4º Premio - Mención Especial

GEOMETRÍA DINÁMICA EN UN CURSO DEL PROFESORADO DE MATEMÁTICA

JOSÉ SALVADOR CARRASCO

PATRICIA ESTHER PERALTA

• • •

José Salvador Carrasco es Profesor en Matemática yCosmografía, Profesor en Física y Licenciado en Enseñanzade las Ciencias (orientación en Didáctica de la Matemática).Ejerce como Profesor de Matemática en las ESB 301 y ESB308 de la ciudad de Bahía Blanca. Profesor de Topología yMatemática Aplicada en el Profesorado en Matemática delInstituto Superior Juan XXIII de la ciudad de Bahía Blanca.

Patricia Esther Peralta es Profesora en Matemática yCosmografía y Licenciada en Educación (orientación deEnseñanza de la Matemática y en Diseño, coordinación yevaluación de la enseñanza). Ejerce como Profesora deMatemática en el Colegio del Solar de la ciudad de BahíaBlanca. Profesora de Análisis Matemático, Fundamentos dela Matemática y Metodología de la Investigación enEducación Matemática en el Instituto Superior Juan XXIII dela ciudad de Bahía Blanca. Profesora de PerspectivaPedagógico Didáctica II en el Instituto Superior Avanza, tam-bién de la ciudad de Bahía Blanca.

2

ÍNDICE

• • •

1. Resumen................................................................................................. 3

2. Diagnóstico situacional de la problemática y fundamentos teóricos....... 4 2.1. Las TIC y el contexto educativo ..................................................... 42.2. La enseñanza de la geometría.......................................................... 6

3. La propuesta didáctica ........................................................................... 8 3.1. Consideraciones generales............................................................... 8 3.2. Expectativas de logro .................................................................... 103.3. Objetivos específicos..................................................................... 103.4. Metodología ................................................................................... 11

4. Descripción, análisis y evaluación de resultados provisorios ............. 114.1. Diagnóstico inicial ......................................................................... 114.2. Interacciones sujeto-objeto-instrumento........................................ 124.3. Argumentaciones ........................................................................... 144.4. Situaciones no previstas ................................................................ 15

5. Conclusiones........................................................................................ 18

6. Anexo I - Encuesta inicial ................................................................... 19

7. Anexo II - Guías .................................................................................. 23

8. Bibliografía .......................................................................................... 31

3

1. RESUMEN

• • •

La experiencia que se presenta en este trabajo combina la enseñanza de la geo-metría y el uso de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación(TIC), en particular el video educativo y el software de geometría dinámica.

La propuesta se está poniendo en práctica en un instituto terciario, bajo la moda-lidad de taller, con alumnos del último año del Profesorado en Matemática.

Intervienen en la planificación, diagramación, seguimiento y evaluación del pro-yecto los docentes a cargo de los espacios curriculares: Matemática Aplicada yMetodología de la Investigación Educativa en Matemática.

Se pueden identificar, como germen de esta propuesta, la preocupación de losautores de la misma ante los siguientes indicadores provenientes de la formacióndocente:

• Escasa información sobre el uso, manejo, implementación y evalua-ción de las TIC como recursos para la gestión de la enseñanza de lamatemática.

• Exigua presencia del tratamiento de la geometría métrica elemental,tanto en los espacios curriculares de asignaturas específicas como deaquellas abocadas a la formación didáctica y metodológica.

• Endeble articulación horizontal y vertical entre los espacios curricula-res de la carrera, con predominio de un modelo de enseñanza de trans-misión verbal.

Se espera que la propuesta brinde un espacio de reflexión y mejoramientopara la formación de docentes estratégicos y críticos.

4

2. DIAGNÓSTICO SITUACIONAL DE LA PROBLEMÁTICAY FUNDAMENTOS TEÓRICOS

• • •

2.1. Las TIC y el contexto educativo

La fuerte presencia de la tecnología en diferentes actividades humanas es,hoy, incuestionable. La sociedad usa –y en muchos casos abusa– de los mediostecnológicos para todo tipo de tarea manual, intelectual, artística, etc. Este fenó-meno no posee su correlato inmediato en el sistema educativo. En la actualidad,muchos son los centros escolares de los distintos niveles del sistema que poseenvariados recursos tecnológicos. Sin embargo, las actividades áulicas se basan,primordialmente, en el lápiz y papel, acompañadas de muchas fotocopias ypocos libros de texto.

Por su parte, el docente continúa erigiéndose como transmisor y organizadorde la información. Al respecto, es posible señalar, como orientadoras, lassiguientes ideas que sustentan este trabajo:

a) Los medios tecnológicos deben estar en función de los objetivos quese persiguen:

“Los medios –cualquier tipo de medio– son simplemente instru-mentos curriculares, que deberán ser movilizados por el profesorcuando el alcance de los objetivos y la situación de instrucción lojustifique. (...) Los efectos que se consigan con los medios nodependerán directamente de su potencialidad y carga tecnológica,sino de la interacción de una serie de variables de las cuales una delas más significativas es la estrategia de instrucción que apliquemossobre el mismo.”1

b) De la lectura del párrafo anterior se desprende la importancia que,sobre cualquier otro aspecto, tiene la formación inicial y el perfeccio-

1. Julio Cabero y otros, La piedra angular para la incorporación de los medios audiovisuales,informáticos y nuevas tecnologías en los contextos educativos: la formación y el perfecciona-miento del profesorado, Universidades de Sevilla, Huelva y Extremadura (España).

5

namiento continuo del profesorado para la integración de las nuevasTIC en los procesos de enseñanza y de aprendizaje.

El docente no deja de ser un integrante irreemplazable del proceso deenseñar a aprender. Sin embargo, es de esperar que los nuevos mediosdisponibles lo ayuden a desprenderse de aquella función netamentetransmisora.

“De manera que, frente a la función tradicional de transmisor yestructurador de la información, llegará a desarrollar otras más nove-dosas e interesantes, como la de diseñador de situaciones mediadasde aprendizajes, el diagnóstico de las habilidades y necesidades delos estudiantes o la reformulación y adaptación de los proyectos.”2

c) Es un hecho que muchas de las ideas, concepciones y creencias de losestudiantes de profesorado proceden de sus experiencias como alum-nos, y de las teorías recibidas. Además, en general, los profesores sonpropicios a enseñar de la misma manera en que fueron enseñados. Sise tiene en cuenta que el alumno que ingresa a la carrera docente haestado enfrentado durante 12 años a un modelo mayormente tradicio-nal-transmisivo (con una escasa o nula presencia de medios tecnológi-cos), se percibe el importantísimo rol que les cabe a los centros de for-mación docente para provocar un cambio en tal sentido.

