO II REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SISTEMAS 2.1. INTRODUCCIN 87 2.2. CARACTERIZACION DE SISTEMAS 87 2.2.1. Concepto de Sistema 87 2.2.2. Clasificacin de Sistemas 88 2.2.3. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio del Tiempo 89 Respuesta Impulsional 89 Sistemas Lineales Invariantes y Variantes en el Tiempo 90 Causalidad y Estabilidad en Sistemas Lineales 94 2.2.4. Caracterizacin de Sistemas Lineales en el Dominio de la Frecuencia 95 Funcin de Transferencia 95 Criterio de Paley-Wiener 97 Propiedades de la Funcin de Transferencia 97 2.3. LA INTEGRAL DE CONVOLUCION 2.3.1. Aplicaciones en el Anlisis de Seales y Sistemas 2.3.2. Interpretacin Grfica de la Convolucin 106 2.4. DISTORSION EN LAS SEALES 2.4.1. Transmisin sin Distorsin 108 Sistemas de Fase Lineal 112 2.4.2. Tipos de Distorsin 113 Distorsin de Amplitud 113 Distorsin de Fase 113 Distorsin no Lineal 116 Compansin 118

51 54

56 61

1.10. RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEAL 59

68

72 73 87 87

100 100 108

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2.5. INTERCONEXION DE SISTEMAS 2.6. FILTROS 2.6.1. Introduccin 120 2.6.2. Filtros Ideales 121 Filtro Ideal Pasabajo 122 Filtro Ideal Pasabanda 121 Filtro Ideal Pasaalto 122 Filtro Ideal Eliminador de Banda 2.6.3. Ancho de Banda en Filtros Reales

119 120

123 127 132

2.7. SEALES Y SISTEMAS PASABANDA 2.7.1. La Transformada de Hilbert 132 2.7.2. La Seal Analtica 136 2.7.3. Seales Pasabanda 137 2.7.4. Seales Moduladas y Bandas Laterales 144 Modulacin en Doble Banda Lateral 144 Modulacin en Banda Lateral Unica 146 2.7.5. Seales Pasabanda de Potencia 148 2.7.6. Sistemas Pasabanda 149 2.8. FUNCIONES DE CORRELACION EN SISTEMAS LINEALES 2.8.1. Autocorrelacin Entrada/Salida 152 2.8.2. Intercorrelacin Entrada/Salida 154 2.9. RUIDO EN SISTEMAS 2.9.1. Introduccin 156 2.9.2. Ruido Interno 156 Ruido de Disparo 156 Ruido Trmico 156 Circuitos Equivalentes del Ruido 158 Potencia de Ruido Disponible 159 2.9.3. Ruido Blanco 160 Ruido Blanco Pasabanda de Banda Angosta 162 2.9.4. Ancho de Banda Equivalente del Ruido 165 2.9.5. Caracterizacin del Ruido en Sistemas 167 Relaciones Seal/Ruido en Sistemas de Comunicacin 167 Relaciones Seal/Ruido en un Receptor con Deteccin Coherente Ganancia de Conversin o de Deteccin, 169 Cifra de Ruido 171 Cifra de Ruido en Sistemas en Cascada 174 Cifra de Ruido en Redes Atenuadoras 175 Medida del Ruido 179 2.10. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACIN

152

156

167

181 182

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CAPITULO III VARIABLES Y PROCESOS ALEATORIOS 3.1. INTRODUCCIN 3.2. NOCIONES DE LA PROBABILIDAD 3.2.1. Definicin de la Probabilidad 195 Definicin Emprica de la Probabilidad 195 Sucesos Mutuamente Excluyentes o Disjuntos 196 Definicin Axiomtica de la Probabilidad 196 3.2.2. Probabilidad Conjunta. Probabilidad Condicional. Independencia Probabilidad Conjunta 197 Probabilidad Condicional 197 Independencia Estadstica 198 Probabilidad Total 199 Teorema de Bayes 199 Modelo Probabilstico de un Canal de Comunicaciones 200 3.3. VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIONES DE PROBABILIDAD 3.3.1. Variables Aleatorias Discretas 203 3.3.2. Variables Aleatorias Continuas 205 3.3.3. Distribuciones Conjuntas 208 Distribucin Condicional 209 3.4. FUNCIONES DE PROBABILIDAD ESPECIALES 3.4.1. Distribucin Normal o Gaussiana 211 3.4.2. Distribucin de Poisson 213 3.4.3. Distribucin Binomial 214 3.4.4. Distribucin Uniforme 214 3.5.5. Distribucin de Laplace 215 3.4.6. Distribucin de Cauchy 215 3.4.7. Distribucin de Raleigh 216 3.4.8. Distribucin de Maxwell 217 3.5. FUNCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS Teorema Fundamental 218 3.6. PROMEDIOS ESTADSTICOS 3.6.1. Definicin 219 3.6.2. Valor Promedio de Funciones de Variables Aleatorias 220 Valor Promedio de una Funcin de una Variable Aleatoria 220 Valor Promedio de una Funcin de Variables Aleatorias 220 Valor Promedio de Variables Aleatorias Estadsticamente Independientes 3.6.3. Momentos 221 Momentos Centrales 223 3.7. FUNCION CARACTERSTICA 3.8. PROCESOS ALEATORIOS O ESTOCASTICOS 3.8.1. Introduccin 228 Estadsticas de Primer Orden 230 Estadsticas de Segundo Orden 230

195 195 195 195

197

203

211

217 219

221

225 228

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3.8.2. Estacionaridad y Ergodicidad 232 Estacionaridad en el Sentido Estricto 232 Estacionaridad en el Sentido Amplio 232 Ergodicidad 232 3.8.3. Funcin de Autocorrelacin y Densidad Espectral de Potencia Funcin de Autocorrelacin 234 Densidad Espectral de Potencia 235

234

3.9. PROCESOS ALEATORIOS DISCRETOS 3.9.1. Secuencias Aleatorias Discretas 236 3.9.2. Densidad Espectral y Funcin de Autocorrelacin de Secuencias PCM 3.9.3. Secuencias Binarias Seudoaleatorias 247 Caractersticas Espectro-Temporales 247 Dispersin del Espectro (Spread Spectrum) 249 Generacin de Secuencias Binarias Seudoaleatorias 251 3.10. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACIN CAPITULO IV PRINCIPIOS DE LA TRANSMISION DE INFORMACIN 4.1. INTRODUCCIN 4.2. MODELO DE UN SISTEMA DE TRANSMISION DE INFORMACION Fuente de Informacin 262 Transductor de Entrada 262 Transmisor 262 Canal 262 Receptor 263 Ruido 263 Ancho de Banda y Potencia de Transmisin 263 4.3. CONCEPTO Y MEDIDA DE LA INFORMACION 4.4. CARACTERIZACION DE LA INFORMACION 4.4.1. Entropa 266 4.4.2. Velocidad de Informacin 268 4.4.3. Codificacin de Canal 269 4.4.4. Velocidad de Modulacin 271 4.4.5. Redundancia Agregada 271 4.5. CARACTERIZACION DEL CANAL 4.5.1. Ancho de Banda del Canal 273 4.5.2. Capacidad del Canal 276 Definicin 276 Canal sin Ruido 277 Canal con Ruido 278

236 242

253 254 261 261 261 261

264 266

273

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4.6. EL SISTEMA IDEAL DE TRANSMISION DE INFORMACIN 4.6.1.Introduccin 280 4.6.2. El Receptor Ideal 280 Relacin de Expansin del Ancho de Banda, 4.7. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACION CAPITULO V MODULACION Y TRANSMISION DE IMPULSOS 5.1. INTRODUCCIN 5.2. TEORIA DEL MUESTREO UNIFORME DE SEALES 5.2.1. Introduccin 296 5.2.2. Teoremas del Muestreo Uniforme de Seales 296 Teorema No 1. Teorema del Muestreo de Shannon 296 Teorema No 2. Recuperacin o Interpolacin de la Seal 298 Teorema de Parseval para Seales Muestreadas 300 Teorema No 3. Muestreo de Seales Pasabanda 301 Muestreo en el Dominio de la Frecuencia 303 Teorema No 4 303 5.2.3. Muestreo Prctico de Seales Pasabajo 307 Muestreo Natural 308 Muestreo con Retencin 310 5.2.4. Distorsin Producida por el Muestreo 314 Distorsin de Solapamiento (Aliasing) 315 Distorsin de Interpolacin 315 Distorsin por Efecto de Apertura 316 5.3. SISTEMAS DE MODULACION ANALOGICA DE IMPULSOS 5.3.1. Introduccin 317 5.3.2. Modulacin de Amplitud de Impulsos (PAM) 318 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PAM 318 5.3.3. Modulacin de la Duracin de Impulsos (PDM) 321 Ancho de Banda en Sistemas PDM 324 5.3.4. Modulacin por Posicin de Impulsos (PPM) 325 Ancho de Banda y Relaciones S/N en PPM y PDM 328 5.3.5. Comparacin entre las Ganancias de Conversin en PAM, PDM y PPM

280

281 283 283 295 295 295 296

317

332

5.4. SISTEMAS DE MODULACION DIGITAL DE IMPULSOS 334 5.4.1. Introduccin 334 5.4.2. Modulacin de Impulsos Codificados (PCM) 334 Cuantificacin y Codificacin 335 Demodulacin de Seales PCM 338 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PCM 340 5.4.3. Modulacin Diferencial de Impulsos Codificados (DPCM) 346 5.4.4. Modulacin Delta Lineal (DM) 348 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas de Modulacin Delta Lineal 351

ix

5.5. TRANSMISION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE 5.5.1. Introduccin 355 5.5.2. Tcnicas de Multicanalizacin o Multiplicidad 356 Tcnicas de Multiplicidad por Divisin de Tiempo (TDM) 5.5.3. Interferencia Intersmbolo 358 5.5.4. Cdigos de Lnea 361 5.6. RECEPCION DE IMPULSOS EN BANDA DE BASE 5.6.1. Introduccin 366 5.6.2. El Filtro Acoplado 367

355

356

366

5.7. TRANSMISION Y RECEPCION DE SEALES BINARIAS MEDIANTE PORTADORA MODULADA 5.7.1. Introduccin 371 5.7.2. Demodulacin y Sicronizacin de Seales Binarias Moduladas 373 Mtodos de Demodulacin 373 Sincronizacin de Portadora y Temporizacin 374 5.7.3. Modulacin Binaria de Amplitud (ASK) 3676 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas ASK 377 Rendimiento de Transmisin 378 Demodulacin Coherente de Seales ASK 379 Demodulacin no Coherente de Seales ASK 382 5.7.4. Modulacin Binaria de Frecuencia (FSK) 384 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas FSK 384 Principio de Ortogonalidad en Seales FSK 385 Ancho de Banda en FSK 387 Relaciones S/N en FSK 388 Demodulacin Coherente de Seales FSK 388 Demodulacin no Coherente de Seales FSK 389 5.7.5. Modulacin Binaria de Fase (PSK) 394 Demodulacin de Seales PSK 394 Modulacin Binaria Diferencial de Fase (DPSK) 395 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Sistemas PSK y DPSK 398 5.7.6. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Binaria 402 5.8. MODULACION DIGITAL M-aria MEDIANTE PORTADORA MODULADA 5.8.1. Introduccin 404 5.8.2. Modulacin PSK M-aria 405 5.8.3. Modulacin DPSK M-aria 408 5.8.4. Modulacin FSK M-aria de Banda Ancha 411 Ortogonalidad de Seales FSK M-aria 412 5.8.5. Acceso Mltiple por Divisin de Tiempo (TDMA) 414 5.9. TRANSMISION DE SEALES DIGITALES MEDIANTE DISPERSION DEL ESPECTRO (SPREAD SPECTRUM) 5.9.1. Introduccin 415 5.9.2. Sistemas SS de Secuencia Directa (DSSS) 416 Acceso Mltiple por Divisin de Cdigo (CDMA) 420 5.9.3. Dispersin del Espectro mediante Conmutacin de Frecuencias (FHSS) 422 5.9.4. Consideraciones Finales 425

