PRÁCTICA 2C: CONDUCCIÓN NO ESTACIONARIA

Diego Blanco, Manuel Hernández, Jorge Osuna

Laboratorio de Transferencia de Calor II dirigido por

Prof. Carolina Chacón Departamento de Termodinámica y Fenómenos de Transferencia

RESUMEN Se estudió la conducción en estado no estacionario, mediante la determinación del coeficiente convectivo y la conductividad térmica de dos piezas cilíndricas de materiales distintos, una de policloruro de vinilo (PVC) y un cilindro de material desconocido. Ambos sólidos fueron sumergidos individualmente en un baño termostático de agua que mantenía una temperatura que oscilaba alrededor de los 55 grados Celsius; se registró el tiempo necesario para variar la temperatura del cuerpo en un grado hasta alcanzar el 95% de la temperatura del medio y se determinaron los valores de los coeficientes antes mencionados a través del cálculo analítico tradicional y dos métodos ofrecidos en un simulador en Excel diseñado para esta experiencia. Se verificó que la transferencia de calor ocurre más lentamente mientras más cerca se encuentran los elementos de un sistema del equilibro térmico, se determinó que el coeficiente de convectividad tiene un magnitud cercana a los 354 W/m2.K para ambos cilindros y se relaciona exclusivamente con el medio y la geometría analizada, que la conductividad térmica del material desconocido es próxima a 0,43 W/m.K y que el simulador requiere algunos ajustes, dada su sensibilidad para cálculos que involucren números menores y cercanos a la unidad.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Plasmando los resultados de la experiencia práctica en un plano cartesiano (Gráfico 1), se evidencia inmediatamente que el cilindro desconocido requiere menos tiempo para acercarse a la temperatura del baño, es decir, se calienta más rápidamente.

Igualmente, se observa que mientras aumenta la temperatura de cada cilindro, se reduce la brecha de energía térmica entre el fluido y el sólido, por lo que disminuye el calor transferido. Para un tiempo muy prolongado, la curva del sólido debe tender a la del baño, es decir, sus temperaturas deben ser iguales; se establecería el equilibrio termodinámico y el calor intercambiado entre ambos sistemas sería nulo (Incropera, 1999).

Estimando la conductividad térmica del PVC y utilizando el simulador desarrollado para esta práctica por Dewalle y Rothe (2007), se observó que para el cilindro de dicho material la solución converge a un coeficiente de convección de 357 W/m2.K en su módulo de solución analítica, mientras que en el módulo de solución numérica se obtiene 354 W/m2.K. Es importante destacar que la selección de dichas magnitudes ocurrió bajo un método de inspección manual, verificando alcanzar el menor error absoluto posible, así como considerando dos términos en la sumatoria de la solución, ya que al considerar más sumandos no se obtenían estimaciones más precisas que rentabilizaran el costo computacional de cada iteración.

La solución analítica ofrecida por Dewalle y Rothe se presenta comparativamente con los datos experimentales en el Gráfico 2.

Gráfico 1. Temperatura en función del tiempo para ambos

cilindros.

Gráfico 2. Temperatura experimental y analítica, cilindro PVC.

290

300

310

320

330

0 1000 2000 3000

Tem

pera

tura

, T [K

]

Tiempo, t [s] Temp. baño Cilindro desconoc. Cilindro PVC

290

300

310

320

330

0 1000 2000 3000

Tem

pera

tura

, T [K

]

Tiempo, t [s]

Temp. baño Temp. del objeto Temp. analítica

Igualmente, la solución analítica ofrecida por el mismo simulador para el cilindro desconocido se presenta en el Gráfico 3. El coeficiente de convección que arroja un mínimo error es de 377 W/m2.K con una conductividad térmica de 0,43 W/m.K; por otro lado, usando el mismo coeficiente de convección obtenido para el cilindro de PVC se obtiene una conductividad térmica de 22,42 W/m.K, por lo que se evidencia la clara sensibilidad del software frente al cálculo con valores pequeños.

Gráfico 3. Temperatura experimental y analítica, cilindro

desconocido. Por otro lado, al resolver el método analítico a través del

cálculo tradicional descrito en el apéndice, se pudo verificar la veracidad de los resultados ofrecidos por el simulador. Se mantuvo constante el valor del coeficiente convectivo y utilizando sólo dos sumandos de la serie de solución, con la intención de comparar estos resultados (Tabla 1).