“(Es) importante el efecto que tiene en el buen desarrollo del procesode formación, la coherencia y consistencia entre la forma de trabajardel formador (modelo didáctico subyacente) y la filosofía que intentatransmitir el contenido del programa (modelo didáctico explícito).”3

d) Una de las ideas que subyacen respecto de la actividad matemática esaquella que la considera como ajena al empleo de cualquier herramienta.Más aún, “hay una tendencia que supone que las matemáticas son resulta-do de un intelecto ‘puro’, sin relación con alguna forma de tecnología.”4

2. Julio Cabero y otros, op. cit.3. Pilar Azcárate Goded, Estrategias metodológicas para la formación de maestros, Huelva,Universidad de Huelva, 1999, p. 23.4. Luis Moreno Armella, “Instrumentos matemáticos computacionales”, en Revista Eduteka, agosto 2001.

6

Es así como la progresiva presencia de las TIC en las escuelas ha ins-talado en el centro del debate la problemática de la mediación instru-mental, a punto tal que ha permitido revitalizar las reflexiones sobre elconocimiento producido y la tecnología empleada. Por lo tanto, esimportante tener en cuenta estos aspectos de la mediación instrumen-tal al diseñar estrategias de enseñanza y de aprendizaje.

e) Por último, es dable destacar el papel que juega la posibilidad de ana-lizar un mismo problema matemático desde distintos marcos: funcio-nal, aritmético, algebraico, etc. Las computadoras y los programas deprocesamiento simbólico y gráfico -así como los de geometría dinámi-ca- permiten incorporar un nuevo recurso: el de las representacionesejecutables. “Esto significa (...) que una vez instalados en el lenguajedel medio ambiente computacional, las nuevas representaciones sonprocesables, manipulables.”5 Han aparecido, de esta manera, una suer-te de nuevos micromundos en los cuales los objetos matemáticos sematerializan, y que indudablemente ayudan a enriquecer las relacionessujeto-objeto matemático.

2.2. La enseñanza de la geometría

Una mirada sobre los conocimientos de los alumnos de la EducaciónSecundaria Básica (ESB), Polimodal y del Profesorado de Matemática muestrala desaparición gradual y creciente de la geometría de sus bagajes de saberesmatemáticos.

Conceptos erróneos, estrategias precarias –cuando no cierta aversión haciacualquier aspecto relacionado con la geometría– son síntomas que permitendiagnosticar el estado de abandono actual de esta rama de la matemática.

Ya desde hace varios años, se asiste a la evaporación de la geometría. Hoy, lamisma geometría plana surge como islote en algunas realidades áulicas, sumergi-da en un vasto océano de aritmética y álgebra.

“La Geometría es, quizá, la más utilizada de las ramas de la mate-

5. Luis Moreno Armella, op. cit.

7

mática por el hombre común. Continuamente este hombre se des-plaza entre cuerpos, actúa sobre ellos, los transforma, hace aprecia-ciones métricas, mide, establece relaciones, se imagina en el interiorde la casa que desea habitar, penetra mentalmente en el interior delmotor de su automóvil...”6

Y sin embargo, dentro de la clase de matemática... Si se focaliza la mirada en los alumnos de la carrera de Profesorado en

Matemática para la EGB y el Polimodal, el espectro aquí es muy amplio y rico enejemplos que atestiguan la pobreza conceptual de las últimas generaciones deegresados de la educación secundaria en el ámbito de la geometría. En los profe-sorados de la provincia de Buenos Aires, los alumnos cursan Álgebra y GeometríaI (primer año), Álgebra y Geometría II (segundo año), Geometría III (cuarto año).En las dos primeras, como consecuencia de la carga horaria asignada, el álgebratiene prioridad sobre la geometría, y si bien existen otras asignaturas destinadas a ladidáctica de la matemática, en éstas se hace hincapié en aspectos metodológicos yno de contenidos. Por otra parte, las denominadas materias específicas pareceríanreforzar el modelo transmisor, contra el modelo constructivista que se promuevedesde las didácticas.

Los resultados, después de cuatro años de estudio, no son prometedores. Y semanifiestan desde las mismas prácticas (residencias):

“Cuando los alumnos tienen bajos conocimientos del contenido, evi-dencian dificultades para realizar cambios didácticos; evitan enseñarlos temas que no dominan; muestran inseguridad y falta de confian-za ante situaciones no previstas, como preguntas espontáneas; refuer-zan los errores conceptuales; tienen mayor dependencia del libro detexto, tanto en la instrucción como en la evaluación; y dependen másde la memorización de la información.”7

6. María Guasco y otros, Geometría, su enseñanza, Buenos Aires, PROCIENCIA., 1996, p. 182.7. Lorenzo Blanco y Luis Contreras. Un modelo formativo de maestros de primaria en el área de mate-máticas en el ámbito de la geometría, en: Aportaciones a la formación inicial de maestros en el áreade matemáticas: una mirada a la práctica docente, Cáceres, Universidad de Extremadura, 2002, p. 100.

8

3. LA PROPUESTA DIDÁCTICA

• • •

3.1. Consideraciones generales

a) La propuesta combina el empleo de videos educativos y software degeometría dinámica en un cuarto curso del Profesorado de Matemáticapara el Tercer Ciclo de la EGB y el Polimodal (Provincia de BuenosAires), y su temática central es “movimientos en el plano”.

b) Los espacios curriculares intervinientes son los de MatemáticaAplicada y Metodología de la Investigación Educativa en Matemática.

c) La modalidad de trabajo de los alumnos se encuadra en la de Taller, conactividades presenciales y no presenciales. El tiempo asignado para lasprimeras es de 120 minutos semanales si se emplean dos módulos deuno de los espacios curriculares, o 240 minutos si se emplean los asig-nados a ambos espacios curriculares. El tiempo estimado para las acti-vidades no presenciales es de 240 minutos semanales.

d) La experiencia se está llevando a cabo en el Instituto Superior JuanXXIII, de la ciudad de Bahía Blanca (Provincia de Buenos Aires), conun curso de doce alumnos del Profesorado en Matemática para la EGBy el Polimodal.

e) Se cuenta con un gabinete informático con una PC por alumno, condisquetera y lectograbadora de CD, con un sistema operativo WindowsXP y conexión permanente a Internet.