371

404

415

x

5.10. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACIN CAPITULO VI MODULACION Y TRANSMISION DE SEALES CONTINUAS 6.1. INTRODUCCIN 6.1.1. Esquemas de Modulacin Analgica de Ondas Continuas 446

426 427 445 445 445 448

6.2. MODULACION LINEAL DE SEALES CONTINUAS 6.2.1. Introduccin 448 6.2.2. Modulacin de Amplitud en Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida (DSB) 448 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin DSB 450 6.2.3. Modulacin de Amplitud con Portadora de gran Potencia (AM) 451 Potencia y Rendimiento de Transmisin en AM 454 Moduladores y Transmisores AM 459 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin AM 461 Efecto Umbral en Sistemas AM 463 6.2.4. Modulacin en Banda Lateral Unica (SSB) 465 Generacin de Seales SSB 466 Demodulacin de Seales SSB 467 Ancho de Banda y Relaciones S/N en Modulacin SSB 468 6.2.5. Modulacin en Banda Lateral Residual (VSB) 473 6.2.6. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Lineal 479 6.3. TECNICAS DE TRASLACION DE FRECUENCIAS 6.3.1. Conversin de Frecuencias 482 Frecuencias Imagen 483 El Receptor Superheterodino 483 6.3.2. Multiplicidad por Divisin de Frecuencia (FDM) 486 Ancho de Banda de la Banda de Base Multicanal 487 Multicanalizacin en Sistema Telefnicos 488 Acceso Mltiple por Divisin de Frecuencia (FDMA) 488 6.4. MODULACION ANGULAR O EXPONENCIAL DE SEALES CONTINUAS 6.4.1. Introduccin 490 Esquemas de Modulacin Angular de Seales Continuas 491 Efecto de una Componente Continua en Modulacin Angular 495 6.4.2. Modulacin Angular de Banda Angosta 496 6.4.3. Modulacin Angular de Banda Ancha 498 Modulacin Sinusoidal Compuesta 503 6.4.4. Potencia y Ancho de Banda en Modulacin Angular de Banda Ancha 505 Potencia en Modulacin Angular 505 Ancho de Banda en Modulacin Angular 505 6.4.5. Generacin y Deteccin de Seales Moduladas en Angulo 511 Generacin Directa de Seales Moduladas en Frecuencia 511 Generacin Indirecta de Seales Moduladas en Frecuencia 514 Demodulacin de Seales Moduladas en Angulo 515 6.4.6. Interferencia y Relaciones S/N en Modulacin Angular 521

482

490

xi

Interferencia 521 Relaciones S/N en Modulacin de Frecuencia 523 Efecto Umbral en Modulacin de Frecuencia 526 Relaciones S/N en Modulacin de Fase 529 6.4.7. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular

530

6.5. COMPARACION ENTRE LOS SISTEMAS DE MODULACION DE SEALES CONTINUAS 531 6.5.1. Criterios de Comparacin 531 6.5.2. Comparacin entre los Sistemas de Modulacin Angular vs Modulacin Lineal 532 6.5.3. Intercambio Ancho de Banda-Relacin S/N en Sistemas de Banda Ancha 532 6.5.4 Comparacin entre los Sistemas de Banda Ancha 534 6.5.5. Caractersticas Generales de los Sistemas de Modulacin de Ondas Continuas 536 6.6. RESUMEN PROBLEMAS DE APLICACIN APENDICE A CALCULO NUMERICO DE LAS SERIES Y TRANSFORMADAS DE FOURIER A.1. Clculo Numrico de los Coeficientes de Fourier A.2. La Transformada de Fourier Discreta (DFT) A.3. La Transformada de Fourier Rpida (FFT) APENDICE B MISCELNEOS B.1. El Espectro Electromagntico 567 567 568 569 570 570 570 570 571 568 B.2. Designacin de las Bandas de Microondas 557 560 561 561 567 567 555 537 538 555 555

Clculo Directo de la Transformada de Fourier Discreta Algoritmo FFT por Decimacin en el Tiempo

B.3. Bandas de Televisin (NTSC, CATV) y FM en VHF B.4. Bandas de Televisin (NTSC, CATV) en UHFo

B.5. Cdigo ASCII o Alfabeto Internacional N 5 de la UIT-T B.6. Cdigo Baudot APENDICE C TRANSFORMADAS C.1. Teoremas de la Transformada de Fourier C.2. Pares de Transformadas de Hilbert C.3. Pares de Transformadas de Fourier C.4. Otros Teoremas de Inters 571 569

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APENDICE D FORMULAS MATEMTICAS D.1. Identidades Trigonomtricas D.2. Integrales Indefinidas D.3. Integrales Definidas D.4. La Funcin Error BIBLIOGRAFA 574 573 573 572

572 572

575

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PREFACIO A LA EDICION DIGITALActualmente en Venezuela y en muchas partes del mundo se est observando la gran importancia que tiene la informacin en la vida cotidiana; esto ha permitido que la demanda de informacin vaya en aumento y por lo tanto se tenga que hacer uso de sistemas ms sofisticados para lograr la generacin, almacenamiento, administracin y acceso de los datos. La Biblioteca Digital de la Universidad de Los Andes es una coleccin de artculos, de trabajos de investigacin y de libros de texto completos, disponibles a travs de la Web, con la finalidad de contribuir a las actividades acadmicas y de investigacin de cualquier disciplina. Esta Biblioteca Digital permitir la difusin a nivel mundial de la inmensa cantidad de obras producidas por el personal acadmico docente y de investigacin de la Universidad. Con esta finalidad, he puesto a disposicin de la comunidad hispanoamericana los libros Transmisin de Datos y el presente libro Principios de las Comunicaciones, como una contribucin a la enseanza, tanto terica como prctica, de las Telecomunicaciones. Como una ayuda y colaboracin para mis colegas profesores, pongo tambin a su disposicin el Problemario de Comunicaciones que contiene la solucin completa de todos los problemas planteados en el libro Principios de las Comunicaciones, Edicin Digital. Este Problemario, mis estimados colegas, lo pueden obtener dirigindose a m directamente por correo electrnico; mi direccin electrnica es: [email protected]. Esto me permitir el establecimiento de contactos ms personales con los potenciales usuarios del libro. Espero que este texto les sea de utilidad en su diaria enseanza. Jos E. Briceo M., Dr. Ing. Profesor Titular, ULA. [email protected] Mrida, Abril 2005

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PREFACIO A LA TERCERA EDICIONEl presente texto es el resultado de casi cuatro dcadas de enseanza de las comunicaciones en la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Universidad de Los Andes (ULA) y es una reedicin corregida y aumentada del texto del mismo nombre editado por el Consejo de Publicaciones de la Universidad de los Andes y utilizado en los cursos del Pregrado de Ingeniera Elctrica. Este libro ha sido concebido para servir como introduccin a los principios bsicos de la teora moderna de la comunicacin y a los sistemas de comunicacin desde el punto de vista del anlisis de sistemas. El mtodo seguido consiste en la presentacin de los principios matemticos aplicados a los modelos fsicos de los sistemas con ejemplos, hasta donde es posible, de sistemas de comunicacin prcticos. No est contemplada la deduccin o explicacin de los principios matemticos bsicos utilizados. Los requisitos necesarios para entender el material son conocimientos elementales de la teora de las probabilidades y variables aleatorias, trigonometra, lgebra lineal, clculo diferencial e integral, convolucin y nociones de circuitos elctricos y electrnica, es decir, conocimientos a nivel de sexto o sptimo semestre de Ingeniera Elctrica o Electrnica. El material, incluyendo los Apndices, se cubre cmodamente en dos semestres o tres trimestres. El texto est dividido en cinco captulos y cuatro apndices. Los dos primeros captulos comprenden los principios bsicos tericos, el tercer captulo es una introduccin a la teora de la probabilidad, variables y procesos aleatorios, en el cuarto captulo se presentan los principios de la transmisin de informacin, y los captulos quinto y sexto son aplicaciones en sistemas de comunicacin prcticos. El procedimiento seguido se ha planteado principalmente desde el punto de vista determinstico; sin embargo, a todo lo largo del texto se hace continuas referencias a seales aleatorias, y para el lector poco familiarizado con estos conceptos, en el Captulo III se presenta una breve introduccin a las variables y procesos aleatorios. Nuestra intencin es la de proporcionar al estudiante conocimientos slidos de los fundamentos tericos como introduccin, tanto analtica como intuitiva, a la metodologa a seguir en el anlisis, planificacin, diseo y evaluacin de sistemas de comunicacin, y como una primera fase en el estudio de la Teora Estadstica de la Comunicacin y Sistemas Avanzados de Comunicacin. La seleccin de tpicos, organizacin y presentacin son consecuencia de nuestra experiencia en la enseanza de esta materia. En particular, se hace nfasis en los principios y conceptos de los sistemas y de las aplicaciones ms bien que en la instrumentacin prctica, pues los dispositivos, circuitos y componentes pueden cambiar con la tecnologa y son ms del dominio de la electrnica que de las comunicaciones. A fin de facilitar el estudio no dirigido, el material se complementa con una bibliografa suficiente y con numerosos ejemplos resueltos y problemas al final de cada captulo, en su mayor parte con respuesta. Para profesores de la materia hay disponible un Manual del Instructor con la solucin completa de todos los problemas propuestos en el texto. Los interesados en este Manual se pueden dirigir directamente al autor.

