primero_profesor

8/4/2019 primero_profesor

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SANTIAGO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRIDMXICO NUEVA YORK SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SO PAULO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SIDNEY SINGAPUR ST. LOUIS TORONTO

1er

Ao Medio

Andrs Ortiz JimnezProfesor de Matemtica.

Licenciado en Educacin.

Magister en Enseanza de las Ciencias.Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin.

Cristin Reyes ReyesDoctor en Matemtica.

Centro de Modelamiento Matemtico, Universidad de Chile.

Marisol Valenzuela ChandaProfesora de Matemtica.

Facultad de Filosofa y Humanidades.

Licenciada en Matemtica.

Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.Coordinadora de Ciencias y Matemticas EDUCAUC.

Eugenio Chanda MuozProfesor de Matemtica y Computacin.

Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin.

Estudios de Magster en Matemtica.

Facultad Ciencias Fsicas y Matemticas, Universidad de Concepcin.

Estudios de Magster en Educacin.

Facultad de Educacin, Universidad de Concepcin.

MATEMTICAGua didctica para el Profesor


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Matemtica 1 Ao MedioGua didctica para el Profesor

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro ni su tratamiento informtico ni la transmisinde ninguna forma o por cualquier medio, tal sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otromtodo sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS 2010.McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE CHILE LTDA.

Evaristo Lillo 112, piso 7, Las Condes.

Tel: 562- 661 3000

Santiago de Chile.

Autores

Andrs Ortiz Jimnez.Cristin Reyes Reyes.Marisol Valenzuela Chanda.Eugenio Chanda Muoz.

EditoraPaola Gonzlez M.

Correcin de estiloPatricia Romero M.

Coordinadora de artePamela Madrid F.

PortadaPamela Madrid F.

IlustracionesCristian Chamn Gonzlez & Carlos Vieje Carrasco (Invasor Studio)

Archivo grficoBanco de fotografa McGraw-Hill.

La materialidad y fabricacin de este texto est certificada por el IDIEM Universidad de Chile.

ISBN: 978-956-278-223-4

N de Inscripcin: 186.065

Impreso en Chile por: RR Donnelley Chile

Se termin de imprimir esta primera edicin de 6.201 ejemplares, en el mes de noviembre de 2010.


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A los maestrosEl texto del estudiante que hemos preparado, tiene comometa desarrollar habilidades que permitan estructurar elpensamiento, promover el uso de esquemas, de repre-sentaciones y modelos y potenciar la formulacin de pro-blemas, e interpretarlos. Desarrollar un sistema de accio-

nes que permita afrontarlos, conjeturar, contrastar ideas,mtodos y soluciones.

Es importante notar la increble rapidez con que cambianlas miradas de las cosas, lo que se vea deterministamen-te, hoy se estudia probabilisticamente o estadsticamente,lo que se crea ordenado, ahora se estudia con modeloscaticos, lo que se estudiaba en forma continua ahora sehace en forma discreta. Lo que era un buen modelo yano lo es.

Es por esto que debemos mostrar la matemtica en con-tinuo desarrollo, donde todos podemos contribuir, hacer

ver que este edificio que se construye desde ladrillos b-sicos hasta llegar a complejas construcciones se va adap-tando a diversos modelos en distintas situaciones.

Necesitamos que nuestros estudiantes tengan las herra-mientas suficientes para enfrentar situaciones nuevas sintemor, ordenadamente y en forma original.

Creemos que es esta una de las principales tareas de lamatemtica escolar de hoy: ms que dar respuestas, darherramientas para hacer preguntas interesantes en losdistintos frentes a los que estamos expuestos.

Debido a este mundo cambiante y desafiante es muy im-portante hacer hincapi en el desarrollo de pensamientospropios de la matemtica ms que en la sola transmisinde contenidos. Lo mas probable es que los estudiantesolviden algunos teoremas si no los ocupan regularmen-te, pero si las habilidades relativas a conjeturar, buscar yevaluar estrategias, experimentar, incluso equivocarse ydescubrir estrategias y mtodos para reconocer errores,fueran desarrolladas, habremos hecho nuestra tarea, congran xito. Por eso es que el enfrentar al estudiante a pro-blemas abiertos, a preguntas del tipo es cierto que...?,lo obligan de la nada, a encontrar soluciones a problemasnunca vistos, a utilizar las herramientas que crea perti-nentes, utilizar el lgebra en un problema geomtrico oviceversa, tal vez hacer un experimento real, tal vez hacerun modelo a escala. Todas estas estrategias van creandoseguridad en el estudiante y permiten quitar la imagende rigidez a las matemticas. Las matemticas son rigu-rosas, pero no rgidas.

Por algunas razones histricas y de gustos personales,se asocian las demostraciones con la geometra, siendoque es all donde es ms difcil dar una prueba realmen-te rigurosa, debido que se basa mucho en el dibujo. Encambio en aritmtica y lgebra se pueden hacer variasdemostraciones en este nivel, por ejemplo, que la sumade un nmero con su sucesor es impar.

El libro tiene una gran cantidad de actividades, de aplica-cin, de reflexin, de clculos directos, de razonamiento,de demostraciones sencillas, para que los estudiantes detodos los ritmos de aprendizaje puedan desarrollar lashabilidades antes mencionadas. Fue necesario crear unagran cantidad de problemas de contexto real no forzado,de modo que el estudiante no crea que se estudia mate-mticas solo para responder la prueba SIMCE o la PSU.La matemtica realmente sirve para modelar la realidady no solo para sacar la cuenta del supermercado, mucho

ms interesante es crear estrategias que permitan aproxi-mar dicha cuenta haciendo unos clculos gruesos.

Hemos resuelto todos los problemas del texto que estnen bloques de actividades, salvo los diagnsticos de ini-cio de cada unidad, que son bastante estndar. Esto lohicimos para que usted profesor no gaste tiempo desa-rrollndolos, y ese tiempo lo utilice en responder pregun-tas a los estudiantes, corrigiendo errores o evaluando eltrabajo de ellos.

En esta gua presentamos variadas actividades, con la

intencin de mostrar diferentes formas de invitar a losestudiantes a enfrentar los problemas. Si no se puederesolver algebraicamente, se pueden hacer tablas, ex-perimentos, que permiten conjeturar un resultado, paraluego intentar demostrar, esperando que al conocer elresultado el camino se vea ms claro. Tambin mostra-mos errores frecuentes que se encuentran en nuestra es-colaridad, y que se hace menester erradicar de nuestrasaulas, libros e incluso universidades.

En definitiva, aunque parezca perogrullada, este es unlibro de matemtica, es por eso que los datos histricosde l no son solo ancdotas, sino que problemas que

han tenido los matemticos de diferentes pocas y he-mos desarrollado actividades referente a ellas. Lo mismoocurre con los OFT, los hemos relacionado con matem-tica de este nivel, y tambin hemos creado actividadesdesafiantes al respecto.

Esperamos que el libro y esta gua, sean una ayuda real yeficaz en vuestra maravillosa tarea de educar a los niosy jvenes de Chile.

Los Autores.


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lgebra

Alfinalizar estaUnidadsers capaz de:

Temas queestudiaremos

en estaUnidad:

Modelarsituacioneso fenmenomediantefuncioneslinealesy afines.

Ecuacionesde primergradoconcoeficientesnumricosy

literales.

Lenguaje algrebraico bsico.Conjeturary demostrarpropiedadesnumricas.

Resolverecuacionesde primer grado concoeficientesnumricosy literales.

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Representarsituacionesque involucrencantidadesvariables.

Funcin afn y funcin lineal.

Trminossemejantes.

Productosnotables.

Factorizacin de polinomios.Usareinterpretarconvencionesalgebraicas.

Unidad

En el 2005 se celebr el ao mundial dela Fsica.En ese

ao se cumplieron cien desde queAlbert Einstein public

su Teora Especial de la Relatividad.Al ao 1905 se le de-

nominaAnnus Marabilis debido a lagran revolucin que

seprodujo tanto en lafsicacomo en la Ciencia en ge-

neral porlos descubrimientos de Einstein.La Teoradela

Relatividad,utilizaresultados anteriores,debido aLoren-

tz, quien habadefinido transformaciones que involucran

las velocidades relativas de los observadores.La Teora de

la Relatividad (TR)postulaque la velocidad dela luz (que

es c m s= 310 8 / en el vaco) es la velocidad lmite,estoes,nada se mueve ms rpido quela luz. Otro delos

resultados de la TR es quela energaes proporcional alamasa con constante el cuadrado de c, e s dec i r, E mc= 2.

Un resultado sorprendenteen la TR es quela masano es

constante en el movimiento, es decir,la masa de un obje-

to depende dela velocidad con quese mueve,dehecho,

si m0es la masade un objeto en reposo,y m la masa

cuando semueve con velocidadv, se tienela siguiente

relacin:

m

v

c

m2

2

021

=

Lo quedice,por ejemplo,quesi unapartculase muevea

unavelocidad de0,9 c lamasaaumentaa ms del doble

quelamasa del reposo.

2Unidad

57

Hip

ertexto

ESTRUCTURA DEL TEXTO DEL ESTUDIANTE

El texto se divide en siete unidades temticas, las que a su vez, estn estructuradas de la siguiente manera:

Entrada de unidad

Para recordarSeccin que tiene la finali-dad de activar conocimien-tos previos.

Problemas resueltosIndica la metodologa queel alumnado debe seguirpara llegar al resultado

esperado.

Aplicando lo aprendidoSu misin es afianzar los co-nocimientos adquiridos, con-seguir destrezas de algoritmosy atender a los alumnos connecesidades especiales.

Contenidos

Nombre de la unidad

NotaDestaca conceptos parauna mejor comprensin.

ActividadesPara desarrollo de habilida-des pgina a pgina.

Esquemarepresentativode la relacin entrelos contenidos de launidad y los apren-dizajes esperados.

Texto introductorioa los contenidos de launidad.

Nmero de la Unidad.

Informacinen los mediosExtractada de diversosmedios de comunicacin,

para comprender con laayuda de la matemtica.

cono HipertextoTe ofrece la posibilidad detomar un papel activo enel proceso de aprendiza-je, accediendo rpida yfcilmente a la informacin.Con l estars estimulandotu pensamiento crtico.

Un poco de historiaEntrega una visin histricade cmo se ha formado lamatemtica.

CuidadoAlerta sobre posibles erroreso ambivalencias respecto deun concepto.

RecuerdaSeccin que ayuda a recordarlo visto en aos anteriores.

InvestigaTe invita a indagar sobrediversos temas.

ImportanteEnfatiza conceptos impor-tantes tratados en la pgina.