Respecto de lo anterior, la disponibilidad tecnológica existente permiteextenderla a una población mucho mayor.

f) El software empleado relacionado con la propuesta es: Programa basepara todas las actividades: GeoGebra. Versión 3.0.4.0.Freeware con descarga gratuita desde http://www.geogebra.org/cms/

9

Programas complementarios: • Regla y Compás. Versión 6.4. Freeware con descarga gratuita desde:

http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/.• Wingeom. Freeware con descarga gratuita desde:

http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html)

g) La proyección y análisis de los videos se lleva a cabo, indistintamen-te, en el salón de clase habitual (donde se cuenta con TV y reproduc-tor de VHS o reproductor de DVD) o en la sala de informática, ya quelos mismos se encuentran en los sitios http://www.youtube.com/ yhttp://www.dailymotion.com/ (desde donde también fueron descargadosy grabados en formatos que permitieran reproducirlos en PC o DVD).

h) Los videos en cuestión fueron producidos por la Televisión Española,destinados al público en general, y corresponden a la serie Más pormenos8, según las siguientes descripciones:

Título: Movimientos en el planoContenidos:

Simetría: generalidadesTraslaciónGiroSimetría Axial (Espejos)Simetría RotacionalFrisosMosaicosRecubrimiento del plano con polígonos regulares

Título: La geometría se hace arteContenidos:

Mosaicos musulmanesLos grupos de simetría en los mosaicos musulmanesLa obra de Escher

i) Para las actividades no presenciales, los alumnos cuentan con sus propiasPC o con turnos de la sala de informática habilitados oportunamente.

8. Para mayor información sobre los videos de esta serie (y otras) puede consultarse la página webhttp://platea.pntic.mec.es/aperez4/masmenos.htm.

10

3.2. Expectativas de logro

Atendiendo al doble rol de estudiante y profesor de los alumnos, se estable-cieron como expectativas de logro de la experiencia didáctica:

• Proponer procesos reflexivos en el tratamiento y resolución de problemas.• Brindar los marcos teóricos pertinentes que sostienen la experiencia.• Lograr coherencia entre el modelo de formación y el modelo didáctico.• Inculcar en los estudiantes que “enseñar matemática supone tomar una

serie de decisiones de forma consciente sobre qué parte de los conocimien-tos enseñar, en qué momento es conveniente enseñarlos y de qué formapuede ser más adecuado tratarlos para que éstos sean aprendidos.”9

• Constituir un entorno de aprendizaje que considere la utilidad (contex-tualizada e integrada al currículo) de las TIC, al mismo tiempo quedestaque su valor informativo, formativo, comunicativo y motivador.

• Alentar al autoaprendizaje, la reflexión en y sobre la acción, y el trabajocolaborativo.

3.3. Objetivos específicos

Al finalizar el Taller se espera que los alumnos:

• Reconozcan, identifiquen y caractericen las transformaciones en el plano.• Apliquen transformaciones en el plano en la resolución de problemas.• Aprecien las aplicaciones sociales de la geometría y su relación con el

arte y la arquitectura.• Desarrollen estrategias de resolución de problemas mediadas por un

medio informático.• Perfeccionen sus habilidades manuales y visuales.• Asuman una actitud crítica y reflexiva hacia las estrategias didácticas

empleadas en el taller y los marcos teóricos que las sustentan.• Analicen y empleen la bibliografía disponible sobre las investigacio-

nes didácticas referidas a la problemática del taller.• Adquieran habilidades para la evaluación y el uso pertinente de videos

didácticos.• Realicen actividades de autoaprendizaje y colaborativas.

9. Pilar Azcárate Goded, op. cit., p. 19.

11

3.4. Metodología

Luego del diagnóstico inicial, a través de una encuesta y discusión en grupo(ver ANEXO I), se planificó un cronograma tentativo, encuentro por encuentro,con guías que orientan la labor de cada clase (ver ANEXO II), que son reformu-ladas de acuerdo con las dificultades con las que se enfrentaron los alumnos, ycon sus propios intereses y demandas.

Como podrá apreciarse a partir de las lecturas de las guías mencionadas, ensu diseño se intentó:

• Incluir actividades que generen conocimiento acerca de la matemática,y conocimiento curricular y didáctico.

• Incorporar lecturas de especialistas sobre la temática de las TIC encontextos de aprendizaje.

• Evitar el mismo patrón en la estructura y la presentación.

Para cada guía (o para distintas actividades de una misma guía), se seleccio-nan distintas maneras de registrar las respuestas o compartir las producciones:envíos por mail, debates, exposiciones, etc.

4. DESCRIPCIÓN, ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS PROVISORIOS

• • •

Si bien la experiencia continúa implementándose, es posible efectuar algunas con-sideraciones sobre su marcha y, en especial, sobre las producciones de los alumnos.

4.1. Diagnóstico inicial

A continuación se expresan, en líneas generales, los aspectos más significati-vos de las repuestas dadas respecto al empleo o presencia de tecnología en laclase de matemática durante la vida escolar de los alumnos.

• Calculadora científica: en general no recibieron asesoramiento sobrelos modelos a adquirir; no se los alentó a utilizarla (excepto en deter-

12

minados temas); no realizaron actividades que exigieran un uso creati-vo de la misma.

• Libro de texto: no hubo un uso obligatorio ni periódico del mismo,como tampoco investigaciones que requirieran búsqueda bibliográfica.

• Incorporación de la calculadora científica: fue muy variado el espec-tro que muestra el año específico en que comenzó a utilizarse la cal-culadora científica en la educación secundaria; en cambio, en lo querespecta a las opiniones sobre el año en que, efectivamente, deberíaproducirse, hubo una tendencia generalizada a hacerlo sobre el final dela ESB. También hubo casi unanimidad en que la incorporación de lacalculadora científica debe producirse “una vez que los alumnos domi-nan el tema en el entorno de lápiz y papel”.