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Quizs en la Ingeniera de las Comunicaciones es donde se hace empleo muy extenso, tal vez abusivo, de las siglas. Esta codificacin es necesaria por cuanto permite, a los iniciados, expresarse rpidamente y sin ambigedades acerca de un tpico dado. La mayor parte de los libros de comunicaciones en idioma espaol son traducciones de otros idiomas, y cada traductor interpreta o traduce libremente y luego define unas siglas correspondientes a su traduccin. El resultado son textos completamente ilegibles, an para los iniciados. En este texto utilizaremos las siglas correspondientes al idioma ingls, pues la mayora de la informacin pertinente se encuentra en este idioma. Por ejemplo, para la Modulacin Diferencial de Impulsos Codificados utilizaremos la sigla en ingls DPCM y no MDIC o MCID o MCPD o MICD, encontradas en cuatro textos diferentes. Vamos a describir sumariamente el contenido de los captulos que conforman el texto. En los Captulos I y II se presentan las tcnicas y modelos matemticos necesarios para la representacin de seales y sistemas, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Particularmente, se hace nfasis especial en los mtodos clsicos para el anlisis espectral de seales: las Series y la Transformada de Fourier, y se presenta un desarrollo unificado de la densidad espectral de potencia y de las funciones de correlacin. En el Captulo II se presenta un breve estudio de los sistemas lineales y su caracterizacin espectro-temporal, as como la descripcin, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia, de la transmisin de seales a travs de filtros y canales lineales. La Transformada de Hilbert se define en trminos muy sencillos y mediante el concepto de funcin analtica, se obtiene la descripcin de seales pasabanda de banda angosta y el concepto de bandas laterales en seales moduladas. El CaptuloII concluye con un breve estudio del ruido en sistemas de comunicacin y su caracterizacin como Relacin Seal/Ruido, Temperatura de Ruido, Cifra de Ruido y Medida del Ruido. En el Captulo III se desarrollan algunos modelos probabilsticos de las variables y procesos aleatorios. El captulo comienza con una breve revisin de los conceptos elementales ms importantes de la teora de la probabilidad y a continuacin se introduce el concepto de variable aleatoria, tanto en su forma discreta como en su forma continua. El concepto de proceso aleatorio se presenta como un modelo para describir una coleccin de funciones del tiempo y se estudian las propiedades de los procesos estacionarios y ergdicos en relacin con la funcin de autocorrelacin y la densidad espectral de potencia. Por ltimo, se estudian algunos modelos que representan secuencias aleatorias binarias de gran utilizacin en la teora, prctica y diseo de sistemas comunicacin digital y se presenta el concepto de dispersin del espectro (Spread Spectrum). El material presentado en este captulo es solamente una introduccin, o ms bien un repaso, de la teora de la probabilidad y procesos aleatorios, y no se pretende que sea un curso completo en s mismo. El lector interesado en profundizar sus conocimientos en este campo puede consultar la bibliografa especializada. En el Captulo IV se presentan las ideas bsicas de la Teora de la Informacin ms desde un punto de vista intuitivo que mediante desarrollos matemticos avanzados. El concepto de informacin, la entropa, la velocidad de informacin, la velocidad de modulacin, el ancho de banda de un canal y la capacidad de Shannon se presentan hacindose nfasis en la codificacin digital de seales y en las caractersticas de los canales reales. Se definen, asimismo, los parmetros bsicos de un sistema ideal de transmisin de informacin. El Captulo V est dedicado a la modulacin y transmisin de impulsos, bases de las tcnicas del procesamiento digital de seales y de la transmisin de datos. Se comienza con la Teora del Muestreo de Seales, utilizando las tcnicas y conceptos estudiados en los Captulos I y II. El muestreo y la recuperacin de seales se tratan tanto desde un punto de vista terico como

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prctico, y se hace nfasis de su importancia en los sistemas de modulacin de impulsos. Se estudian los diferentes sistemas de modulacin analgica (PAM, PDM y PPM) y digital (PCM, DPCM y DM) de impulsos y se comparan sus caractersticas en el caso de transmisin y recepcin en banda de base. En este captulo se estudia tambin la transmisin de impulsos binarios mediante portadora modulada y se describen los sistemas usuales para la transmisin de datos en presencia del ruido con aplicaciones a sistemas reales. Asimismo, se hace una breve introduccin a la transmisin de seales digitales mediante dispersin del espectro (Spread Spectrum) y algunas de sus aplicaciones. Donde es aplicable, se utilizan o citan las Recomendaciones del UIT-T (Unin Internacional de Telecomunicaciones-Sector de Telecomunicaciones) y del UIT-R (Unin Internacional de Telecomunicaciones-Sector de Radiocomunicacin). En el Captulo VI se estudia la modulacin y transmisin de seales continuas, tales como voz, msica o video. Se definen los dos tipos de modulacin de ondas continuas: lineal (Modulacin de Amplitud) y exponencial (Modulacin Angular), y se desarrollan las descripciones de los diferentes sistemas particulares, tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo. Particular nfasis se da al comportamiento de los sistemas desde el punto de vista de la potencia (Relaciones S/N) como del ancho de banda, sin olvidar la complejidad en la instrumentacin prctica. Se desarrolla el concepto de multicanalizacin o multiplex, y se dan algunos ejemplos de su aplicacin en telefona, radiodifusin y transmisin por satlites. El captulo concluye con una comparacin de todos los sistemas estudiados, tanto de impulsos como de ondas continuas, y se sealan algunas de sus aplicaciones en el campo de la transmisin de informacin. En el Apndice A se presenta una breve introduccin al clculo numrico de los Coeficientes y Transformada de Fourier. En particular se estudia la Transformada de Fourier Discreta, se presentan algunas de sus aplicaciones, especialmente la Transformada de Fourier Rpida (Fast Fourier Transform, FFT), de gran aplicacin en el Anlisis Espectral de Seales. En los Apndices siguientes se da informacin adicional acerca del Espectro Electromagntico, las Bandas de Frecuencia en FM, VHF y UHF, as como frmulas matemticas, tablas de transformadas, etc., que son de amplia utilizacin en el texto. Se ha hecho un esfuerzo considerable para presentar el material de tal manera que haya una progresin coherente desde los principios y conceptos hasta las consideraciones de diseo, sin profundizar demasiado en desarrollos matemticos innecesarios, e intentando, en lo posible, interpretar en forma intuitiva los conceptos y resultados, as como su materializacin fsica (dispositivos y circuitos). Queremos dejar constancia de nuestro agradecimiento a los Profesores Ermanno Pietrosemoli y Nstor Angulo Reina (+), de la Ctedra de Comunicaciones de la Escuela de Ingeniera Elctrica de la Universidad de los Andes, cuyas valiosas sugerencias han contribuido a mejorar considerablemente la exactitud y claridad del texto Finalmente, quiero dedicar este libro a Margot, mi esposa, por el apoyo que siempre me ha dado y por la paciencia que ha demostrado por el tiempo robado a su compaa y dedicado a la elaboracin de este texto. Jos E. Briceo M., Dr. Ing. < [email protected]> Mrida, Agosto 2004

CAPITULO I REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES1.1. INTRODUCCION El propsito de un sistema de comunicacin es el de transmitir informacin. Un sistema de comunicacin comprende un transmisor, un canal sobre el cual la informacin se transmite, y un receptor para recoger la informacin. El canal de transmisin puede ser un simple par de conductores, un cable coaxial, una fibra ptica, una gua de ondas o el espacio libre. La palabra comunicacin parece privativa del ingeniero de comunicaciones o de los medios de comunicacin de masas. Este es un error muy frecuente an en personas tcnicamente calificadas. La transmisin de medidas de voltaje, corriente, frecuencia, etc., desde una estacin remota hasta el puesto de control es comunicacin; la transmisin de datos a travs de un cable coaxial en un sistema de automatizacin industrial es tambin comunicacin. La transmisin de un programa de opinin por un medio de transmisin de masas tambin es comunicacin. Hay un gran nmero de aplicaciones en las cuales la palabra comunicacin se emplea indistintamente. Sin embargo, desde el punto de vista que nos ocupa, la palabra o palabras ms apropiadas que describen el proceso son las de transmisin de informacin. Como estaremos hablando continuamente de comunicacin, y siendo la comunicacin tan diversa y tan importante, sera interesante conocer algo de sus orgenes histricos y de los hombres que han sobresalido en su estudio y desarrollo. La teora moderna de la comunicacin tuvo su origen en el estudio de las comunicaciones elctricas y algunas de las ideas ms importantes se originaron en los primeros intentos para establecer comunicaciones rpidas a larga distancia. En 1832, Samuel Morse (1791-1877) logr la primera forma eficiente del telgrafo elctrico. Como todos sabemos, el cdigo Morse de telegrafa consta de puntos y rayas cuyas combinaciones se asignan a los smbolos del alfabeto (letras y nmeros). La transmisin se efectuaba mediante conductores sobre postes y no haba demasiados problemas en lo que se refera a la reproduccin de la seal recibida en el extremo alejado. En 1843, Morse emprendi la tarea de construir una lnea con cable subterrneo, pero encontr ciertas dificultades que ms tarde afectaron a los cables submarinos an ms severamente. Las dificultades que Morse encontr, con su cable subterrneo, siguen siendo todava un problema importante. En efecto, circuitos diferentes que conduzcan igualmente una corriente continua, no son necesariamente adecuados para una comunicacin elctrica en donde las corrientes son esencialmente variables. Si se transmite puntos y rayas demasiado a prisa por cable subterrneo, estos puntos y rayas, que bsicamente son impulsos, no pueden diferenciarse en el extremo receptor. Como se indica en la Fig. 1.1(a), cuando se transmite un corto impulso de corriente, se recibe en el extremo alejado del circuito un impulso de corriente mucho ms largo, muy disperso. Asimismo, como se indica en la Fig. 1.1(b), cuando se transmite una seal clara y distinta, puede suceder que se reciba una seal difcil de interpretar.

2 I. REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES

Naturalmente, si los impulsos son lo suficientemente largos, la interpretacin en el extremo receptor ser completa, pero la velocidad de transmisin habr disminuido apreciablemente. Es evidente, entonces, que hay una velocidad de transmisin lmite asociada de algn modo con un circuito o canal dado. Los primeros telegrafistas estaban conscientes de esta limitacin, y en sus esfuerzos para superarla se sentaron los primeros cimientos de la teora de la comunicacin.

t Impulso Transmitido

t (a) Impulso Recibido

t Seal Transmitida (b) Seal Recibida Fig. 1.1. Formas de Onda Transmitidas y Recibidas.

t

Pero no solamente eran las limitaciones del canal las que hacan difcil la interpretacin. Durante las tormentas, sobre todo, aparecan seales extraas que hacan an ms difcil la interpretacin. Estas seales espurias, llamadas en general ruido, estn siempre presentes en los circuitos y dificultan la interpretacin de la informacin contenida en un mensaje. Los telegrafistas de aquella poca tenan un conocimiento, que podramos llamar intuitivo, de las limitaciones de los sistemas fsicos, pero hace falta algo ms que un conocimiento intuitivo: se necesita un anlisis matemtico de estos fenmenos. Desde muy pronto se aplicaron tcnicas matemticas a la solucin de estos problemas, aunque el cuerpo completo de la teora slo se ha logrado en las ltimas dcadas. En 1885, William Thompson (1824-1907), conocido como Lord Kelvin, calcul en forma exacta la corriente recibida en un cable submarino cuando se transmita impulsos (puntos y rayas). Un ataque ms poderoso a tales problemas sigui a la invencin del telfono por Alexander Graham Bell (1847-1922), en 1876. En la telefona las seales varan brusca y rpidamente en un amplio margen de amplitudes, con una rapidez mucho mayor que en la telegrafa manual; esto complic an ms la recepcin de la seales. Muchos hombres ayudaron al establecimiento del tratamiento matemtico de la telefona. Hombres como Poincar (1854-1912), Heaviside (1850-1925), Pupin (1858-1935), Baudot (18451903), son los ms eminentes de ellos. Estos hombres usaron los mtodos matemticos establecidos por el fsico francs Joseph Fourier (1768-1830), los cuales haban sido aplicados al estudio de las vibraciones y que se utilizan para analizar el comportamiento de seales elctricas que varan de modo complicado en funcin del tiempo. El Anlisis de Fourier es de absoluta necesidad en el estudio de las comunicaciones elctricas, porque provee las tcnicas matemticas con las cuales el ingeniero puede describir seales y sistemas no solamente en el dominio del tiempo sino tambin en el dominio de la frecuencia. Este es el principal objetivo de este texto.


