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1

Introducción Matemática

• Rotaciones en R3

• Rotaciones relativas de ternas de referencia • Distintas representaciones de la orientación de un cuerpo

– MCD– Eje de Euler– Ángulos de Euler– Cuaterniones

• Ecuaciones dinámicas (diferenciales) de la actitud• Ecuación diferencial del ángulo rotado o ecuación del “coneo”

2

Introducción Matemática 1

Rotaciones en R3 alrededor de un eje instantáneo de velocidad angular ω(t)

0( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( );ot t t t t t t= ⇒ = ×p p p ω pR

Y en coordenadas…

( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) (1)a a a a at t t t t= × =p ω p S ω p

3 23 3x3

3 1

2 1

0( ) : 0

0

−⎡ ⎤⎢ ⎥→ ≡ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

S αα α

α αα α

0 0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ); ( , ) ( ( )) ( , ); ( , )a a a a a a at t t t t t t t t t t= = =p C p C S ω C C I

3

0

0 0 0

: Propiedad En cualquier sistema de coordenadas "a" ( , ) es una matriz autoadjunta t .

t, ( ( , )) ( , ) ; ( , )

a

a T a a

t t

t t t t t t⇒

∀

∀ = ∀ ∈ =⇒

C

C C I p C p p

ω(t)

p

v=ω(t)×p

O

a3

a2a1

La solución de la ED (1) es:

3


Corresponden a rotaciones en R3

Det (C) =Det (C) T = 1

[ ] [ ]1 2 3 2 3 3 1 1 2

1 2 3 2 3 1 3 1 2

( ); ;adj= = = × × ×

⇒ = × = × = ×

C c c c C c c c c c cc c c c c c c c c

3 3Sean , y una rotación en , entonces: )y en coordenadas de una terna " ": )a a a a a a a

× = ×

× = ×

u v u v u va C u v C u C v

R R( R R

(

3

Usando la notación: ( )) ( )( ) ( ) ( ) ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a T a a a a

a a T a a a a a a a a T

× =

× = × =

× = = ∀ ∈

⇒ = ⇒ =

u v S u vC u v C u C v S C u C vu v S u v C S C u C v vS u C S C u C S C u C S u C

(

Propiedades de las matrices autoadjuntas; i.e.: (CTC=I => C-1=CT =>C=adj(C))

4

Introducción Matemática 3Rotación de una terna ortonormal derecha respecto de otra fija: Definiciones

( ) es el vector velocidad angular instantáneo de la terna

respecto de la terna

Definición 1

Definición 2 expresado en coordenadas de .

( ) al ángulo vectorial para ir de la terna a

aab

aba

t

t

: ω b

a a:

θ a la terna en el instante t.

( )Sea ( ( )); con ( ) 0 ( )a

ababa o o

t t t t⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ ≡

b

θa b θ b a

a3

a2

a1

b3(t)

b2(t)

b1(t)

( )aab tω

( )aba tθ

5


0 , 0

; ( ) ( )

, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( , ) ( , )

a bj j j j

j j

a b a a a T a a ai i j i j i j i j i j i j

j

p p t t

p p t t t t t t t t

∈ = =

=< >= < > < >=< >= =

∑ ∑

∑

3p p a b

a p a b a b a b a C a C

Rotación de una terna derecha respecto de otra fija y matriz de cambio de base

a3

a2

a1

b3(t)

b2(t)

b1(t)

0 1 2 3

1 0 0( ) ( , ) ; 0 ; 1 ; 0

0 0 1

a a a a a aj jt t t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b C a a a a

1

, 2

3

, 0

( , ) ( ) ( , ) ( )

( , ) ( , ) ; ( , ) ( ( )) ( , ); ( , )

a

a a b a a a bi i j o j b o

j a

a a a a a ab o i j o b o ab b o b o

pp t t p t p t t t

p

t t t t t t t t t t t I

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇒ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦

∑C p C p

C C C S ω C C

Coordenadas del mismo punto p en 2 sistemas de referencia

01 2 3 1 2 3Sea: { ( ), ( ), ( )} { , , }

( ) ( ) ; 1, 2,3

t t

j o j o o j

t t t

t (t,t ) t (t,t ) j

= =

= = =

b b b a a a

b b aR R( )a

ab tω

6

Introducción Matemática 5Matriz de cosenos directores

{ } ( ){ } { }{ }

, ,( , ) ( , ) cos ( ) ( ),

( , ) ( , ) ( ),

a ab o i j o j i i

b a Ta o b o i j

t t t t t t

t t t t t

φ= =

= =

jC C b a

C C b a

a2

a1

a3

b3(t)

b2(t)

b1(t)

φ2,3(t)

2,2a

o(t,t )C

3,2 ( )Caot,t

0

1 2 3

,

1 2 3 1 2 3

Sea la base ortonormal { ( ), ( ), ( )} 1;

: < ( ), ( ) 0;

{ ( ), ( ), ( )} { , , }

( ) ( ) ; 1,2,3

i j i j

t t

j o j o o j

t t ti j

t t ti j

t t t

t (t,t ) t (t,t ) j

δ

=

⇒

=⎧∀ >= = ⎨ ≠⎩

=

= = =

b b b

b b

b b b a a a

b b aR R

( ), , 0, ( ) ( ), cos ( ) ( , )ai j j i j i i jt t t t tφ< >=< >= =a b b a C

0

0

( , ) ( ); ( , ) ( )

( , ) ( ( )) ( , ); ( , )

( , ) ( ( )) ( , ); ( , )

Recordemos que:

y ademas:

a a b b b ab o a o

a a a ab o ab b o b o

b b b ba o ba a o a o

t t t t t t

t t t t t t t I

t t t t t t t I

= =

= =

= =

p C p p C p

C S ω C C

C S ω C C

7


Rotación de un terna alrededor de un eje de dirección invariante

( )Cuando const., la ED matricial:

( )

( , ) ( ( )) ( , ); ( , ) ( )tiene solución explicita:

( , ) exp( ( ( )); ( ) ( ) ( ) ( )

exp(

o

aa abab a

ab

a a a a ab o ab b o b o o b o

ta a a a a ab o ba ba ab ba abt

tt

t t t t t t t t I

t t t t d t t

=ω

= = =

= τ τ ⇒ =∫

ωω

C S ω C C C

C S θ θ ω θ ω

S 22

( ) (1 cos ( ))( ( ))) ( ( )) ( ( ))

( ) ( )

a aa a aba baba ba baa a

ba ba

sen t tt t t

t tθ − θ

= + +θ θ

θ I S θ S θ

a3

a2

a1

b3(t)

b2(t)

b1(t)

( )aab tω

( )aba tθ

8

Introducción Matemática 7ORIENTACION de un cuerpo en el espacio

a1

a2

a3

θba

b1

b2b3

a1

a3

a2

a y b ternas ortonormales.

b=terna del cuerpo={θba}a.

La rotación {θba} determina la ORIENTACION (ACTITUD) del cuerpo b respecto de la terna de referencia a.

Veremos 4 parametrizaciones de la orientación de un cuerpo en el espacio

1. Matriz de Cosenos directores2. Eje y ángulo de Euler3. Angulos de Euler4. Cuaterniones (o parametros simétricos de Euler)

9

Introducción Matemática 8Matriz de los Cosenos Directores

Sean: , ; 1, 2,3 , respectivamente, los elementos de las ternas ortonormales y .( , ) , ; , 1, 2,3; parametrizan la actitud de resp' de .

Las coordenadas de un vector en ambas ternas s

i iba i j

ii j i j

=

=< > =

a b a bC a b b aiii e relacionan segun: = . Ley de composición: dadas las ternas , y : = =

b b aa

b b a c b ca c c

v C va b c v C C v C vi

Ventajas

•Sin singularidades.•Sin funciones trigonométricas.•Fácil de usar.•Ley de composición simple.