• Nuevas TIC en la clase de matemática: no se presenció ni participó enactividades mediadas por otra tecnología más allá de la calculadora.

• Formación en el profesorado: no se ha discutido la problemática de lainclusión de tecnología en la clase de matemática y hay un desconoci-miento generalizado sobre si los diseños curriculares (del nivel secun-dario y terciario) contemplan su incorporación. Las presentaciones enPower Point fueron la única tecnología presente en algunos de losespacios curriculares de la carrera.

• Eje organizador de las actividades: fue equiparada la decisión deadoptar o bien la geometría o bien la resolución de problemas.

4.2. Interacciones sujeto-objeto-instrumento

En primer término, es interesante señalar que en todo proceso de mediacióntecnológica se pueden distinguir las interacciones sujeto-instrumento, instrumen-to-objeto y sujeto-objeto (mediada por el instrumento). Al examinar en detallecualquiera de las actividades de los alumnos, desde los primeros intentos de reso-lución hasta la respuesta final, en las diferentes etapas sobresale una de esas inte-racciones, pero sin independencia total de las otras dos. Por otra parte –como unasuerte de telón de fondo–, en todas estas actividades subyacen las concepciones,creencias y conocimientos previos de los estudiantes, que se hace necesario expli-citar y evolucionar.

Así, en los primeros pasos con el software, la interacción sujeto-instrumentoparece erigirse como la más evidente. Las consultas iniciales en este sentido fue-

13

ron del tipo “¿Cómo hago para...?”. Sin embargo, un tipo de interacción en unentorno puede condicionar otra interacción del mismo tipo, o una de otro tipo enun entorno distinto.

Por ejemplo, en un principio, los alumnos confundieron la función Ocultarcon la función Borrar. Esta suerte de sinonimia entre esas dos acciones provie-ne, indudablemente, del trabajo en un entorno de lápiz y papel. ¿Cómo se ocul-tan los objetos dibujados en este entorno? En el entorno de lápiz y papel, elalumno oculta borrando lo que ha dibujado. Y esto se incorpora en el sujeto por-que el medio tecnológico se instala en sus esquemas de acción. Además, unaacción de este tipo, en el entorno de lápiz y papel, no provoca ningún cambio enel objeto. El sujeto puede dibujar con compás una circunferencia y luego ocul-tar su centro, borrándolo, y la circunferencia permanece dibujada. En el medioinformático, borrar un objeto puede significar eliminar todos los que usaron aaquel para ser definidos.

Además, es importante –como se señaló anteriormente– el peso que tienenlas concepciones previas de los alumnos. Muchos recordaban cómo sus docen-tes ponían énfasis en que no debían borrar nunca ningún trazado auxiliar (arcos,circunferencias, rectas, etc.). Obviamente, esto generó un importante espacio dediscusión y reflexión al respecto. ¿Cómo evaluar, en cada entorno, una cons-trucción una vez finalizada? ¿Qué es un protocolo de construcción?

Siguiendo con estas ideas, una actividad que se constituyó en una rica fuen-te de análisis, ya desde la Guía 1, fue la de examinar dos protocolos distintospara una misma construcción en un mismo entorno y, además, la misma cons-trucción en un entorno de lápiz y papel.

Tómese como ejemplo la Actividad 1.3, que propone construir un cuadradoa partir de su diagonal.

Alumno A: Este estudiante comienza utilizando el comando Ángulo dada suamplitud. La secuencia es la siguiente. Para el ángulo BAB’, los pasos son:

Marcar BMarcar AAsignar amplitud.Aparece entonces el punto B’, no así el lado AB’, que debe ser trazado por el usuario.

14

Este procedimiento lo repite cuatro veces.

Marca, luego, los puntos de intersección C y D.

Ahora bien, el problema que encuentra esteestudiante es que, al intentar dejar dibujado solo elcuadrado, no puede ocultar A’C (como tampocoB’C, A’1D, B’1D).

Por esta razón, traza -sobre lo hecho- los seg-mentos AC, CB, BD y DA.

Luego puede ocultar A’C, B’C, A’1D, B’1D.

Al hacer esta construcción sobre lápiz y papel, este alumno encuentra que ladiferencia fundamental está en que, una vez marcados C y D, sólo debe ocultarA’C, B’C, A’1D, B’1D, borrándolos.

Alumno B: este estudiante comienza con elpunto medio de AB, luego la circunferencia, larecta perpendicular, los puntos de intersecciónE y D, y por último los lados del cuadrado.

Así, este alumno encuentra que debe ocultardos objetos: la circunferencia y la recta.

Al llevar a cabo esta construcción en lápiz ypapel, el alumno no encuentra diferencias funda-mentales con la realizada en el entorno informático.

4.3. Argumentaciones

Otra cuestión para la cual pueden utilizarse estos dos ejemplos es la de argu-mentación de las construcciones. ¿Por qué se asegura que el cuadrilátero obtenidoes un cuadrado? Esta problemática insumió un tiempo muy importante en cadaclase. Justamente, fue llamativo que –para las dos situaciones anteriores– los dosalumnos reconocieran que habían partido de triángulos rectángulos isósceles (dos

15

en el primer caso, cuatro en el segundo), pero que no encontraran diferencias fun-damentales entre uno y otro. Sin embargo, el primer alumno partió de un lado (lahipotenusa) y los dos ángulos adyacentes, mientras que el segundo lo hizo desdedos de sus lados (catetos) y el ángulo comprendido. Obviamente, esto llevó al tra-tamiento de los criterios de congruencia de triángulos (es decir, la mínima infor-mación a partir de la cual es posible dibujar un determinado triángulo).

4.4. Situaciones no previstas

Como se ha señalado, incorporar entornos informáticos para enseñar y apren-der matemática genera nuevos desafíos para el docente, que van desde el tipo deproblemas que plantea hasta el reconocimiento de la validez de los procesos cog-nitivos y epistemológicos de los que participan los alumnos, pasando por todaslas situaciones no previstas.

Tómese el problema de la Actividad 3.1. a) Dos rectas A y B se cortan

con una tercera C. Construyeun triángulo equilátero con ellado prefijado D de modoque sus vértices pertenezcana las rectas A, B y C.

b) Establece las condiciones deexistencia del triángulo bus-cado. Es decir, si el problemaadmite una única solución,dos o más soluciones o ninguna solución.

