POTENCIACION y RADICACIONLa potenciacin es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el nmero de veces que se multiplica. La operacin inversa de la potenciacin se denomina radicacin.

La potenciacin es una expresin matemtica que incluye dos trminos denominados: base a y exponente n.Se escribe an, y se lee: a elevado a n. Su definicin vara segn el conjunto numrico al que pertenezca el exponente: Cuando el exponente es un nmero natural, equivale a multiplicar un nmero por s mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: . cuando el exponente es un nmero entero negativo, equivale a la fraccin inversa de la base pero con exponente positivo.

cuando el exponente es una fraccin irreducible n/m, equivale a una raz:

Cualquier nmero elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, es una indefinicin (ver cero).La definicin de potenciacin puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.Propiedades de la potenciacinPotencia de exponente 0Cualquier nmero elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

Potencia de exponente 1Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

ejemplo:

Multiplicacin de potencias de igual baseEl producto de dos o ms potencias de igual a base a es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

ejemplos:

Divisin de potencias de igual baseLa divisin de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

ejemplo: Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicacin de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Propiedad distributivaLa potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la divisin:

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Propiedades que no cumple la potenciacinNo es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin:

no cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.En general:

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10En las potencias con base 10, el resultado ser la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha.Ejemplos:

Potencia de nmeros complejosPara cualquiera de los nmeros reales se tiene la identidad:

Representacin grfica

grfico de

grfico de La representacin grfica de una potencia par tiene la forma de una parbola. Su vrtice se sita en el punto (0, 0) y su crecimiento es positivo en sentido del eje Y (en el primero y segundo cuadrantes).La representacin grfica de una potencia impar son dos ramas de parbola. Su vrtice es el punto (0, 0), pero una rama crece en la direccin del eje Y (en el primer cuadrante) y la otra decrece (en el tercer cuadrante).Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades especficas que se quieran mantener.Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del lmite

y como x0 = 1 para , dicho valor podra ser igual a 1. Sin embargo tambin puede considerarse dicha expresin como el valor del lmite

y como 0x = 0 para , dicho valor podra ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigedad. Durante los primeros das del anlisis matemtico en que el fundamento formal del clculo no se haba establecido, era comn aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'cole Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del anlisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1] [2] public un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Mbius[3] lo apoy afirmando errneamente quesiempre que Sin embargo un comentarista que firm simplemente como S proporcion un contraejemplo

cuyo lmite cuando es 1 / e, lo cual calm el debate con la aparente conclusin del incidente que 00 debera permanecer indefinida. Se pueden encontrar ms detalles en Knuth (1992).[4]En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6] [7]Para calcular lmites cuyo valor aparente es 00 suele usarse la Regla de L'Hopital.

DefinicinLa radicacin es la operacin que consiste en buscar un nmero que multiplicado, por si mismo una cantidad de veces, resulte otro nmero determinado. As si tenemos un nmero A y deseamos hayar su raiz B, consistira en buscar un nmero C, que cumpliera la condicin de que CxCxCxC......etc B veces=A; que puesto de otra forma Cb = A. Se ve facilmente que radicar es una operacin inversa de la potenciacin, donde se da el total y el exponente y se quiere hayar la base. Otra operacin inversa de la potenciacin es la logaritmacin, donde dado un total y la base se desea hayar el exponente. TrminosLos trminos de la radicacin son: el radicando, el indice radical y la raiz. El radicando es cualquier nmero dado del que deseamos hayar la raiz. El indice radical indica las veces que hay que multiplicar por si mismo un nmero para obtener el radicando. La raiz es el nmero que multiplicado por si mismo las veces que indica el indice radical da el radicando. RepresentacinLa forma de representar la radicacin es la siguiente: Dado un radicando A, un indice radical B y una raiz C, donde se cumple que CB = A se indicaria de la siguiente forma . El grafismo para indicar una raiz se llama signo radical Representacin en forma potencial de una radicacinSabemos que una potencia fraccionaria N/D de un nmero R es igual a la siguiente igualdad: segn la propiedad de potencia de un exponente fraccionario. Un nmero elevado al exponente 1 es el mismo nmero ya que A1 = A. Una potencia A1 / D es igual la raiz D del nmero A elevado a 1, es decir . Como una raiz elevada a 1 da la misma raiz, esto no servira para deducir que toda raiz N de un radicando R, es una potencia de base R elevada a 1/N. Ejemplo: En realidad las propiedades de la radicacin son las mismas que la de la potenciacin pero con exponente fraccionario. Clases de raices ms utilizadasLas raices ms utilizadas son la cuadrada y la cbica. La raiz cuadrada es aquella donde un nmero multiplicado por si mismo dos veces da un radicando determinado. Ejemplo: La raiz cbica es aquella donde un nmero multiplicado por si mismo tres veces da un radicando determinado. Ejemplo:

