PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA INFERENCIAL

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE COMERCIO EXTERIOR Y NEGOCIACIÓN COMERCIAL

INTERNACIONAL

Tulcán – Ecuador

DOCENTE: MSC. JORGE POZO

INTEGRANTES:

Tamara Liceth Apráez Lima

MARZO 2012- AGOSTO 2012

1

INTRODUCCION

La estadística inferencial es necesaria cuando queremos hacer alguna

afirmación sobre más elementos de los que vamos a medir. La estadística

inferencial hace que ese salto de la parte al todo se haga de una manera

“controlada”. Aunque nunca nos ofrecerá seguridad absoluta, sí nos ofrecerá

una respuesta probabilística. Esto es importante: la estadística no decide;

sólo ofrece elementos para que el investigador o el lector decidan. En

muchos casos, distintas personas perciben diferentes conclusiones de los

mismos datos.

El proceso será siempre similar. La estadística dispone de multitud de

modelos que están a nuestra disposición. Para poder usarlos hemos de

formular, en primer lugar, una pregunta en términos estadísticos. Luego

hemos de comprobar que nuestra situación se ajusta a algún modelo (si no

se ajusta no tendría sentido usarlo). Pero si se ajusta, el modelo nos

ofrecerá una respuesta estadística a nuestra pregunta estadística. Es tarea

nuestra devolver a la psicología esa respuesta, llenándola de contenido

psicológico.

La estadística descriptiva, como indica su nombre, tiene por finalidad

describir. Así, si queremos estudiar diferentes aspectos de, por ejemplo, un

grupo de personas, la estadística descriptiva nos puede ayudar. Lo primero

será tomar medidas, en todos los miembros del grupo, de esos aspectos o

variables para, posteriormente, indagar en lo que nos interese. Sólo con

esos indicadores ya podemos hacernos una idea, podemos describir a ese

conjunto de personas.

2

OBJETIVO DE LA ESTADÍSTICA

La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la

recolección, organización, análisis e interpretación de datos. Los datos

pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o

cualitativos, en cuyo caso se tabulan las características de las

observaciones. La estadística sirve en administración y economía para tomar

mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y

de la detección de patrones y relaciones en datos económicos y

administrativos.

JUSTIFICACIÓN

El presente portafolio tiene como justificación recolectar todo el trabajo dado

en clases como portafolio de apoyo del estudiante y además ampliar mas el

contenido con investigaciones bibliográficas de libros ya que esto nos

permitirá analizar e indagar de los temas no entendidos para auto educarse

el estudiante y así despejar los dudas que se tiene con la investigación y el

análisis de cada uno de los capítulos ya que la estadística inferencial es

amplia y abarca problemas que estas relacionados con el entorno para

poder sacar nuestras propias decisiones ya que la estadística inferencial nos

ayudara a la carrera en la que estamos siguiendo como lo es comercio

exterior ampliar mas nuestros conocimientos y utilizar más el razonamiento y

sacar conclusiones adecuadas según el problema que se presente en el

entorno ay que las matemáticas y la estadística nos servirá a futuro para así

poderlos emplear a futuro .

3

CAPITULO I

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Las unidades del sistema internacional de unidades se clasifican en

fundamentales y derivadas. Las unidades fundamentales no se pueden

reducir. Se citan las unidades fundamentales de interés en la asignatura de

ciencias e ingenierías de os materiales.

Las unidades derivadas se expanden en función de las unidades

fundamentales utilizando signos matemáticos de multiplicación y de división.

Por ejemplo las unidades de densidad del sí son el kilogramo por metro

cubico algunas unidades derivadas tienen nombres y símbolos especiales.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo

internacional del kilogramo (Diaz, 2008)

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos

de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles

HIPERFINOS del estado fundamental del átomo de cesio 133. (Diaz, 2008)

Unidad de intensidad de corriente eléctrica El ampere (A) es la intensidad

de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores

paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y

4

situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una

fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud. (Diaz, 2008)

Unidad de temperatura termodinámica El kelvin (K), unidad de

temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura

termodinámica del punto triple del agua. (Diaz, 2008)

Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia

de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay

en 0,012 kilogramos de carbono 12. (Diaz, 2008)

Unidad de intensidad luminosa La candela (CD) es la unidad luminosa, en

una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática

de frecuencia 540·1012 HERTZ y cuya intensidad energética en dicha

dirección es 1/683 WATT por estereorradián. (Diaz, 2008)

Peso: es una magnitud derivada se considera como una unidad vectorial.