Este problema, en un entorno de lápiz y papel, tendría la siguiente posiblesolución:

Se marca un punto A sobre la recta a.Con centro en A y radio igual a d, se marca el punto B sobre la recta b.Se traza el segmento AB, lado del triángulo equilátero.Se completa la construcción del triángulo equilátero, hallando el punto C.Es esperable que C no caiga sobre la recta c. Bastará entonces una trasla-ción paralela a las rectas a y b del triángulo ABC hasta ubicar C sobre c.

16

Alumno C: Mueve el segmento d hasta ubicarlo sobre la recta b (comando Desplaza)

Deja fijo el extremo derecho del segmento d sobre b, y rota el otro extremopara tratar de ubicarlo sobre la recta a, notando que la longitud del segmentovaría de acuerdo con su pulso (comando Desplaza).

Vuelve al inicio y repite el primer paso.

Deja fijo uno de los puntos sobre la recta b, y rota el segmento hasta ubicarel otro extremo sobre la recta a pero empleando, ahora, el comando Rota entorno a un punto.

Construye el triángulo equilátero (comando Polígono regular).

Mueve el triángulo hasta ubicar el punto C sobre la recta c (comandoDesplaza).

Alumno D: Construye el triángulo equilátero sobre el segmento d (comando Polígono

regular).

Mueve verticalmente el triángulo hasta ubicar el lado d sobre la recta b(comando Desplazar).

Toma el extremo derecho del lado d y comienza a rotarlo (comandoDesplazar), observando que esto provoca que el segmento aumenta o disminu-ye su tamaño.

Para solucionar este problema, retrocede al paso inicial y marca la longituddel segmento empleando el menú contextual (botón derecho del mouse).

Repite las operaciones anteriores y con el comando Desplazar rota y mueveel triángulo hasta quedar en la posición requerida, observando que d mantengala longitud.

Es fácil observar que las tres construcciones difieren notablemente entre sí,

17

siendo la del Alumno C la que más puntos de semejanza posee con la previstapara el entorno de lápiz y papel. Sin embargo la descripta como Alumno D fuela que más adeptos tuvo.

Aquí se puede observar claramente el micromundo que crea el entorno infor-mático y que le permite al alumno experimentar con las representaciones ejecu-tables. El desplazar y rotar libremente es una posibilidad que no se da en elentorno de lápiz y papel. Otra posibilidad es volver sobre los pasos anteriorescasi sin esfuerzo.

Un alumno acostumbrado a resolver este tipo de problemas en el entorno delápiz y papel tendría que poner en juego otras estrategias que le aseguren un aho-rro de energía (por no decir, también, de goma de borrar y unas cuantas hojas).Seguramente, partiría de suponer el problema resuelto y analizaría la forma dedesandar el camino.

Esto no sucede, al menos de la misma forma, en el entorno informático. Todo lo anterior lleva a una serie de cuestiones, entre otras:

¿Qué significado y qué importancia pueden otorgárseles a las cons-trucciones hechas?¿Se produce una reorganización cognitiva en el alumno?¿Es un problema apto para un entorno informático?¿Podría reformulárselo para hacerlo apto introduciendo, por ejemplo,restricciones sobre el tipo de comando a emplear?¿Qué acciones didácticas debe adoptar el docente frente a situacionesno previstas?¿Puede que estas situaciones generen una suerte de trivialización de lageometría?¿Qué concepciones se instalan en los alumnos como consecuencia deestas actividades?

Sin lugar a dudas, éstas son solo algunas de las cuestiones sobre las cualesreflexionar. Habrá otras que surjan en un análisis a priori y, tal vez, muchas másen el análisis a posteriori.

Como sostiene Nicolás Balacheff, la cuestión de la validez de los procesos

18

mentales puestos en juego y del conocimiento producido por las tecnologías com-putacionales aparece en el centro de la escena con un protagonismo inusitado:

“La trasposición computacional y el dominio de validez epistemológi-ca están intrínsecamente relacionados. Un tema clave de investigaciónen la próxima década será entender los procesos relacionados, espe-cialmente sus características intrínsecas (las que no se modificarán conel progreso técnico), y desarrollar marcos teóricos y metodologías parala identificación de un dominio epistemológico de validez.”10

5. CONCLUSIONES

• • •

La incorporación de los medios informáticos en la clase de matemática plantea, porsobre todo, un gran desafío para los docentes. Es un hecho que la mera presencia delequipamiento tecnológico en la institución escolar no asegura su introducción comorecurso didáctico permanente en la clase. La transposición computacional inserta en elcentro de la cuestión la formación inicial y continua del profesorado. Cualquier reformarespecto de la problemática aquí planteada que no cuente con el convencimiento y pre-paración profesional de los docentes tiene escasas o nulas posibilidades de éxito.

La propuesta presentada en este trabajo intenta incursionar en algunos aspectosdel uso de las TIC y mostrar que la génesis instrumental exige de ciertos nivelesde reflexión y análisis, que distan enormemente de pensar que basta con sentar aun alumno frente a un ordenador (o una pantalla de televisión) con una guía deactividades para generar cambios en su manera de hacer y apreciar la matemática.

Por el contrario, conceptos como fidelidad, validez, reorganización concep-tual, gestión de la clase, evaluación, etc., adquieren –dentro de esta otra formade hacer matemática– una dimensión distinta, que reclama a los docentes y espe-cialistas nuevos marcos teóricos y prácticos en pos de un mejor proceso de ense-ñar a aprender matemática.

10. Nicolás Balacheff, “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidaddidáctica y expectativas”, en Gorgorio y otros (coords.), Matemáticas y educación. Retos y cam-bios desde una perspectiva internacional, Barcelona, Editorial Grao, 2000, p. 99.

19

6. ANEXO I

• • •

Encuesta Inicial• Enseñanza Secundaria1. Alguna de las escuelas a las que concurriste, ¿contaba con televisión y/o

reproductor de video (o DVD)? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

2. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar en la clase de matemática algúnvideo o película sobre algún tema afín? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO2.1. En caso afirmativo, describe, si lo recuerdas, el título del video o dela película, y/o el tema central.

3. ¿En qué momento de tu trayectoria escolar comenzaste a utilizar la calcu-ladora científica durante la clase de matemática (indica el grado o el año)?