Desventajas

•3 parámetros redundantes a actualizar.•Requiere salvaguarda numérica de ortonormalidad.

( )b b Ta a =C C I

10

Introducción Matemática 9“Eje y ángulo” de Euler: Relación con Matriz de Cosenos DirectoresOrientación parametrizada por el ángulo vectorial: θba: a → b

2

2

( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )

( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )

a a a a a a ab ba ba ba ba ba ba

b a a a a a aa ab ba ba ba ba ba

sen

sen

θ θ

θ θ

= = + + −

= − = − + −

C θ S θ I S θ S θ


2 ab: Puesto que ( ) 0 ( ) ; ( ) ;

( ,1) vector y valor propios; :vector invariante bajo la rotación.

: ( ) ( )

a a a a a a a a aba ba ba ba ba ba ba ba ba

a aba ba

a a b ab ba a ba a

= × = = =

⇒

= − =

NOTA 1 S θ θ θ θ S θ θ C θ θ θ

θ θ

NOTA 2 C θ C θ C ( )

: ( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 2 cos

( ) 1 cos =

2

b a Tab

a a b a b b ab ba a ab a ba ba

aa bba

traza traza traza

traza

= = = + θ

−⇒ θ

θ

NOTA 3 C θ C θ C θ

C

0 - ( ) 0 ;

0Definimos:

az y xa

a a ababa z x ba ya

ba ay x z

θ θ θθ θ θ

θθ θ θ

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

θS θ θ,

ab aθ

a1

a2

a3 θba

b1

b2

b3

1/ 22 2 2) ( ) ( )a a a a aba ba x y zθ ⎡ ⎤= = (θ + θ + θ⎣ ⎦θ

11

Introducción Matemática 10“Eje y ángulo” de Euler θba: a → bRelación con Matriz de Cosenos Directores

32 23

13 31

21 12

( ) / 2 ;

( ) / 2 ;

( ) / 2

ax

ay

az

S

S

S

• θ = − θ

• θ = − θ

• θ = − θ

C C

C C

C CIndefinido cuando sen(θ)=0 !!!

2( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )

( cos( ) (1 cos ) ( ) sin( ) ( )

a a a a a a ab ba ba ba ba ba ba

a a a a T a aba ba ba ba ba ba

sen= = + θ + − θ

= θ + − θ − θ


I θ θ S θ

2

2

2

(1 ) (1 ) (1 )( ) exp( ( )) (1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) (1 )

x x y z x z ya a ab ba ba x y z y y z x

x z y y z x z

C C C S C SC S C C C SC S C S C C

⎡ ⎤θ + θ − θ θ θ − θ − θ θ θ θ − θ + θ θ⎢ ⎥

= = θ θ − θ + θ θ θ + θ − θ θ θ − θ − θ θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ − θ − θ θ θ θ − θ + θ θ θ + θ − θ⎣ ⎦

C θ S θ

abaθ

a1

a2

a3 θba

b1

b2

b3

12


Ventajas•Claro sentido geométrico.•No hay parámetros redundantes.

Desventajas•Funciones trigonométricas.•Ley de composición compleja.•Indefinición del eje cuando sen(θ)=0.

“Eje y ángulo” de Euler θba: a → b

13

Introducción Matemática 12Angulos de Euler:

Secuencias de rotaciones alrededor de ejes coordenados:

( )2

2

1 0 0(1 cos )

( ) exp( ( )) ( ) ( ) 0 cos sen0 sen cos

a aa a a a aba bab ba ba ba ba x xa a

ba bax x

sen⎡ ⎤

θ − θ ⎢ ⎥= = + + = θ − θ⎢ ⎥θ θ ⎢ ⎥θ θ⎣ ⎦


2 2 2

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0Si 0 ; ( )= 0 0 ; ( )= 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

xa a aba ba x ba x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

θ S θ S θθ

θ θ θθ θ

1 0 0( ) 0 cos sen

0 sen cos

ba

⎡ ⎤⎢ ⎥−ϕ = ϕ ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥− ϕ ϕ⎣ ⎦

Ccos 0 sen

( ) 0 1 0sen 0 cos

ba

θ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥−θ = ⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎣ ⎦

