Estadística y Probabilidad

1. Una persona está manejando un carro en una autopista a 70 km/h y nota que el número de autos a los que pasa es igual al número de autos que a ella le pasan. Los 70 km/h son el promedio, la mediana o la moda de las velocidades de los autos en la carretera.

Al ser el mismo número de autos los que le rebasan, como los q rebasa. Este valor se en encuentra en la mitad de todos los valores. Es por esta razón que 70 km/ h es la mediana.

3. Dada n=9 mediciones: 5, 8, 8, 4, 4,9, 7, 5, 4. Determine:

a) Media Aritmética

x=∑i=1

k

xi

n

x= 549

x= 6

b) La mediana

4, 4,4,5,5,7,8,8,9La mediana es 5

c) sXi Xi - Xp (Xi – Xp)2

4 -2 44 -2 44 -2 45 -1 15 -1 17 1 18 2 48 2 49 3 9

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1= √ 32

8 =2

d) El rango

Rango= 9 - 4Rango = 5

e) RIQ

RIQ= (Q3-Q1)RIQ= 8 – 4RIQ= 4

f) Asimetría

As=∑i=1

n

(Xi−X )3/n

s3

As= 28

As= 0,25

Xi (Xi – Xp)3

4 -84 -84 -85 -15 -17 18 88 89 27

g) Curtosis

Ap=∑i=1

n

(Xi−X )4/n

s4 −3

Ap= 164/9

24 - 3

Ap= -1,8

5. Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000, 5000, y 10000 dólares, respectivamente. Si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4% anual y el tercero un 2% anual. ¿Cuál es el tipo de interés que recibe?

Primero2000( 5100

): = 100

Segundo5000( 4100

): = 200

Tercero: 10000( 2100

) = 200

Total: 500( 100 %17000

) = 2, 94%

7. En una bodega de venta de licores se registró las principales características de 25 marcas de whiskys.

N° de Whisky Precio de Venta

Proporción de malta Categoría Tiempo de

AñejamientoNota de Calidad

123456789

10111213141516171819202122232425

7060657470737055936287788390

1101139682

1271609086

10010095

20202025253030303333333540404040404545

100100100100100100

1111111122222222222333333

55

7.51212585

6.58

8.58.58

5.5128.512128.5121212101112

3222300213324211334342330

a) Identificar el tipo de dato que representa a cada una de las variables

Al ser datos que expresan cantidades, el precio de venta, la proporción de malta y el tiempo de categoría serán datos cuantitativos.

Mientras que al ser valores que expresan una cualidad del producto; la categoría y la nota de calidad serán datos cualitativos.

Todos estos datos son datos discretos ya que los valores son distintos y separados; es decir se los puede contar.

b) Realice un diagrama de tallo y hojas para el precio de venta y el tiempo de añejamiento

Precio de Venta

56789

10111216

5025000138236700356000370

Tiempo de Añejamiento

001

5,5,5,55.5,6.5, 7.5, 8, 8, 8, 8.5,8.5,8.5,8.50,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2

c) Calcule el promedio, la moda y la mediana del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento

PrecioPromedio

x=∑i=1

k

xi

nXP= 2186 = 87,56 25

Moda

El precio que más se repite es 70

Mediana

55,60,62,65,70,70,70,71,73,78,82,83,86,87,90,90,93,95,96,100,100,110,113,127,160El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 86.

Proporción de Malta

Promedio

x=∑i=1

k

xi

nXM = 1224 = 48,96

25

Moda

La proporción que más se repite es 100

Mediana

20,20,20,25,25,30,30,30,33,33,33,35,40,40,40,40,40,45,45,100,100,100,100,100,100El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 40.

Tiempo de Añejamiento

Promedio

x=∑i=1

k

xi

nXT= 226.5 = 9.06 25

Moda

El tiempo que más se repite es 12

Mediana

5,5,5,5,5.5,6.5,7.5,8,8,8,8.5,8.5,8.5,8.5,10,11,12,12,12,12,12,12,12,12,12El valor que se encuentra en la mitad al ordenar los valores es el 8.5.

d) Encuentre la desviación estándar, el RIQ y el coeficiente de variación del precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento.