El Anlisis de Fourier se basa en la representacin de una funcin complicada como una suma de funciones sinusoidales, y su utilidad depende de dos hechos fsicos importantes: la invariancia en el tiempo y la linealidad. Un circuito elctrico posee parmetros (R, L y C) que no varan en el tiempo (por lo menos a corto plazo); en trminos ms formales, la ecuacin diferencial que representa al circuito es una ecuacin cuyos coeficientes (los parmetros del circuito) son constantes. La linealidad significa, sencillamente, que si conocemos las seales de salida correspondientes a cualquier nmero de entradas enviadas separadamente, podemos calcular la seal de salida total simplemente sumando las seales de salida individuales; ste es el enunciado del teorema de superposicin. El anlisis de Fourier de las seales en funcin de sus componentes frecuenciales, hace posible estudiar las propiedades de transmisin de un circuito lineal para todas las seales en trminos de la atenuacin y desfasaje que les son impuestas a su paso por el circuito, y proporciona a los ingenieros una asombrosa variedad de resultados que no pueden ser obtenidos de otro modo. En 1917, Harry Nyquist, de la American Telephone and Telegraph Company, de los Estados Unidos, empez a atacar los problemas de la telegrafa con mtodos matemticos ms poderosos y secundado por una gran intuicin y claridad de conceptos. Los primeros resultados de su trabajo los public en 1924 en el artculo Ciertos Factores que afectan a la Velocidad Telegrfica [Nyquist, 1924]. En este artculo Nyquist trata varios problemas relacionados con la telegrafa y, en particular, aclara la relacin entre la velocidad telegrfica y el nmero de valores o impulsos de corriente que pueden ser transmitidos y correctamente interpretados. Este trabajo, en nuestra opinin, es el primer cimiento de la moderna teora de la informacin. Nyquist demostr que se poda transmitir varios mensajes simultneamente por un mismo canal si los anchos de banda de las seales mensaje no se solapaban. Observ, asimismo, que la velocidad de transmisin era proporcional al ancho de banda del circuito y que poda aumentarse mediante una codificacion apropiada de la seal. Demostr que una seal contena, en todo momento, una componente continua de amplitud constante, que, consumiendo parte de la potencia transmitida, no tena utilidad y poda ser aadida en el receptor, lo mismo que si hubiera sido transmitida por el circuito. Nyquist continu sus trabajos sobre los problemas de la telegrafa y en 1928 public un segundo e importante artculo: Ciertos Tpicos en la Teora de la Transmisin Telegrfica [Nyquist, 1928]. Este segundo artculo fue ms cuantitativo y exacto que el primero, y juntos abarcan mucho material importante que hoy est incorporado en la Teora de la Comunicacin. En 1928, R.V. Hartley, el inventor del conocido Oscilador Hartley, public el artculo Transmisin de Informacin [Hartley, 1928]. Hartley atac el problema de la codificacin de los smbolos primarios (por ejemplo, las letras del alfabeto o caracteres alfanumricos) en trminos de smbolos secundarios (por ejemplo, puntos o rayas del cdigo Morse o secuencias de impulsos) y observ que las longitudes de los smbolos secundarios deberan depender de la frecuencia de ocurrencia de los smbolos primarios si se desea transmitir los mensajes con ms rapidez. Hartley sugiri tambin un modo de aplicar tales consideraciones a las seales continuas, por ejemplo, las seales telefnicas o de transmisin de imgenes. Finalmente, Hartley estableci, de acuerdo con Nyquist, que la cantidad de informacin que puede ser transmitida es proporcional al ancho de banda del canal multiplicado por el tiempo de transmisin. Vemos la importancia que en la velocidad de transmisin tiene una codificacin adecuada. Despus de los trabajos de Nyquist y Hartley no se public ningn trabajo de importancia hasta el advenimiento de la Segunda Guerra Mundial. Acicateados por las obligaciones de la defensa, los gobiernos beligerantes establecieron equipos de matemticos, cientficos e ingenieros para estudiar y desarrollar muchos aspectos de la ciencia y de la tecnologa. El radar, las


microondas, la televisin y muchos desarrollos ms, fueron los frutos de este esfuerzo combinado, hbilmente dirigido y con ilimitados medios econmicos. Problemas como la deteccin y estimacin de seales en presencia de ruido fueron resueltos por A.N. Kolmogoroff (1903-1987), en Rusia, y en Estados Unidos, independientemente, por Norbert Wiener (1894-1964). Despus de la guerra otro matemtico, Claude E. Shannon (19162001), se interes en los problemas de las comunicaciones en presencia de ruido y en 1948 public en dos partes su artculo Una Teora Matemtica de la Comunicacin [Shannon, 1948], que es otro de los pilares de la moderna Teora de la Comunicacin. En el problema tratado por Shannon se permite elegir cmo representar el mensaje por medio de una seal elctrica, cuntos valores de la corriente se pueden permitir y cuntos se transmitiran por segundo, es decir, el problema de la codificacin y la redundancia. El problema no es, pues, cmo tratar una seal contaminada con ruido para obtener una mejor estimacin de ella, sino qu clase de seal enviar para transportar mejor los mensajes de un tipo dado sobre un canal particular o circuito ruidoso. Shannon demostr, asimismo, que no es posible transmitir sin error si los cdigos utilizados no tienen redundancia. Los sistemas de comunicacin consisten en un conjunto de bloques funcionales interconectados que transfieren informacin entre dos puntos mediante una serie secuencial de operaciones o procesamiento de seales. La Teora de la Comunicacin trata de los modelos y tcnicas matemticas que se pueden utilizar en el estudio y anlisis de los sistemas de comunicacin. En los sistemas de comunicacin las seales son magnitudes que varan en el tiempo, tales como voltajes y corrientes que, en general, se representarn con la notacin x(t). Los elementos funcionales de un sistema son los circuitos elctricos, pero tanto los circuitos elctricos (sistemas) como las seales se pueden representar en el dominio del tiempo si la variable independiente es el tiempo (t), o en el dominio de la frecuencia si la variable independiente es la frecuencia (f). En el anlisis y estudio de los sistemas de comunicacin a menudo es necesario y conveniente describir o representar las seales y sistemas en el domino de la frecuencia, lo cual conlleva a los conceptos de espectro y de ancho de banda. La representacin espectro-temporal de seales y sistemas es posible mediante el Anlisis Espectral de Fourier: Series y Transformadas. En este captulo se desarrollarn las tcnicas matemticas para la descripcin de seales en el dominio de la frecuencia y de la correspondencia Tiempo Frecuencia. Estas tcnicas no son sino modelos matemticos, es decir, descripciones idealizadas de seales reales. Aunque se puede elegir diferentes modelos para un problema particular, la seleccin del modelo ms apropiado estar basada en el conocimiento ms o menos completo de los fenmenos fsicos a modelar y en las limitaciones de los diferentes modelos. En las ltimas dcadas el desarrollo de las telecomunicaciones ha sido extraordinario pero ms que todo desde el punto de vista de la tecnologa: fueron las tcnicas de integracin de dispositivos de estado slido las que iniciaron esta nueva era de las comunicaciones. El Procesamiento y Transmisin de Datos, las Comunicaciones por Satlite y las Comunicaciones Opticas son los dominios en los cuales el crecimiento ha sido y seguir siendo espectacular. En la conjuncin entre la Electrnica, las Telecomunicaciones y la Informtica estar la base de este desarrollo. En la Referencia [IEEE, 1984] de la Bibliografa, el lector interesado encontrar un nutrido material sobre la historia de las telecomunicaciones en los ltimos 100 aos.


1.2. MODELOS DE LAS SEALES 1.2.1. Seales Determinsticas y Aleatorias En los sistemas de comunicacin se encuentran dos clases amplias de seales, conocidas como seales determinsticas y seales aleatorias. Las seales determinsticas se pueden representar mediante expresiones matemticas explcitas del tiempo. Por ejemplo, una seal sinusoidal de la forma x(t) = Acos(2fct) para todo t, es una seal determinstica. Son tambin seales determinsticas aquellas que no poseen una ecuacin que las describa pero que estn representadas mediante grficos. El punto a resaltar es que el valor exacto de una seal determinstica se puede predecir o calcular por adelantado. En su definicin ms sencilla, una seal aleatoria es aquella en la cual existe un mayor o menor grado de incertidumbre en cuanto a un valor instantneo futuro. Aunque el valor exacto en un instante dado no se conoce, muchas de las seales aleatorias que se encuentran en los sistemas de comunicacin tienen ciertas caractersticas en su comportamiento que permiten describirlas en trminos estadsticos o probabilsticos. Como veremos en Captulo IV, puede decirse que solamente las seales aleatorias proporcionan verdaderamente informacin, puesto que las seales determinsticas pueden ser totalmente conocidas de antemano. Esto es verdad desde un punto de vista muy amplio y, por supuesto, todas las seales procesadas en un sistema de comunicacin son de naturaleza aleatoria, por lo menos en lo que se refiere al destinatario. Sin embargo, desde el punto de vista del anlisis, diseo, prueba y operacin de sistemas, no solamente es deseable sino tambin necesario utilizar seales determinsticas para analizar el sistema y predecir su comportamiento. Las seales determinsticas tienen propiedades bien conocidas adems de que son ms fciles de generar y utilizar. En el Captulo III se presentan algunos fundamentos de las variables y procesos aleatorios. 1.2.2. Seales Peridicas y no Peridicas Una seal peridica es aquella que se repite en una forma predecible cada T segundos, donde T es el perodo de repeticin de la seal, es decir,

x(t ) = x(t + T) para todo t

(1.1)

T es una constante positiva y es el valor ms pequeo que satisface la expresin (1.1). Al intervalo de un perodo se le denomina tambin un ciclo de la seal, aunque la palabra ciclo se utiliza principalmente en seales sinusoidales. Una seal no peridica o aperidica se puede considerar como el lmite de una seal peridica cuanto el perodo T tiende a infinito. En trminos ms formales, una seal no peridica es aquella para la cual no existe un T finito que satisfaga la expresin (1.1). Pudiera pensarse que dentro de un intervalo finito una seal no peridica puede repetirse despus de un perodo bastante grande y ser en realidad una seal peridica. Igualmente, podemos argumentar que una seal aparentemente peridica deje de serlo despus de un tiempo lo suficientemente grande. Desde un punto de vista prctico estos argumentos no producen ninguna dificultad, pero en los intervalos usuales de trabajo y para efectos de anlisis, hay que considerar siempre una u otra representacin.


1.2.3. Seales de Energa y de Potencia

La energa total de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define en la forma

E = lim

T T / 2

T/ 2

x 2 (t )dt

(1.2)

La seal x(t) puede ser un voltaje o una corriente. E es la energa normalizada para una resistencia de 1 Ohm, y se expresa en joules. Como x(t) puede, en general, ser compleja, una definicin ms general de la energa esE = lim dondex(t )2

T T / 2

T/ 2

x(t ) dt

2

(1.3)

= x (t )x * (t ) .