Ccos sen 0

( ) sen cos 00 0 1

ba

ψ ψ⎡ ⎤⎢ ⎥−ψ = − ψ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C

xa

ya

za

ϕ

ybzb

xa

θza

ya

ψ

ya

za

xa

14

Introducción Matemática 13Angulos de Euler y relación con la matriz de cosenos directores

Cuando la terna b se obtiene a partir de rotaciones sucesivas alrededor de los ejes coordenados.

x

y

z

z’’

y’

ψ

ψ

x’

x’’= x’’’

θ

θ

φ

φz’’’

y’’’a= {x, y, z}: Sistema de partida

b= {x”’, y’’’, z’’’}: Sistema de llegada

Bajo la composición: {φ@x’’}{θ@y’}{ψ@z}

'' ( )bb −ϕC

ba

cos sen 0sen cos 00 0

C C C S SC S S S C C C S S S S C

S S C S C S C

1 0 00 cos sen0 sen cos 1

cos 0 sen0 1 0

sen 0 co

C C

s

C S S

ψ ψ⎡ ⎤⎢ ⎥ =

θ ψ θ ψ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥− ϕ ψ + ϕ θ ψ ϕ ψ + ϕ θ ψ ϕ θ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ ψ +

⎡ ⎤

ϕ θ ψ

⎢ ⎥ϕ ϕ⎢ ⎥⎢

− ϕ ψ

− ψ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥

+ ϕ θ ψ

⎥− ϕ ϕ⎣ ⎦

θ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎣

ϕ θ

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎦

=C

''' ( )b

b −θC

a b’ b’’ b’’’=b

ψb’a θb’’b’ φbb’’

''Cbb

'''Cb

b'Cb

a

' ( )ba −ψC

15


Angulos de Euler {φ}{θ}{ψ}

Ventajas• Sentido geométrico claro en

ciertas aplicaciones.• No hay parámetros redundantes.• Simple relación con M. de C.D.• Ley de composición simple.

Desventajas

• Involucra funciones trigonométricas.• Composición requiere calcular MCD.• No hay relación biunivoca con actitud.• Importa el orden.

16


Cuaterniones: Definición y relación con el eje de Euler

cos

cos

cos

ax

ay

az

θ = α

θ = β

θ = γ

Eje de rotación de Euler expresado en la terna acoincide con eje de rotación expresado en la terna b = {θba} a (θba: a → b).

[ ]

[ ]

1 2 3 4 4 4

*

( ) ( ) sin sin sin cos2 2 2 2

( ) ; sin ; cos2 2

( ) = ( )

Definimos T

a a a a a a aba ba ba bab ba b ab x y z

TaT a T a a a aba bab b b ba bb

Ta a b ab ba 1 2 3 4 a ab

q q q q q q q q

-q -q -q q

θ θ θ θ⎡ ⎤= − θ θ θ⎢ ⎥⎣ ⎦θ θ

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

q θ q θ

θ

q θ q θ

Claramente: 2 2 2 21 2 3 4q + q + q + q = 1

a1

a2

a3

abaθ

α

β

γ

axθ

ayθ

azθ

17

Introducción Matemática 16Cuaterniones: Relación con la Matriz de Cosenos Directores

( )

( )

24

* 2 44

24

* 24

( ) exp( ( )) 2 ( ) 2 ( )4 ( )( ) 2 ( ) 2 ( )