4. ¿Te alentaron tus profesores a utilizar la calculadora? (Tacha lo que NOcorresponda)

SÍ NOEN ALGUNAS OCASIONES (dependiendo del tema)

5. ¿Te asesoraron tus profesores sobre qué modelo de calculadora adquirir?(Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

6. ¿Dedicaba el profesor momentos específicos de la clase para enseñarte ausar la calculadora científica?

SÍ NOEN ALGUNAS OCASIONES (dependiendo del tema)

20

7. ¿Te proponían tus profesores problemas que exigieran un empleo creativode la calculadora (es decir, que fueran más allá del uso de la misma como herra-mienta de cálculo)? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

8. Alguna de las escuelas a las que concurriste, ¿contaba con gabinete de com-putación para uso de los alumnos? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

9. ¿Tuviste la oportunidad de utilizar o presenciar el uso de computadoras enla clase de matemática? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

9.1. En caso afirmativo, marca cuál o cuáles de los siguientes “software”fueron utilizados.

WORD POWER POINT EXCELENCICLOPEDIA VIRTUAL (TIPO ENCARTA) JUEGOSEDITOR DE ECUACIONES (Incluido en WORD)SOFTWARE MATEMÁTICO (Especificar cuál/es):OTROS (Especificar cuál/es):

10. ¿Posees computadora en tu casa? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO10.1 En caso afirmativo, ¿tienes conexión a Internet? (Tacha lo que NOcorresponda)

SÍ NO

11. Alguna de las escuelas a las que concurriste ¿contaba con retroproyector)?(Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

21

12. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar en la clase de matemática algunaexposición empleando retroproyector? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

13. ¿En algún año usaste, con periodicidad y en forma obligatoria, en la clasede matemática, un libro de texto (no fotocopias) o cuadernillo de actividades?(Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO13.1 En caso negativo, ¿te asignaron, alguna vez, actividades para las cua-les tuviste que recurrir a la búsqueda en un libro de texto de matemática?(Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

14. Coloca junto a cada uno de las siguientes temáticas un número, sin repe-tir, del 1 al 7, de acuerdo con la presencia (importancia o relevancia) que le die-ron tus profesores a los mismos en sus clases. Considera tu enseñanza secunda-ria en su totalidad (no en un año específico). Asigna el 1 al más importante y 7al menos importante. Las aclaraciones entre paréntesis son solo orientativas.

ARITMÉTICA (Números, operaciones combinadas)ÁLGEBRA (Lenguaje simbólico, ecuaciones)RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (A partir de la lectura e interpretaciónde enunciados verbales)FUNCIONESGEOMETRÍATRIGONOMETRÍAPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

• Profesorado (Hasta el tercer año incluido)15. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar, en alguno de los espacios de la orienta-

ción11, algún video o película sobre algún tema afín? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

11. Se consideran espacios de la orientación aquellos específicamente relacionados con la mate-mática (o su enseñanza).

22

15.1. En caso afirmativo, describe, si lo recuerdas, el título del video o dela película, y/o el tema central.

16. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar o participar en el uso de la computa-dora en alguno de los espacios de la orientación? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

16.1. En caso afirmativo, marca cuál o cuáles de los siguientes “software”.

WORD POWER POINT EXCELENCICLOPEDIA VIRTUAL (TIPO ENCARTA) JUEGOSEDITOR DE ECUACIONES (Incluido en WORD)SOFTWARE MATEMÁTICO (Especificar cuál/es):OTROS (Especificar cuál/es):

17. ¿Recibiste formación sobre el uso didáctico de los medios tecnológicos(calculadora, software, videos, etc.)? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

18. ¿Sabes si los diseños curriculares oficiales de los espacios de la orienta-ción se contempla la enseñanza del uso didáctico de los medios tecnológicos?(Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO

19. ¿Sabes si en los diseños curriculares de matemática de la provincia deBuenos Aires para la enseñanza secundaria está explícitamente contemplada laincorporación de la calculadora científica? (Tacha lo que NO corresponda)

SÍ NO19.1 En caso afirmativo, indica a partir de qué año de la educación secundaria.

20. ¿A partir de qué año de la educación secundaria consideras que debeincorporarse la calculadora científica?

23

21. Dejando de lado aquellas temáticas específicas (tales como trigonometría)en las cuales el uso de la calculadora científica es prácticamente imprescindible,¿en qué momento de una secuencia didáctica consideras que debe incorporarse suuso? (Marca la opción –una sola– que consideras más cercana a tu parecer y quecrees que es aplicable a la mayor cantidad de situaciones respecto de la enseñan-za secundaria de la matemática).

• Una vez que los alumnos dominan el tema en el entorno de lápiz y papel.• Al mismo tiempo que lo aprenden en el entorno de lápiz y papel.• Antes de aprenderlo en el entorno de lápiz y papel.• En lugar de aprenderlo en el entorno de lápiz y papel.

22. Si tuvieras que elegir, para tu planificación anual, uno de los marcos nombradosen el ítem 14 alrededor del cual organizar todas las actividades, ¿por cuál optarías?

7. ANEXO II

• • •

GUÍA 1

Actividades iniciales con Software de Geometría Dinámica

Comentario Incial: Mientras no se explicite lo contrario, las actividades pro-puestas están pensadas para ser desarrolladas sobre una pantalla en blanco, es decirsin hacer uso de los ejes cartesianos, coordenadas, cuadriculados, etc.. En otraspalabras, simulando una hoja de papel en blanco en un entorno de lápiz y papel.12

ACTIVIDAD 1.1

Ingresa a los distintos programas y explora sus menúes y pantallas. Intentaalgunas construcciones sencillas (recurre a la opción Ayuda). Compara las for-mas de hacer la misma construcción con cada programa. Toma nota de inquie-tudes y dudas.

12. La expresión “Entorno de lápiz y papel” hace referencia al material habitual con que el alum-no trabaja en clase. Se sobreentiende que incluye los instrumentos de geometría también.

24

ACTIVIDAD 1.213

1) Dibuja un segmento AB2) Construye el cuadrado ABCD sin emplear el comando Polígono.3) Oculta todos los objetos auxiliares de manera tal que solo se observe

el cuadrado.4) Marca los puntos medios de los lados del cuadrado.5) Marca el cuadrilátero formado por los puntos medios.6) Toma los vértices del cuadrado grande y muévelos.