PrecioDesviación Estándar

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1

sP= = √ 12970,1625 –1

= 23,24

RIQ

RIQ = Q3 – Q1RIQ = 100 – 70RIQ = 30

Coeficiente de Variación

CV= sx

CV = 0,27

Proporción de MaltaDesviación Estándar

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1

sM= √ 21764,9625 –1

= 30,11

RIQ

RIQ = Q3 – Q1RIQ = 45 – 30RIQ = 15

Coeficiente de Variación

CV= sx

CV = 0,61

Tiempo de Añejamiento

Desviación Estándar

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1

sM= √ 174,662525– 1

= 2,697

RIQ

RIQ = Q3 – Q1RIQ = 12 – 6,5

RIQ = 5,5

Coeficiente de Variación

CV= sx

CV = 0,29

e) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento de precio, la proporción de malta y el tiempo de añejamiento.

Precio

Coeficiente de Asimetría

As=∑i=1

n

(Xi−X )3/n

s3

As= 14812,8104 (23,24)3

As= 1,18

Coeficiente de Apuntamiento

Ap=∑i=1

n

(Xi−X )4/n

s4 −3

Ap= 53862,91 - 3 (23,24)4

Ap= - 2,8

Proporción de Malta

Coeficiente de Asimetría

As=∑i=1

n

(Xi−X )3/n

s3As= 26332,83187 (30)3

As= 0,9

Coeficiente de Apuntamiento

AP=∑i=1

n

(Xi−X ) 4/n

s4−3

Ap= 2519855,592 - 3 (23,24)4

Ap= 5,6

Tiempo de Añejamiento

Coeficiente de Asimetría

As=∑i=1

n

(Xi−X )3/n

s3As= -4,03 (23,24)3

As= 0,04

Coeficiente de Apuntamiento

As=∑i=1

n

(Xi−X )4/n

s4

Ap= 44742,14312 - 3 (23,24)4

Ap= -2,85

f) Realice un gráfico de barras de la categoría y de la nota de calidad.

Categoría

Categoría 1 Categoría 2 Categoría 30

2

4

6

8

10

12

8

11

6

Nota de Calidad

0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 3

7

9

3

9. Dados los datos y sus frecuencias:

xi 2 5 7 10ni 8 12 16 14

Halle:

a) Media Aritmética

x=∑i=1

k

(¿ )(xi)

n

x= 32850

x= 6,56

b) La moda

Es 7 al ser el valor que más se repite.

c) s

xi ni Xi - X̄ (Xi – Xp)2 ni(Xi – Xp)2

2 8 -4,56 20,7936 166,34885 12 -1,56 2,4336 29,20327 16 0,44 0,1936 3,0976

10 14 3,44 11,8336 165,6704

∑i=1

n

(Xi−X )2 = 364,32

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1

s= √ 364 ,3249

s=2,72673835

d) El rango

Rango = 10-2Rango = 8

11. Se realizó una investigación sobre el precio de zapatos deportivos, de similares características en diversos almacenes de la ciudad, obteniéndose los siguientes datos (dólares):

50 43 39 43 40 38 35 25 37 3249 43 39 44 40 38 33 26 36 3049 43 39 44 40 38 33 27 36 3047 41 39 45 40 37 33 27 35 3046 41 38 46 40 37 32 28 35 28

a) Determine la distribución de frecuencias individuales de los datos

Valor datos

Frecuencia absoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

F. relativa acumulada

25 1 1 0,02 0,0226 1 2 0,02 0,0427 2 4 0,04 0,0828 2 6 0,04 0,1230 3 9 0,06 0,1832 2 11 0,04 0,2233 3 14 0,06 0,2835 3 17 0,06 0,3436 2 19 0,04 0,3837 3 22 0,06 0,44

38 4 26 0,08 0,5239 4 30 0,08 0,640 5 35 0,1 0,741 2 37 0,04 0,7443 4 41 0,08 0,8244 2 43 0,04 0,8645 1 44 0,02 0,8846 2 46 0,04 0,9247 1 47 0,02 0,9449 2 49 0,04 0,9850 1 50 0,02 1

Total 28 1 1

b) Elabore la distribución de frecuencias con datos agrupados por clases;

Clase=50−25

5=5

Intervalo Frecuencia[24 – 29[ 6[29 – 34[ 8[34 – 39[ 12[39 – 44[ 15[44 – 49[ 6[49 – 54[ 3

c) A partir de la distribución obtenida, trace el histograma.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

24 29 34 39 44 49 54

Organigrama

13.- A partir de la siguiente distribución de frecuencias

xi 1.2 2.3 3.5 5.4 7.8 8.3 12.1ni 2 4 4 6 3 5 1

Encuentre:

a) Los cuartiles inferior, superior y la mediana.