Tabla 1. Comparación de resultados y errores asociados.

Cilindro PVC Cilindro desconocido

Simulador

h [W/m2.K] 354.77 377.98

k [W/m.K] 0.18 0.43

ΔTprom [K] 1.12 1.03

Analítico

h [W/m2.K] 354 354

k [W/m.K] 0.18 0.43

ΔTprom [K] 1.50 0.47

Como señala Espuglas (2005), un rango usual de convección forzada en agua se sitúa en magnitudes alrededor de 100 y 1500 W/m2K; y como el agitador del equipo hace recircular el fluido, se interpretan los resultados como válidos y que corresponden al fenómeno observado.

El valor ΔTprom se refiere a la diferencia de temperaturas que se produce entre el valor final medido experimentalmente y la temperatura final que se obtiene de los cálculos teóricos del simulador y de la forma analítica, respectivamente.

Como el coeficiente convectivo depende de los parámetros geométricos y de flujo a los que ocurre la transferencia de calor (Incropera, 1999) se puede afirmar que, si no se modifican las condiciones del baño, tal y como se procuró en el laboratorio, y sumergiendo dos cilindro de geometría idéntica, sus coeficientes convectivos deben ser iguales.

Asimismo, el simulador ofrece la posibilidad de estimar el comportamiento puntual de la conductividad térmica y el coeficiente convectivo, como no forma parte de los objetivos de este informe, sólo se muestra de manera referencial el gráfico 4.

Para un Biot mayor que 100, los resultados del seda y el C

dan muy similares. Por lo tanto, al calcular el O* el resultado es casi constante.

Comparando esto con los resultados prácticos, se establece que el error asociado a la temperatura final para un valor de h=354 es de 1,50 K.

Gráfico 4. Coeficientes convectivos en función de la

temperatura.

Es importante destacar que Dewalle y Rothe (2007) reconocen algunas falencias en el software, asociadas a coeficientes de conducción muy pequeños o coeficientes convectivos muy grandes, de modo que la fiabilidad de los resultados ofrecidos es limitada.

Una vez calculada la conductividad térmica del material desconocido, es posible predecir su naturaleza, ya que su calor específico también es sabido. Utilizando la plataforma de MatWeb, es posible localizar qué materiales comparten las propiedades calculadas y predecir que el cilindro desconocido está hecho de un polímero, posiblemente policarbonato, policetona, polietileno de alta densidad o nylon. Es importante destacar que la base de datos de este sitio web es limitada, por lo que la verdadera naturaleza del sólido podría estar ignorándose.

Por último, comparando la variación de las dimensiones de cada sólido antes y después de ser sumergidos en el baño, se observa que para el cilindro de PVC aumenta casi en 1,2%, mientras que el cilindro de material desconocido aumenta alrededor de un 1,015%, mostrando que la dilatación térmica es

290

300

310

320

330

0 500 1000 1500 2000

Tem

pera

tura

, T [K

]

Tiempo, t [s] Temp. baño Temp. del objeto

0200400600800

10001200

290 300 310 320 330

Coe

ficie

nte

conv

ectiv

o, h

[W

/m2 K

]

Temperatura, T [K}

Cilindro desconocido Cilindro de PVC

una propiedad que está intrínsecamente ligada al material y no a su geometría. CONCLUSIONES

Producto de este informe se desprenden las conclusiones que son señaladas a continuación:

1. Dos figuras de similar geometría tienen el mismo coeficiente de convección y la de mayor conductividad térmica alcanzara más rápido la temperatura del medio.

2. Se demostró que el valor del coeficiente de convección práctico es muy similar al teórico. Es decir, el simulador es confiable en el rango de los datos experimentales de la práctica.

3. Los cálculos teóricos pueden aproximarse a un resultado más preciso al realizar repetidas iteraciones.

4. Los sólidos sometidos a aumentos de temperatura incrementan su tamaño gracias a la dilatación térmica inherente a cada material.

5. La velocidad de transferencia de calor disminuye, mientras la diferencia de temperatura entre el medio y el cuerpo se hace más pequeña.