5/96Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1o ao Medio

55

1Unidad

MATEMTICA 1o Medio

1 [Timss 1999]Cul de los siguientes nmerosestentre 0,07 y0,08?

a) 0,0075

b) 0,00075

c) 0,075

d) 0,75

2 000012

04

00027

900

2 2,

,:

,

=

a) 104

b) 105

c) 106

d) 91010

3 La estacin espacial Mirpermaneci en rbitadurante 15 aos yen este tiempo di aproxima-damente86 500 vueltas alrededorde la Tierraauna altura de400 km.Si el largo dela rbitadela Mires de aproximadamente 40 000 km,cul es aproximadamente la distancia en no-tacin cientficarecorrida porla Mirmientrasestuvo en rbita?

a) 346107 km

b) 3 4 6 1 09

, km

c) 3 4 6 1 0

9

, kmd) 034610

10, km

4 Redondeado a la decena de kilogramo ms prxi-ma,el peso de un delfn es 170 kg. Cul de lasopciones siguientes no corresponde al peso deldelfn?

a) 166 kg

b) 169 kg

c) 173 kg

d) 176 kg

5 El orden decreciente de

5 2 2 21

1001 3 1 0 2; ; , ; ; , es:

a) 1 3 1 01

1002 2 2 52, ; ; ; , ;

b) 1

1001 3 10 2 5 2 22; , ; ; ; ,

c) 1

1001 3 10 2 2 2 52; , ; ; , ;

d) 1

1001 3 10 5 2 2 22; , ; ; , ;

6 En agua saladael sonido recorre14 000 cm/s.Silas ondas sonoras tardan 3,5 s en llegardel sub-marino al buzo ytarda5 s en llegardel mismosubmarino al barco,cul es ladistancia entre elbuzo yel barco?

a) 2 100 m

b) 4 900 m

c) 7 000 m

d) 11 900 m

7 Tienes una sucesin de tringulos rectngulos,losque en cada paso aumentan su altura y base en

una unidad,y se subdividen en tringulos rectn-gulos pequeos e iguales.En cuntos tringulospequeos se subdivide la novena figura?

a) 82

b) 80

c) 91

d) 81

autoevaluacinH

ipertex

to

Planificacin didctica............................................. 8

UNIDAD 1 NMEROSInformacin curricular............................................. 10Relacin contenidos niveles anterioresy siguientes............................................................ 11Orientaciones didcticas.......................................... 12Errores frecuentes................................................... 17Actividades de refuerzo y ampliacin...................... 18Actividades de cierre de Unidad.............................. 21Modelos didcticos................................................. 22

UNIDAD 2 LGEBRAInformacin curricular............................................. 24Relacin contenidos niveles anterioresy siguientes............................................................ 25Orientaciones didcticas......................................... 26Errores frecuentes................................................... 36Actividades de refuerzo y ampliacin...................... 39Actividades de cierre de Unidad.............................. 46Modelos didcticos................................................. 48

UNIDAD 3 GEOMETRAInformacin curricular............................................. 52Relacin contenidos nivelesanteriores y siguientes............................................ 53Orientaciones didcticas......................................... 54Errores frecuentes................................................... 63Actividades de refuerzo y ampliacin...................... 65Actividades de cierre de Unidad.............................. 69Modelos didcticos................................................. 70

UNIDAD 4 DATOS Y AZARInformacin curricular............................................ 74Relacin contenidos nivelesanteriores y siguientes............................................ 75Orientaciones didcticas......................................... 76Errores frecuentes................................................... 87Actividades de refuerzo y ampliacin...................... 88Actividades de cierre de Unidad.............................. 89

Bibliografa.............................................................. 90Enlaces recomendados.............................................. 93

INDICE DE CONTENIDOS

Cierre de unidad

Al finalizar la unidadhay tres pginas deejercicios graduadosactividades finales,en las que se puedeencontrar aplicacionesprcticas y holsticasa los contenidos de la

unidad.

AutoevaluacinSeccin deevaluacin final decada unidad.


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PLANIFICACIN DIDCTICA

UNIDAD Aprendizajes esperados OFT Tiempo estimado

Nm

eros

Describen ritmos de crecimiento utilizandolas potencias y comparan situaciones des-criptibles por adicin iterada.

Multiplican y dividen potencias de baseracional y exponente entero, en contextosnumricos. Relacionan el cambio de signoen el exponente con el valor inverso de unapotencia.

Conjeturan acerca de resultados y proce-dimientos que dan cuenta de regularidadesnumricas presentes en determinados pro-blemas.

Resuelven problemas que involucran ope-raciones aritmticas con enteros, decimalesy fracciones, describiendo y analizando susprocedimientos de resolucin.

Estiman y analizan resultados en la realiza-cin de clculos y en la resolucin de proble-mas y los ajustan a sus caractersticas.

Interpretan la informacin que proporcionala calculadora.

Diferencian entre nmeros enteros, raciona-les e irracionales; los caracterizan, los expre-san en notacin decimal y sealan su ubica-cin relativa en una recta numrica.

Conocen algunos antecedentes histricos denmeros irracionales.

Transforman nmeros racionales en su for-ma decimal a su forma fraccionaria y vicever-sa.

Actividades orientadas alaprendizaje de algoritmoso procedimientos rutinarios,as como la aplicacin de le-

yes y principios.

Actividades orientadas a laresolucin de problemas ypensamiento lgico.

Desarrollo de actitudes derigor y perseveranciaLas capacidades de recibir yaceptar consejos y crticas.

Inters y capacidad de co-nocer la realidad.

25 a 30 horas




lgebra

Utilizan letras para representar nmeros.Evalan expresiones algebraicas.

Representan categoras de nmeros pormedio de expresiones algebraicas :mltiplos

de ...; factores de ...; mayores que ...; nme-ros pares, etc.

Traducen al lenguaje algebraico relacionescuantitativas en las que utilizan letras comoincgnita. Plantean y resuelven problemasque involucran ecuaciones de primer gradocon una incgnita.

Conjeturan y generalizan acerca de patro-nes numricos o geomtricos utilizando ex-presiones literales.

Generalizan la notacin de potencias y utili-zan procedimientos convencionales para el cl-

culo de multiplicacin y divisin de potencias. Suman y restan monomios, binomios y po-

linomios. Reducen trminos semejantes yaplican la convencin de uso de parntesis.

Conjeturan y demuestran propiedades nu-mricas asociadas a mltiplos, factores y divi-sibilidad.

Resuelven ecuaciones con coeficientes nu-mricos y literales. Analizan la existencia desus soluciones.

Transforman expresiones algebraicas porclculo de productos, factorizaciones, reduc-cin de trminos semejantes y eliminacin deparntesis.

Calculan productos notables; los factorizan;los interpretan numrica y geomtricamente.

Resuelven problemas que involucren pro-ductos y/o factorizaciones.

Analizan frmulas e interpretan las variacio-nes que se producen en permetros, reas ovolmenes, por cambio en las medidas linea-les de las figuras.

Conocen algunos antecedentes histricos

sobre la evolucin del lenguaje algebraico. Modelan fenmenos y situaciones usando

funciones afines y lineales.

Analizan grficamente la variacin de par-metros en una funcin afn.

Relacionan las funciones lineales con la pro-porcionalidad directa.

Desarrollo de la capacidadde generalizacin a partir desituaciones observadas.

Inters y capacidad de conocerla realidad, y utilizar el conoci-miento y la informacin.

Actividades orientadas alaprendizaje de algoritmos oprocedimientos rutinarios, ascomo la aplicacin de leyesy principios, por un lado yde generalizacin a partirde situaciones observadas,por otro

Actividades orientadas autilizar el conocimiento y lainformacin.

Desarrollo de actitudes derigor y perseverancia

50 a 60 horas


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Geometr

a

Representan elementos bsicos de la geo-metra euclidiana en un sistema de coorde-nadas rectangular llamado plano cartesiano.

Conocen y utilizan la operatoria bsica convectores en el plano cartesiano (adicin, sus-traccin y ponderacin por un escalar), y larelacionan con las transformaciones isom-tricas.

Caracterizan la traslacin de una figura enel plano cartesiano, utilizando vectores.

Construyen teselaciones en el plano carte-siano, utilizando suma de vectores.

Construyen, en el plano cartesiano, figurassimtricas, trasladadas y rotadas en 90 y180.

Describen patrones que se observan en laaplicacin de simetras, rotaciones y trasla-ciones en un sistema cartesiano de coorde-nadas.

Analizan los datos necesarios y suficientespara construir un tringulo relacionndoloscon los criterios de congruencia de tringuloy las transformaciones isomtricas.

Componen y descomponen figuras (puzlesgeomtricos); analizan congruencia entre suslados y ngulos.

Resuelven problemas que involucren con-gruencias de trazos, ngulos y tringulos.

Conjeturan y demuestran propiedades detringulos, cuadrilteros y circunferencia pormedio de congruencia de tringulos.

Caracterizan y clasifican tringulos y cua-drilteros, a partir de sus ejes y centros desimetra.

Conocen algunos antecedentes acerca delaporte de Euclides a la geometra.

Desarrollar actitudes de rigory perseverancia, as como deflexibilidad y originalidad enlos procedimientos que utili-

ces y la capacidad de recibiry aceptar consejos y crticas.

Desarrollar inters y capaci-dad de conocer la realidad, yutilizar el conocimiento y lainformacin para la toma dedecisiones fundamentadas.

35 a 40 horas




Datos

yazar

Interpretan y producen informacin, encontextos diversos, mediante grficos queprovienen de tablas de frecuencias de datosagrupados en intervalos.

Interpretan y producen informacin, quedescriba el comportamiento de grupos enrelacin con una variable determinada a par-tir del anlisis de indicadores de tendenciacentral (media, mediana, moda) y de posi-cin (percentiles y cuartiles). Determinandiferencias entre grupos.

Conocen empricamente la Ley de los Gran-des Nmeros y relacionan la frecuencia re-lativa con la probabilidad de un suceso.

Relacionan la nocin de probabilidad con la

informacin estadstica que deriva de la re-peticin de un fenmeno aleatorio y expli-can qu diferencia a stos de los fenmenosdeterminsticos.

Analizan e interpretan los resultados deproblemas que involucran clculo de proba-bilidades considerando experimentos alea-torios simples; explican los procedimientosutilizados; analizan la independencia de losmismos; reconocen los casos de equiproba-bilidad.

Conocen y utilizan la frmula de Laplace

para el clculo de probabilidades; comparanprobabilidades y analizan su valor mximo ysu valor mnimo.

