MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

POTENCIACIÓN EN Z

Los babilonios ya habían conocido muy bien la tabla de los cuadrados de los números, tal como lo prueba la tabla de los cuadrados hallada por los arqueólogos a orillas del Eufrates, en un lugar donde existió un templo. Este valioso hallazgo consiste en una tablilla de arcilla (como puede verse en el grabado) y cuyo equivalente en cifras actuales aparece al lado.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 2 4 6 8 10 12 14 16

3 3 6 9 12 15 18 21 24

4 4 8 12 16 20 24 28 32

5 5 10 15 20 25 30 35 40

6 6 12 18 24 30 36 42 48

LOS BABILONIOS

Ellos emplearon la potencia cuadrada, sobre todo para efectuar sus multiplicaciones, siguiendo el procedimiento que se indica a continuación:

1. La semisuma de los dos factores la elevaban al cuadrado.2. La semidiferencia de dichos factores la elevaban al cuadrado.3. La diferencia de estos dos cuadrados obtenidos era el resultado final.

Ejemplo: Efectuar el producto 26 18, siguiendo el anterior procedimiento.

1. La semisuma de 26 y 18 es 22, y el cuadrado de 22 es 484.2. La semidiferencia de 26 y 18 es 4, y el cuadrado de 4 es 16.3. La diferencia de 484 y 16 es 468, que viene a ser el producto de 26 por 18.

(Haga la prueba de multiplicar dos números cualesquiera siguiendo este procedimiento, que de preferencia sean ambos pares o impares, para evitarse los decimales)

NOTACIÓN DE LA POTENCIACIÓN

Desde muy antiguo buscaron los matemáticos una manera simbólica y simple de indicar la potenciación. En este afán, el matemático BHASKARA empleó la inicial de la palabra cuadrado para indicar la segunda potencia (año 1150) y la inicial de la palabra volumen para expresar la tercera potencia.

Es el escocés James Hume (1636) quien adopta la actual notación, pero usando los números romanos para exponentes. Ya Descartes (1637) adopta los números actuales como exponentes.

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

¿Sabías que...?

La tabla babilónica

de los cuadrados.

¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?¿Sabías que...?

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MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

NIVEL: AVANZADO PRIMER AÑO

POTENCIACIÓN EN Z

Así:

El exponente natural “n” indica la cantidad de veces que se repite la base entera “a” como factor, así tenemos:

an =

a × a × . . . . . . . .× a⏟n veces

Efectuar:

(+3)2 =

(+3 ) (+3 )⏟2 veces = +9

(+3)3 =

(+3 ) (+3 ) (+3)⏟3 veces = +27

(3)2 =

(−3) (−3)⏟2 veces = +9

(3)3 =

(−3) (−3) (−3)⏟3 veces = 27

SIGNOS DE POTENCIACIÓN EN Z .

(+a)Par o Impar = +P

(+3)2 = +9

(+2)3 = +8

(a)Par = +P

(3)2 = +9

(2)4 = +16

(a)Impar = P

(3)3 = 27

(5)3 = 125

(+2)5 =

(+7)3 =

(6)2 =

(3)4 =

(-2)5 =

(-3)5 =

(7)2 =

(2)8 =

PRODUCTO DE POTENCIAS DE BASES

IGUALES .

Observa:

(+3)2 (+3)3 =

(+3 ) (+3 )⏞2 veces

(+3 ) (+3 ) (+3 )⏞3 veces

⏟5 veces =

(+3)5

(-5)4 (-5)2 =

(−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 )⏞4 veces

(−5 ) (−5)⏞2 veces

⏟6 veces = (-

5)6

Ahora:

(-2)2 (-2)6 =

(-6)2 (-6)2 =

(+4)2 (+4)3 =

COCIENTE DE POTENCIAS DE BASES

IGUALES .

Observa:

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

Ejemplos:

¡Ahora Práctica tú!