Q1= P25;

nk /100= 25∗25

100 = 6.25 = r + t

Q1= X6+1 = 3.5

Q3= P25;

nk /100= 25∗75

100 = 18.75

Q3= X18+1= 7.8

Mediana= X13 = 5.4

b) La media armónica

MH=n

∑i=1

n 1xi

= 25

21.2

+ 42.3

+ 43.5

+ 65.4

+ 37.8

+ 58.3

+ 112.1

= 3.715

c) La media geométrica

MG= n√∑i=1

n

xin1 = 25√(1.2 )2 ¿¿ = 4.584

15. Los siguientes datos se obtuvieron de una encuesta sobre las condiciones de vida, en el área rural de los cantones Zapotillo y Macara y corresponden al número de hombres y de mujeres que integran las familias encuestadas.

Hombres Mujeres Hombres Mujeres

Hombres

Mujeres

Hombres

Mujeres

4 4 3 2 2 2 7 45 5 3 4 3 3 3 34 1 4 3 6 3 2 23 2 2 3 2 4 4 46 1 2 4 4 6 5 43 4 0 4 6 7 2 47 1 3 7 4 2 5 25 2 3 3 2 3 4 35 8 1 3 5 4 4 1

a) Realice un diagrama de puntos de los datos, clasificados por sexo

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Hombres

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mujeres

b) Realice la tabla de frecuencias y el histograma de los datos, según el sexo de los encuestados;

Longitud de clase (Hombres) ¿7−0

4=1.75

Longitud de clase (Mujeres): ¿8−1

4=1.75

Intervalo Frecuencia Absoluta

Frec. Absoluta Acumulada

Frecuencia Relativa

Frec. Relativa Acumulada

Hombres Mujeres HombresMujere

s Hombres Mujeres Hombres Mujeres Hombres Mujeres[0 ; 1,75[ [0 ; 1,75[ 2 4 2 4 0,055 0,111 0,055 0,111

[1,75 ; 3,5[ [1,75 ; 3,5[ 15 16 17 20 0,416 0,444 0,471 0,555[3,5 ; 5,25[ [3,5 ; 5,25[ 14 12 31 32 0,388 0,333 0,859 0,888[5,25 ; 7[ [5,25 ; 7[ 3 1 34 33 0,083 0,027 0,942 0,915[7 ; 8,75[ [7 ; 8,75[ 2 3 36 36 0,055 0,083 1 1

16 36 1 1

Hombres

1.75 3.5 5.25 7 8.750

2

4

6

8

10

12

14

16

2

1514

32

Mujeres

1.75 3.5 5.25 7 8.150

2

4

6

8

10

12

14

16

18

4

16

12

1

3

c) Construya el diagrama de caja de los datos;

mín Q1 Q2 Q3 máxHombres 0 2 4 5 7Mujeres 1 2 3 4 8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

Valores Y

Hombres Mujeres

Núm

ero

d) Interprete y compare los resultados obtenidos en a), b), c)

En las gráficas obtenidas en la sección a y b, se puede apreciar claramente que el mayor número de familias encuestadas están conformadas por un número entre tres y cuatro hombres, cómo también mujeres.

Para la sección c se puede apreciar en el caso del hombre que la mediana se encuentra en la mitad de la caja indicando que los datos son simétricos. Además la vallas son iguales por lo que denotada que no existen valores atípicos.

En el caso de las mujeres, a pesar que se muestra simetría en los datos al estar la mediana en la mitad de la caja, las vallas no son iguales, por lo que permite conocer que existen valores atípicos.

e) Determine el número total de miembros en cada familia. Con estos datos trace el diagrama de puntos, el diagrama de tallo y hojas, la tabla de frecuencias, el histograma y el diagrama de caja. Interprete lo obtenido.