Propiedades de radicacin de operaciones Radicacin de una multiplicacinLa raiz N de una multiplicacin es igual a la multiplicacin de las raices de todos los factores con indice radical N. DEMOSTRACIN: Sea la radicacin que puesta en forma potencial sera (AxB)1 / I = C y que segn la propiedad de potencia de un producto, que dice: la potencia de un producto es igual al producto de los factores elevedos al mismo exponente. De lo enunciado resultara (AxB)1 / I = A(1 / I)xB(1 / I) = C y como y resultar que Ejemplo: Radicacin de una divisinLa raiz N de una divisin es igual a la divisin de las raices del dividendo con indice radical N dividido por el divisor con el mismo indice radical. DEMOSTRACIN: Sea la radicacin que puesta en forma potencial sera (A / B)1 / I = C y segn la propiedad de potencia de una divisin, que dice: la potencia de una divisin es igual al cociente de las potencia del dividendo dividido por el divisor elevados al mismo exponente. De lo dicho resultara: (A / B)1 / i = (A1 / i) / (B1 / i) = C y como y resultar que Ejemplo: Radicacin de una potenciaLa raiz de una potencia es otra potencia, con la misma base, que tiene por exponente una fraccin de denominador el indice radical y numerador el exponente de la potencia. DEMOSTRACIN: Sea la operacin que puesto en forma potencial sera (BN)(1 / H) = C que segn la propiedad de potencia de una potencia, es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes, que indicariamos as: (BN)1 / H = BNx(1 / H) = B(N / H) = C Ejemplo: Radicacin de una raizLa raiz N de un radicando P con indice radical H es un otra raiz de P cuyo indice radical es NxH. DEMOSTRACIN: Sea la operacin que puesto en forma potencial sera (P(1 / H))(1 / N) = C que segn la propiedad de potencia de una potencia, es igual a la misma base elevada al producto de los exponentes, que indicariamos as: (P(1 / H))(1 / N) = P(1 / NxH) = C y como una potencia de indice fraccionario cuyo nmerador sea la unidad es igual a la raiz de la base con un indice radical del denominador. Luego podemos inferir que Ejemplo: Propiedades de operaciones con raices Multiplicacin de dos raices con un mismo radicandoLa multiplicacin de dos raices con un mismo radicando es igual a una raiz fraccionaria, con el mismo radicando, que tiene por nmerador la suma de los indices radicales y por denominador el producto de ellos. Sea la operacin tendremos que puesto en forma potencial seria la siguiente equivalencia P(1 / N)xP(1 / M) = C, resultando la propiedad del producto de potecias de una misma base que dice: el producto de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la sumade los exponenes. Como la suma de (1/N)+(1/M)=(M+N)/(NxM) y si suponemos que M+N=J y NxM=Y podremos indicar que Ejemplo:

