Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de MonterreyCampus Toluca

Laboratorio de Matemáticas IIIGradiente y Multiplicadores de Lagrange

Dr. Omar Olmos López

Nombre:________________ ______________________Matricula:___________

Objetivo: Analizar a través del concepto de multiplicadores de Lagrangre una función de varias variables que tenga que ser optimizada a través de los comandos, CONTOURPLOT, ARROW .

Metodología

1.- Descarga de las siguientes direcciones las plantillas de mathematica

http://demonstrations.wolfram.com/DirectionalDerivatives/

http://demonstrations.wolfram.com/ConstrainedOptimization/

Plantilla gradiente Plantilla Multiplicadores Lagrange

2.- De la plantilla de derivada direccional realiza el siguiente análisis de las funciones indicadas:

En primer lugar analiza el paraboloide que tiene como ecuación z=-x2-y2-4.

Ubica en el plano cartesiano el punto (1,1.5) tomando el punto rojo y ubicándolo en esta coordenada

Del circulo unitario mostrado en el extremo izquierdo, ubica la flecha en las direcciones 0°, 45°, 90°, 180°, 270°.

Indica las magnitudes del vector Unitario y del gradiente para estos valores:

Resultados:

Gradiente Vector Unitario

0° ____________ _______________

45° ____________ _______________

90° ____________ _______________

180° ____________ _______________

270° ____________ _______________

Responde: Para todos estos valores, cuál fue el valor que se generó del gradiente:______

¿Por qué no cambio de magnitud este vector?__________________________________________

____________________________________________________________________________

3.- Ahora analiza la silla de montar que tiene como ecuación z= ½(y2-x2).

Ubica en el plano cartesiano el punto (-2,0) tomando el punto rojo y ubicándolo en esta coordenada

Del círculo unitario mostrado en el extremo izquierdo, ubica la flecha en la dirección 90°

Indica las magnitudes del vector Unitario y del gradiente para estos valores de posición indicados en la figura cambiando las coordenadas en el plano cartesiano:

Resultados:

Gradiente Vector Unitario(-2,0) ____________ _______________(-1.5,0) ____________ _______________(-1,0) ____________ _______________(0,0) ____________ _______________(-1,0) ____________ _______________(1,0) ____________ _______________(1.5,0) ____________ _______________(2,0) ____________ _______________

Responde: Para los valores anteriormente encontrados:

¿por qué el vector gradiente su magnitud cambia de dirección conforme se mueve el punto seleccionado de izquierda a derecha?___________________________________________

El vector de la derivada direccional, ¿Qué esta indicando en la dirección de 90°?_________

________________________________________________________________________

3.- Con los resultados obtenidos finalmente concluye:

Explica con tus propias palabras que información nos ofrece el vector de la derivada direccional:

Explica hora con tus propias palabras que información de la función nos ofrece el vector gradiente

Sobre diferentes puntos de una función:

Análisis de Multiplicadores de Lagrange

Ahora utilicemos la segunda plantilla de multiplicadores de Lagrange que es un método para determinar máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetos a restricciones dadas, por ejemplo:

Del paraboloide z=x2+2y2

Sujeto a la restricción que es la función cilíndrica que cruza la función x2+y2=1

Lo que estamos buscando es los puntos máximos y mínimos que se encuentren dentro del contorno que cruza la función del paraboloide generado por la silueta del círculo generado. Como se muestra en la siguiente figura:

El vector de color azul representa el gradiente de la función, y el vector de color rojo representa el vector de la función restricción.

Toma el punto rojo que se puede desplazar sobre la gráfica de contorno y colócalo sobre la trayectoria del circulo, cuidadosamente desplaza este punto a favor de las manecillas del sentido del reloj y contesta las siguientes preguntas:

1.- ¿Los vectores del gradiente de la función objetivo y de la restricción apuntan siempre en diferentes direcciones?__________________________________________

2.- ¿Para que puntos apuntan estos dos vectores en la misma dirección?

_______________________________________________________________________________

3.- Selecciona de la plantilla el selector de max y enseguida y minimo donde se ubica un punto verde:

Concluye: ¿En donde podrías decir se encuentran los valores máximos y mínimos de una función sujeta a una restricción?_____________________________________________________

4.- ¿En realidad cuantos máx y mínimos tiene la función del paraboloide encontrada?

5.- Resuelve todas las respuestas mostradas y anexa tu documento en Word, en el portal de la bitácora de tu curso en la sección de PERIODO FINAL/PRACTICA 2