1( )( ) exp( ( )) 2 ( ) 2 ( ) 2(1( ) 2 ( ) 2 ( )

b b a b ba a ab a a

b a bb a a a a b aa b b b

ba a a a aab b ba b b

a b b bb a a a

I q q qq qI q q q

qI q q q trazI q q q

⎫= = + +⎪ − = ⇒= = − + ⎪⎪⇒⎬ == = + + ⎪ +⎪= = − + ⎪⎭

C q S θ S SC C SC q S S

SC q S θ S S

C q S S1/ 2)

b aa bb

aa⎡ ⎤−⎣ ⎦C C

C

2 2 2 24 1 2 3 1 2 3 4 1 3 2 4

2 2 2 21 2 3 4 4 2 1 3 2 3 1 4

2 2 2 21 3 2 4 2 3 1 4 4 3 1 2

( ) exp( ( ))

2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )

Y además...

a a ab b ba

q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q

= =

⎡ ⎤+ − − − +⎢ ⎥= + + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + − −⎣ ⎦

C q S θ ( )*

2 2 2 24 1 2 3 1 2 3 4 1 3 2 4

2 2 2 21 2 3 4 4 2 1 3 2 3 1 4

2 2 2 21 3 2 4 2 3 1 4 4 3 1 2

( ) exp( ( ))

2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )

a b ab a ab

q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q

= − =

⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥= − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + − −⎣ ⎦

C q S θ

2 2 2 2 2 1/ 24 1 2 3 4 4

1( ) ( ) 3 4 1 ( ( ) 1)

2b a aa b btraza traza q q q q q q traza= = − − − = − ⇒ = +C C C

22

2

4 4

sin( ) 1 cosexp( ( )) ( ) ( )

( )

sin ( 2sin cos ; 1 cos 2sin ;

( ) ; sin ; cos2 2

Usando las relaciones:

y la definición:

a ab a a aab aba ab ab aba a

ab ab

Ta a T a a a aba bab b b b ba b

I

q q q q

θ − θ= = + +

θ θ

θ θ θθ) = − θ =2 2 2θ θ

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

C S θ S θ S θ

q θ

18


Representación hipercompleja y regla de composición:

Reglas de multiplicación de hipercomplejos → composición de cuaterniones:

⇒qo = 0i+ 0j+ 0k+1 es el cuaternión identidad de la composición.

Otra representaciónde los cuaterniones:

*1 2 3 4 1 2 3 4;q i q j q k q q i q j q k q+ + + − − − +q q

(ciclicidad); (anticiclicidad) ; 1( )ij k ji k ii antinormalidad= = − = −

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

4 1 3 2 2 3 1 4

3 1 4 2 1 3 2 4

2 1 1 2 4 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4 4

( )( )( )( )( )

( )

s i s j s k sr i r j r k r q i q j q k q

i r q r q r q r qj r q r q r q r qk r q r q r q r qr q r q r q r q

= + + + =

= + + + + + +

= − + ++ + − +

+ − + + +

− + + +

⇒ s rq4 3 2 1 1

3 4 1 2 2

2 1 4 3 3

1 2 3 4 4

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

rq

r r r r qr r r r qr r r r qr r r r q

Matricialmente

* * * * 2 2 2 21 2 3 4; ( ) ; 0 0 0i j k q q q q≠ = = + + + + + + =⇒ rq qr rq q r qq q

19


[ ]1 2 3 4 4 1 2 3

*4

[" . "," . "] [ , ];

[ , ]

TTq i q j q k q comp vectorial comp escalar q q q q

q

= + + + =

⇒ = −

q q q

q q

Notación [vector, escalar] y regla de composición:

La regla de composición surge de la multiplicación de hipercomplejos.

Regla de composición [vector, escalar] :

4 3 2 1 1

3 4 1 2 24 4

2 1 4 3 3

1 2 3 4 4

[ , ][ , ]

r r r r qr r r r q

r q r r r r qr r r r q

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

rq r q

44 4 4 4 4 4

4 4

( )[ , ][ , ] [ , ]T

r Sr q r q r qr q

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤== = + + × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦

I r r qr q q r r q r qr i

20


4* * *4

4

**4 44

4

2 24 4

( ) ( )( ) ( ) ( )

0

( ) ( )( )

( ) 2 ( )

a a ab a b b b

Ta q a a aa

a aa ab

T aa a

q S q Sq

q S q Sq Sq

q q S S

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − −⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎜ ⎟= = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠

− + +

I q q v v q vq v q q qq q v

I q q v q vv q vq q q vq v

I q

i

ii

( ) ( )* 24

2 22 24

( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )0 0( ) 0

( ) ; ( ) 1

T a a b b a ba a b

qT a

T

q S S

S q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ = + =

q qq v I q q v C q v vv

q q v

q q I qq qSe usó:

Transformación de vectores de R3 mediante cuaterniones:

, [ , 0]Para un dado vector efinimos su "cuaternización": y calculamos el producto-composición:

T Ta a aq∈ 3v R en la terna a d v v

* ( )( ) ( )

0 0

b b bb b a b b a a b ba aq a q a a q b a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ab av C q v

v q v q q v q v C q v

21

Introducción Matemática 20Composición de Cuaterniones:

“b” “a”

θabx

Si / / representan las rotaciones de las ternas b/c/c, respectivamente, 'hasta' las ternas a/b/a

sin sin2 2( ) ; ( ) ; ( )

cos cos2 2

ab bc ac

a bab bcab bc ac

b c ca ab b bc a ac

ab bc

θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

θ θ θ

θ θ θq θ q θ q θ

sin2

cos2

a ac

ac

θ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3

** * * *

*

: , , las correspondientes representaciones de un vector

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

Con: ( ) ( ) ( ) Notar qu

a b c

b b a bq a q a c c b a b c c b a c b c a c

q a q a a q a a q ab b b bc c b cq qb b

c c ba ac ab bc ab

⎫⎪⎬⎪⎭

⇒

∈

=⇒ = = =

=

=

v v v v

v q v qv q q v q q q q v q q q v q

v q v q

q θ q θ q θ !e de aquí surge una ley de composición de ángulos

[ ]4

4

( ) 0 0 0 1 , elemento identidad de la composición.

+⎡ ⎤⇒ =⎢ ⎥−⎣ ⎦

o

I q qqq T

T

q Sq

22

Introducción Matemática 21Relación entre cuaterniones y ángulos de Euler:

4( ) sin cos ; , , ;2 2

( , , )

Cuaterniones elementales de Euler:

@ ángulos de rotación positivos respecto de los ejes coordenados.

e ee e

e

q−θ θ

θ + = + =

=θ ⇒

q e q e i j k

e i j k

k j i{ }{ }{ }

Productos de cuaterniones elementales Rotaciones sucesivas de Euler

Ejemplo de rotación según la secuencia (yaw), (pitch), (roll) para pasar de la terna "a" a la terena "b" "a".i j k=

⇒

θ θ θ

θ θ θ

( ) ( ) ( ) ( sin cos )( sin cos )( sin cos )2 2 2 2 2 2

j jb i i k ka i i j j k k

−θ θ−θ θ −θ θ= θ θ θ = + + + =q q q q i j k

sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

j j j ji k k i k i k i

j j j jk i k i k i k i

θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ θ θ θ θ θ θ= − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ θ θ θ θ θ θ+ − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i j

k

23


Parametrización con Cuaterniones:

Ventajas• Mas compacta que la MCD (4 parámetros en lugar de 9).• No requiere funciones trigonométricas para calcular MCD• Admite ley de composición de rotaciones.• No tiene singularidades.

Desventaja• Respecto a eje/ang. de Euler, contiene un parámatero redundante.

24

Introducción Matemática 23Ecuaciones de la cinemática de la actitud

1) Propagación en el tiempo de la MCD para un cuerpo en rotación

( , ) ( ( )) ( , ); ( , ) ( ); ( , )

Equivalentemente, transponiendo la E. D. anterior se tiene:( , ) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ( ));

a a a a a a bb o ab b o b o o b o b o

b b T a b a b aa o a o ab a o ab a o ba

t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t t

= = =

= = − =

aC S ω C C C v C v

C C S ω C S ω C S ω

Así, según el sistema de coordenadas en que esté expresada , se tiene:

( , ) ( ( )) ( , )

( , ) ( , ) ( ( ))

a a ab o ab b o

a a bb o b o ab

t t t t t

t t t t t

=

=

ω

C S ω C

C C S ω

ab(t)

ωabx

θba

La terna b gira a la vel. ang. ωab(t) respecto de la terna fija a.