Número de Miembros de cada Familia

8 5 4 1110 7 6 65 7 9 45 5 6 87 6 10 97 4 13 68 10 6 77 6 5 7

13 4 9 5 Diagrama de punto

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Diagrama de tallo y hojas

Tabla de frecuencias

Intervalo Frec. Absoluta

Frec. Absoluta Acumulada

Frec. Relativa

Frec. Relativa Acumulada

[3,75 ; 6[ 10 10 0,277 0,277[6 ; 8,25[ 17 27 0,472 0,75

[8,25 ; 10,5[ 6 33 0,166 0,915[10,5 ; 12,75[ 1 34 0,027 0,942[12,75 ; 15[ 2 36 0,055 1

0 444455555566666660 77777778889991 000133

Histograma

3.75 6 8.25 10.5 12.75 1502468

1012141618

10

17

6

12

Diagrama de caja

mín Q1 Q2 Q3 máxHombres 4 5 7 8 13

0123456789

1011121314

D

Valores Y

Miembros Mujeres

Núm

ero

Interpretación

Se puede apreciar claramente tanto en el diagrama de puntos como en el histograma que la mayor parte de familias están conformadas por 6 o 7 personas.Sin embargo, en el diagrama de caja se puede ver que no existe una simetría en los datos ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja. Además, las vallas no tienen el mismo tamaño, lo que indica que existen datos atípicos.

17. En una investigación sobre la razón por la que la frecuencia habían colas muy largas en las cajas de un banco, se obtuvo información del tiempo (en minutos) requerido para atender a los clientes. Se tomaron 50mediciones en una caja las cuales se dan a continuación.

6 5,9 4 3,1 1,9 5,3 2,1 5,2 2,9 5,24,8 4,8 5,1 6 4,2 4,4 5,3 1,4 4,4 4,15,2 2,8 4,7 1,8 5,1 5,8 2,9 5,7 3,8 5,83,6 4,4 2 2,8 4,8 3,1 1,5 5,9 3,6 4,63,7 4,5 3,9 2,3 5,5 5,3 5,8 2,4 5,5 3,7

a) Calcule la desviación estándar, y su aproximación a partir del rango

s=2√∑i=1

n

(Xi−X )2

n−1

s= √ 88,949

s= 1,3477

b) Determine

Xp= 4,172

Xp±s = (2,82:5,52)Xp±2s = (1,48:6,87)Xp±3s = (0,13:8,22)

c) Determine el número de observaciones que se encuentran en cada uno de los intervalos

Xp±s = 32Xp±2s = 49Xp±3s = 50

d) Construya el diagrama de caja de los datos y compare los resultados de la parte b) ¿Qué observa?

Q1 Q2 Q3 X min X máx.3,1 4,4 5,3 1,4 6

1,44 2,58 3,72 4,86 6

Se puede apreciar que la distribución no es simétrica ya que la mediana no se encuentra en la mitad de la caja.

Además puede apreciar que las vallas no tienen longitudes iguales por lo cual se puede conocer que existen valores atípicos en los datos.

19.- Las notas de un examen de 6 alumnos son: 6,5,9,19,3,18. Un alumno aprueba si su nota es mayor o igual que el promedio y que la mediana de las notas. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron el examen.

x=∑i=1

k

xi

n

x= 10

Mediana= 7,5

%=26

(100 )=33,33 %

21. El kilometraje que marca un auto, luego de 4 años de uso, es 100mil kilómetros. Si el dueño lo compró nuevo y lo hace descansar 1 día, luego de usarlo 4 días seguidos, ¿cuál es el recorrido promedio diario de los días manejados, considerando años de 365 días?

1díausa( 5días4díausa )( 100000 km

(4 ) (365 )días )=85 ,616km

El automóvil ha circulado un promedio diario de 85,616 Km.

23. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de tres de ellos al número restante, se obtiene los números 17,21,23,29 . Si se excluye al mayor de estos números. ¿ Cuál es el promedio de los tres restantes?

(a+b+c)/3 + d= 17 (a+b+d)/3 + c = 21 (a+c+d)/3 +b = 23 (a+d+b)/3 +a=9

1) a+b= 63-d-3c2) c+d=69-3d-3c3) c+d=87-b-3a4) a+b = 51-c-3d

1 y 263-d-3c=51-c-3d5) c=6+d

2y 3 69-3d-a=87-b-3a6) -b+a=9

5 y 6 en 19+b+b=63-d-3c7) b+2d=18

5 y 6 en 26+d+d=69-3b-a8) 2b+d=27

7 en 82(18-2d)+d=27 d=3

d en 72b+3=27b=12

-12+a = 9a= 21

6+3=c9=c

A,b,c,d = 21,12,9,3

(12+9+3)/3 = 8

25. El promedio de 53 números es 600. Si se eliminan 3 números consecutivos, se observa que el nuevo promedio aumenta en 5% ¿Cuál es el mayor de dichos números consecutivos?