Desarrollar el pensamiento,en actividades de investiga-cin a travs de actividadesque suponen seleccin de

organizacin y datos.

Desarrollar, a travs de laresolucin de problemas, lacapacidad de juicio alumnosy alumnas, y la aplicacin decriterios morales a proble-mas del medio ambiente,econmicos y sociales.

Desarrollan inters y capaci-dad de conocer la realidad,y utilizar el conocimiento y

la informacin para la tomade decisiones fundamenta-das.

25 a 30 horas



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NMEROS1

Unidad

Esta unidad retoma conceptos acerca de los nmeros enteros, fraccionarios y decimales y planteafundamentalmente una profundizacin; se propone un trabajo que tiene como columna vertebral

la resolucin de problemas. Esta se orienta hacia el conocimiento de caractersticas y propiedadesde los nmeros racionales e irracionales, de la presencia de regularidades o patrones numricosen la realidad y la forma en que las potencias facilitan la descripcin de situaciones numricasrelativas a crecimientos o decrecimientos.

Objetivos fundamentalesverticales

CMO Aprendizajes esperados

- Comprender que los nmerosracionales constituyen un con-junto numrico en el que es po-sible resolver problemas que notienen solucin con los nmerosnaturales y enteros, y caracteri-

zarlos como aquellos que pue-den expresarse como un cuo-ciente de dos nmeros enteroscon divisor distinto de cero.

- Representar nmeros racio-nales en la recta numrica,aproximar nmeros racionales,aplicar adiciones, sustracciones,multiplicaciones y divisiones denmeros racionales en situacio-nes diversas y reconocer algunaspropiedades

- Caracterizacin de los nmerosracionales y de los tipos de proble-mas que permiten resolver.

- Representacin de los nmerosracionales en la recta numrica y

establecimiento de algunas pro-piedades de los nmeros racio-nales y de las operaciones, talescomo: entre dos nmeros racio-nales siempre existe por lo menosun nmero racional; la suma, ladiferencia, el producto y el cuo-ciente de dos nmeros racionaleses siempre un nmero racional.

- Transformacin de nmeros deci-males infinitos peridicos y semi-peridicos a fraccin.

- Sistematizacin de procedimien-tos de clculo escrito y con ayudade herramientas tecnolgicas deadiciones, sustracciones, multipli-caciones y divisiones con nmerosracionales y su aplicacin en la re-solucin de problemas.

- Aproximacin de racionales a tra-vs del redondeo y truncamiento,y el reconocimiento de las limi-taciones de la calculadora paraaproximar decimales.

- Interpretacin y clculo de poten-cias de base racional y exponenteentero. Determinacin y aplicacinde propiedades.

- Resolucin de problemas en con-textos diversos que involucran n-meros racionales o potencias debase racional y exponente entero,enfatizando el anlisis crtico delos procedimientos de resolucin yde los resultados obtenidos.

-Describen ritmos de crecimientoutilizando las potencias .

-Multiplican ydividen potenciasde base positiva y exponenteentero, en contextos numricos.

Relacionan el cambio de signoen el exponente con el valorinverso de una potencia.

- Conjeturan acerca de resultadosy procedimientos que dan cuentade regularidades numricaspresentes en determinadosproblemas

- Resuelven problemas queinvolucran operaciones arit-mticas con enteros, decimalesy fracciones, describiendo y

analizando sus procedimientosde resolucin.

- Estiman y analizan resultadosen la realizacin de clculos y enla resolucin de problemas y losajustan a sus caractersticas.

- Diferencian entre nmerosenteros, racionales e irracionales;los caracterizan, los expresanen notacin decimal y sealansu ubicacin relativa en la rectanumrica.

- Transformannmeros racionalesen su forma decimal a su formafraccionaria y viceversa.

INFORMACIN CURRICULAR


11/96Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1

o

ao Medio

1Unidad

Contenidos relacionadoscon niveles anteriores

Contenidosde la Unidad

Contenidos relacionadoscon niveles y/o unidades

siguientes

6 bsico

- Clculo escrito, mental y medianteel uso de herramientas tecnolgi-cas, de multiplicaciones y divisionesde fracciones positivas y de nme-ros decimales positivos, y su aplica-cin en contextos cotidianos.

7 bsico- Interpretacin de potencias quetienen como base un nmero na-tural, una fraccin positiva o unnmero decimal positivo y comoexponente un nmero natural.

8 Bsico- Clculo de potencias de base en-tera y exponente natural, determi-nacin y aplicacin de propiedadesrelativas a multiplicacin y divisinde potencias que tienen base en-tera y exponente natural.

- Potencias de base racional yexponente entero.

- Propiedades de las potencias.

- Notacin decimal.

- Notacin cientfica.

- Nmeros racionales versusnmeros irracionales.

- Aproximaciones.

- Regularidades numricas.

- Transformacin de nmerosracionales en su forma deci-mal a su forma fraccionaria yviceversa.

2 Medio- Caracterizacin de los nmeros irra-

cionales como aquellos que no pue-den ser escritos como el cuocienteentre dos nmeros enteros y los n-meros reales como la unin de los n-meros racionales e irracionales.

4Medio- Anlisis grfico de la funcin axn, con

a yx reales y exponente entero parael anlisis y comparacin de tasas decrecimiento aritmtico y geomtrico yde situaciones que involucran el cl-culo de inters compuesto.


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NMEROS1

Unidad

El desarrollo de esta unidad, lo mismo que las actividades propuestas, tiene la meta de que el estu-diante descubra estrategias, analice y compare resultados propios o entre los de sus compaeros y

compaeras, para luego argumentar respecto de la eleccin de una estrategia o resultado. Es impor-tante destacar las actividades tendientes a mostrar la Matemtica como un modelo de la realidad ydiferenciarla de sta.

Muchas actividades son preguntas abiertas, del tipo, es cierto que...?, de modo que necesariamentelos estudiantes tendrn que investigar entre los ejemplos que poseen, para hacer una conjetura de larespuesta y luego dar un argumento que permita asegurar que sus afirmaciones son ciertas. Se sugiereen esos casos darles tiempo para reflexionar, y permitir la discusin en la sala de clases. Si despus de untiempo prudente no se vislumbra una respuesta, el profesor debiera darles algunas pistas que encami-nen a la respuesta, por ejemplo: piensen en tal o cual caso, o qu pasara si fuese falso. Es importanteestar muy pendiente a los argumentos incorrectos, por ejemplo, conclusiones generales deducidas decasos particulares.

Ejemplos de actividades.

La Matemtica slo es un modelo de la realidad.

En la actividad de los computadores infectados se propone un modelo exponencial para explicar lapropagacin de un virus. Una de las preguntas al respecto es:

Explica por qu este modelo de propagacin es real para valores pequeos de n, pero nose ajusta demasiado a la realidad, para grandes valores de n.

Estas preguntas se refieren a que la propagacin exponencial es un buen modelo para tiemposcortos, pero en el largo plazo no puede serlo. Por ejemplo, si tenemos un cultivo bacteriolgico quese duplica cada 1 hora, si contina este crecimiento tarde o temprano llenar todo el planeta y elsistema solar completos; y esto es bastante poco probable. Se sugiere pedir un informe explicandopor qu el modelo exponencial no puede modelar el crecimiento de la poblacin enferma debidoa una epidemia.

Conjetura y argumenta.

Existen varios problemas que requieren conjeturar y luego argumentar, por ejemplo:

Cul es la cifra de las unidades de 624?

Muchos estudiantes intentarn calcular esa potencia. Calcularn 62, 63, y as sucesivamente, peropronto se sentirn frustrados o aburridos slo de pensar que les tomar demasiado trabajo llegar alresultado. Si esto ocurre, y los estudiantes no notan una generalidad, preguntarles:

En las primeras potencias de 6, cul es la cifra de las unidades?

Si la respuesta es 6 preguntar: ser cierto siempre?

ORIENTACIONES DIDCTICAS



o

ao Medio

1Unidad

Un argumento podra ser: si se multiplica 6 por un nmero cuya cifra de las unidades es 6, el resul-tado tambin tendr en el lugar de las unidades un 6.

Como 6 6 36 = , y por el argumento anterior, se cumple siempre que, cualquier potencia natural

de 6 tiene en el lugar de las unidades al 6.

Si un estudiante utiliz la calculadora y responde que la cifra de las unidades es 6, pues de hechoel nmero es 4 738 381 338 321 616 896.

Pedirle ahora que calcule 6123

; en este caso la calculadora falla, entonces hacer las mismas pregun-tas que en el caso anterior.

El mismo desarrollo es vlido para la pregunta, cul es la cifra de las unidades de 5100? De hecho,todas las potencias de 5 tienen en el lugar de las unidades a 5.

La pregunta: cul es la cifra de las unidades de 284? es ms interesante que las anteriores, de-

bido a que las potencias de 2, tienen distintas cifras en el lugar de las unidades. De hecho, enel lugar de las unidades, pueden estar 2, 4, 6, y 8. Una forma de conjeturar es la siguiente:Las cifras de las unidades de las potencias de 2 se repiten en ciclos, y el ciclo es 2, 4, 8, 6.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 1625 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256

Por lo tanto, si 2 es elevado a una potencia que es mltiplo de 4, el resultado tendr en el lugar de

las unidades el 6. Por lo tanto, 2 284 4 21= tiene a 6 en el lugar de las unidades. Luego habra queprobar que esta conjetura sea cierta.

Otra estrategia que un estudiante puede utilizar es la siguiente: 284 es multiplicar 2 por s mismo

84 veces, es decir:

2 2 2 2 2 2 2 284 = ...

Pero si juntamos cuatro de esos productos, resulta 24 = 16, por lo tanto:

2 16 16 16 16 16 16 1684 = ...

Pero como vimos antes, si un nmero terminado en 6 se multiplica por otro terminado en 6 el re-

sultado tambin termina en 6. Por lo tanto, la cifra de las unidades de 284

es 6.

En el caso de que aparezca ms de una estrategia, compararlas y encontrar ventajas y deficienciasa cada una de ellas. Decidir en cules casos una estrategia es ms conveniente que otra. Siempredejando que cada estudiante, personalmente, elija la que ms le acomode. Se sugiere que en gru-pos entreguen una hoja destacando una estrategia sobre las otras y argumentando el por qu dela eleccin.


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NMEROS1

Unidad

Potencias de 10 y software.

En la pgina http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/ aparecenfotografas de la Tierra vista a diferentes distancias. Es muy interesante esta pgina, porque las imge-nes son interactivas, es decir, haces clic en un botn y muestra una imagen de un orden de magnitudms lejana o ms cercana, dependiendo del botn que se elija. Es importante mostrar estas imgenespara tener una idea real de estas distancias.