Si x(t) es real e independiente de T, la energa se puede definir en la forma siguiente, que es la ms utilizada en la caracterizacin de seales reales de aplicacin prctica. E=

x 2 (t )dt

(1.4)

La potencia promedio de una seal x(t) en el dominio del tiempo se define como la energa por unidad de tiempo; por lo tanto, la potencia promedio de la seal en el intervalo (-T/2, T/2) es P= E T = limT

T1

T/ 2

T/ 2

x( t ) dt

2

(1.5)

Si la seal es peridica, no es necesario tomar el lmite y la integracin se efecta dentro de un perodo T, es decir, P= 1 T

T/ 2

T/ 2

x 2 (t )dt si x(t) es real

(1.6)

Esta es la potencia normalizada para una resistencia de 1 ohm; se mide en vatios (W). Para simplificar la notacin, en este texto utilizaremos continuamente el llamado operador 1 T/ 2 [] dt o la expresin promedio tiempo definido mediante la expresin general < [] >= lim T T T / 2 1 T/ 2 particular < [] >= [] dt . Este es un operador lineal. T T/ 2

Algunas veces se define tambin la denominada intensidad normalizada de una seal como la potencia o la energa normalizadas, segn el caso. En este texto representaremos la intensidad normalizada de una seal con la notacin < x 2 (t ) > , que corresponder a la energa si la seal es de energa, o a la potencia si la seal es de potencia; sin embargo, daremos preferencia a la notacin < x 2 (t ) > para representar la potencia promedio normalizada de una seal x(t); asimismo, < x ( t ) > representar el valor promedio (componente continua) de una seal x(t). De las definiciones (1.2) a (1.6) se puede establecer lo siguiente: (a) Se dice que una seal x(t) es de energa si y slo si


0 0, es de potencia o de energa, Fig. 1.2. Por inspeccin, x(t) no es peridica; pero como la curva se extiende hasta el infinito, no es obvio si es o n de energa. En efecto, aplicando (1.4),A x(t)

0

t

Fig. 1.2

A exp(2a| t|)dt = 2A2

2

0

A2 exp(2at )dt = a

joules

Se verifica que E = Ejemplo 1.2

A2 < , por lo tanto x(t ) = A exp( a| t | ) es una seal de energa. a x(t) A

Determinar si la seal x(t) de la Fig. 1.3 es de energa, de potencia o ninguna de las dos. El rea bajo la seal es infinita, por lo tanto no es una seal de energa. La seal no es peridica pero puede ser de potencia. Vamos a verificar esto aplicando la expresin (1.5) a la seal de la Fig. 1.3.

0 Fig. 1.3

t

T

lim

1 T

T/ 2

A 2 dt =

A2 2

W

0


A2 < , por lo tanto, x(t) es una seal de potencia. 2 Podemos decir tambin que una seal continua de amplitud A para todo t es una seal de potencia cuya potencia es A2. Ejemplo 1.3. Potencia de una Seal Sinusoidal Se verifica entonces que < x 2 (t ) >= Sea la seal sinusoidalx(t ) = A cos(2f c t + ) , donde A, fc y son constantes reales.

Por inspeccin, el perodo T de x(t) es T=1/fc. De (1.6),

fc A 2 < x (t ) >= f c A cos (2 f c t + )dt = 2 1/ 2 fc2

1/ 2 fc

2

2

1/ 2 fc

1/ 2 fc

dt +

cos(4 f c t + )dt 1/ 2 f c 1/ 2 f c

La segunda integral de la derecha es cero pues la integracin cubre dos perodos completos de la funcin por integrar. La potencia promedio de una seal sinusoidal ser entonces2 A2 A < x (t ) >= = 2 2 2

(1.9)

donde A / 2 es el valor eficaz de la seal sinusoidal, resultado ya obtenido en los cursos de Circuitos Elctricos. Ntese que la informacin de fase (valor de ) no interviene para nada en el clculo de la potencia. Esto es vlido para cualquiera seal, sea o n sinusoidal. Ejemplo 1.4. Energa de una Seal Triangular | t| A (1 ) para | t| Sea la seal triangular mostrada en la Fig. 1.4(a), donde x( t ) = 0 para | t| > Esta forma de seal es de uso muy frecuente, por lo que se ha definido la funcin tringulo, Fig. 1.4(b), representada por 1 | t | para |t| 1 Triang(t) = (t) = para |t|>1 0

A

x(t)

1

(t )

0

t

-1

0

1

t

(a) Seal Fig. 1.4

(b) Funcin Tringulo

t En consecuencia, x( t ) = A ( ) . La energa de x(t) ser: E = 2

A0

2

t 2 (1 ) 2 dt = A 2 joules 3


Ejemplo 1.5. Potencia Promedio de una Seal Peridica Rectangular Sea la seal peridica rectangular mostrada en la Fig. 1.5(a).x(t) A oooo oooo t -1/2 0 1/2 (b) Funcin Rectngulo

(t )

1 t

/ 2 0 / 2 -T T (a) Seal Peridica Rectangular

Fig. 1.5.

Esta forma de seal tambin es de uso muy frecuente, habindose definido la funcin rectngulo, Fig. 1.5(b), representada por 1 1 para |t| 2 Re ct (t ) = (t ) = 0 para |t|> 1 2 Por consiguiente, rectangular x(t) ser < x 2 (t ) >= 2 T t x(t ) = A( ) en T . A 2 dt = 2 A T La potencia promedio de la seal peridica

/ 2

0

En la literatura tcnica a la relacin R T =1.2.4. Seales Singulares

se la denomina ciclo o relacin de trabajo. T

Hay una clase de seales elementales cuyos miembros tienen formas matemticas muy simples pero que son discontinuas o tienen derivadas discontinuas. Debido a que estas seales no tienen derivadas finitas de ningn orden, generalmente se las denomina seales o funciones singulares. Las seales singulares ms comunes en el anlisis de seales y sistemas son la rampa, el escaln unitario, la seal signo y el impulso unitario Delta Dirac. Aunque este tipo de seales no son sino idealizaciones matemticas y no ocurren naturalmente en un sistema fsico, ellas sirven para varios propsitos de gran utilidad en el anlisis de seales y sistemas. En primer lugar, sirven como aproximacin de seales que verdaderamente ocurren en los sistemas cuando se efectan operaciones de tipo conmutativo. En segundo lugar, su forma matemtica ms simple permite efectuar cuantitativamente el anlisis de un sistema con mucha ms facilidad que si se emplearan seales ms complicadas. Adems, muchas seales complicadas pueden representarse como combinaciones de estas seales elementales. Por ltimo, no por eso menos importante, estas seales pueden simularse en el laboratorio con mucha facilidad y aproximacin, de modo que puede determinarse experimentalmente si un sistema se comporta en la forma predicha por un anlisis matemtico previo.


La Rampa Unitaria

r(t) 1 0 1 t

La rampa unitaria, r(t), se muestra en la Fig. 1.6 y se define en la forma siguiente:t r (t ) = 0 para para 0t t1, entonces x(at) es la seal x(t) con una escala de tiempo t f comprimida en un factor |a|. En forma similar, X( ) representa la funcin X(f) con una escala de a frecuencia f expandida o dilatada en un factor |a| [Ntese que si |a| < 1, entonces x(at) es una f expansin de x(t), y X( )es una compresin de X(f)]. Una compresin en el dominio del tiempo a corresponde entonces a una expansin en el dominio de la frecuencia, y viceversa. Esta propiedad permite decir que una seal que es limitada en el tiempo (existe slo en un intervalo dado) es ilimitada en frecuencia (existe para todo f), y viceversa. El factor de escala 1/|a| asegura que la energa no vara al comprimir o expandir las seales; la invariancia de la energa debe mantenerse siempre. Un ejemplo muy elocuente de esta propiedad se observa cuando se toca un disco de 33 rpm en un tocadiscos de 45 rpm (las nuevas generaciones no saben lo que es un disco de 33 o 45 rpm; pero seguimos manteniendo este ejemplo, porque es ya un clsico). La voz se escucha muy aguda (expansin en frecuencia) pues la pieza se est tocando en menos tiempo (compresin en el tiempo). Otro ejemplo se tiene en los grabadores de cinta magntica, en los cuales para obtener respuestas a frecuencias elevadas (expansin en frecuencia) se utiliza altas velocidades de cinta (tiempos ms cortos o compresin en el tiempo).1.7.4. Teorema de la Dualidad o Simetra

Sea x ( t ) X(f ) , entonces Si x(f) es par, Demostracin: Como x ( t ) = entonces

X( t ) x ( f ) X( t ) x ( f )

(1.92a) (1.92b)

X( f ) exp( j2tf )df ,

entonces

x(-t) =

-

X(f' )exp(-j2 tf' )df'


Si se reemplaza t por f en la segunda integral, x( f ) =

X( f ' ) exp( j2ff ' ) df '

A fin de obtener una forma reconocible, se puede reemplazar f por t, es decir, x( f ) =

X( t ) exp( j2ft )dt , o sea

que

X(t) x(-f)

Si x(f) es una funcin par, es decir, si x ( f ) = x ( f ) , entonces la expresin (1.92) se reduce a

{X(t )} = x(f )

X(t) x(f)

La utilidad de este teorema es que permite la generacin de un nuevo par de transformadas de Fourier a partir de un par conocido. Ejemplo 1.21 Se desea determinar la transformada de Fourier de la seal x ( t ) = Se conoce el par x ( t ) = A exp( a| t |) X(f ) = 2 aA a + 4 2 f 22

1 1+ t 2

.

obtenido en el Problema de

Aplicacin 1.23(b). Entonces, X( t ) = 1 4 2 2(2) = 2 = 2 2 2 1+ t 4 + 4 t (2) 2 + 4 2 t 2

que tiene la misma forma de la transformada del par conocido. Del teorema de dualidad o simetra, X( t ) = 2 (2 ) (2 ) 2 + 4 2 t 2 x ( f ) = exp(2 | f |) = exp(2 | f |)

Como x(-f) es una funcin par, finalmente queda x(t ) = 1 1+ t 2 X(f ) = exp(2 | f |)

Ejemplo 1.22. Transformada de una Seal Sinusoidal

El Teorema de Dualidad permite determinar en forma muy sencilla la transformada de Fourier de una seal sinusoidal. En efecto, el dual de la expresin (1.81), Ejemplo 1.15, esA exp( j2f c t ) A ( f f c )

Asimismo,

A cos( 2 f c t ) =

A 2

exp( j2 f c t ) +

A 2

exp( j2 f c t )

Tomando la transformada de Fourier del coseno,

{A cos(2f c t )} = 2 [ (f + f c ) + (f f c )]A

En consecuencia,


A cos( 2 f c t ) y de la misma forma,

A 2

[ (f + f c ) + (f f c )]A 2

(1.93a) (1.93b)

A sen( 2 f c t ) j

[ (f + f c ) (f f c )]

El espectro de una seal sinusoidal pura de amplitud A y frecuencia fc est formado por dos impulsos de Dirac de rea A/2 y centrados en las frecuencias f c . 1.7.5 Teorema de la Traslacin o Desplazamiento en Frecuencia Si x ( t ) X(f ) entonces, para una constante real fcx ( t ) exp( j2f c t ) X( f f c )

(1.94)

Demostracin:

{x( t ) exp( j2f c t )} = x( t ) exp( j2f c t ) exp( j2ft )dt

= Por lo tanto,

x(t) exp[ j2(f f )t]dt = X(f f ) c c

x( t ) exp( j2f c t ) X( f f c )

Teorema de la Modulacin

La multiplicacin de una seal x(t) por el factor exp(j2fct) equivale a desplazar su transformada de Fourier en la direccin positiva de f en una cantidad fc, es decir, un desfase en el dominio del tiempo corresponde a un desplazamiento en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, el factor exp( j2f c t ) no es real y por lo tanto no puede ocurrir en un sistema de comunicacin. No obstante, este teorema proporciona la base matemtica para deducir el principio de la modulacin de seales. En efecto, consideremos la multiplicacin de una seal x(t) por una seal sinusoidal de la forma A cos( 2f c t ) . En este contexto, la seal x(t) se denomina seal modulante, moduladora o modulatriz, la sinusoide A cos( 2f c t ) la portadora, la frecuencia fc la frecuencia de portadora y el producto x ( t )A cos( 2f c t ) la seal modulada. Se tiene entonces que