Las construcciones que se realizan con software de Geometría Dinámica res-ponden a la siguiente “filosofía”: al mover los objetos iniciales se debe movertoda la figura, manteniéndose las propiedades pedidas.

7) Justifica por qué la figura ABCD es un cuadrado.8) Justifica por qué el cuadrilátero formado por los puntos medios es un

cuadrado.

ACTIVIDAD 1.3

1) Dibuja un segmento AC.2) Construye el cuadrado ABCD (AC diagonal del cuadrado) sin emplear

el comando Polígono.3) Oculta los objetos auxiliares utilizados en la construcción.4) Mueve la figura.5) Justifica por qué el cuadrilátero ABCD es un cuadrado.

ACTIVIDAD 1.4

d) Redacta un informe sobre semejanzas y diferencias, ventajas y desventa-jas que existen entre realizar las actividades 1.2 y 1.3 en un entorno de lápiz ypapel y en un entorno informático.

13. Con el objeto de mantener la uniformidad de respuestas, cuando no se aclare lo contrario lasactividades se desarrollarán en el entorno de GeoGebra.

25

ACTIVIDAD 1.5

Considerando el marco teórico que aporta la ingeniería didáctica de MichelleArtigue, analizado en Metodología de la Investigación Educativa en Matemática:

a) Efectúa un análisis a priori de la Actividad 1.2. en un curso de escuelasecundaria, teniendo en cuenta que la misma se realiza en un entornoinformático.

b) Efectúa un análisis a priori de la Actividad 1.3. en un curso de escuelasecundaria, teniendo en cuenta que la misma se realiza en un entornode lápiz y papel.

GUÍA 2

Introducción

En el currículo de matemática, los movimientos en el plano aparecen comouno de los temas integradores de diferentes conceptos matemáticos. Esto inclu-ye el manejo de figuras geométricas, construcciones con regla y compás, medi-ciones, ángulos, vectores, etc.

Con la presente guía se inicia un recorrido que permitirá adentrarse en susaspectos fundamentales.

ACTIVIDAD 2.1

a) Observa las siguientes ilustraciones descargadas de la Web.

26

b) Describe y caracteriza con tus propias palabras los siguiente términos:simetría, movimiento, equilibrio.

c) ¿Puedes reconocer con qué aplicaciones sociales se relacionan estosconceptos (arquitectura, por ejemplo)? Cita y describe ejemplos.

d) Ingresa en uno de los buscadores de Internet más conocidos (Yahoo oGoogle) y selecciona la opción Imágenes. Busca, por lo menos, cinco imá-genes que consideres corresponden a los conceptos tratados hasta aquí.

ACTIVIDAD 2.2 Movimientos en el plano. Presentación

A) Se observará la introducción del video Movimientos en el Plano. Observay escucha atentamente, ya que deberás tomar nota de los aspectos relevantes. Sedetendrá la proyección para que puedas reflexionar sobre lo visto, intercambiaropiniones con tus compañeros y dar forma escrita a tus observaciones. De sernecesario se reproducirá varias veces esta parte del video.

Intenta responder a lo siguiente:a) ¿Cuál es el título del programa de televisión? b) ¿Cuál es su temática? c) ¿El relator explica el por qué de la denominación del tema?d) ¿Encuentras algunas imágenes similares a las que hemos examinado

en nuestro recorrido anterior? ¿Y otras que no?e) ¿Cuáles son los términos o palabras claves que se mencionan?

B) Consulta bibliografía del nivel ESB (por lo menos dos textos). Toma notadel año (7º, 8º o 9º) en que se introduce este tema en la escolaridad secundaria.Cita adecuadamente la fuente bibliográfica. Haz una breve descripción de la

27

manera en que se introduce a los alumnos en la temática y compárala con laforma en que lo hace el video. ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajasde cada una?

C) Ingresa a http://dewey.uab.es/pmarques/videoori.htm. Analiza lo expuestopor el autor, en particular en el apartado “Orientaciones y sugerencias para el usodidáctico de los materiales videográficos”. Reflexiona críticamente sobre la mane-ra en que esta guía ha empleado el video. ¿Qué sugerencias o críticas harías?¿Qué cambiarías?

GUÍA 3

ACTIVIDAD 3.1

Resuelve el siguiente problema en un entorno de lápiz y papel, y luego en unentorno informático.

a) Dos rectas A y B se cortan con una tercera C. Construye un triánguloequilátero con el lado prefijado D de modo que sus vértices pertenez-can a las rectas A, B y C.

b) Establece las condiciones de existencia del triángulo buscado. Es decir,si el problema admite una única solución, dos o más soluciones o nin-guna solución.

c) ¿Empleaste algún tipo de “movimiento” para resolver el problema?¿Puedes definirlo o caracterizarlo? ¿Qué nuevos objetos matemáticosempleas?

ACTIVIDAD 3.1 Traslación (Video)

Se proyecta la parte del video correspondiente a: TraslaciónIntenta responder a lo siguiente:

a) ¿Cómo se define la traslación? b) ¿Qué conceptos matemáticos relacionados con ella ya conocías? ¿Cuáles no?

Defínelos.c) Confecciona una descripción gráfica y verbal de una traslación.d) ¿Cómo simbolizarías que F es la figura original y F’ la que se obtiene

como consecuencia de la traslación según el vector v ?

28

e) ¿Qué relación existe entre el vector v, que transforma F en F’, y el quetransforma F’ en F? ¿Cómo lo simbolizarías?

f) Compara tus respuestas con alguno de los textos que consultaste en laactividad anterior. Analiza, también, la manera en que se presenta el tema.

ACTIVIDAD 3.2 Traslación (Software - Lápiz y Papel)

1) Dibuja un segmento AB y un vector no paralelo al segmento.2) Traslada el segmento AB según el vector considerado.3) ¿Qué sucede si el vector es paralelo al segmento?4) Analiza y compara las dos situaciones anteriores, considerando que se

realizan sobre una hoja en blanco (sin rayar) y sobre una hoja cuadri-culada. Describe en detalle.

5) ¿Qué sucede si consideras, ahora, la recta que contiene a los puntos A y B?