Algunas imgenes se presentan abajo. La primera muestra la Tierra vista a una distancia de 1019 m.

El botn decrease permite ver imgenes ms cercanas de la tierra y el botn increase permitever imgenes ms alejadas de la Tierra, siempre y cuando se elija la forma manual si no el pro-grama lo hace automticamente.

Las siguientes imgenes tienen un rtulo que indica la potencia de 10 medido en metros desde

donde se ve la Tierra.

Varias actividades se pueden realizar al respecto. Por ejemplo: con una tabla que tenga la medidaen metros de diferentes distancias, la distancia de la Tierra a la Luna, la distancia de la Tierra a losotros planetas, la distancia de la Tierra al Sol, la distancia a la galaxia ms cercana, la altura a la quevuela un avin comercial, la altura a la que puede volar un helicptero, etc. La tabla puede estar endiferentes unidades (kilmetros, aos luz, etc.). Pedirle al estudiante, cul de las vistas mostradascorresponde a las distancias de la tabla, as por ejemplo, la imagen que muestra la Tierra desde unadistancia de 107 m, corresponde a la imagen tomada desde un avin?, desde un satlite? o esuna imagen tomada desde la Luna?



o

ao Medio

1Unidad

Una tabla, como la mencionada puede ser la siguiente:

Distancia Medida

De la Tierra a la Luna 384 400 kmDe la Tierra al Sol 142 700 000 km

De la Tierra a Plutn (5 horas y 30 min)

De la Tierra a Alfa Centauro 4,3 aos-luz

Altura de vuelo de un avin 1 500 km

En grupo.

Las actividades en grupo deben ser realizadas de forma tal que las ideas de todos y todas sean

escuchadas, que cada cual sienta que su parte del trabajo es esencial para el resultado final. Lasiguiente actividad, aparece en el libro del estudiante:

Jntate con varios compaeros de curso y por separado, midan el largo del patio de tucolegio utilizando una huincha de 3m. Luego comparen todos sus resultados. Discutancul sera una buena estrategia para tener una aproximacin del largo del patio, con unerror menor a un centmetro.

Aparte de recolectar las medidas que cada estudiante hizo, es importante preguntar cul fue laestrategia utilizada para hacer la medicin. Algunas preguntas que pueden servir, para que losestudiantes den informacin relevante son: cmo hicieron para asegurarse de que el final de lahuincha coincida exactamente con el comienzo de la prxima medicin? Cmo hicieron paraasegurarse que la huincha a lo largo del patio sigui una lnea recta? Cmo puede esto influiren el resultado final? Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto de inicio delpatio? Todos los estudiantes coinciden en considerar el mismo punto como final del patio?

Si es necesario, permitir que los estudiantes realicen de nuevo sus mediciones, esto es muy impor-tante en las ciencias en general:planificar el experimento.

Si se toma la parte entera de las mediciones, se espera que las mediciones se concentren en lamoda. En este caso, una estrategia puede ser considerar la moda de las partes enteras de las me-diciones, como una aproximacin del largo del patio. Discutir acerca de esta estrategia.

Si hay pocas mediciones cuyas partes enteras estn alejadas de la moda, se puede estudiar la posi-bilidad de descartar estas mediciones del estudio general y preguntar a qu se debe esa dispersin.

Estudiar en este caso cul estrategia utilizar. Presentar a la discusin, si calcular el promedio de lasmediciones, es una buena estimacin.

Investigacin y discusin.

En esta unidad aparece un prrafo relativo a cantidades de enfermos de Sida segn regin delmundo, una de las actividades relativas a ese tema es:

Junto a tus compaeros averigua, cuntos enfermos de Sida hay en Chile?La pgina www.vihsida.cl les puede servir o tambin www.minsal.cl.


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NMEROS1

Unidad

Cuntos de los enfermos de Sida latinoamericanos o caribeos son chilenos? Y respecto al contexto mundial? Renan sus averiguaciones y disctanlas.

Es muy importante que el tema sea abordado con mucha seriedad, considerando la posibilidad deque uno de los estudiantes est relacionado con esta enfermedad, por alguien de su entorno opersonalmente.

Analizar los datos recogidos y evaluar stos en el caso en que no todos tengan informacionescoincidentes. En este caso proponer estrategias que permitan confiar en algn dato obtenido. Eltema puede servir para hacer otro tipo de investigaciones. Por ejemplo: qu parte de las mujerescon Sida tienen hijos con Sida? Cunto dinero deben gastar mensualmente en medicamentos losenfermos de Sida? Los trabajos deben ser evaluados en originalidad y en correccin de los argu-mentos.

Y si no fuera?

Es + 1 irracional?Hay muchas formas de responder esta pregunta, pero en esta ocasin, proponemos utilizar lanegacin de tesis, debido a que es muy til en variados casos. Entonces, ante el caso enunciado,preguntarles, qu pasara si no fuese irracional? En este caso, ocurrira que + =1 r sera racionaly por lo tanto = r 1 tambin lo sera, pero esto no es correcto, pues sabemos que es irracio-nal, por lo tanto si +1fuese racional, llegamos a una contradiccin, por lo tanto, + =1 r esirracional. En las pruebas estndares es recomendable incluir este tipo de preguntas.

Una receta

Es muy comn encontrar en varios textos la receta para transformar nmeros decimales peridicos

o semiperidicos a fraccin, sin dar ningn argumento de por qu esto funciona. A saber dice:

Escriba el nmero sin comas reste el anteperiodo y divida por un nmero formado por

tantos nueves como tenga el periodo seguido de tantos ceros como tenga el anteperiodo.

La cual es cierta, pero aparece mgicamente y adems basta que se confunda un nombre para queel clculo sea incorrecto. En el texto preferimos mostrar el algoritmo que permite hacer la transfor-macin, justificando cada paso de tal manera de asegurar que se trata de un cuociente de nmerosenteros. Adems se sugiere mostrar ms de una forma de transformacin, para que se vea ciertaflexibilidad en el mtodo. Por ejemplo;al transformar 3,789 a fraccin, se sugiere:

Paso 1: Multiplicar 3,789 por 103 y por 105 y notar que los resultados tienen la misma partedecimal.

Paso 2: Restar los resultados del paso 1 y verificar que se obtiene un nmero entero. Paso 3: Usar la ley distributiva para escribir 3,789 105 3,789 103 como 3,789(105 103). Paso 4: Concluir que 3,789 se puede escribir como el cuociente entre el nmero entero que resulta

del paso 2 y 105 103.



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ao Medio

1Unidad

ERRORES FRECUENTES

La suma de dos nmeros irracionales es un nmero irracional.

Por lo general, los estudiantes creen que la suma de dos nmeros irracionales es un nmero irra-cional. La verdad es que esa afirmacin no es cierta en general, en algunos casos es cierto y enotros no lo es.

Mostraremos un ejemplo, que evidencia que la afirmacin es falsa. Se demostr en el texto del estu-

diante que 2 es un nmero irracional. Demostremos que 2 2 tambin es un nmero irracional.De hecho, si no lo fuera, sera racional. Supongamos que r = 2 2 es racional, entonces:

2 2 =r

Pero como la resta de nmeros racionales es racional, implicara que 2 es racional, lo cual es una

contradiccin. Por lo tanto,2 2

es irracional.

Ahora si consideramos los nmeros irracionales: x = 2 e y = 2 2 , se tiene que su suma es 2, unnmero racional. Entonces, es falso que la suma de dos nmeros irracionales es irracional.

El producto de dos nmeros irracionales es irracional.

Esta afirmacin tambin es falsa, y el error, igual que en el caso anterior, se debe a dos cosas:

Primero: en todos los conjuntos numricos que conocen, si satisfacen estas dos propiedades, esdecir, para , , y ahora , se cumple que la suma y el producto de cualquier par de elementosde esos conjuntos pertenece al conjunto. Por lo tanto, creen que todos los conjuntos debierancumplirla.

Segundo: pertenece a los estudiantes, slo prueban unos casos particulares, y si la propiedad escierta en esos casos particulares, infieren que la propiedad es cierta en todos los casos. Por ejem-

plo: 2 3+ y 2 3 corresponden a nmeros irracionales, que son la suma y el producto de dosnmeros irracionales.

Por esta razn, es muy importante, que los estudiantes no infieran nada a partir de casos par-ticulares, respecto al caso general. Sin embargo, la estrategia de utilizar casos particulares paraconjeturar el caso general es siempre una muy buena idea, pero sin perder de vista que luego senecesita una demostracin.

Un ejemplo de que el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional es el siguiente:

Sea a = 2 y b = 8 , ambos son nmeros irracionales.

Sin embargo,

ab = = 16 4

Luego, el producto de dos nmeros irracionales puede ser racional.


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NMEROS1

Unidad

ACTIVIDADES DE REFUERZO Y AMPLIACIN

Si las actividades del texto del estudiante, resultan de fcil acceso a los estudiantes de su curso, invite adar argumentos de sus conclusiones, pues el texto est diseado para cubrir diferentes ritmos de apren-dizaje del alumnado y existen preguntas profundas, que requieren un pensamiento claro y ordenado,que no todos los estudiantes logran a esta edad.

Si an as, sus estudiantes sobrepasan en un tiempo corto estos temas, siempre existen actividadesque permiten ampliar los conocimientos de esta unidad. A continuacin presentamos unos ejem-plos:

1. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua; 90 L son de alcohol y 10 L son de agua. Cada 10minutos se sacan 10 L de mezcla e inmediatamente se rellena con 10 litros de una mezcla de 50%de agua y 50% de alcohol. Cunto alcohol tendr el tanque despus de una hora? Cunto alcoholtendr el tanque despus de 10 n minutos? Qu pasar en el largo plazo?

Este problema generaliza el Problema Resuelto del texto del estudiante, con la diferencia que aho-ra al tanque entra una cantidad significativa de soluto, en cambio en el caso del texto, no entraba altanque soluto. La coincidencia de estos problemas est en que el volumen del tanque se mantiene

constante. La idea del problema es que el estudiante descubra una generalidad utilizando potenciasy as valorar la notacin de potencias que le permite resumir grandes multiplicaciones.

Un asunto ms interesante, pero ms difcil, es crear otro problema similar donde el volumen deltanque no se mantenga constante. Por ejemplo:

2. Un tanque contiene una mezcla de alcohol y agua: 90 L son de alcohol y 10 L de agua. Cada10 minutos se sacan 10 L de la mezcla e inmediatamente se rellena con 8 litros de una mezcla de50% de agua y 50% de alcohol. Cunto alcohol tendr el tanque despus de una hora? Cuntoalcohol tendr el tanque despus de 10 n minutos? Qu pasar en el largo plazo? Qu parte dealcohol tendr la ltima muestra de mezcla en el tanque?