{x(t )A cos(2f c t )} =y de (1.94),

A [ x( t ) exp( j2f c t ) + x( t ) exp( j2f c t )] 2 A x ( t ) A cos(2 f c t ) X( f + f c ) + X( f f c ) 2

[

]

(1.95)

Este resultado, de capital importancia en los sistemas de comunicacin, se conoce con el nombre de Teorema de la Modulacin. Estrictamente hablando, el teorema de la modulacin es vlido para cualquiera seal x(t) y cualquier valor de fc ; sin embargo, por razones de tipo prctico que veremos ms adelante, si la seal x(t) tiene una frecuencia mxima f m y posee informacin a transmitir, debe cumplirse que f c f m . En los sistemas de comunicacin esta condicin se cumple siempre, pues generalmente f c >> f m . Se puede demostrar en forma similar que A x ( t )A sen( 2 f c t ) j X( f + f c ) X( f f c ) 2

[

]

(1.96)


El teorema de la modulacin se ilustra en la Fig. 1.31. En este caso x(t) es una seal pasabajo, es decir, es una seal cuyo espectro X(f) est concentrado alrededor del origen y cuya frecuencia mxima es f m , Fig. 1.31(b). El ancho de banda de esta seal es B = f m . Seales cuyo espectro tiene la forma de X c ( f ) , Fig. 1.31(b), el cual est concentrado alrededor de las frecuencias f c , se denominan seales pasabanda y su ancho de banda es B = 2 f m . En la prctica generalmente se cumple que f c >> f m o f c >> B . Esta clase de seales se tratar extensamente ms adelante.x(t) t 0 X(f) 1

x c ( t ) = x( t ) A cos( c t )t 0

f m

0 X c ( f ) A/2

fm f

f c(a) Dominio del Tiempo

0

fc 2f m

f

(b) Dominio de la Frecuencia

Fig. 1.31 Teorema de la Modulacin.

Ejemplo 1.23. Energa de una Seal Modulada Sea x(t) una seal de energa, de frecuencia mxima f m , y se desea determinar la energa de la seal modulada x c ( t ) = x ( t ) A cos( 2 f c t ) X c (f ) = De (1.86), Ec = A 2 4

[ X(f + f c ) + X(f f c )]

| X c ( f )| df =2

A2

| X( f + f c ) + X( f f c )|2 df

Si f c f m , la expresin anterior se puede escribir en la forma Ec = A2 4

[ | X(f + f c )|2 +| X(f f c )|2 ] df = A4 | X(f + f c )|2 df + A4 | X(f f c)|2 df

2

2

pero cada una de las integrales de la derecha es igual a la energa E x de x(t). La energa de la seal modulada ser entonces Ec = A2 2 Ex

donde E x es la energa de la seal modulante x(t).


Ejemplo 1.24. Transformadas de Impulsos Sinusoidales (a) Transformada de un Impulso de Radiofrecuencia Considrese el impulso sinusoidal de duracin , Fig. 1.32(a), conocido con el nombre de Impulso de Radiofrecuencia (RF), de gran utilizacin en sistemas de radar y en sistemas de transmisin de impulsos mediante portadora modulada.

El impulso de RF, Fig. 1.32(a), se puede describir en la format z ( t ) = A ( ) cos(2f c t ), pero t A ( ) A sin c( f )

y por el teorema de la modulacin,

Z(f ) =

f + fc f fc A ) + sinc( ) sinc( 2 1/ 1/

Este espectro se muestra en la Fig. 1.32(b) (frecuencias positivas solamente). Obsrvese que si la sinusoide fuera de duracin infinita ( ), el espectro sera discreto con componentes de frecuencia en f c . En efecto, de (1.21b),

lim Z(f ) = lim

En consecuencia,

f + fc f fc A A sinc( 1 / ) + sinc( 1 / ) = 2 [ (f + f c ) + (f f c )] 2 A A cos(2f c t ) [ (f + f c ) + (f f c )] 2

resultado ya obtenido en el Ejemplo 1.22. (b) Antitransformada de un Espectro Cosenoidal Consideremos el espectro cosenoidal mostrado en la Fig. 1.32(c). De la Fig. 1.32(c), X(f ) = 1 f f cos( ) ( ) B 2B 2B

Su correspondiente antitransformada ser:x(t) = 1 f 2 B f cos( ) exp( j2tf )df = cos( ) cos(2tf )df 0 B B 2B B 2BB

47I. REPRESENTACION ESPECTRO-TEMPORAL DE SEALES

Resolviendo esta integral, obtenemosh(t) = 4 cos(2Bt) que se muestra en la Fig. 1.32(d) (1 16B2 t 2 )

Estas transformadas se utilizan para definir filtros de mucha aplicacin en la prctica (Ver Ejemplo 2.20) 1.7.6. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en el Tiempo La Transformada de Fourier se puede emplear para resolver ecuaciones diferenciales lineales. En esta aplicacin particular, las transformadas de las seales que son diferenciadas o integradas son importantes. Si x(t ) X(f ), entonces (1.97a) (1.97b) si X(0) = 0 X(0) 0 (1.98a) (1.98b)

d x(t ) ( j2f )X(f ) dt dn dt n x (t ) ( j2f ) n X(f ) x(t ' )dt ' x (t ' )dt '

t

t

1 X( f ) j2f

1 1 X(f ) + X(0)(f ) si j2 f 2

Demostracin: x(t ) =

X(f ) exp( j2 tf )df ;

d x (t ) = dt

X(f )( j2 f ) exp( j2 tf )df

lo cual implica que

d x (t ) ( j2f )X(f ) dt

Este resultado se puede extender para la derivada n-sima mediante diferenciaciones sucesivas dentro del signo integral. En este caso se tiene que


dn dt n

x(t ) ( j2f ) n X(f )

En cuanto a la integracin en t, considrese una funcin g(t) definida por g (t ) = x (t ' )dt ' G (f )

t

d g (t ) = x(t ), dt ( j2f )G (f ) = X(f ), de donde Es evidente que G( f ) = 1 X( f ) o ( j2f )

y por el teorema de diferenciacin en el tiempo,

t

x(t')dt'

0

1 X( f ) . j2 f

Sin embargo, para que g(t) tenga una transformada de Fourier G(f), es necesario, por supuesto, que G(f) exista. Una condicin, quizs algo ms restrictiva que la integrabilidad absoluta, expresin (1.72), es quet

lim g (t ) = 0,

o sea

t 0

lim x(t ' )dt ' = 0

t

Esto significa que el rea bajo x(t) es cero, es decir,

x(t )dt = 0,

lo cual equivale a X(0) = 0.

Si X(0) 0 , entonces g(t) ya no es una seal de energa y la transformada de g(t) incluir impulsos unitarios de Dirac. En efecto, g(t) se puede escribir en la forma g( t ) =

t

x( t ' ) dt ' =

x( t' ) u( t t' )dt' = x( t) u( t)

donde el asterisco denota un producto de convolucin. Ms adelante demostraremos que la transformada de Fourier G(f) del producto de convolucin x( t ) u( t ) es consecuencia, ( f ) 1 1 1 G (f ) = X(f ) + = 2 X(0)(f ) + j2 f X(f ) j2 f 2

{ x( t )} { u (t )}

En

de donde

t

x (t ' )dt '

1 1 X(f ) + X(0)(f ) para X(0) 0. j2 f 2

La diferenciacin en el dominio del tiempo corresponde a multiplicacin por (j2f) en el dominio de la frecuencia. Asimismo, integracin en el dominio del tiempo corresponde a divisin por (j2f) en el dominio de la frecuencia. Este teorema permite determinar la transformada de Fourier de una seal cualquiera, sobre todo de tipo grfico, que se pueda aproximar en una forma lineal por tramos. Mediante diferenciaciones sucesivas se expresa la seal como suma de seales cuyas transformadas son fciles de evaluar y luego se aplica el teorema. Generalmente, la seal x(t), por diferenciacin sucesiva, se transforma en una suma lineal de impulsos unitarios y la transformada X(f) se obtiene directamente aplicando las propiedades y teoremas apropiados al caso, como se ilustra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 1.25 Verificar la transformada de Fourier de la seal triangular del Ejemplo 1.14, mediante el teorema de diferenciacin en el dominio del tiempo. En la Fig. 1.33(b) y (c) se muestran las dos primeras derivadas de la seal triangular de la Fig. 1.33(a). De la Fig. 1.33(c), d2 dt2

x (t ) =

A

[ (t + ) + (t )] 2A

A

( t )

Tomando la transformada de ambos miembros ( j2 f ) 2 X( f ) = ( j2 f ) 2 X( f ) = de donde X( f ) = Asinc 2 (f ), resultado idntico al del Ejemplo 1.14.x'(t) AA

[ exp( j2f ) + exp( j2f )] 2[ cos(2f ) 1] = 4A

A

2A

sen 2 ( f )

x(t)

x''(t)A

0

t

t

0 2

A A

t

0

(a) Seal Triangular

(a) Primera A Derivada

(c) Segunda Derivada

Fig. 1.33. 1.7.7. Teorema de la Diferenciacin e Integracin en Frecuencia

Si x ( t ) X(f ), entonces t x(t) 1 d (-j2 ) df 1 X( f ) dn (1.99)

t n x(t) x (t ) t

(-j2 ) n df n

X(f ) para t 0

(1.100) (1.101)

j2

f

X( f ' ) df '

Demostracin: X( f ) =

x (t ) exp( j2 ft ) dt ;

d df

X( f ) =

x ( t )( j2 t ) exp( j2 ft ) dt


Por lo tanto,

d df

X( f ) = ( j2 )

{ t x(t)} ,

de donde

t x(t)

1

d

(-j2 ) df

X( f )

Por diferenciacin sucesiva dentro del signo integral, se obtienet x(t) n

1

d [n]

(-j2 ) n df [ n ]

X( f )

En cuanto a la integracin en frecuencia, se puede aplicar el teorema de dualidad a la expresin (1.98a), obtenindose x(t ) j2t x(t ) t X( f ' ) df '

f

y mediante un cambio de variables en la integral,

( j2 )

f

X( f ' ) df ' para t 0.

Ejemplo 1.26. Aplicaciones de los Teoremas de la Transformada de Fourier En los siguientes ejemplos se utilizan las Tablas de Transformadas del APENDICE C. d 2 2t 4 (a) Dada y ( t ) = 2 x ( ) exp( j8t ) determinar Y(f) cuando x ( t ) = 2 sinc( 2 t ) . 2 dt x( 2t 4 2( t 2 ) ) = x = x( t 2) = 2sinc[2( t 2)] 2 2

Y ( f ) = ( j2 f ) 2

{ x(t 2) exp( j8t )} = ( j2f ) 2 { x(t 2 )} f f 4Y ( f ) = 4 2 f 2 X( f 4 ) exp[ j4 ( f 4 )]X(f - 4) = ( f -4 ) 2

pero

{ x(t 2 )} f f 4 = [ X(f ) exp( j4f )] f f 4 = X(f 4) exp[ j4 (f 4 )]f x ( t ) = 2 sin c( 2 t ) X (f ) = ( ) y 2

por consiguiente, Tambin,

4 2 f 2 exp[ j4 (f 4 )] de donde Y ( f ) = en el resto 0 (b) Dada X( f ) = A ( x(t ) = [1

para

3 f 5

f + fc B

) exp( j2t o f ),

determinar

x(t).

f A( ) exp( j2f c t ) ttt B

o

pero

1

f A( ) = ABsinc 2 ( Bt ) B

x ( t ) = ABsinc 2 ( Bt ) exp( j2f c t )

[

] t t t

, de dondeo

x ( t ) = ABsinc 2 [ B( t t o )] exp[ j2f c ( t t o )]


(c) Dada

Y (f ) =

j2 f exp( j2 t o f ) a + j2 f

,

determinar

y(t) .