Divisin de raices con un mismo radicandoLa divisin de dos raices con un mismo radicando es igual a una raiz fraccionaria, con el mismo radicando, que tiene por nmerador la resta de los indices radicales y por denominador el producto de ellos. Sea la operacin tendremos que puesto en forma potencial seria la siguiente equivalencia P(1 / N) / P(1 / M) = C, resultando la divisin de potecias de una misma base que dice: el cociente de potencias de una misma base es otra potencia de la misma base con exponente igual a la resta de los exponenes. Como la resta de (1/N)-(1/M)=(M-N)/(NxM) y si suponemos que M-N=D y NxM=P podremos indicar que Ejemplo: Potenciar una raz con un exponente igual al ndice radicalLa potencia N de un radicando R con indice radical N tiene como resultado el radicando R. DEMOSTRACIN: Si tenemos la operacin donde entonces tendremos que ...etc N veces=CxCxC...etc N veces y sustituyendo por C resultar que donde H=R que es lo que deseabamos demostrar. Potenciacin de una raizUna raiz elevada a un exponente es igual otra potencia con base igual al radicando y exponente el cociente de dividir el exponente por el indice radical. DEMOSTRACIN: Sea la raiz que elevada al exponente M, lo representariamos as: . Como segn propiedad anterior, el resultado ser tantas veces A como da el cociente entre M/N; pudiendo indicar: que es lo que deseabamos demostrar. Ejemplo: Cuestiones varias de radicacin

Radicacin de un radicando positivo con indice radical natural par

La radicacin de un nmero positivo con un indice radical natural par tiene dos resultados, con el mismo valor absoluto, pero uno es positivo y el otro negativo. Sabemos que: ( + A)x( + A) = + A2 si multiplicamos un conjunto de factores (+A)x(+A) siempre dar un nmero positivo. ( A)x( A) = + A2 si multiplicamos un conjunto de factores (-A)x(-A) siempre dar un nmero positivo. Sabiendo que una raiz A elevada a un indice radical P da un radicando +R, resultar que esa raiz tiene un resultado positivo y otro negativo, si el indice radical P es par, ya que los factores (+A)x(+A) (-A)x(-A) estarian incluidos exactamente en +R, al ser +R=(+A)x(+A)x(+A)x(+A)...etc P/2 veces y tambien +R=(-A)x(-A)x(-A)x(-A)...etc P/2 veces. . Ejemplo: y ya que ( + 4)2 = 16 y ( 4)2 = 16

Radicacin de un radicando positivo con indice radical natural imparLa radicacin de un nmero positivo con un indice radical natural impar solo tiene una raiz positiva. Sabemos que una serie de factores positivos multiplicados por si mismo da un nmero positivo, tanto si la cantidad de factores son pares como impares. As (+A)x(+A)x(+A)......etc N veces= + An Si tenemos un producto de factores negativos, cada producto de dos factores da un total positivo, luego si la cantidad de factores es impar el total ser negativo. Sea un nmero natural impar I y la raiz donde se tendr que +R=CxCxC...etc I veces y segn lo enunciado en las lneas precedentes C tiene que ser positivo y no negativo para dar +R. Ejemplo: y si fuera negativo tendriamos que (-3)x(-3)x(-3)=(-27) dando un radicando negativo. Radicacin de un radicando negativo con indice radical natural parUn radicando negativo no tiene raiz si su indice radical es par Como un producto de factores positivos, tanto si la cantidad es par como impar, da un nmero positivo y una serie par de factores negativos da par; un radicando negativo con indice radical par no tendr raiz. Ejemplo: (Sin__Raiz) ya que si fuera (+4) dara (+4)x(+4)=(+16) y si fuera (-4)x(-4)=(+16) y nunca dara (-16) Radicacin de un radicando negativo con indice radical natural imparLa raiz de un radicando negativo, con indice radical impar, ser negativa Como multiplicar una cantidad par de veces un nmero cualquiera (-A), da un total positivo (+T) y si ese total (+T) lo multiplicamos otra vez por (-A), la cantidad de factores ser impar, con un resultado (+T)x(-A)=+Total, segn las reglas del signo de los nmeros enteros. Ejemplo: ya que (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)=(-27) Radicacin de un radicando natural parLa raiz de un radicando par ser siempre par y viceversa. DEMOSTRACIN: Sea un nmero par P cuya raiz N sea como Cn = CxCxC...N veces=P si C no fuera par sera impar y un producto consecutivo de impares dar impar y por tal motivo C tendr que ser par, ya que el radicando P es par. Radicacin de un radicando natural imparLa raiz de un radicando impar ser siempre impar y viceversa. DEMOSTRACIN: Sea un nmero impar I cuya raiz N sea como Cn = CxCxC...N veces=I si C no fuera impar sera par y un producto consecutivo de pares dar par y por tal motivo C tendr que ser impar, ya que el radicando I es impar.