Utilizar la calculadora para decidir si un nmero es racional o no.

Este error es muy comn, de hecho existen libros de matemticas que lo fomentan. Por ejemplo, si

en una calculadora se encuentra el nmero

0,0057803468208092485549132947976879

no podemos decir si el que la estaba usando, hizo un clculo que da como resultado un nmero

racional o no; de hecho, este nmero son los primeros 34 decimales del nmero racional1

173. Ms

an, no es un problema fcil decidir cun largo es el periodo de ese nmero.

La potencia de un nmero irracional es irracional.

Este es un caso particular del error el producto de dos nmeros irracionales, es un nmero irracio-

nal. Un ejemplo de que la afirmacin es falsa, es el siguiente: a = 2 ; sin embargo, a2 2= .



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ao Medio

1Unidad

3. Es 3 racional?

La idea de esto es repetir la demostracin que se hizo para probar que 2 es irracional. Para ello

basta tener en cuenta que si a2 es mltiplo de 3, entonces a lo es, as la demostracin resulta

idntica a la mostrada en el texto del estudiante.

4. Imagina que das un paso de un metro, luego das un paso la mitad del largo del anterior, luego dasun paso la mitad del anterior y as sucesivamente, das pasos del largo de la mitad del paso anterior.Es cierto que a lo ms recorrers una distancia de dos metros?

Se espera que un estudiante avanzado, encuentre una regularidad para la suma

11

2

1

2

1

2

1

22 3+ + + + +...

nn

el valor de esa suma es 21

2

nn. Si el estudiante no logra responder la pregunta, puede darle el

valor de la suma para valores pequeos de n. Si an as no conjetura la solucin pueden invitarlo

a investigar en la bibliografa.

En el caso de que el alumno o alumna se sienta demasiado demandado por las actividades del textodel estudiante, se sugiere investigar a qu se debe este abrumamiento. Es posible que el estudianteno se sienta cmodo con los conocimientos previos a la unidad; en ese caso se sugiere hacer acti-vidades de clculo numrico relativos a operaciones con nmeros racionales y propiedades de laspotencias. Si es difcil seguir algunas actividades del texto, a continuacin mostramos unos ejem-plos que permiten acercarse a esas actividades.

1. Si los problemas relativos a procesos iterados, como el de la amigdalitis de Antonia resultaagobiante para algunos estudiantes, se sugiere introducir el siguiente problema a modo de acer-camiento:

Tu pap se sirve un caf en la maana, que tiene una cucharada de caf en polvo. Se tomala mitad y se va corriendo al trabajo. A tu mam no le gusta tan cargado como a tu pap,y rellena la taza con agua caliente, y se toma la mitad. Qu parte de la cucharada inicialde caf tom tu mam?

Motivar al estudiante a preguntarse, qu parte de la cucharada inicial tom el pap? Luego, si lataza contiene slo la mitad del caf inicial, cuando lo tom la mam, y se tom la mitad de lo quehaba, qu parte del caf inicial tom la mam? Luego invitar al estudiante a resolver el problemade Antonia. Si la incursin da resultados negativos, seguir intentando con el problema del caf,agregando personas a la historia. Por ejemplo, despus vino tu hermano y rellen la taza conagua y se tom la mitad, qu parte del caf inicial se tom tu hermano? y repetir el proceso.Puede intentarse tambin, cambiando las fracciones de prdida de mezcla; puede suponer que elpap se tom 2/3 de la taza, y luego la mam tom 2/3 de lo que quedaba y as sucesivamente,hasta obtener, que el estudiante logre descubrir la recurrencia en potencias.


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NMEROS1

Unidad

2. Si el estudiante puede generalizar regularidades dadas en formato geomtrico, pero no es capazde resolver los problemas puramente aritmticos, se sugiere invitarlo a hacer un modelo geomtri-co del problema. Por ejemplo, en el texto se demostr que:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

2+ + + + + + + + + + = +... ( )n n n

y se pide en una actividad calcular la suma de los primeros 100 nmeros pares.

Para ello, se puede sugerir mostrar los nmeros pares como parejas de baldosas, como muestra lafigura:

Pedir al estudiante que argumente que la suma de todas esas baldosas es el doble de las primeras

filas, es decir, el doble de 1 2 3 4 5+ + + + + +... n . Esto es, la suma de los primeros n nmeros pares

es: 21

21

+= +

n nn n

( )( ). Por lo tanto la suma de los primeros 100 nmeros pares es:

100 101= 10 100.



o

ao Medio

1Unidad

Las actividades del texto del estudiante estn diseadas para que el alumno(a) modele, resuelva pro-blemas, calcule y aplique los conceptos e ideas descubiertos en esta Unidad.

Las preguntas que presentamos a continuacin, pretenden reconocer si se logr un conocimientoprofundo de los tpicos estudiados en esta unidad.

1. Es cierto que todo nmero natural es un mltiplo de 3, o el sucesor de un mltiplo de 3 o elantecesor de un mltiplo de 3?

2. Demuestra que: si a2 es un mltiplo de 3, entonces a lo es.

3. Si r es racional y s es irracional con r < s. El promedio de esos nmeros, es racional o irracional?

4. Es cierto que 1 1 1a b a b

+ =+

?

5. Es cierto que 42

1

2

=n

n?

6. Es cierto que la mitad de un nmero irracional es un nmero irracional?

7. Es cierto que el inverso aditivo de un nmero irracional es un nmero irracional?8. Si r es racional, s es irracional y r s es racional, es cierto que r = 0 ?

9. Si a un nmero irracional se le suma un nmero entero, es cierto que el nmero que resultatiene los mismos decimales que el nmero irracional?

10. Un profesor califica las pruebas con notas de hasta dos decimales, luego promedia las notas y elresultado lo aproxima redondeando al primer decimal. Obtn el mismo resultado que redon-deando cada nota, calculando el promedio y luego redondeando el promedio tambin.

11. Si se dice que un planeta tiene una masa del orden de 1027 kg, entonces, es cierto que la masa

de ese planeta est entre 109 toneladas y 9 9 109, toneladas?

12. Si en una calculadora ves el nmero 3,1415926535897932384626433832795, puedesdecidir si es la aproximacin de un nmero racional o de uno irracional?

13. Una secuencia de nmeros tiene como primeros trminos a 1, 2, 3, 4, puedes decir cul es elquinto elemento?

ACTIVIDADES DE CIERRE DE UNIDAD


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NMEROS1

Unidad

MODELOS DIDCTICOS

A continuacin se darn ejemplos concretos y actividades que ayudarn a que los alum-nos y alumnas logren los aprendizajes esperados en esta primera unidad.

Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan con situa-ciones descriptibles por adicin iterada.

El siguiente problema propuesto en las actividades para aplicar, en el tpico de poten-cias dice:

El padre de Yael, le presenta dos alternativas para juntarle su dinero quincenal: la prime-ra consiste en abonarle $1 000 cada da. La segunda en que el primer da le abona unpeso, el segundo da dos pesos, el tercer da el doble del anterior, y as sucesivamente,cada da duplica la cantidad del da anterior. Cul propuesta le conviene ms a Yael?

Para calcular la cantidad de dinero, utilizando la primera propuesta, es necesario resol-

ver una adicin iterada, de hecho quince veces mil; en cambio; si utilizamos la segundapropuesta el ritmo de crecimiento es muy rpido y lo describe la potencia 2k. En esteproblema los alumnos, al principio, creern que la primera propuesta es ms conve-niente por la cantidad de dinero con la que se inicia, que es bastante superior que en lasegunda propuesta, pero despus van a comparar las cantidades y vern que la primerapropuesta el crecimiento es constante da a da, en cambio, en la segunda propuesta, elcrecimiento se va duplicando.

Estiman y analizan resultados en la realizacin de clculos y en la resolucin deproblemas y los ajustan a sus caractersticas.

El siguiente problema corresponde al tema de aproximaciones tratado en la unidad.

Supn que Ramn midi mal. La cancha mide realmente 25,1 m de ancho y 59,9 m delargo, el rea real es distinta o igual que si la hubisemos calculado con los datos deRamn? Cun diferentes? Nos hubisemos pasado o quedado cortos?

Segn Ramn las medidas iniciales eran de 25 m y 60 m. Notar que en una medida seequivoc por exceso y en otra por defecto, lo cual puede llevar a pensar a los estudian-tes, que el rea se mantiene igual. Por lo tanto, es importante invitar a los estudiantesa hacer los clculos y comprobar sus conjeturas.

Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regulari-dades numricas presentes en determinados problemas.

El siguiente problema se encuentra en las actividades tratadas en el tema de regularida-des numricas de la unidad:

1 2 2 12+ = , 1 2 2 2 12 3+ + = , 1 2 2 2 2 12 3 4+ + + = , 1 2 2 2 2 2 12 3 4 5+ + + + =

Conjetura cul es el valor de 1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 5 6 7 8+ + + + + + + + . Cmo crees queser el caso general?



o

ao Medio

1Unidad

Es importante que se explicite que una conjetura es muy distinta a una demostracin. Que slocon conjeturar y comprobar que una generalidad se satisface en algunos casos particulares no esposible decir que nuestra conjetura es cierta.

Diferencian entre nmeros enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expre-san en notacin decimal y sealan su ubicacin en la recta numrica.

1. Considera los nmeros racionales13

y14

a) Ubica los nmeros en la recta numrica.

b) Encuentra el punto medio M entre esos nmeros. Es un nmero racional?

c) Encuentra el punto medio entre 13

y M y el punto medio entre M y14

. Son esos puntosnmeros racionales?

En este problema se pide que encuentre nmeros racionales cumpliendo cierto orden y discriminesi estos nmeros son o no racionales. Adems, la actividad apunta a descubrir la propiedad queentre dos nmeros racionales, existen infinitos nmeros racionales.

2. Es 2 2+ racional? Es 2 2 racional?

En este problema se desea analizar y generalizar, si producto de dos irracionales es irracional, y sila suma de un nmero racional con un irracional resulta irracional.

3. Ordena los siguientes nmeros de menor a mayor: 1 2 0 2 31

2, , , , , . Ordenar nmeros

reales puede ser una tarea difcil para el estudiante, por ello se sugiere apoyar esta actividad

muy fuertemente y sobretodo evaluar y corregir los argumentos.

Interpretan la informacin que proporciona la calculadora.

Despus de que Juan realiz una serie de clculos, le apareci el siguiente resultado en la calcula-

dora: 0,063583815028901734104046242774566.