CONCEPTO : Es una operación en la que dada una base entera (número entero) y un exponente natural, hallamos un tercero llamado POTENCIA “P”.

am . an = am+n

a Z; n N; P Zan = P

Exponente

PotenciaBase

am

an

= amn

MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

(−5)6

(−5)2

=

(−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 ) (−5 )⏞6 veces

(−5) (−5 )⏟2 veces

(−5)6

(−5)2

=

(−5 ) (−5 ) (−5) (−5 )⏟4 veces = (-5)4

Ahora:

(−3 )5

(−3)3

=

(+2)8

(+2 )7

=

(−5)7

(−5)5

=

(+7 )9

(+7 )8

=

OBSERVACIÓN:

am ÷ am =

am

am

= am-m = a0

Pero:

am

am

= 1

a0 = 1 Potencia de exponente cero.

POTENCIA DE POTENCIA .

Observa:

[(-5)3]2 = (-5)3.2 = [(-5)2]3 = (-5)6

Ahora:

[(-7)3]3 =

[(-5)2]4 =

[(+2)4]5 =

POTENCIA DE UN PRODUCTO .

Observa:

(3 7)2 = (3)2 (7)2

[(-3) (+5)]3 = (-3)3 (+5)3

Ahora:

[(-4) (+2)]3 =

[(-5) (+11)]2 =

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Efectuar:

1. (4)2 =

2. (3)3 =

3. (5)3 =

4. (2)5 =

II. Resolver mediante la propiedad:

1. (3)5 (3)6 = (3)

2. (7)10 (7)2 (7)3 = 7

3. (2)5 (2)7 (2)2 = ( )

4. (3)3 (3)4 (3)5 = (3)

III. Resolver mediante la propiedad:

1.

(−5 )10

(−5)7

= ( )

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

(an)m = anm = (am)n

(a c)n = an cn

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

am . an = am+n

am

an

= amn

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

¿Sabías que...

(25)2 = (3 2) 25 = 6 25

(35)2 = (4 3) 25 = 12 25

(45)2 = (5 4) 25 = 20 25

(55)2 = (6 5) 25 = 30 25

MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

2.

(−3 )12

(−3)10

= ( )

3.

(+2)15

(+2 )11

= ( )

4.

(−7 )7

(−7 )5

= ( )

IV. Resolver mediante la propiedad:

1. [(5)3]8 = ( )

2. [(11)7]9 = ( )

3. [(3)10]5 = ( )

4. [(13)9]2 = ( )

V. Resolver mediante la propiedad:

1. (3)3 (7)3 = ( )

2. (5)2 (9)2 = ( )

3. (7)5 (11)5 = ( )

4. (13)8 (2)8 = ( )

VI. Resolver:

1. (21)3 (15)7 (8)2 =

2. (63)4 (125)3 (32)2 =

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

I. Efectuar:

1. (-3)3 =

2. (-7)3 =

3. (-5)4 =

4. (-2)9 =

II. Resolver mediante la propiedad:

1. 75 . 716 = ( )

2. (23)8 (23)5 = ( )

3. (16)3 (16)5 = ( )

4. (6)2 (6)3 = ( )

III. Resolver mediante la propiedad:

1.

(−8 )7

(−8 )5

= ( )

2.

(−27)3

(−27 )2

= ( )

3.

(125)4

(125 )3

= ( )

4.

(7 )6

(7 )3

= ( )

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

am . an = am+n

am

an

= amn

(am)n = am.n

(a c)n = an cn

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

¿Sabías que...

(

11⏟2 cifras )2 = 1 2 1

(

111⏟3 cifras )2 = 12 3 21

(

1111⏟4 cifras )2 = 123 4 321

(

11111⏟5 cifras )2 = 1234 5 4321

MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

IV. Resolver mediante la propiedad:

1. [(23)4]3 = ( )

2. [(3)4]5 = ( )

3. [(2)3]6 = ( )

4. [(7)5]3 = ( )

V. Resolver mediante la propiedad:

1. (17)3 (25)3= ( )

2. (5)6 (9)6 = ( )

3. (2)3 (+11)3 = ( )

4. (13)11 (19)11 = ( )

BASE :

EXPONENTE :

POTENCIA :

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

(am)n = am.n(a c)n = an cn

1

10305050301 + 2040604020 = (

11 . . . . . . . .1⏟n cifras )2

Hallar “n”.

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

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