25


2) Propagación en el tiempo del cuaternión para un cuerpo en rotación

Usamos:' ''

' ' ' ''

' ' 0

sin sin2 2 ; ( ) ; ( )

cos cos2 2

( ) ( ) ( ) ( )

θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∆ + ∆ − = − = −

θ θq q q q θ q θ

q q q q q q q q

b bba b bba b b

a a b a bb b b b ba b b b

ba b b

a a a a a a bb b b b b b bt t t t

'' '''

'

lim0

0 0

sin1 1 12lim lim1 2 2 0cos 0

2

bb b ba bb bb b

a a a ab abb b b b

b bt

t ttt t ∆ →

∆ → ∆ →

⎛ θ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟= = − = =⎢ ⎥ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ∆ ∆ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

θθ 0q ωq q q q

1 12 20 0

1 12 20 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ω ωq q q

ω ωq q q

b ab b bba baa a a

b aa a aab abb b b

*

* 1 1Y conjugando.....( )2 20 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ω ωq q q q

b ba b b bab bab a a a

ab(t)

ωabx

b’= b(t+∆t)θba

'θb b

26


3) Propagación en el tiempo del ángulo de rotación (ecuación de “coneo”) 1 2 0

sin ,cos ,02 20

ba a abb b

b a a aa bab ba ba bab baa

ba

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ θ θ

⎡ ⎤= ←⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ωq q

ω θq ω

Partimos de :

Notación "vector + escalar"

⇒

a

b(t)ωab

x θba

IgualandoComponentesEscalares yVectoriales

[ ][ ] [ ]2 1 2 1 21 1, ,0 ,2 2

f f f f f •= = × + −q θ ω θ ω ω θ ω

[ ]2 1 2 2 1, ,⎡ ⎤= = +⎣ ⎦q θ θ θd f f f f fdt

2 11 2 2 2

2

cos sin1 1 1 2 2sin ; 12 2 2 2 2

θ θ ⎛ ⎞θθ= − θ = − θθ = θ − θ = −⎜ ⎟θ θθ ⎝ ⎠

f ff f f

f

Y usando las relaciones:

[ ][ ] [ ]4 4 4 4 4 4, , ,q q r r q× r r q q r q r q r= = + + −qr i

Definimos: 1 21cos ; sin

2 2θ θ

θf fAnotamos: [ ]; ,0 ; ; ;b a a

ab q ba b= = = = θ =ω ω ω ω θ θ q q θ

27


La E. D. del ángulo vectorial de rotación o “ecuación del coneo”

⇒( )

2 11 2 2 22 2

2

1 12 2 2 1 2

2 2

1 1 1 12 2 2

1 1 1 1 1 ( )2 2 2 2

f ff f f f

f

f ff f f f

f f

• • • •

•

⎛ ⎞θ= − θθ = − ⇒ θθ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟θ θ θ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ = × + ⇒ = + × − −⎜ ⎟θ ⎝ ⎠

θ ω θ ω θ ω θ ω

θ θ θ ω ω θ ω θ ω θ ω θ !

Igualando componentes escalares y vectoriales

( ) ( ) 2 1 cos( / 2), tan( / 2)sin( / 2)− θ

= × × + θ =θ

•u v u u u v u v

Reusando las definiciones:

( )2

sin1 1 12 2(1 cos )

a aa a a a a a aba baba ab ba ab ba ba aba a

ba ba

⎛ ⎞θ θ= + × + − × ×⎜ ⎟θ − θ⎝ ⎠

θ ω θ ω θ θ ω

Y las relaciones:

1 21cos ; sin

2 2θ θ

θ

a aba ba

aba

f f

resulta:

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