6. Según las características calculadas, el material desconocido es un tipo de polímero posiblemente policarbonato, policetona, polietileno de alta densidad o nylon

7. La constante de conductividad dependerá únicamente del material, mientras que la constante de convectividad dependerá del medio y de la geometría del objeto sumergido.

8. El coeficiente de dilatación térmica es una propiedad intrínseca de los materiales y no depende de la geometría del cuerpo.

RECOMENDACIONES

1. Utilizar un material de mayor conductividad térmica que el PVC, ya que el tiempo necesario para que este objeto alcance el 95% de la temperatura del baño es muy largo.

2. Verificar que el equipo esté funcionando de manera correcta, ya que se desperdició más de una hora de la práctica esperando que el baño alcanzara los 60 grados Celsius. Si la práctica se ve afectada por la condición del equipo, se recomienda contar con una serie de datos correspondientes a los resultados experimentales de algún otro grupo que permitan realizar el análisis deseado.

REFERENCIAS

Espuglas, S. y Chamarro, E., 2005, Fundamentos de transmisión de calor, Universitat de Barcelona. p. 13.

Incropera, F. y De Witt, D., 1999, Fundamentos de Transferencia de Calor, Pearson Prentice Hall. p. 284.

Dewalle, A. y Rothe R., 2007, Diseño de simuladores didácticos para dos prácticas seleccionadas del Laboratorio de Fenómenos de Transporte I USB. Departamento de Termodinámica y Fenómenos de Transferencia. p. 1-9.

MatWeb, LLC. Consultado el 30 de noviembre de 2012. Disponible en: http://www.matweb.com/search/AdvancedSearch.aspx CÁLCULOS

A continuación se presenta el algoritmo empleado para determinar los coeficientes desconocidos a través del método analítico. Se adjunta la hoja de cálculo utilizada para tal fin. La determinación de estas magnitudes mediante el simulador no será explicada, dado que la interfaz es muy sencilla e incluye sus propias instrucciones. Algoritmo usado para calcular h conociendo k.

1. Se utilizó el último dato de temperatura y tiempo registrados (cuando casi se alcanza el 95% de la temperatura del baño).

2. Se supuso un valor de h. 3. Se calcularon los números de Biot y Fourier. 4. Con los números de Biot, se buscaron los eigenvalores

(ζ) y los valores de las constantes se calcularon resolviendo las ecuaciones trascendentales respectivas.

5. Se calcularon los valores de θ utilizando las ecuaciones de conducción no estacionaria.

6. Con el θ calculado se despejó la temperatura final y se comparó con la temperatura final experimental.

7. Si entra en el rango de error tolerable, concluye la iteración. En caso contrario, se supone otra h.

Algoritmo usado para calcular k conociendo h.

1. Se utilizó el último dato de temperatura y tiempo registrados (cuando casi se alcanza el 95% de la temperatura del baño) con el mismo h.

2. Se supuso un valor de k. 3. Se calcularon los números de Biot y Fourier. 4. Con los números de Biot, se buscaron los eigenvalores

(ζ) y los valores de las constantes se calcularon resolviendo las ecuaciones trascendentales respectivas.

5. Se calcularon los valores de θ utilizando las ecuaciones de conducción no estacionaria.

6. Con el θ calculado se despejó la temperatura final y se comparó con la temperatura final experimental.

7. Si entra en el rango de error tolerable, concluye la iteración. En caso contrario, se supone otra k.

RESOLUCIÓN PARA EL CILINDRO DE PVC:

SOLUCIÓN PLANA1.

Suponer un coeficiente de convección.

h 354W

m2

K

Calcular el número de Biot correspondiente.

Lc15

2cm k 0.18

W

m K Bi

h Lc

k147.5

Graficar la función de los coeficientes seda.

f ζn ζn tan ζn Bi

1 2 3 4 5

4

2

2

4

f ζn

ζn

Formar el vector de las dos primeras soluciones positivas de seda de la gráfica.

ζ1.56

4.68

rad

Calcular el valor de las constantes Ci

C4sin ζ( )

2 ζ sin 2ζ( )

1.273

0.424

Calcular el alfa y el numéro de Fourier.

ρ 1.3743gm

cm3

Cp 0.934 1000J

kg K α

k

ρ Cp1.402 10

7

m2

s t 2395.55s

Foα t

Lc2

0.06

La solución exacta para la temperatura adimensional de la cara plana se calcula.