Qu diras t acerca de este nmero? Es racional o irracional? En ese momento se acerca el

hermano de Juan y le pregunta en qu ocupa ese nmero irracional que aparece en la calculadora,

pero Juan le comenta que es el racional

11

173 con slo 33 decimales. Con esto el hermano de Juanse percat que utilizando la calculadora es imposible verificar si un nmero es irracional o no, ya

que el periodo de un nmero, en caso de que lo tenga, puede aparecer muy tarde y la calculadora

no lo mostrar. As ambos se preguntaron, despus de cuntos decimales aparece el periodo de11

173? Podras ayudarlos a resolver su problema?

El objetivo de esta actividad es que el estudiante se convenza de que con la calculadora no puededecidir si un nmero es irracional o no, de hecho la calculadora solo trabaja con aproximaciones ra-cionales. La actividad considera un nmero racional de un periodo bastante largo, para que no creaque se trata solo de lo acotado del nmero de decimales de nuestra calculadora en particular.


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LGEBRA2

Unidad

Esta unidad se centra en el desarrollo de la capacidad de generalizacin de situaciones que derivandel trabajo con los nmeros o con las formas geomtricas, apoyada en la potencialidad del lenguaje

algebraico para describir esas generalizaciones. Tambin en la solucin de ecuaciones de primer gradocon coeficientes literales, como una generalizacin de las ecuaciones de primer grado con coeficientesnumricos. Tambin focaliza la atencin en el clculo de factores y productos, se orienta al desarrollode la capacidad de generalizacin apoyada en una sistematizacin del lenguaje algebraico.

Se propone la enseanza del clculo de productos notables considerando como conocimientos pre-vios la operatoria aritmtica y el clculo de reas de rectngulos. En esta perspectiva se hace hincapien el carcter generalizador aportado por el lgebra.

Es importante dentro de esta unidad, el significado que proporciona la aritmtica y la geometra enlos procedimientos para calcular productos y realizar factorizaciones.

Las funciones son sino el que ms, uno de los temas principales dentro de toda la matemtica, y seha hecho un esfuerzo para estudiarlas como objetos, usando metforas de mquinas y de otro tipo.Sin duda que las aplicaciones y utilizacin como modelos estn presentes en el texto y con la debida

importancia.

Objetivosfundamentales verticales

CMO Aprendizajes esperados

- Usar e interpretar conven-ciones algebraicas bsicas quepermiten generalizar concep-tos, relaciones u operacionesas como tambin representarsituaciones que involucrancantidades variables.

- Modelar situaciones o fen-

menos mediante funcioneslineales y afines.

- Aplicar modelos lineales querepresentan la relacin entrevariables, diferenciar entre ve-rificacin y demostracin depropiedades, analizar estrate-gias de resolucin de proble-mas de acuerdo con criteriosdefinidos.

- Establecimiento de rela-ciones entre expresionesalgebraicas no fraccio-narias mediante la eli-minacin de parntesis,reduccin de trminossemejantes, productos,productos notables yfactorizacin.

- Resolucin de ecuacio-nes de primer gradocon una incgnita ycoeficientes literales ysu aplicacin en la inter-pretacin y transforma-cin de frmulas.

- Anlisis de las distintasrepresentaciones de lafuncin lineal, su apli-cacin en la resolucinde diversas situaciones

problema y su relacincon la proporcionalidaddirecta.

- Interpretacin de la fun-cin afn, anlisis de lassituaciones que modelay estudio de las varia-ciones grficas que seproducen por la modi-ficaciones de sus par-metros.

- Utilizan letras para representar nmeros. Eva-lan expresiones algebraicas.

- Representan categoras de nmeros por me-dio de expresiones algebraicas: mltiplos de ... ;factores de ... ; mayores que ... ; nmeros pares,etc.

- Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuan-

titativas en las que utilizan letras como incgnita.Plantean y resuelven problemas que involucranecuaciones de primer grado con una incgnita.

- Conjeturan y generalizan acerca de patronesnumricos o geomtricos utilizando expresionesliterales.

- Suman y restan monomios, binomios y polino-mios. Reducen trminos semejantes y aplican laconvencin de uso de parntesis.

- Conjeturan propiedades numricas asociadas amltiplos y las demuestran.

- Resuelven ecuaciones con coeficientes numri-cos y literales. Analizan la existencia de sus solu-ciones.

- Modelan situaciones o fenmenos mediantefunciones lineales y afines.

- Relacionan la interseccin de rectas con la solu-cin de ecuaciones.

- Grafican funciones afines y lineales, interpretan-do los cambios en los parmetros.

INFORMACIN CURRICULAR


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2Unidad

Gua Didctica para el Profesor Matemtica 1o

ao Medio

Contenidosrelacionados conniveles anteriores

Contenidos dela Unidad

Contenidos relacionadoscon niveles y/o unidades

siguientes

6 Bsico

- Empleo de propiedades de lasoperaciones de los nmeros na-turales para resolver ecuacionesde primer grado.

- Validacin de la solucin obteni-da en la resolucin de una ecua-cin de primer grado con una in-cgnita, mediante la sustitucinde la incgnita.

7 Bsico

- Reduccin de expresiones alge-braicas por medio de la aplica-cin de propiedades de las ope-raciones, adicin y sustraccin detrminos semejantes y elimina-cin de parntesis.

- Traduccin de expresiones del len-guaje natural a lenguaje simbli-co y viceversa.

- Resolucin de problemas me-diante el planteamiento de una

ecuacin de primer grado conuna incgnita, interpretacin dela solucin en trminos del con-texto del problema.

8 Bsico

- Resolucin de problemas en di-versos contextos que implican eluso de la relacin de proporcio-nalidad como modelo matem-tico y su aplicacin al clculo deporcentajes.

- Establecimiento de relaciones

entre expresiones algebraicasno fraccionarias mediante laeliminacin de parntesis,reduccin de trminos seme-jantes, productos, productosnotables y factorizacin.

- Resolucin de ecuaciones deprimer grado con una incg-nita y coeficientes literales ysu aplicacin en la interpre-tacin y transformacin defrmulas.

- Anlisis de las distintas repre-sentaciones de la funcin li-neal, su aplicacin en la reso-lucin de diversas situacionesproblema y su relacin con laproporcionalidad directa.

- Interpretacin de la funcinafn, anlisis de las situacio-nes que modela y estudio delas variaciones grficas quese producen por la modifica-ciones de sus parmetros.

2 Medio

- Resolucin de problemas mediantesistemas de ecuaciones lineales condos incgnitas, en contextos varia-dos. Discusin de pertinencia y exis-tencia de soluciones.

- Simplificacin de fracciones algebrai-cas simples, con binomios tanto enel numerador como en el denomina-dor.

3 Medio

- Representacin y anlisis grfico dela funcin cuadrtica, para distintosvalores de los parmetros. Discusinde las condiciones que debe cumplirla funcin cuadrtica para que la gr-fica intersecte el eje X.


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LGEBRA2

Unidad

ORIENTACIONES DIDCTICAS

Esta Unidad y en particular sus actividades pretenden desarrollar en el estudiante habilidades queles permitan generalizar regularidades utilizando el lenguaje algebraico.

Tambin utiliza el lenguaje algebraico para interpretar y evaluar expresiones utilizadas en las cien-cias. Es importante que el estudiante reconozca las ventajas de tener un lenguaje que le permiteresumir informacin cientfica. El estudiante reconoce en el lgebra una herramienta muy til parademostrar resultados generales. Las frmulas en ciencias debieran ser un tema de exploracinreferente al comportamiento de unas variables respecto de otras.

De nuevo, hay muchas actividades que son preguntas abiertas, del tipo: Es cierto que...? Enestos casos es muy importante no darles las soluciones de inmediato.

Insistimos en dar slo algunas pistas que encaminen a la respuesta.

Los trabajos en grupos y las discusiones de temas sociales, polticos o morales deben ser dirigidoshacia la tolerancia y respeto. Muy importante es valorar la diversidad de estrategias que surgenpara resolver problemas o para modelarlos. En esta unidad se trata el tema de la Obesidad; sermuy prudente hacer una introduccin al tema para evitar las burlas a los estudiantes con sobre-peso. Tambin ser prudente tratar el tema de las enfermedades producidas por la desnutricin,como la bulimia y la anorexia.

A continuacin veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas.

Ejemplos de actividades

Reconocen y relacionan variables.

En varias situaciones de la vida real y de las ciencias los estudiantes reconocen variables y las rela-cionan. En el problema de la cuenta de electricidad se lee:

"Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts/horaconsumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68; adems se cobra un cargo fijo de$509, independiente del consumo. Supongamos que en una casa se consumieron 181KWH en el mes de enero".

Es importante preguntar a los estudiantes, cules son los valores que varan mes a mes? Los es-tudiantes debieran notar que ni el cargo fijo ni el valor del KWH varan en un periodo prolongado.

De modo que mes a mes slo varan el consumo y el valor de la cuenta.

Preguntar a los estudiantes, cul es la relacin entre esas variables?, es decir, si conocemos elconsumo de un mes, cul ser el valor de la cuenta?

Completar la tabla de la actividad es relevante para notar la dependencia entre las variables. Si unestudiante propone una relacin errada invitarlo a evaluarla para que se convenza de que efecti-vamente est equivocado. Es muy importante que el estudiante conozca, cree y desarrolle todoslos medios de comprobacin. Por lo que debe pedir a los estudiantes que sucintamente entreguenlos argumentos que aseguren sus conclusiones.


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Interpretar frmulas.

Las frmulas, aparte de evaluarlas numricamente, pueden ser estudiadas de manera cualitativa,

sin necesidad de conocer los valores que stas toman. En esta unidad aparecen varias actividades

relativas a ello. Por ejemplo, la relacin h vmxx

vm= +

4 91

2

22, ( ) , representa la altura de un pro-

yectil lanzado con velocidad v, donde m es un nmero que depende de la inclinacin del disparo

y x es la distancia recorrida en la direccin horizontal. Qu significa que para algn valor x0

la

altura del proyectil sea cero?

Una primera intencin del estudiante es tratar de encontrar esos puntos, pues siempre intentanresolver ecuaciones. Sin embargo, con esta pregunta se trata de interpretar la frmula, y slopretende que el estudiante, analice cualitativamente, sin conocer los valores que toma. Cuandoel estudiante se d cuenta, de qu significa que el proyectil est en el suelo, pida que respondan:les parece claro que cuando x = 0, h tambin valga cero? Pida que evalen. Luego puede pedirque hagan un bosquejo de cmo creen que es la trayectoria y que marquen xo en el dibujo. Parafinalizar hacer la siguiente pregunta de la actividad: qu pasa en la mitad de xo? Segn el dibujoy la simetra del lanzamiento, se espera que contesten que se alcanza la altura mxima. Puedeentregar tablas y evaluaciones de las relaciones, para mostrar el trabajo realizado.

