Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemática

Trigonometría Y su Tratamiento Metodológico

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN - LEÓN

Unidad #3: La Trigonometría en la vida diaria Modulo: #6

Actividad #1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios Tipo: Individual

Tutor: Mcs. María Luisa Ruíz Fecha de envió: 29/05/15

Estudiante: José Orontes Pérez Mayorquín

Introducción:

En esta oportunidad resolveré ejercicios del bloque 8 aplicando leyes del seno y del coseno en la resolución de

problemas.

Indicador de logro:

Reconoce e Identifica los teoremas del seno y el coseno en la solución de ejercicios de triángulos

oblicuángulo.

Aplica los teoremas del seno y el coseno en la solución de problemas de triángulos oblicuángulo.

Resultados:

Ejercicios (Unidad III)

Actividad de aprendizaje 1: Selecciono mi bloque de ejercicios

I. Resolver el triángulo de la siguiente figura, para las condiciones dadas en cada inciso:

41° 77°

100

I.8) =41°, =77° y c=100, 090°

Primero:

Por la suma de los ángulos interiores sabemos que 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

∴ 𝛾 = 180° − (𝛼 + 𝛽)

𝛾 = 180° − (41° + 77°)

𝛾 = 180° − 118°

𝛾 = 62°

Segundo: Aplicando la ley de los senos tenemos

sin 𝛼

𝑎=

sin 𝛽

𝑏=

sin 𝛾

𝑐

∴sin 41°

𝑎=

sin 77°

𝑏=

sin 62°

100

sin 77°

𝑏=

sin 62°

100

b = (100 )(sin 77°)

sin 62°

b = (100)(0.97)

0.88

b = 110.23

∴ sin 41°

𝑎=

sin 62°

100

a = (100 )(sin 41°)

sin 62°

a =(100 )(0.66)

0.88

a = 75

III) Resolver los siguientes problemas

III.8) En el béisbol de las ligas mayores las cuatro bases, que forman un cuadrado, están a 90 pies y el

montículo del lanzador está a 60.5 pies del cojín del home. Calcular la distancia del montículo del lanzador

a cada una de las otras tres bases.

Primero: Separamos el triángulo ABC, del cuadrado para encontrar el lado AC

Teorema de Pitágoras tenemos

a2 =b

2 + c

2 AK +KC = 127.28PIES

a = √𝑎2 + 𝑐2 KC = 127.28pies -AK

a = √902 + 902 KC = 127.28pies- 60.5pies K

a = √8100 + 8100 KC = 66.78pies

a = √16200

a = 127.28𝑝𝑖𝑒𝑠

Segundo: Las diagonales de un cuadrado bisecan en ángulos congruentes sus ángulos entonces por la ley de los

cosenos tenemos.

a2 = b

2 + c

2 – 2bc CosA

a2 = k

2 + d

2 – 2kd CosA

a2 = 90

2 + 60.5

2 – 2(90)(60.5) Cos45°

a =√8100 + 3660.25 − (10845)(0.71)

a=√11760.25 − 7731.9

a= √4028.35

a =63.47pies

Tercero: Las diagonales de un cuadrado bisecan en ángulos congruentes sus ángulos entonces por la ley de los

cosenos tenemos.

a2 = b

2 + c

2 – 2bc CosA

a2 = b

2 + k

2 – 2bk CosA

a2 = 60.5

2 + 90

2 – 2(60.5)(90) Cos45°

a =√3660.25 + 8100 − 2(5445)(0.71)

a=√11760.25 − 7731.9

a= √4028.35 ∴ a = 63.47pies

Conclusión: Las distancia a cada una de las bases son.

III.28) Navegación. Un avión vuela ciudad A hacia la ciudad B, a una distancia de 150 millas, y

después vira con un ángulo de 50° y se dirige hacia la ciudad C, a una distancia de 100 millas, como se

muestra en la figura. ¿A qué distancia se encuentra la ciudad A de la ciudad C? ¿Con qué ángulo debe

virar el piloto en la ciudad C para regresar a la ciudad A?

i. Por definición de ángulos suplementarios tenemos:

m∢𝐴𝐵𝐶 + 𝑚∢CBP =180°

m∢𝐴𝐵𝐶 = 180° − 𝑚∢𝐶𝐵𝑃

m∢𝐶𝐵𝑃 = 180° − 50°

m∢𝐶𝐵𝑃 = 130°

ii. Por la ley de los cosenos tenemos que la distancia de retorno desde C hasta A es:

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵

𝑏2 = (100𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)2 + (150𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)2 − 2(100𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)(150𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)𝐶𝑜𝑠130°

𝑏2 = (10,000𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠) + (22,500𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠) − 2(100𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)(150𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠)(−0.64)

𝑏2 = 32,500𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠2 − 19,200𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠2

𝑏2 = 227.38𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠2

iii. Aplicamos de nuevo la ley de los coseno para encontrar el ángulo de giro en el punto C

c2 = a

2 +

b

2 -2ab Cos C

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠C

𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 𝑐2 − (𝑎2 + 𝑏2)

−2𝑎𝑏

𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 1502 − (1002 + 227.352)

−2(100)(227.35)

𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 22,500 − (10,000 + 51688.0225 )

−45470

𝐶𝑜𝑠 𝐶 = 22,500 − (61688.0225)

−45470

𝐶𝑜𝑠 𝐶 = −39188.0225

−45470

Cos C = 0.861843468

∢C = csc−1(0.861843468)

∢C = 30.48°

Luego: 180° -30.48° = 149.52°

III.48) Determinar las medidas de los lados de un triángulo ABC, sabiendo que su área mide 18 cm2,

= 30° y = 45°

Primero: la suma de los ángulos interiores es de 180° ∡𝐴 + ∡𝐵 + ∡𝐶 = 180°

∡𝐶 = 180° − (∡𝐵 + ∡𝐶)

∡𝐶 = 180° − (45° + 30°)

∡𝐶 = 180° − 75

∡𝐶 = 105°

Segundo: Como solo tenemos los ángulos interiores y al área del triángulo como datos entonces aplicamos

𝐴 = 2𝑅2𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝐶 ∴ 𝑅2 =𝐴

2𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑅2 =18𝑐𝑚2

2𝑠𝑒𝑛𝐴𝑠𝑒𝑛𝐵𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑅2 =18𝑐𝑚2

2(𝑠𝑒𝑛30°)(𝑠𝑒𝑛45°)(𝑠𝑒𝑛105°)

𝑅2 =18𝑐𝑚2

2(0.5)(0.71)(0.97)

𝑅2 =18𝑐𝑚2

0.6887

R2 = 26.14𝑐𝑚2

R = √26.14𝑐𝑚2

R = 5.11cm

Tercero: encontramos el lado b a partir de.

S = 𝑎𝑏

2𝑠𝑒𝑛𝐶 ∴ 𝑏 =

2𝑆

𝑎𝑠𝑒𝑛𝐶

𝑏 =2(18𝑐𝑚2)

5.11𝑐𝑚(𝑠𝑒𝑛105°) =

36𝑐𝑚2

5.11𝑐𝑚(0.97)=

36𝑐𝑚

4.9567 = 7.26cm

Cuarto: encontramos el lado c a partir de.

S = 𝑎𝑐

2𝑠𝑒𝑛𝐵 ∴ 𝑐 =

2𝑆

𝑎𝑠𝑒𝑛𝐵 ∴ 𝑐 =

2(18𝑐𝑚2)

5.11𝑐𝑚(𝑠𝑒𝑛45°)=

36𝑐𝑚2

5.11𝑐𝑚(0.71)=

36𝑐𝑚

3.6281= 9.92𝑐𝑚

III.55) Sobre una circunferencia de radio 1 m y centro en el punto O, consideramos los cinco vértices A, B,

C, D y E de un pentágono regular, como el de la figura:

d) El área del triángulo EAB.

Primero: trabajamos el triángulo AOB, sabemos que el radio es de 1cm y como el ángulo central de un

pentágono regular es 360°/5 = 72° entonces.

c2 = a

2 + b

2 – 2ab Cos B

c = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠𝑂

0 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠72°

o = √1𝑐𝑚2 + 1𝑐𝑚2 − 2(1𝑐𝑚)(1𝑐𝑚)(0.31)

o=√2𝑐𝑚2 − 0.62𝑐𝑚2

o=√1.38𝑐𝑚2

o = 1.17cm

Segundo: Trabajando en el triángulo EOB, ahora que ya conocemos el lado del pentágono regular que es de

1.17cm…sabemos entonces que todos sus ángulos son de igual medida entonces.

Primero: el valor del ángulo interior del pentágono es 540°/5 = 108°

a2 = b

2 + e

2 – 2be Cos A

a = √𝑏2 + 𝑒2 − 2𝑏𝑒𝐶𝑜𝑠108°

a = √(1.17𝑐𝑚)2 + (1.17𝑐𝑚)2 − 2(1.17𝑐𝑚)(1.17𝑐𝑚)(−0.31)

a = √(1.37𝑐𝑚2 + 1.37𝑐𝑚2 + 0.85𝑐𝑚2

a =√2.74𝑐𝑚2 + 0.85𝑐𝑚2

a = √3.59𝑐𝑚2

a = 1.89cm

Nota: na había necesidad de calcular el lado a…

Tercero: calculamos el área a partir de:

S = 𝑏𝑒

2𝑆𝑒𝑛𝐴

S = (1.17𝑐𝑚)(1.17𝑐𝑚)

2 Sen(108°)

S = 1.3689

2(0.95)

S = 0.68445(0.95)

S = 0.65𝑐𝑚2

Autoreflexión: Es un tema que me gustó mucho y disfruto mucho el análisis de los problemas…lo más

difícil es digitarlo pues se lleva bastante tiempo en hacerlo.

Me gustaría de ser posible, que se abriera un espacio para compartir los problemas, pues me gustaría

tener en mi base de datos las aportaciones de los demás compañeros, pues como dije…se lleva bastante

tiempo digitando uno los problemas y sería de gran ayuda poder contar con ese recurso.

Bibliógrafia consultada:

1.- Manual de GeoGebra-----------MINED

2.- GeoGebra-----------------------Software