Análisis de Fourier

Introducción

Cualquier señal periódica continua se puede representar como una serie infinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyas frecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Esto es lo que se conoce como la serie de Fourier de la señal.

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...

Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función

f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que

w1T= 2pm, w2T=2pnDe donde

Es decir, la relación w1/ w2 debe ser un número racional. n

m

2

1

Serie Trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...

+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...

Donde w0=2p/T.

Es decir,

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

)tn(sen

ba

b)tncos(

ba

aba 02

n2n

n02

n2n

n2n

2n

Con lo cual la expresión queda

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

an

bn

2n

2nn baC

qn

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn

)tncos(C n0n

Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como

Así,

y

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2n

2nn baC

n

n1n a

btan

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

Cálculo de los coeficientes de la Serie

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

,...3,2,1,0ndt)tncos()t(fa2/T

2/T0T

2n

,...3,2,1ndt)tn(sen)t(fb2/T

2/T0T

2n

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T:

Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f

Coeficientes an:

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0

Coeficiente a0:

2/T

2/TT2

0 dt)t(fa

2/T

0

0

2/TT2 dtdt

0

2/T

2/T

0

T2 tt

0

Coeficientes bn:

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1

0npara))1(1n

2 n

Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

ente

s

Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoseptimo armónico

Forma Compleja de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

Donde

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021

)ee()tn(sen

)ee()tncos(tjntjn

j21

0

tjntjn21

0

00

00

1j

Series de Fourier. 19

Forma Compleja de la Serie de Fourier

La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

)ecec(c)t(f1n

tjnn

tjnn0

00

1n

tjnn

1n

tjnn0

00 ececc)t(f

n

tjnn

0ec)t(f

A la expresión obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

T

0

tjnT1

n dte)t(fc 0

n

tjnn

0ec)t(f

Espectros de Frecuencia Discreta

Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

Espectros de Frecuencia Discreta

Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Espectro de Amplitud de f(t)

n

Cn

Frecuencia negativa (?) Frecuencia

De la Serie a la Transformada de Fourier

La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t).

¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas?

La respuesta es sí, pero ahora el espectro de frecuencias NO es discreto sino continuo.

De la Serie a la Transformada de Fourier

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

1f(t)

t. . . -T -T/2

0

T/2 T . . .

p

-p/2 p/2

2T

2p

2p

2p

2p

2T

t0

t1

t0

)t(f

Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

c n

-50 0 50-0.1

0

0.1

0.2

0.3

p=1, T=5

-50 0 50-0.05

0

0.05

0.1

0.15

p=1, T=10

-50 0 50-0.02

0

0.02

0.04

0.06p=1, T=20

-50 0 50

-0.2

0

0.2

0.4

0.6p=1, T=2

w=nw0

c n

Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

Es decir,

Donde

Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

de)(F)t(f tj

21

dte)t(f)(F tj

Identidad de Fourier

TransformadaDe Fourier

Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

de)(F)t(f)](F[ tj211F

dte)t(f)(F)]t(f[ tjF

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

-p/2 0 p/2

1f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2p

2p

2p

2p

Integrando

Usando la fórmula de Euler:

Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn

cuando T , pero multiplicado por T.

2/p

2/p

tjtj dtedte)t(f)(F

2/p

2/p

tjj1 e

)ee( 2/pj2/pjj1

2/p)2/p(sen

p)(F

En forma Gráfica

-50 0 50

0

0.5

1F(w) con p=1

w

F(w

)

Señales Discretas

Tipos de señales :1) Analógica : Continua en tiempo y amplitud

2) Discreta en el Tiempo:

La Transformada Discreta de Fourier

Cuando la función f(t) está dada por una lista de N valores f(t1), f(t2), ...f(tN) se dice que está discretizada o muestreada, entonces la integral que define la Transformada de Fourier:

Se convierte en la sumatoria

(Donde k es la frecuencia discreta)Llamada Transformada Discreta de Fourier

dte)t(f)(F tj

Nn1para,e)t(f)n(FN

1k

)1k(jk

Nn2

La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande.

Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

En el cálculo de la transformada directa de Fourier el número de operaciones requeridas es proporcional a N2

En el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) el número de operaciones requeridas es proporcional a N(lnN)

En Resumen: Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal

continua y periódica empleamos su SERIE DE FOURIER

Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal continua aperiódica empleamos la TRANSFORMADA DE FOURIER

Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta y periódica empleamos la DFT

Para encontrar el espectro de frecuencias de una señal discreta aperiódica aproximamos con la DFT

La DFT se implementa con la FFT