Crean frmulas en planillas de clculo.

Las planillas de clculo constituyen un gran apoyo para demostrar los conocimientos en lgebra,en un ambiente ms atractivo para los estudiantes.

Las planillas de clculo tienen varias funciones incorporadas, como sumar, encontrar mximos,mnimos, calcular promedios, etc. En esta unidad aparece una actividad para calcular el promediode tres notas, con diferentes ponderaciones.

Se pide calcular la nota final si la tercera fuese coeficiente 2. Al comienzo invitar al estudiante, si no sesiente seguro de su resultado, a realizar el clculo con papel y lpiz. Lo ms natural es que escriba lafrmula = + +( * ) / B C D2 2 2 2 4 , sin embargo, es muy comn el error = + +( * ) / B C D2 2 2 2 3, en estecaso convencer al estudiante que esto es un error, preguntndole, por ejemplo, cul sera la nota

A B C D E

1 Asignatura Nota 1 Nota 2 Nota 3 Promedio

2 Artes 5,7 6,4 7,0

3 Biologa 4,4 5,3 4,2

4 Ed. Tecnolgica 5,1 6,3 7,0

5 Ed. Fsica 7,0 7,0 5,5

6 Ed. Musical 6,0 6,5 5,4

7 Filosofa 5,0 4,3 4,5

8 Fsica 4,4 5,6 6,69 Historia 3,3 4,1 2,8

10 Ingls 7,0 6,4 4,4

11 Lenguaje 7,0 5,5 4,3

12 Matemtica 7,0 6,8 5,5

13 Qumica 4,5 5,2 6,3


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final de un estudiante, que tuviera en todas las pruebas nota 7? Es importante recolectar todas lasestrategias. Si solo aparece una, sugerir alguna otra, por ejemplo: copiar la columna D en la colum-na E y luego ocupar directamente la funcin promedio, es decir, = PROMEDIO B E( : )2 2 .

Pedir a los estudiantes que expliquen por qu ambas frmulas producen el mismo resultado. Luegohacer la siguiente pregunta de la actividad. Cul sera la frmula si la primera nota vale la mitadde cada una de las otras? Recolectar las estrategias que surjan de la reflexin de los estudiantes. Enel caso en que slo aparezca una solucin del problema, proponer otros caminos alternativos, porejemplo:

1. Dividir la unidad en tres partes, dos de ellas son iguales, y una es la mitad de las otras. De estoresulta que la parte pequea es 1/5 y las otras dos son 2/5 del total, entonces la frmula de la notafinal sera: ( / ) * ( / )* ( / )*1 5 2 2 5 2 2 5 2B C D+ + .

2. Otra forma sera considerar que las ltimas pruebas fuesen coeficiente dos, entonces considera-mos 5 notas. En este caso la frmula sera ( ,* * ) / B C C2 2 2 2 3 5+ + .

3. Otra forma sera pensar en trminos de porcentajes: la primera nota equivale al 20% de la notafinal, en cambio las otras el 40%; en este caso la frmula sera:0 2 2 0 4 2 0 4 2, * , * , *B C D+ + .

4. La otra puede ser preguntada a los estudiantes: cmo se hara utilizando la funcin Promedio?

Si se tiene acceso a computadores para los estudiantes, pedir copiar a cada uno, una planilla declculo con datos, para que ellos encuentren la frmula que Ud. pida. Puede solicitar que le envenlas soluciones va correo electrnico.

Analizar cambios lineales en frmulas geomtricas.

Es un recurso muy didctico utilizar las representaciones geomtricas, as como tambin las fr-mulas de reas y volmenes para analizar frmulas, que para los estudiantes son ms cercanasque las de otras ciencias. En esta unidad aparecen varias actividades relacionadas con este tema,por ejemplo:

El volumen de un cilindro de radio r y altura h es r h2 . Cuntas veces ms pequeo esel volumen de un cilindro que tiene la misma altura que otro pero la mitad del radio?

Un error comn es pensar que el cilindro pequeo tiene la mitad de volumen. El error se comete,porque la nica relacin que han estudiado es la proporcional y creen que es la nica. Sin em-

bargo, en este caso particular el volumen del cilindro pequeo es 1/4 del cilindro mayor. Serainteresante preguntar por la generalidad, es decir, si en ambos cilindros la altura es la misma, peroel radio del cilindro menor es la tercera parte del mayor, es la cuarta parte del mayor, es la n-si-ma parte del mayor, qu ocurre con el volumen? Si la respuesta no surge, preguntar el volumendel ms grande es n veces ms grande que el volumen del pequeo? Invitar a los estudiantesa hacer tablas, para conjeturar una regularidad. Pedirles que argumenten, para convencer a suscompaeros de sus descubrimientos.


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Resuelven ecuaciones y despejan variables.

Despejar variables constituye una habilidad muy necesaria para el estudio de las ciencias en ge-

neral. Es importante notar que resolver ecuaciones de primer grado constituye un caso particular

de despejar variables. En esta unidad se desarrollan varias de estas actividades, por ejemplo en la

relacin T2 = 4 2 Lg

se despeja L, aplicando inversos aditivos e inversos multiplicativos. Es muy

importante que esto se destaque, para que no se crea que la resolucin de ecuaciones es un pro-

ceso mgico, sin sentido. En el texto se propone la siguiente actividad:

El volumen de un cilindro es V = r h2 . Escribe la altura en trminos de las otras variablesy determina la altura del cilindro que tiene un volumen de 300 m3 y radio basalr = 4m.

Preguntar a los estudiantes: por qu valor debemos multiplicar la igualdad para despejar h?

Puede preguntar por el inverso multiplicativo de

y de r

2

, si los estudiantes no participaron de laprimera pregunta. Una vez despejada la variable h responder la segunda pregunta de la actividad.Preguntar si se pueden invertir los pasos dados, es decir, podemos evaluar primero y luego resol-

ver la ecuacin? Acordar que ambos procesos conducen al mismo resultado y cada cual utilizar

el que prefiera, dependiendo de la situacin.

Conjeturan regularidades.

En esta unidad y en la anterior aparecen varias actividades referidas a conjeturar regularidades. Acontinuacin revisamos una actividad de la Prueba PISA 2000:

x x xx xx x x

x x x x xx xx xx xx x x x x

x x x x x x xx xx xx xx xx xx x x x x x x

x x x x x x x x x xx xx xx xx xx xx xx xx x x x x x x x xx= Pino

o= manzano

Con la ayuda de un compaero realiza la siguiente actividad:

a) Completen la siguiente tabla, t escribiendo el nmero de manzanos y tu compaero el nmerode pinos.

n Nmero de manzanos Nmero de pinos

1 1 8

2 4

3

4

5


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b) Conjeturen y describan, cada uno, una frmula para calcular el nmero de manzanos y otra parael nmero de pinos para n filas de manzanos.

La actividad pretende que los estudiantes se complementen y que cada cual confe en el trabajo delotro. Como la fila de manzanos es la variable que estamos estudiando y en cada caso si hay n filas demanzanos, tambin hay n columnas de manzanos, entonces los manzanos son n2 . Los pinos formanel permetro de un cuadrado de lado 2 1n + , luego el permetro del cuadrado es 4 2 1 8 4( )n n+ = + ,pero como los pinos que estn en los vrtices del cuadrado, han sido contados dos veces es ne-cesario restarlos de la cuenta, es decir la cantidad de pinos para cuando hay n filas de manzanoses 8n. Un error muy comn es, pensar que una frmula es cierta porque se comprueba en unospocos casos. Por ejemplo, para todos los valores de n, que se muestran en la tabla, se tiene quela cantidad de pinos es mayor que la de manzanos, pero eso ocurre slo hasta n = 8 y luego elorden se invierte. Es por esto que es tan importante realizar las preguntas que siguen en la activi-dad:existe un valor de n para el cual el nmero de manzanos coincide con el de pinos? A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamao del huerto: qu aumentar ms rpi-do: el nmero de manzanos o el de pinos? Se sugiere que los estudiantes entreguen un informede la actividad en parejas, donde expongan sus conclusiones y, muy importante, argumenten laeleccin de estrategias y den razones para justificar sus resultados.

Modelan diversas situaciones utilizando productos algebraicos.

La modelacin es una habilidad muy importante de desarrollar en nuestros estudiantes, sin em-bargo, suele ser muy difcil para ellos lograr expresar lo que piensan utilizando expresiones alge-braicas. Es por esto que la gua del docente es fundamental, para lograr un conocimiento signifi-cativo y no provocar frustracin entre los estudiantes. Adems la modelacin involucra una grancantidad de habilidades: reconocer variables, simulaciones, reconocer en el modelo los valoresrealmente significativos, resolucin de problemas, anlisis de informacin, etc. A continuacin

presentamos un ejemplo:

En un criadero de salmones, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaranpara que naden ro arriba, para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr porcada kilmetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilmetro. Cul es el valor dela masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos despus de x km de nado?Has una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el mximo de masa de lacomunidad de salmones.

Se sugiere invitar a los estudiantes a responder dos preguntas:1. Cul es la masa de un salmn despus de x kilmetros?2. Cuntos salmones quedan vivos despus de x kilmetros?

Para la primera pregunta, invitar a responder cunto aument la masa de un salmn despusde x kilmetros? Como aumenta 400 g por kilmetro, despus de x kilmetros, su masa au-mentar 400x. Como al inicio, cada salmn pesaba 2 000 g, despus de x km el salmn pesar2 000 + 400x g.

Para la segunda pregunta: como mueren 4 salmones por km, se tiene que despus de x km, sehan muerto 4x salmones. Recordar que al comienzo se tenan 400 salmones, por lo tanto despusde x km, se tendrn 400 4x salmones.