Y(f) se puede escribir en la forma d y (t ) = dt1

1 Y (f ) = ( j2 f ) exp( j2 t o f ) a + j2 f

1 , a + j2 f t t to

pero

1

1 = exp( at )u (t ) a + j2 f

d dt

[ exp( at )u (t )] = (t ) a exp( at )u (t ),

de donde

y ( t ) = ( t t o ) a exp[ a ( t t o )]u ( t t o )

1.8. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEALES PERIODICAS

La Transformada de Fourier surgi de la necesidad de conocer el espectro de una seal no peridica. Para las seales peridicas dicha informacin se obtuvo a partir del desarrollo en Serie de Fourier. Sin embargo, para unificar el anlisis, es conveniente extender el uso de la Transformada de Fourier a seales peridicas. Es evidente que si se desea obtener la transformada de una seal peridica a partir de la definicin, expresin (1.68), el resultado sera infinito pues las seales peridicas no son de mdulo integrable (no cumplen con la condicin (1.72)). No obstante, mediante un proceso de lmites se puede representar una seal peridica en trminos de la Transformada de Fourier siempre que a esta transformada se le permita incluir impulsos Delta Dirac. Sea x T ( t ) una seal peridica que se representar mediante su desarrollo en Serie de Fourier x T (t ) =

n =

X

n

exp( j2nf o t );

fo =

1 T

Su transformada ser X T (f ) =

X T (f ) = X n exp( j2 nf o t ) exp( j2 ft ) dt n =

n =

Xn

exp( j2 nf o t ) exp( j2 ft ) dt =

n =

X

n

{exp( j2nf o t )}por lo tanto, (1.102)

pero del teorema de traslacin en frecuencia, x T (t ) =

{exp( j2nf o t )} = (f nf o ) ;n =

n =

X

n

exp( j2nf o t ) X T ( f ) =

X (f nfn

o)

La Transformada de Fourier de una seal peridica es un tren infinito de impulsos unitarios Delta Dirac, espaciados en fo y cada uno de rea X n , donde X n , el coeficiente de Fourier, se defini en (1.42). Es evidente que el espectro de una seal peridica seguir siendo discreto an cuando se calcule a partir de la Transformada de Fourier. An ms, una seal que contenga una parte peridica y una parte aperidica, poseer un espectro continuo en el que existirn componentes discretas superpuestas sobre l.


El clculo de los coeficientes de Fourier se puede simplificar mucho cuando se efecta a travs de la Transformada de Fourier. En efecto, sea x(t) la funcin generatriz de una seal peridica x T ( t ). Entonces X n se puede escribir en la siguiente forma Xn = o tambin

T1

x ( t ) exp( j2 nf o t )dt = 1

1 T

X(nf o ) (1.103)

X n = f o X( nf o ) =

n X( ) = f o X( f )| f = nfo T T

donde X(nfo) es la transformada de x(t) evaluada a las frecuencias discretas nfo . La expresin (1.103) permite calcular los coeficientes de Fourier del espectro discreto de x T ( t ) a travs de la transformada de Fourier de x(t), pues esta transformada puede ser obtenida con ms facilidad pues se dispone de extensas tablas de transformadas de Fourier. Sin embargo, hay que verificar siempre que x(t) est acotada en T. La expresin (1.102) puede escribirse ahora en la forma x T (t ) =

n =

x(t nT ) =

1 T

X( T ) exp( j2n T )n tn =

(1.104)

Esta expresin es una forma de la llamada Frmula de la Suma de Poisson. En resumen, para una seal peridica xT(t), x T (t ) =

n =

1 x(t nT ) = T

n =

n t X ( ) exp( j2n ) X T (f ) = f o T T

n =

X(nf

o ) (f

nf o )

(1.105) Es evidente que la transformada de Fourier de una seal peridica es una serie infinita de impulsos de Dirac separados en fo y ponderados por el factor foX(nfo), donde X(f) es la transformada de Fourier de la seal generatriz. La envolvente de la serie infinita de impulsos es igual a fo|X(f)|. Ejemplo 1.27 Calcular y dibujar el espectro de la seal de la Fig. 1.34.y(t) 2A A -2T -T

A t T 2T

/ 2 0 / 2 Fig. 1.34

La seal y(t) se puede expresar en la forma

y( t ) = x( t ) + x T ( t ) , donde


x ( t ) = A ( ) X(f ) = Asinc (f ) y x T ( t ) =

t

n =

A(

t nT ) XT (f )

Y (f ) = X (f ) + X T (f ), y de

(1.105),o o)

Y( f ) = Asinc( f ) + Af o

n =

sinc( nf )( f nf

El espectro Y(f) se muestra en la Fig. 1.35.

Ejemplo 1.28. Transformada de un Tren de Impulsos Delta DiracEl tren de impulsos unitarios, Fig. 1.36(a), es una serie de gran aplicacin en el anlisis de seales y sistemas. Esta serie peridica se representa en la forma

T (t ) =

n =

(t nT) o (f ) T ( t ) fo

La funcin generatriz de T (t ) es x(t ) = (t ) X(f ) = 1 para todo f

1 ooo -3T -2T -T 0 T 2T

ooo ooo t 2fo 3T

ooofo

0

fo

2fo

f

(a) Tren de Impulsos Fig. 1.36

(b) Transformada del Tren de Impulsos Unitarios.

De (1.103):

Xn = fo =

1 T

pues

X(nf o ) = 1 para todo n

La transformada de Fourier del tren de impulsos de Dirac ser, de (1.105),


o (f ) = f o

n =

(f nfn =

o)

= f o fo (f ) ,

la cual se muestra en la Fig. 1.36(b).

Entonces,

T (t ) =

(t nT) (f ) = f (f nf ) = f o o o n =

o fo (f )

(1.106a)

Tambin, de (1.105),

1 + 2 T (t ) = f o exp( j2 nf o t ) = f o cos(2nf o t ) n = n =1

(1.106b)

Un tren de impulsos de Dirac de perodo T y rea unitaria, tiene como transformada de Fourier otro tren de impulsos de Dirac de perodo fo y rea fo . A la funcin T (t ) se la conoce tambin con el nombre de funcin peine de Dirac. 1.9. DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA1.9.1. Introduccin

De manera anloga al concepto de espectro de densidad de energa, se puede definir un espectro de densidad de potencia para seales cuya energa no est definida, es decir, que no poseen una transformada de Fourier y que fueron definidas mediante la expresin (1.5). Muchas seales determinsticas y todas las seales aleatorias pertenecen a esta clase.Definicin

El espectro de densidad de potencia de una seal x(t), determinstica o aleatoria, representada por S x (f ), se puede definir partiendo de la premisa de que su integral debe ser la potencia promedio de x(t), es decir,

< x 2 (t ) >=

S x (f )df

(1.107)

La densidad espectral de potencia S x (f ) representa simplemente la distribucin de la potencia en el dominio de la frecuencia y sus dimensiones son W/Hz. Puesto que la potencia es una magnitud positiva, S x (f ) ser una funcin par y positiva de f para todo f, es decir, S x ( f ) = S x ( f ) y Sx (f ) 0 para todo f. El problema ahora es conseguir una expresin explcita que relacione x(t) con S x (f ), pero como x(t) no posee una transformada de Fourier X(f), no puede utilizarse una transformada para determinar S x (f ) . Sin embargo, mediante un enfoque determinstico, se puede utilizar el concepto conocido como el criterio de la seal truncada. En efecto, sea x(t) una seal de potencia y sea x T (t ) una parte de x(t) comprendida dentro de un intervalo (-T/2, T/2), como se muestra en la Fig. 1.37(b) (No confundir esta x T ( t ) con una seal peridica de perodo T). La seal x T (t ) , Fig. 1.37(b), se denomina seal truncada de x(t), y si en el intervalo ( T / 2, T / 2) cumple con las condiciones de existencia de la Transformada de Fourier, entonces x T (t ) X T (f ) . Esta transformada X T ( f ) se utilizar para relacionar x(t) con S x ( f ).


x(t)

x T (t )t t -T/2 0 T/2

-T/2

0

T/2

(a) Seal de Potencia

Fig. 1.37

(b) Seal Truncada

La potencia promedio de x(t) es, de (1.5),

< x 2 (t ) >= lim

1 T T

T/ 2

T/ 2

| x (t )|2 dt = lim

1 T/ 2 x(t ) x (t)dt T T T / 2

Como x T (t ) = x(t ) en el intervalo ( T / 2 , T / 2), entonces se puede escribir

< x 2 (t ) >= limpero x T (t ) =

T

x T (t ) x (t )dt T entonces

X T (f ) exp( j2tf )df ,

< x 2 (t ) >= lim

1 T T

x (t ) T

X T (f ) exp( j2tf )df dt

x ( t ) exp( j2 ft )dt df T La integral dentro de los corchetes es igual a X T (f ) , de donde | X T ( f )|2 1 lim df < x 2 ( t ) >= lim X T ( f ) X ( f ) df = T T T T T < x 2 ( t ) >= lim

1 T T

X T (f )

(1.108)

Comparando (1.108) con la definicin de densidad espectral dada en (1.107), se concluye que S x (f ) = lim | X T (f )|2 T T siempre que el lmite exista (1.109)

La cantidad S x (f ) es entonces la Densidad Espectral de Potencia de una seal x(t). Las unidades de S x (f ) son W/Hz respecto a una resistencia R = 1 Ohm. Obsrvese que el espectro de densidad de potencia de una seal retiene solamente la informacin de amplitud perdindose la informacin de fase. Por consiguiente, para una seal dada existe un solo espectro de densidad de potencia S x (f ), mientras que la misma densidad espectral S x ( f ) corresponde tericamente a un nmero infinito de seales que difieren entre s solamente en fase. Para simplificar la notacin, vamos a representar la relacin entre la seal x(t) y su densidad espectral S x (f ) en la forma x(t) Sx(f), la cual simplemente expresa que x(t) posee una densidad espectral S x (f ) dada y que, conocida x(t), pudiera determinarse S x ( f ) pero no as lo contrario.