ACTIVIDAD 3.3 Traslación (Software)

a) Dibuja un segmento AB y dos vectores no paralelos entre sí.b) Traslada el segmento AB según uno de los vectores.c) Traslada, ahora, la imagen obtenida, según el otro vector.d) ¿Qué vector te permite transformar directamente AB en la última ima-

gen? ¿Qué relación guarda este último vector con los dos vectores ini-ciales? ¿Cómo lo simbolizarías?

e) ¿Qué sucede si se invierte el orden en que se emplean los vectores iniciales?

ACTIVIDAD 3.4 Traslación (Software)

a) Se dan dos circunferencias C1 y C2 y una recta R. Halla una recta para-lela a R tal que corte a las circunferencias dadas según dos cuerdas deigual longitud.

b) Establece las condiciones de existencia.

GUÍA 4

ACTIVIDAD 4.1

Para el desarrollo de esta actividad, el grupo de alumnos participantes en el

29

taller se dividirá en subgrupos de acuerdo con los movimientos restantes que sepresentan en el video. A saber: rotación, simetría axial, simetría rotacional, fri-sos-mosaicos-recubrimiento del plano.

Cada subgrupo diseñará una guía de aprendizaje para la temática en cuestión.La guía deberá contemplar la proyección del fragmento del video correspon-diente en el momento en que se considere propicio. Deberá incluir, también, acti-vidades para los dos entornos trabajados (lápiz y papel, y computacional), reso-lución de problemas, actividades de consolidación, evaluación, etc.

Cada comisión dispondrá de dos encuentros, en fechas fijadas a tal fin, parapresentar, de manera interactiva y participativa, sus respectivas producciones alresto de sus compañeros.

ACTIVIDAD 4.2

Finalizadas las presentaciones, habrá quedado el video Movimientos en elPlano reproducido en su totalidad. Llegó el momento, entonces, de reflexionarsobre esta TIC en particular.

Ingresa en las páginas:http://dewey.uab.es/pmarques/videoori.htm (visitada en la Guía 2)http://dewey.uab.es/pmarques/videoav2.htm (continuación de la anterior)

Se pretende que después de la lectura:a) Clasifiques este video de acuerdo con las tipologías presentadas por el autor.b) Distingas qué funciones cumplieron los fragmentos del mismo (o el

video en su totalidad) en cada una de las guías propuestas en el taller.c) Completes la Ficha de Catalogación y Evaluación de Videos que pro-

pone el autor, y de acuerdo con los criterios que él mismo establece.d) Reflexiones críticamente sobre el uso que se le ha dado al video en este taller.

GUÍA 5

En esta guía generaremos un espacio para analizar los marcos conceptualesen los que se inserta el uso de las TIC y de las Tecnologías Computacionales engeneral, y de la enseñanza de la Matemática en particular.

30

Como punto de partida se consideran los siguientes textos:

Luis Moreno Armella: Instrumentos matemáticos computacionales.Disponible en: http://www.eduteka.org/Tema3.php

Pierre Rabardel, Los hombres y las tecnologías III. Perspectiva cognitiva de los instrumentos contemporáneos. Disponible en: http://www.ergonomia.cl/0103b.html

Se sugiere también navegar por la Sección “Artículos” de la páginahttp://www.eduteka.org/

Se aspira a que puedan producir un pequeño ensayo o monografía en la cualse analice la problemática de la mediación tecnológica y la génesis instrumental,se adopte y defienda una postura personal al respecto, y se analice en qué medi-da este taller logró sus objetivos.

GUÍA 6

Trabajo Final

En esta oportunidad se proyectará un nuevo video titulado “La Geometría sehace arte”, en el cual se analizan los mosaicos musulmanes del Palacio de laAlhambra (España) y los grabados del dibujante holandés Max Escher.

Por tratarse de la última actividad del taller, y atendiendo a la temática que setrata en este video, se pretende que generes un informe a partir del cual puedasintegrar de una manera creativa lo que has aprendido.

Si bien se intenta que trabajes libremente, se te sugiere a efectos de orientar-te sobre algunos puntos a incluir en tu presentación:

• Incluir aspectos históricos y/o biográficos relacionados con los mosai-cos musulmanes o la obra de Escher.

• Incorporar producciones que empleen el entorno informático utilizadoen el taller. Por ejemplo, la manera de generar con él algunos de losmosaicos (el Hueso, la Pajarita, el Pez Volador, etc.); o la forma deinsertar un grabado de Escher para su posterior estudio con el softwarede geometría dinámica.

31

• Describir una secuencia de actividades destinada a alumnos del nivelsecundario que emplee medios tecnológicos, tomando como base losrecursos desarrollados en este taller.

• La propuesta deberá incluir objetivos, fundamentos teóricos, medios yrecursos, bibliografía, cronograma, etc.

BIBLIOGRAFÍA

• • •

Azcárate Goded, Pilar, Estrategias metodológicas para la formación demaestros, Huelva, Universidad de Huelva, 1999.

Balacheff, Nicolas, “Entornos informáticos para la enseñanza de las mate-máticas: complejidad didáctica y expectativas”, en Gorgorio y otros (coords.),Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional,Barcelona, Editorial Grao, 2000.

Bonomo, Flavia, y otros, Explorando la geometría en los Clubes Cabrí,Buenos Aires, Colección Pitágoras - Red Olímpica, 1996.

Cabero, Julio, y otros, La piedra angular para la incorporación de los mediosaudiovisuales, informáticos y nuevas tecnologías en los contextos educativos: la for-mación y el perfeccionamiento del profesorado, Universidades de Sevilla, Huelva yExtremadura (España). Disponible en www.uib.es/depart/gte/rev/ec8.html

Gusiev, V., y otros, Prácticas para resolver problemas matemáticos. Moscú,Editorial Mir.

Moreno Armella, Luis, “Instrumentos matemáticos computacionales”, enRevista Eduteka, agosto de 2001.

32

Pérez Gómez, Rafael, ¡Abajo Euclides! ¡Atrevidos!, Bariloche, Seminariointernacional. XX Jornadas de Resolución de Problemas. Olimpíada MatemáticaArgentina, 1997.

Sada Allo, Manuel, Actividades interactivas con GeoGebra. Disponible en:http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm

Marqués Graells, Pere, Tecnología educativa. Documentos. Disponible en:http://dewey.uab.es/pmarques/