L o g a r i t m o s

Definicin

Logb x = y si y slo si by = x donde b, x > 0

En la expresin logbx = y, y es el logaritmo, x es el argumento del logaritmo y b la base. A esta expresin se le llama la forma logartmica y a la expresin by = x se le llama la forma exponencial. Compare ambas formas y note que el logaritmo de x en base b es el exponente al cual se eleva la b para que de x.

Ejemplos:

1. Halle el log2 8Solucin: log2 8 es el exponente al cual se eleva el 2 para que la potencia sea 8. Por lo tanto, log2 8 = 3

2. Halle el log3 81Solucin: log3 81 es el exponente al cual se eleva el 3 para que la potencia sea 81. Por lo tanto, log3 81 = 4

Leyes de logaritmos

1.)logb (MN) = logb M + logb NEjemplo:

log2 (8x16) = log2 8 + log2 16log2 128 = 3 + 4 7 = 72.)logb (M/N) = logb M logb NEjemplo: log3 (27/3) = log3 27 log3 3log3 9 = 3 1 2 = 2 3.)logb Mn = n logb MEjemplo:

log2 322 = 2 log2 32log2 1024 = 2 ( 5 )10 = 10

Logaritmos comunes

Logaritmos comunes son logaritmos con base 10. Si no se escribe la base, se sobreentiende que la misma es 10.

Esto es, log 1000 = log10 1000 = 3 Logaritmos naturales

Logaritmos naturales (ln) son logaritmos con base e=2.71828Esto es, ln 42 = loge 42

Logaritmos en otras basesLogM NEjemplo: Log3 56 = = 3.664

Tipos de problemas

Slo hay tres tipos de problemas de logaritmos. Estos son:

1. Dados la base y el logaritmo, hallar el argumento (potencia). Ejemplo: Log3 x = - 4Solucin: La forma exponencial equivalente a la forma dada es: 3-4 = x (1/3)4 = x 1/81 = x

1. Dado el argumento y el logaritmo, hallar la base.Ejemplo: Logx 2 = 1/5Solucin: Forma exponencial: x1/5 = 2 (x1/5))5 = 25

1. Dados el argumento y la base, hallar el logaritmo.Ejemplo: Log2 7 = = 2.8

Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen la variable en el exponente. Para resolverlas hay que usar logaritmos para bajar el exponente.

Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones

1) 2x = 7Solucin: Aplicar logaritmos base 10 en ambos ladoslog 2x = log 7 xlog 2 = log 7 x = x = 2.8

2) 50,000 = 30,000 (1+0.09)nSolucin: Dividiendo ambos lados por 30,000 se obtiene Aplicando logaritmos

log (5/3) = log 1.09N log (5/3) = nlog1.09 n = n = 5.9275

Ecuaciones logartmicas

Ecuaciones logartmicas son aquellas que tienen la variable en el argumento. Pasos para resolver ecuaciones logartmicas:

1. Pasar todos los trminos con logaritmos a un lado de la ecuacin y los que no tienen logaritmos al otro lado.1. Usando las leyes de logaritmos convertir todos los trminos con logaritmos en uno solo.1. Pasar a la forma exponencial. Ya la ecuacin no es ni logartmica ni exponencial, sino algebraica.1. Resolver la ecuacin algebraica que qued en el paso anterior.1. Verificar la solucin en la ecuacin original. Algunas veces el valor obtenido no es en realidad solucin de la ecuacin.

Ejemplos:

1).log4 (5x-4) = 2 Solucin: 5x 4 = 42 Verificar 5x 4 = 16 log4(5(4) 4) = log4 16 = 2 5x = 20 x = 4

1. log (x+7) log (x-2) = 1Solucin: log = 1 101 = Verificar: 10 (x-2) = x + 7log (3+7) log (3-2) = 1 10x 20 = x + 7 log 10 log 1 = 1 10x - x = 7 + 20 1 0 = 1 9x = 27 x = 3

CONCEPTO DE PROPORCIONALIDADLa proporcionalidad es una relacin entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemticos ampliamente difundido en la poblacin. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy comn. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relacin entre cantidades.Ejemplo Observa el dibujo y construye una tabla que relacione la altura de cada rectngulo con su base.

