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MATEMATICAS 2SEGUNDO SEMESTRE DE

2010Carreras empresariales

M.B.A –MG Nelson Córdova

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22

LIMITES DE FUNCIONES

Concepto de límite

( Intuitivo) EL límite de una función ( cuando existe) es un valor numérico L y es el resultado de la evaluación de valores “muy”cercanos a un número “a” en el dominio de f.

Ejemplo: calcular

2

2

3lim

1x

x

x→

++

2

1

1lim

1x

x

x→

−− 3

2lim

3x x→ −

2

2

2 1lim3 3 4x

x x

x x→∞

+ +− +

(Tipo 1) (Tipo 2) (Tipo 3) (Tipo 4)

FORMA EVALUAR FORMA AL INFINITO0

N

0

0

33

EXISTENCIA DEL LIMITE

TIPO (1) TIPO (2)

TIPO (3) (TIPO 4)

NO EXISTE

EXISTE EXISTE

NO EXISTE

•EL LIMITE ESUNICO •EL LIMITE ES UN VALOR NUMERICO•SE VE EN EL EJE DE LAS Y•LA X TIENDE A UN NRO Y LA F(X) TIENDE AL LIMITE

OBSERVACIONES

4

TIPO 1EVALUARDIRECTAMENTE

5

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES

6

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS LIMITES

1.-

2.-

3.-

7

TIPO 2F S E

FACTORIZAR- SIMPLIFICAR -EVALUAR

FORMA 0

0

8

( )22

2 1

ax

axaxlim

ax −++−

→

xx

xlimx 5

252

2

5 −−

→

TALLER 1 = DEBER 1

12

22

2

1 +−−+

→ xx

xxlimx

12

22

2

1 +−−+

−→ xx

xxlimx

ax

axlim

ax −−

→

1.-

2.-

3.-

4.-

234

234

2 44

4454

xxx

xxxxlimx ++

++++−→

13

20 −+

+→ x

xlimx

2114

2223

34

2 −−+−+−

→ xxx

xxxlimx

5.-

6.-

7.-

8.-

FORMA 0

0

9

x F (x)

2.110

2

2

1lim

2x x−→= ∞

−

TIPO 3FORMA 0

Ν

10

3

1lim

3x x+→ −x F (x)

3.1 -10

3

3

1lim

3x x+→= −∞

−

TIPO 3FORMA

0

Ν

11

3

1lim

3x x−→ −x F (x)

-3.1 10

-3

3

1lim

3x x−→= ∞

−

TIPO 3FORMA

0

Ν

12

x F (x)

1.9 -10

2

1lim

2x x−→ −

2

2

1lim

2x x−→= −∞

−

TIPO 3FORMA

0

Ν

13

TALLER 2 = DEBER 2

FORMA 0Ν

14

LIMITES EN EL INFINITOTIPO 4

>∞<=

=++

∞→mn

mn

mnba

bx

axm

n

x0

/

...

...lim

TRES PASOS•FACTORIZAR MAXIMA POTENCIA•SIMPLIFICAR•EVALUAR EN EL INFINITO

FÓRMULA GENERAL

CASO ∞

15

>∞<=

=++

−∞→mn

mn

mnba

bx

axm

n

x0

/

...

...lim

CASO - ∞

TIPO 4

16

RESOLVER TIPO 4

17

TIPO 4RESOLVERPOR SIMPLE INSPECCIÓN

18

TALLER 3 = DEBER 3

1

2

3

4

510

6

8

7

9

11 CASO ∞±

TIPO 4

19

LIMITES LATERALES TIPO 5

20

LIMITES LATERALES TIPO 5

21

EJEMPLOTIPO 5

22

EJEMPLOTIPO 5

23

EJEMPLOTIPO 5

24

EJEMPLO

TIPO 5

25

TIPO 5

26

TALLER 4 = DEBER 4

1.- CALCULAR LOS LIMITES LATERALES EN LOS PUNTOS INDICADOS

TIPO 5

27

2.- CALCULAR LOS LIMITES

TALLER 4 = DEBER 4

TIPO 5

28

LIMITES TRIGONOMETRICOS

0lim 1x

senkx

kx→=

1lim0

=→ u

senuu

1lim0

=→ senu

uu

1) Límite trigonométrico es aquel que admite funciones como seno , coseno tangente, secante cosecante y funciones inversas como arco tangente

2) Estos límites se resuelven usando la propiedad

3) Existen variaciones de la propiedad

y

EJEMPLOS

(1)

x

xsenx

3lim

0→(2)

xsen

xx 3

2lim

0→(3)

(TEOREMA 1)

TIPO 6

29

TALLER5 = DEBER 5

CALCULAR EL LÍMITE DE f(x) CUANDO x TIENDE A CERO

TIPO 6

30

TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE

El cambio de variable para límites trigonométricos se usa cuando queremos hacer que el límite tienda a cero de modo que podamos aplicar el teorema 1.

1lim0

=→ u

senuu

(teorema 1)

TIPO 6

•Se cambia la variable actual por una de nuestra elección•Si x tiende a c el cambio sugerido es u = x – c•Se reemplazan todas las variables x por la fórmula x = u+c•En el nuevo límite ahora u tiende a 0

31

Por otro lado

CAMBIO DE VARIABLETIPO 6

32

CAMBIO DE VARIABLE

Además

TIPO 6

33

TALLER 6 =DEBER 6

xsen

xx π

2

1

1−→lim

0)

p)

TIPO 6

x

xsen

x 32

1

−

−

→ ππlim

q)

r)x

x

x 3

21

3−

−→ ππ

coslim

34

TEOREMA DEL EMPAREDADO TIPO 7

35

RESOLVER TIPO 7

36

RESOLVER

MULTIPLICANDO POR

TIPO 7

37

TALLER = DEBER 7

4

5

TIPO 7

38

DEBER

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