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Preguntar a los estudiantes: cmo conocer la masa de la comunidad? Si conocemos la cantidadde salmones y la masa de cada uno de ellos La respuesta debiera ser que el producto entre lamasa de un salmn y la cantidad de salmones es la masa total de la comunidad. Es decir:

M = (400 4x)(2 000 + 400x) = 1 600(100 x)(5 + x)

La tabla de x versus M debiera ser del estilo:

x (km) 10 20 30 40 50 60 70 80 90

M (kg) 2 160 3 200 3 920 4 320 4 400 4 160 3 600 2 720 1 520

Al respecto se puede invitar a los estudiantes a responder las siguientes preguntas:

1. Era de esperar que cuando se ha transcurrido una larga distancia, la cantidad de masa totalsea pequea?

2. Cmo explicaras que la cantidad de masa aumente y luego disminuya?3. Qu pasar cuando hayan transcurrido 100 km?

Para tratar de encontrar el valor de x que produce la mxima cantidad de masa total, se sugierehacer una tabla ms fina entre los valores de x de la tabla anterior, donde se sospecha la existen-cia del mximo. Como, segn nuestros datos, M crece hasta x = 40 y decrece desde x = 50 enadelante, la conjetura es que el mximo est entre x = 40 y x = 50.

Para hacer la tabla ms fina se sugiere utilizar alguna planilla de clculo, para no agobiar a losestudiantes con demasiados clculos. A continuacin presentamos dos tablas realizadas en Excel,la primera con datos de x = 40 a x = 50, y la segunda de x = 46 hasta x = 49,1, que es dondedespus de un anlisis de crecimiento conjeturamos, podra estar el mximo.

A B C D E F G H I J K L

1 Variables

2 x (km) 40 42,0 44,0 46,0 48,0 50,0 52,0 54,0 56,0 58,0 60,0

3 M (kg) 4320 4362,0 4390,0 4406,0 4409,6 4400,0 4377,6 4342,0 4294,0 4234,0 4160,0

4

5

6 Variables

7 x (km) 46 46,3 46,6 46,9 47,2 47,5 47,8 48,1 48,4 48,8 49,1

8 M (kg) 4406 4408,0 4409,0 4409,0 4409,9 4410,0 4409,9 4409,0 4409,0 4407,0 4406,0


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Unidad

Invitar a los estudiantes a analizar las tres tablas, para que hagan un informe en el cual, basadosen ellas, respondan las siguientes preguntas:

1. Crees t que M crece a medida que x crece? Explica.2. Crees t que M decrece a medida que x crece? Explica.

3. Crees t que hay periodos en que M crece y luego M decrece? Explica.

4. Cul crees t, aproximadamente, que es el valor de x que permite alcanzar un valor mximode la masa? Explica.

5. Cul es el valor mximo de la masa? Explica.

6. Cuntos peces haba en ese momento? Explica.

7. Cunto pesaba cada pez en ese momento? Explica.

Es muy importante que las respuestas tengan un sentido real en el problema, por ejemplo notendra sentido decir, en el instante de mxima masa, haba 211,5 peces vivos. En ese caso co-mentar en el informe del estudiante lo irreal de su respuesta e invitarlo a darle un sentido dentrodel problema inicial.

Tambin es importante hacer notar, que por muy fina que sea la particin de la tabla, no es posibleafirmar con certeza que nuestras conclusiones son las correctas, debido que a priori, no sabemoscul ser el comportamiento de la relacin M(x), es por esto que las preguntas de la actividad sehacen en trminos de conjeturas. Un anlisis algebraico permite dar una respuesta precisa. Unestudiante avanzado estara en condiciones de realizarlo con gua del maestro. Presentamos en laseccin de actividades para ampliar el anlisis algebraico de este modelo.

Generalizan resultados numricos utilizando productos de expresiones algebraicas.

En el texto existen variadas actividades referidas a esta habilidad, de diferentes grados de comple-jidad. A continuacin mostramos dos, de niveles distintos:

Un tro de nmeros enteros positivos a, b y c, que satisfacen a2 + b2 = c2 se llama tro pitagrico,por ejemplo, 5, 12,13 es un tro pitagrico.

1. Muestra que si a, b y c, es un tro pitagrico, tambin lo es ka, kb y kc, donde k es un nmeroentero positivo.

2. Si a, b y c, es un tro pitagrico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercerotambin es par.

3. Si a, b y c, es un tro pitagrico, entonces muestra que no pueden ser todos impares.

La dificultad de esta actividad es creciente, se sugiere seguir el orden establecido en el enunciado.


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Para la primera pregunta, es importante invitar a los estudiantes a reconocer que es lo se sabe, loque se asume cierto y que es lo que se quiere probar.

As tenemos que lo que se sabes es a2

+ b2

= c2

y lo que queremos probar es que (ka)2

+ (kb)2

= (kc)2

.As, desarrollamos la expresin (ka)2 + (kb)2 y analizamos lo que resulta:

(ka)2 + (kb)2 = k2a2 + k2b2 = k2(a2 + b2)

pero como sabemos que a2 + b2 = c2 se tiene que:

(ka)2 + (kb)2 = k2(a2 + b2) = k2c2 = (kc)2

Invitar al estudiante a reconocer en esta ltima igualdad la meta de la actividad.

La segunda pregunta, requiere un poco de anlisis, que tiene que ver con la paridad de los n-meros enteros. Los estudiantes, como primera aproximacin al problema, probarn casos parti-culares, por ejemplo a = 6, b = 8 y c = 10. Sin embargo, es necesario estar atentos para que elestudiante no crea que ese mtodo es una demostracin. Invitar al estudiante a analizar el casoms general, en este punto es importante reconocer la necesidad del lgebra, y el gran aporte desta en la generalizacin de resultados.

Notar tambin que es necesario estudiar tres casos, a saber, a y b pares, a y c pares y por ltimob y c pares. Analizaremos el tercer caso en esta gua:

Sabemos que:a2 + b2 = c2 (1)

por ser tro pitagrico, y tambin asumimos que a y c son pares, por lo tanto a = 2n y c = 2m,

para ciertos nmeros enteros n y m. Reemplazando en (1) se tiene

4n2 + b2 = 4m2

b2 = 4m2 4n2 = 2(2m2 2n2)

Lo que implica que b2 es par y por lo tanto b es par, que es lo que queramos probar. Invitar a losestudiantes a justificar todos los pasos, de la cadena de argumentos.

La tercera pregunta, requiere un anlisis similar al anterior. De nuevo invitar a los estudiantes, qui-zs solo a los avanzados, a reconocer que es lo sabido y que es lo que se quiere probar. En nuestrocaso sabemos que a2 + b2 = c2 y queremos probar que no pueden ser los tres impares, entonces

preguntar, qu pasara si los tres fuesen impares?. Si esto ocurriese se tendra lo siguiente:a = 2n + 1, b = 2m + 1 y c = 2k + 1, para cierto nmeros enteros n, m y k. Reemplazando en laigualdad pitagrica resulta:

(2n +1 )2 + (2m + 1)2 = (2k + 1)2

4n2 + 4n + 1 + 4m2+ 4m + 1 = 4k2 + 4k + 1

4n2 + 4n + 4m2 + 4m + 2 = 4(k2 + k) + 1


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Unidad

Invitar a los estudiantes a responder las preguntas El trmino de la izquierda del signo igual, espar o impar? y el de la derecha, es par o impar?.

Guiar a los estudiantes a concluir que la ltima igualdad es imposible, por lo tanto es imposibleque el tro pitagrico est compuesto por solo nmeros impares. Invitar a los estudiantes a justifi-car todos los pasos de la cadena de argumentos.

Utilizan los productos notables para facilitar clculos numricos.

La actividad del terreno rectangular de Amanda se refiere a esta habilidad.

Se sugiere utilizar nmeros grandes, para desmotivar el clculo directo de la operacin. Por ejem-plo, si se pide calcular 42 32 los estudiantes calcularn 16 9 = 7 y no se reconocer la suma porsu diferencia. La siguiente actividad aparece en el texto: Cul es el valor de 1 5012 1 5022:

a) 1

b) 1

c) 3 003

d) 3003

e) 3 0032

El estudiante reconocer la suma por su diferencia y escribir

(1 5011 502)(1 501 + 1 502) = (1)(3 003) = 3 003.

Sin embargo, la alternativa a) es un distractor muy potente, debido que muchos estudiantes co-menten el siguiente error:

1 5012 1 5022 = (1 501 1 502)2 = (1)2 = 1

A esos estudiantes reforzar con clculos del tipo del anterior.


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Generalizan resultados referentes a funciones.

En el texto aparece la siguiente actividad:

1. La siguiente mquina transforma a cada nmero que entra por la derecha en otro nmero que

sale por la izquierda.

ab

Supn adems que tiene la siguiente propiedad:

[C] Si la mquina transforma a en b y transforma x en y, entonces a a + x lo transforma b + y.

a) Muestra que la mquina del tem anterior no cumple [C].

b) Muestra que la mquina que transforma cada nmero en su doble, s cumple [C].

c) Muestra que la mquina que transforma t en 180 112

t no cumple [C].

d) Muestra que la mquina que transforma t en 6t s cumple [C].

e) Muestra que la mquina que transforma t en 12

t s cumple [C].

f) Muestra que si una mquina cumple con [C], entonces al cero no le hace nada, es decir,transforma el cero en el cero.

Notar que la propiedad [C] dice que la funcin f satisface la condicin f (a + b) = f(a) + f(b) paracualesquiera valores de a y de b. En las letras a), b), c), d) y e) solo se trata de verificar si ciertasfunciones satisfacen o no la condicin [C] de separar la suma. En cambio el tem f) se trata deencontrar una relacin general que cumplen las funciones que cumplen con [C].

Una invitacin que puede ayudar a los estudiantes es: Dale un valor a f(0).

Entonces invitar a los estudiantes a suponer que f(0) = a, y evaluar f(0 + 0).Por una parte f(0 + 0) = f(0) = a y por otra es f(0) + f(0) = a + a = 2a, por lo tanto

a = 2a

restando a a ambos lados de la igualdad, resulta:

a = 0


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Unidad

ERRORES FRECUENTES

-x es un nmero negativo.

Este es un error muy comn que es menester erradicarlo de nuestras aulas. No es cierto que xsea un nmero negativo, slo denota el inverso aditivo de x, que a veces es negativo y a veceses positivo, depende de x. Por ejemplo, si x es un nmero negativo, entonces x es un nmeropositivo. Este error es el culpable de que mucha gente piense que =x x , lo cual es falso, en ge-neral. Del mismo modo si x < 0 , entonces x x2 = , lo cual es cierto, pero hay muchas personasque encuentran esta ltima igualdad una aberracin, pero se trata solamente de que creen que -xdenota un nmero negativo. Para derribar ese mito, realice varios ejercicios numricos que sirvan

de contraejemplo para esa suposicin.

Confunden implica con equivalente.

Muchos estudiantes confunden estas palabras, lo cual lleva a grandes errores.

Por ejemplo, cuando se dice: Todo nmero que es mltiplo de 4 es par, creen que el recprocotambin lo es, es decir: Todo nmero par es divisible por 4. Otro ejemplo es: Si a es divisib

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