- A doble base corresponde doble altura.- A triple base corresponde triple altura.- A cudruple base corresponde .... altura.Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:a doble .............. doble,a mitad.............. mitad,a triple ............. triple,a un tercio.....un tercio,etc .........................decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".

ACTIVIDADES1. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razn de proporcionalidad es 3/4.

2. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razn de proporcionalidad es 2/3.

3. Cul es la razn de proporcionalidad?

Propiedades de la Proporcionalidad. Las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporcin est formada por los nmeros a, b, c y d, si la razn entre a y b es la misma que entre c y d.Una proporcin est formada por dos razones iguales: a : b = c : d dnde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .Proporcin mltiple:Una serie de razones est formada por tres o ms razones iguales: a: b = c : d = e : f y se puede expresar como una proporcin mltiple: a : c : e = b : d : f- En la proporcin formada por dos razones iguales a : b = c : d hay cuatro trminos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.En toda proporcin el producto de los extremos es igual al producto de los medios.Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:1. Verificar que la segunda columna es mltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda lnea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones deben ser iguales para obtener columnas proporcionales) 2. Verificar que la segunda lnea es mltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o 3. Verificar la igualdad de los productos cruzados: ad = bc. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a ad = bc, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un enorme inters en este contexto.Aplicacin Dos albailes construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; Qu superficie construirn cinco albailes en cuatro horas?Hay dos parmetros que influyen en la superficie construida: El nmero de albailes y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentacin de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso s, explicitando las hiptesis subyacentes.Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al nmero de albailes equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albailes no se cansan.

Admitiendo estas dos hiptesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: Qu superficie construiran dos albailes en cuatro horas? El parmetro "nmero de albailes" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida ser multiplicada por . Luego, fijando el parmetro tiempo a cuatro horas, y variando l del nmero de obreros de 2 a 5, la superficie ser multiplicada por (la subtabla azul es proporcional).El resultado final esMetros cuadrados.

La proporcionalidad mltiple se resuelve as, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

Clases de proporcionalidad

A menudo encontramos casos en que dos conjuntos se relacionan de las siguientes formas:

CONCEPTO DE SEMEJANZA.El concepto de Semejanza en la vida cotidianaCuando se utiliza el trmino de semejanza en el lenguaje cotidiano, a qu nos estamos refiriendo? Ser acaso:Un objeto que se parece a otro Objetos de igual tamao Objetos de igual forma Objetos exactamente iguales Es difcil poder seleccionar una opcin que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversacin, el significado y utilizacin de la palabra semejanza, podra hacer referencia a objetos que se parecen en tamao, forma o exactamente iguales, entre otros.Por ejemplo:El color del automvil de Pedro es semejante al color del automvil de Mara. La pelota de ping-pong es semejante a la de ftbol. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difcil diferenciarlos. La llave que usa Sofa, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano Jos. Se podra seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza. Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una caracterstica comn entre los objetos o personas, tales como: color, tamao y forma, entre otros. Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o ms caractersticas, que existe entre dos personas u objetos.El concepto de semejanza en matemticaEl concepto de semejanza en matemtica est muy ligado al concepto de proporcionalidad. En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporcin entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relacin existente entre semejanza y proporcionalidad.Un gegrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1 : 5000, es decir, un centmetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representacin semejante a una porcin del globo terrqueo, de all que, deba guardar una misma proporcin, con el fin de que las medidas que se tomen sobre l sean lo ms cercanas a su valor real. La construccin de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicacin de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo ms semejante posible al objeto real, adems de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamao de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamao que el objeto tiene en la realidad. Dos fotografas de la misma persona, una de tamao 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporcin, ya que una es la ampliacin de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razn, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor. Dos anillos idnticos, cuyos dimetros son exactamente iguales, guardan la misma proporcin y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, rea, dimetro). El ltimo ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamao y forma se pueden catalogar como semejantes. Se debe tener cuidado con la afirmacin inversa, es decir, objetos de diferente tamao no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporcin, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres. En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepcin matemtica, no siempre tienen que ser iguales.Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporcin entre cada una de sus partes respectivas.CONCEPTO DE SEMEJANZA DE TRINGULOSEn esta seccin se analizar el concepto de semejanza de tringulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solucin de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizar solamente el concepto de semejanza.Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respectivamente:c y c' (lado grande y lado grande)a y a' (lado pequeo y lado pequeo)b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la divisin entre los lados homlogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razn y cuando la razn es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemtico. Se aplicarn ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de tringulos.Se podra afirmar, con lo que ya se conoce, que dos tringulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporcin.Definicin de Semejanza de Tringulos.Dos tringulos son semejantes si los ngulos homlogos son congruentes y los lados homlogos son proporcionales.Ahora bien, sera muy tedioso estar verificando para cada par de tringulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos tringulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos tringulos. Importante Cuando se dice que el tringulo ABC es semejante con el tringulo DEF, se escribe:ABC ~ DEFEs muy importante el orden en que se escriban los vrtices de cada tringulo, ya que esto establece los ngulos y los lados homlogos.CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOSCRITERIO ANGULO- ANGULO- ANGULOSi en dos tringulos las medidas de sus ngulos correspondientes son iguales, entonces esos dos tringulos son semejantes y viceversa.CRITERIO LADO-ANGULO-LADOSi dos tringulos tienen un ngulo congruente comprendido entre lados que son proporcionales entonces, los tringulos son semejantes y viceversa. CRITERIO LADO-LADO-LADOSi dos tringulos tienen sus lados correspondientes proporcionales entonces esos tringulos son semejantesTEOREMA DE THALESSi tres o ms rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA Si el segmento al interior del tringulo es paralelo a uno de los lados y pasa por los puntos medios de los otros dos, entonces, dicho segmento medir exactamente la mitad del lado del tringulo al cual es paralelo. T. de Thales Semejanza 1 Semejanza 2 Semejanza 3 Semejanza 4 Semejanza de tringulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homlogos.Son ngulos homlogos:

Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus ngulos homlogos iguales y sus lados homlogos proporcionales.

La razn de la proporcin entre los lados de los tringulos se llama razn de semejanza.La razn de los permetros de los tringulos semejantes es igual a su razn de semejanza.

La razn de las reas de los tringulos semejantes es igual al cuadrado de su razn de semejanza.

Ejercicios1. Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2.Los catetos de un tringulo rectngulo que miden 24 m y 10 m. Cunto medirn los catetos de un tringulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

T. de Thales Semejanza 1 Semejanza 2 Semejanza 3 Semejanza 4 Criterios de semejanza de tringulos

1Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.

2 Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos igual.

EjercicioRazona si son semejantes los siguientes tringulos:

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

180 100 60 = 20Son semejantes porque tienen dos ngulos iguales.

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ngulo igual. T. de Thales Semejanza 1 Semejanza 2 Semejanza 3 Semejanza 4 Criterios de semejanza de tringulos rectngulos

1Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen un ngulo agudo igual.

2Dos tringulos rectngulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.

3Los tringulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.

Semejanza de polgonos

Dos polgonos son semejantes cuando tienen los ngulos homlogos iguales y los lados homlogos proporcionales.

T. de Thales Semejanza 1 Semejanza 2 Semejanza 3 Semejanza 4 Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejercicios1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

S, porque se cumple el teorema de Thales.

El teorema de Thales en un tringuloDado un tringulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro tringulo AB'C', cuyos sus lados son proporcionales a los del tringulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Aplicaciones del teorema de ThalesEl teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.EjemploDividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se sealan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la ltima divisin sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Proporcionalidad: directa e inversa

Para comprender el concepto de proporcionalidad, directa o inversa, debemos comenzar por comprender el concepto de razn.RAZN Y PROPORCIN NUMRICA Razn entre dos nmerosSiempre que hablemos de Razn entre dos nmeros nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.Entonces:Razn entre dos nmeros a y b es el cociente entre

Por ejemplo, la razn entre 10 y 2 es 5, ya que

Y la razn entre los nmeros 0,15 y 0,3 es

Proporcin numricaAhora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre s, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporcin numricaEntonces:Los nmeros a, b, c y d forman una proporcin si la razn entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir

Se lee a es a b como c es a d

Los nmeros 2, 5 y 8, 20 forman una proporcin, ya que la razn entre 2 y 5 es la misma que la razn entre 8 y 20.Es decir

En la proporcin hay cuatro trminos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporcin, el producto de los extremos es igual al de los medios.