θplaca

0

1

i

Cie

ζi 2 Fo cos ζ

i0

0.986

2. SOLUCIÓN CILÍNDRICA

Calculo el número de Biot.

h 354W

m2

K rc

5

2cm k 0.18

W

m K Bicilindro

h rc

k49.167

Defino las función de Bessel gracias a una rutina interna.

y ζn ζn

J1 ζn J0 ζn Bicilindro

Obtengo las raíces por inspección de la gráfica de la función anterior.

2.3 2.35 2.4

2

1

1

2

y ζn

ζn

ζcilindro2.35645

2.40483

rad

Las constantes Ci para el cilindro se calculan a continuación.

Ccilindro0

2

ζcilindro0

J1 ζcilindro0

J0 ζcilindro0

2J1 ζcilindro0

2

1.6

Ccilindro1

2

ζcilindro1

J1 ζcilindro1

J0 ζcilindro1

2J1 ζcilindro1

2

1.602

Ccilindro

Ccilindro0

Ccilindro1

La solución exacta para la temperatura adimensional de la cara plana se calcula.

θcilindro

0

1

i

Ccilindroie

ζcilindroi

2Fo

J0 ζcilindroi

0.029

3. RESOLUCIÓN FINAL

θ θplaca θcilindro 0.029

Tfinal 52.5 273.15( )KTinfinito 55 273.15( )K 328.15 K

Tinicial 20.2 273.15( )K 293.35 K

θTfinal Tinfinito

Tinicial Tinfinito=

Tfinal_calc θ Tinicial Tinfinito Tinfinito 327.15 K

Tfinal_calc Tfinal 1.5K

RESOLUCIÓN PARA EL CILINDRO DESCONOCIDO:

SOLUCIÓN PLANA1.

Suponer una conductividad térmica.

k 0.43W

m K

Calcular el número de Biot correspondiente.

Lc15

2cm h 354

kg

K s3

Bi

h Lc

k61.744

Graficar la función de los coeficientes seda.

f ζn ζn tan ζn Bi

1 2 3 4 5

4

2

2

4

f ζn

ζn

Formar el vector de las dos primeras soluciones positivas de seda de la gráfica.

ζ1.546

4.638

rad

Calcular el valor de las constantes Ci

C4 sin ζ( )

2 ζ sin 2ζ( )

1.273

0.423

Calcular el alfa y el numéro de Fourier.

ρ 0.942gm

cm3

Cp 1.918 1000J

kg K α

k

ρ Cp2.38 10

7

m2

s t 1745.98s

Foα t

Lc2

0.074

La solución exacta para la temperatura adimensional de la cara plana se calcula.

θplaca

0

1

i

Cie

ζi 2 Fo cos ζ

i0

0.98

2. SOLUCIÓN CILÍNDRICA

Calculo el número de Biot.

h 354W

m2

K rc

5

2cm Bicilindro

h rc

k20.581

Defino las función de Bessel gracias a una rutina interna.

y ζn ζn

J1 ζn J0 ζn Bicilindro

Obtengo las raíces por inspección de la gráfica de la función anterior.

2.2 2.3 2.4

2

1

1

2

y ζn

ζn

ζcilindro2.2913

2.409

rad

Las constantes Ci para el cilindro se calculan a continuación.

Ccilindro0

2

ζcilindro0

J1 ζcilindro0

J0 ζcilindro0

2J1 ζcilindro0

2

1.592

Ccilindro1

2

ζcilindro1

J1 ζcilindro1

J0 ζcilindro1

2J1 ζcilindro1

2

1.602

Ccilindro

Ccilindro0

Ccilindro1

La solución exacta para la temperatura adimensional de la cara plana se calcula.

θcilindro

0

1

i

Ccilindroie

ζcilindroi

2Fo

J0 ζcilindroi

0.063

3. RESOLUCIÓN FINAL

θ θplaca θcilindro 0.062

Tfinal 52.4 273.15( )KTinfinito 55 273.15( )K 328.15 K

Tinicial 20.4 273.15( )K 293.55 K

θTfinal Tinfinito

Tinicial Tinfinito=

Tfinal_calc θ Tinicial Tinfinito Tinfinito 326.018 K

Tfinal_calc Tfinal 0.468 K