x=

∑i=1

k

xi

n

600 = ∑x 53

∑x1 = 31800

x=

∑i=1

k

xi

n

630 = ∑x 50

∑X1 = 31500

31800 – 31500 = 300

99 + 100 + 101 = 300 R: 101

27. Calcule la mediana de los siguientes datos.

Intervalo Frecuencia10—2020—3030—40

335

40—5050—60

812

Intervalo Frecuencia Frec. acumulada10—2020—3030—4040—5050—60

3358

12

36

111931

n = 31 → n2 = 15.5

La mediana está en el intervalo (40—50)

A = 50 – 40 = 10

Mediana = 40 + 15.5−11

8 * 10

Mediana = 45.625

29. En una reunión hay 50 varones con una edad media de 20,5 años y 25 mujeres, las que en promedio son 1/10 más jóvenes que los varones. Halle el número entero más próximo a la eded media de las personas de dicha reunión.

xi ni. Edad MediaHombres 50 20,5Mujeres 25 y

edad mujeres: (20,5 – 20,510 )= 18,45

Edad promedio= 20,5+18,45

2 = 19,5 ≈20

La edad media de las personas es 20 años.

31. Si cada uno de los 28 millones de habitantes de cierto país come, en promedio, 12 kg de pescado al año, entre conservas enlatadas y pescado fresco, siendo este rubro cuatro veces el de conserva. Cuantas toneladas de pescado fresco se consumen en promedio por año.

Una persona come en promedio 12kg de pescado al año y come 4 veces más fresco que de conserva:

12kg( 45)=9,6kg

9.6kg×28 ' 000000=268 ' 800000 kg

268 ' 800000 kg× 1Tn1000kg

=268800Tn

Se consumen 268800 Tn de pescado al año

33. De los datos de una tabla de distribución de frecuencias, con 5 intervalos de clase y ancho de clase común, se observo que Q2= 24, x1= 16, X3= 24, n3= 2n1, n5= 2n2. Qué porcentaje del total son menores que 30?

Intervalos Punto medio Frecuencia[16, 20[ 18 n1[20, 24[ 22 n2[24, 28[ 26 2n1[28, 32[ 30[32, 36[ 34 2n2

(4 ) 10020

=20 %

20% (4n)= 80 % menos de 30

35. La siguiente tabla muestra la distribución de sueldos de 210 trabajadores de una empresa. Debido al aumento de la productividad, los sueldos sufrieron un incremento del 10% y adicionalmente, un aumento de 50 dólares. Halle el nuevo sueldo promedio.

Sueldos Trabajadores600 - 700 100700 - 800 20800 - 900 60

900 - 1000 201000 - 1100 10

Sueldos 10% Aumento $50 Total Trabajadores650 65 50 765 100750 75 50 875 20850 85 50 985 60

950 95 50 1095 201050 105 50 1205 10

x=∑i=1

k

nixi

n

X =(765)(100)+(875)(20)+(985)(60)+(1095)(20)+(1205)(10) 210

X =187050 = 890.71 210

37.- En la siguiente ojiva se muestran los sueldos de los trabajadores de un organismo estatal. Halle la diferencia entre el promedio y la mediana

Intervalo L. Superior Fr. Absoluta Fr. Relativa Fr. Rel. Acumulada300-600 450 30 0.3 0.3600-900 750 18 0.18 0.48

900-1200 1050 22 0.22 0.71200-1500 1350 25 0.25 0.951500-1800 1650 5 0.05 1

100 1

x- Med =6,27

39. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias de las ventas realizadas por los 60 locales de un centro comercial popular de la ciudad de Quito. Si los intervalos tienen igual longitud halle el promedio, la mediana y la desviación.

x̄=(450 )(30 )+(750 )(18)+(1050)(22)+(1350)(25 )+(1650 )(5 )100

x̄=921

Med=900+(50−4822 )300

Med=927 .27

Ventas Punto medio Fr. Absoluta Fr. Abs. Acu. Fr. Relativa nixi20-30 25 12 12 0.2 30030-40 35 3 15 0.05 10540-50 45 18 33 0,3 81050-60 55 15 48 0.25 82560-70 65 12 60 0.2 780

x=∑i=1

k

nixi

n

x̄=(25)(12)+(35)(3 )+( 45)(18 )+(55)(15 )+(65 )(12)60

x̄=47

d=√∑i=1

k

nixi2−n x̄2

n−1

d=√(12∗252+3∗352+18∗452+15∗552)−60(47 )2

59d=13.75

Med=40+(30−1518 )∗10

Med=48 .33