As, en la proporcin anterior

se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40En general a=c==a . d = b . c

bd

Comprendido el concepto de proporcin como una relacin entre nmeros o magnitudes, ahora veremos que esa relacin puede darse en dos sentidos:Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

EjemploUn saco de papas pesa 20 kg. Cunto pesan 2 sacos? Un cargamento de papas pesa 520 kg Cuntos sacos de 20 kg se podrn hacer?Nmero de sacos123...26...

Peso en kg204060...520...

Para pasar de la 1 fila a la 2 basta multiplicar por 20Para pasar de la 2 fila a la 1 dividimos por 20Observa que

Las magnitudes nmero de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.La constante de proporcionalidad para pasar de nmero de sacos a kg es 20.Esta manera de funcionar de las proporcionesnos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servir para resolver un gran cantidad de problemas matemticos.REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. Cuntos litros de agua de mar contendrn 5.200 gramos de sal?Como en doble cantidad de agua de mar habr doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.Si representamos por x el nmero de litros que contendr 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:Litros de agua50x

Gramos de sal1.3005.200

Se verifica la proporcin:

Y como en toda proporcin el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los nmeros en forma cruzada) resulta:50 por 5.200 = 1.300 por xEs decir

En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2Un automvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depsito 6 litros, cuntos kilmetros podr recorrer el automvil?

Luego, con 6 litros el automvil recorrer 120 kmMAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

EjemploSi 3 hombres necesitan 24 das para hacer un trabajo, cuntos das emplearn 18 hombres para realizar el mismo trabajo?En este caso a doble nmero de trabajadores, el trabajo durar la mitad; a triple nmero de trabajadores, el trabajo durar la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (tambin se dice que son indirectamente proporcionales).Formamos la tabla:Hombres369...18

Das24128...?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72Por tanto 18 por x = 72O sea que los 18 hombres tardarn 4 das en hacer el trabajoNtese que aqu la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto ser siempre igual. Importante:Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre s, y el resultado se mantendr constante.

Ver. PSU: Matematica, Pregunta 10 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)Ejemplo 1 Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 das. Cuntos das podr alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?Vemos que con el mismo forraje, si el nmero de vacas se duplica, tendr para la mitad de das; a triple nmero de vacas, tercera parte de das, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.X = nmero de das para el que tendrn comida las 450 vacasN de vacas220450

N de das45x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde

En la prctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrn comer 22 dasEsta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

Ejemplo 2Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. Cul deber ser la capacidad de esos toneles?Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por xDebemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES Regla de tres compuesta. Mtodo de reduccin a la unidad Ejemplo 1: Proporcionalidad directaCuatro chicos durante 10 das de campamento han gastado en comer 25.000 pesos. En las mismas condiciones cunto gastarn en comer 6 chicos durante 15 das de campamento? Doble nmero de chicos acampados el mismo nmero de das gastarn el doble. Luego las magnitudes nmero de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales. El mismo nmero de chicos, si acampan el doble nmero de das gastarn el doble. Luego las magnitudes nmero de das de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales.Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de chicos y n de das con la cantidad desconocida, gasto.SABEMOS QUEpesos

REDUCCIN A LA UNIDADpesos

pesos

pesos

BSQUEDA DEL RESULTADOpesos

Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 das en realizar un trabajo. Cuntos das tardarn en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias? Doble nmero de obreros trabajando el mismo nmero de das trabajarn la mitad de horas al da para realizar el trabajo. Por tanto el nmero de obreros y el nmero de das de trabajo son inversamente proporcionales. Doble nmero de horas diarias de trabajo el mismo nmero de obreros tardarn la mitad de das en realizar el trabajo. Luego el nmero de horas diarias de trabajo y el nmero de das de trabajo son inversamente proporcionales.Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, n de obreros y n de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, n de das de trabajo.SABEMOS QUE

REDUCCIN A LA UNIDAD

BSQUEDA DEL RESULTADO

BIBLIOGRAFA

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