Obsrvese que en la formulacin de la expresin (1.109) si X T (f ) es independiente de T, la densidad espectral S x (f ) se hace cero. Esto ocurre debido a que, para seales que poseen una transformada de Fourier, la integral de la expresin (1.108) tiende a un valor lmite, el cual, de acuerdo con (1.3), es simplemente la energa de la seal; en consecuencia, cuando T , la potencia promedio es cero. En resumen, el concepto de espectro de potencia no tiene significado cuando x(t) posee una transformada de Fourier especfica. Sin embargo, en la prctica nos encontramos con una gran cantidad de seales, sobre todo de tipo aleatorio, que no poseen transformadas de Fourier y para las cuales el concepto de espectro de potencia s es aplicable. Ms adelante, al estudiar las funciones de correlacin, volveremos sobre este tema.1.9.2. Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia

Consideremos ahora una seal modulada determinar. Sea entonces,

x c (t ) cuya densidad espectral se quiere

x c ( t ) = x( t ) A cos(2 f c t ) donde x(t) S x ( f ) , siendo x(t) una seal real pasabajo. Si x(t) es una seal de potencia, entonces x c (t ) ser tambin una seal de potencia, es decir,x c (t ) S xc (f )

Sea tambin x T (t ) la seal truncada de x(t), donde x T (t ) X T ( f ) . Hagamos entoncesx cT (t ) = x T (t )A cos(2f c t ) cuya transformada es

X cT (f ) =

A [ X (f + fc ) + X T (f fc )] 2 T

La densidad espectral de potencia S xc ( f ) ser, de (1.109), S xc (f ) = lim | X cT (f )|2 A2 = lim | X T (f + f c ) + X T (f f c )|2 T T T 4 TT

(1.110a)

S xc ( f ) = lim S xc (f ) = lim

A2 [ X T ( f + f c ) + X T ( f f c )][ X T ( f + f c ) + X T ( f f c )] 4T

A2 [ X T ( f + f c )X T ( f + f c ) + X T ( f + f c )X T ( f f c ) + T 4 T

+ X T (f f c )X T ( f + f c ) + X T (f f c )X T ( f f c )]Supongamos que x T (t ) es pasabajo, de frecuencia mxima f m , donde f c f m , y sea la Fig. 1.38 donde se muestra el espectro XT(f) de x T ( t ) y sus formas desplazadas X T ( f + fc ) y X T ( f fc ) . En la Fig. 1.38 se puede observar que los productos cruzados se anulan pues sus trminos ocupan bandas de frecuencia diferentes, es decir, X T (f + f c )X T ( f + f c ) = X T (f f c )X T ( f f c ) = 0 de donde X T (f + f c )X T ( f f c ) =| X T (f + f c )|2 y X T (f f c )X T ( f + f c ) =| X T (f f c )|2


X T (f + f c )

X T ( f f c )

X T (f ) X T (f f c )

X T (f + f c )f

fc

fm

0

fm

fc

Fig. 1.38

Por lo tanto,

Sxc (f ) = lim

A 2 | X T (f + f c ) |2 | X T (f f c ) |2 + T 4 T T

(1.110b)

La densidad espectral de potencia de la seal modulada ser, de (1.109), A2 S xc (f ) = [ S x (f + fc ) + S x (f fc )] 4

(1.111)

La expresin (1.111) es vlida para cualquiera seal x(t) pasabajo de potencia, pues los productos cruzados se anulan. Si x(t) es una seal de potencia pasabanda, en el desarrollo de (1.110a) aparecer un producto cruzado de la forma 2X T (f + f c )X T (f f c ) que ser distinto de cero, y la expresin (1.111) no ser entonces vlida para seales pasabanda. Sin embargo, si x(t) es una seal pasabanda aleatoria (ruido, por ejemplo), el producto cruzado ser siempre cero debido a las propiedades de incoherencia de las seales aleatorias; la expresin (1.111) se podr aplicar entonces a este tipo de seales. Las propiedades de incoherencia de las seales aleatorias las veremos en el Captulo III. El Teorema de la Modulacin para Seales de Potencia se puede enunciar entonces en la forma siguiente: Si x(t) es una seal de potencia pasabajo, determinstica o aleatoria, y de frecuencia mxima f m , o una seal aleatoria pasabanda de ancho de banda 2f m y centrada en f c , con f c f m , se verifica que

x (t )A cos(2f c t ) A2 S xc (f ) = x c (t ) = [ S x (f + fc ) + S x (f fc )] 4 x (t )A sen(2f c t )donde S x (f ) es la densidad espectral de potencia de x(t).

(1.112)

Este teorema, ilustrado en la Fig. 1.39, se puede demostrar con ms facilidad utilizando el Teorema de Wiener-Kintchine, que se estudiar en la Seccin 1.11.3, mediante aplicacin de las propiedades de las funciones de correlacin.


La expresin (1.112) es vlida aunque la modulacin se realice con un seno, puesto que el seno y el coseno difieren solamente en un factor de fase y por lo tanto tendrn el mismo espectro de densidad de potencia. Este teorema es de gran aplicacin en los sistemas de comunicacin para el clculo de la potencia de seales moduladas y en especial en el clculo de las relaciones Seal/Ruido (S/N).

Ejemplo 1.29. Potencia de una Seal ModuladaSea x(t) una seal pasabajo de potencia, con una frecuencia mxima f m , que modula una seal sinusoidal de amplitud unitaria y frecuencia fc . Entonces,x ( t ) S x ( f ) y x c (t ) = x ( t ) cos( 2f c t ) S c (f ) , donde 1 S c (f ) = S x (f + f c ) + S x (f f c ) ; f c f m 4

[

]

La potencia de la seal modulada es, de (1.107),

< x 2 ( t ) >= c

S c (f ) df =

[S 41

x (f

+ f c ) + S x ( f f c ) df

]

Pero cada una de las integrales de la derecha es la potencia < x 2 ( t ) > de x(t); de donde, 1 < x 2 ( t ) >= < x 2 ( t ) > c 2 La potencia de una seal modulada es la mitad de la potencia de la seal moduladora. En general, si x c ( t ) = x ( t ) A cos( 2 f c t + ) , entonces A2 2

=

< x 2 (t ) >

(1.113)

Ntese que la informacin de fase no interviene en el clculo de la potencia. La expresin (1.113), vlida para seales tanto determinsticas como aleatorias, ser utilizada continuamente a lo largo de todo el texto.


1.10. RELACION ENTRE EL ANCHO DE BANDA Y LA DURACION DE UNA SEAL

De acuerdo con la propiedad escalar de la Transformada de Fourier, una seal de duracin infinita (existe para todo t) tiene un espectro contenido dentro de una banda de frecuencias B, es decir,

{x(t )} = 0

para B < |f|

En este caso se dice que x(t) es una seal de banda limitada B. En forma similar, una seal cuyo espectro se extiende hasta el infinito (existe para todo f), tiene la propiedad de que, para dos constantes t 1 < t 2 , x ( t ) = 0 para t < t 1 y t > t2

En este caso se dice que x(t) es una seal limitada en el tiempo. Una seal no puede ser, a la vez, limitada en banda y limitada en el tiempo. La imposibilidad de que una seal sea limitada simultneamente en frecuencia y en el tiempo, es un caso particular del principio de incertidumbre entre una seal y su correspondiente transformada de Fourier (Una discusin de este principio est fuera de los objetivos de este texto). Sin embargo, desde un punto de vista prctico, si el valor de una seal decrece ms all de cierto lmite, se puede decir que la seal es despreciable. Este lmite est determinado, en general, por el ruido que siempre est presente. Algunas veces se puede considerar que la seal es despreciable an antes de alcanzar el umbral del ruido, mientras que en otros casos, an si la seal est inmersa en ruido, ella debe ser tomada en cuenta. El problema de la duracin de una seal es finalmente una cuestin de convencin, y lo mismo se puede decir de su ancho de banda. Todo depende de la aplicacin particular considerada y conviene entonces definir la duracin de la seal y su ancho de banda de la manera ms apropiada a la aplicacin en cuestin. En algunos casos se puede definir el ancho de banda B de una seal x(t) como la gama de frecuencias en la cual est contenido un p% de la energa total de la seal. El ancho de banda B se puede definir entonces a partir de la expresin

B

B

| X( f )|2 df =

100p

| X( f )|2 df

(1.114a)

Esta definicin la utilizamos en el Ejemplo 1.19 cuando demostramos que el ancho de 1 t banda B = de un impulso rectangular ( ) contena el 90% de la energa total del impulso. De la misma manera, la duracin de una seal x(t) se puede definir a partir de la expresin

/ 2

/ 2

x 2 ( t ) dt =

100p

x 2 (t )dt

(1.114b)

El ancho de banda y la duracin definidos as tienen poco valor prctico pues B y no aparecen en forma explcita y es necesario resolver las integrales. Una manera conveniente de relacionar B y en forma explcita, consiste en definir la duracin de una seal como el tiempo que durara un impulso rectangular que tuviera la misma amplitud mxima y la misma rea bajo el mdulo de la seal, es decir,


x(0) =

-

|x(t)|dt x(t)dt = X(0)-

(1.115)

Igualmente, para el ancho de banda B, 2 BX(0) =

| X( f )| df X(f )df = x ( 0)

(1.116)

Estas definiciones se ilustran en la Fig. 1.40 (a) y (b), respectivamente.|x(t)| x(0) |X(f)| X(0)

t

f -B 0(b)

/ 2 0 / 2(a)

B

Fig. 1.40

De (1.115) y (1.116) se obtiene el par de desigualdades de donde y en general, B 1 2

x(0) x( 0 ) 1 y 2B X(0) X( 0 ) (1.117) (1.118)

=

x (0) 2 X( 0)

B

1 1 o B 2 2

La expresin (1.117) es la relacin duracin-ancho de banda para seales pasabajo. En el caso de seales pasabanda, el correspondiente ancho de banda se define como el doble del ancho de banda en pasabajo. Esto es as puesto que el espectro aparece centrado en las frecuencias f c y se puede considerar como una traslacin del espectro pasabajo hacia las frecuencias f c . Esto lo justificaremos ms adelante al estudiar el concepto de seal analtica.

Ejemplo 1.30. Ancho de Banda de un Impulso en Coseno ElevadoSea el impulso en coseno elevado mostrado en la Fig. 1.41(a).


x(t ) = pero A

A t t A t A t t 1 + cos( 2 ) ( ) = ( ) + ( ) cos( 2 ) 2 2 2

t A f sinc( ( ) ) , y del teorema de la modulacin, 2 2 1/ A 2 sinc(f ) + A f + 1/ f 1/ ) + sinc( ) sinc( 2 1/ 1/

X( f ) =X (f ) =

A sen(f ) A sen(f + ) sen(f ) + + 2 f 4 f + f

Desarrollando y simplificando se obtiene finalmente X(f) se muestra en la Fig. 1.41(b).

X( f ) =

A sinc( f ) 2 1 2 f 2

De (1.117), el ancho de banda B del impulso en coseno elevado es B x (0) 2 X(0)

=

A 2 A / 2

=

1

El impulso en coseno elevado es de gran aplicacin en la transmisin de impulsos en banda de base, como veremos en el Captulo V. En el Captulo V se tratar este mismo ejercicio, pero aplicado a un sistema (Filtros de Nyquist). 1.11. FUNCIONES DE CORRELACION1.11.1. Introduccin

En muchas aplicaciones en ingeniera no es suficiente decir que dos seales son similares; en general uno desea saber cun similares son esas seales. Es deseable entonces disponer de una cifra o un conjunto de cifras que nos permitan comparar y cuantificar el grado de similaridad o semejanza entre diferentes clases de seales, y esto se puede lograr mediante las llamadas Funciones de Correlacin. Las funciones de correlacin, surgidas de la teora moderna de la informacin, son muy tiles en el anlisis de seales reales tanto determinsticas como aleatorias. Por ejemplo, si un proceso fsico produce diferentes seales del tiempo, una descripcin completa de ellas se puede obtener mediante un anlisis correlativo. Esta forma de anlisis es muy importante en dos grandes reas de aplicacin: (1) en la Autocorrelacin, la cual se puede utilizar para detectar una seal repetitiva inmersa en ruido, o para medir una banda particular de frecuencias de una seal; y (2) en la Intercorrelacin, que se utiliza para comparar dos seales (que pueden estar perturbadas por ruido) a fin de determinar algn tipo o grado de similaridad entre ellas.


1.11.2. Autocorrelacin

Consideremos el conjunto de seales mostrado en la Fig. 1.42. Vamos a investigar el grado de similaridad que hay entre ellas.

x 1 (t )

a1

a2

t

x 2 (t )

b1

b2

t

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