(Diaz, 2008)

Escalar: aquel que indica el número y la unidad. (Diaz, 2008)

Vector: indica número unidad dirección etc. (Diaz, 2008)

Magnitud derivada: el peso de la unidad newton es una unidad de fuerza.

(Diaz, 2008)

Gravedad: es la que permite a los cuerpos caer en perpendiculares según la

gravedad de la tierra (Diaz, 2008)

MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS

Múltiplo

Un múltiplo de un número es otro número que lo contiene un número entero

de veces. En otras palabras, un múltiplo de n es un número tal que, dividido

por n, da por resultado un número entero Los primeros múltiplos del uno al

diez suelen agruparse en las llamadas tablas de multiplicar. (Pineda, 2008)

5

Submúltiplo

Un número entero a es submúltiplo de otro número b si y sólo si b es múltiplo

de a, (Pineda, 2008).

COMENTARIO:

El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene la finalidad de: Estudiar el

establecimiento de un conjunto de reglas para las unidades de medida y

como estudiantes de comercio exterior nos ayuda muchísimo porque con el

podemos obtener los resultados al almacenar una mercancía en el

contenedor sin perder el tiempo que es valioso en la carrera, y también si

perder el espacio dentro de dicho contenedor.

El sistema internacional de unidades es estudiado para obtener datos reales

y a su vez poder dar nuestros resultados sacando conclusiones propias de la

carrera Para una comunicación científica apropiada y efectiva, es esencial

que cada unidad fundamental de magnitudes de un sistema, sea

especificada y reproducible con la mayor precisión posible.

6

ORGANIZADOR GRAFICO:

Sistema Internacional de Medidas y Unidades

Magnitudes fundamentales

Una magnitud fundamental

es aquella que se define

por sí misma y es

independiente de las

demás (masa, tiempo,

longitud, etc.).

Magnitudes derivadas

Para resolver el problema que suponga la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del mundo, en la XI

Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema Internacional de Unidades (SI). En el

cuadro siguiente puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de ellas y la abreviatura que se

emplea para representarla:

Son la que

dependen de las

magnitudes

fundamentales.

Múltiplos Submúltiplos

Un número es un

submúltiplo si otro lo

contiene varias veces

exactamente. Ej.: 2 es

un submúltiplo de 14,

ya que 14 lo contiene

7 veces.= 14 = 2 • 7

Un múltiplo de n es

un número tal que,

dividido por n, da por

resultado un número

entero

7

TRABAJO # 1

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

MÚLTIPLOS.- Se pueden obtener múltiplos de cualquier número, son

aquellos que se obtiene al sumar el mismo número varias veces o al

multiplicarlo por cualquier número. (son infinitos), (Aldape & Toral, 2005,

pág. 94).

Ejemplo:

Múltiplos de 5:

5-10-15-20-25-30-35-405-500-1000

SUBMÚLTIPLOS.- Los submúltiplos son todo lo contrario, son las divisiones

exactas de un número, (Aldape & Toral, 2005).

Por ejemplo :

Submúltiplos de 30:

6, 10, 5, 2, 3, etc.

8

MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS

LAS MAGNITUDES FUNDAMENTALES.- Una magnitud fundamental es

aquella que se define por sí misma y es independiente de las demás (masa,

tiempo, longitud, etc.).

LONGITUD: Es la medida del espacio o la distancia que hay entre

dos puntos. La longitud de un objeto es la distancia entre sus

extremos, su extensión lineal medida de principio a fin, (Serway &

Faughn, 2006).

MASA: Es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un

cuerpo, (Serway & Faughn, 2006).

TIEMPO: Es la magnitud física que mide la duración o separación de

acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a

observación, (Serway & Faughn, 2006).

INTENSIDAD DE CORRIENTE ELECTRICA: Se denomina

intensidad de corriente eléctrica a la cantidad de electrones que pasa

a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo,

(Serway & Faughn, 2006).

TEMPERATURA: Es una magnitud referida a las nociones comunes

de calor o frío. Por lo general, un objeto más "caliente" tendrá una

temperatura mayor, (Serway & Faughn, 2006).

INTENSIDAD LUMINOSA: En fotometría, la intensidad luminosa se

define como la cantidad flujo luminoso, propagándose en una

dirección dada, que emerge, atraviesa o incide sobre una superficie

por unidad de ángulo solido, (Enríquez, 2002).

CANTIDAD DE SUSTANCIA: Su unidad es el mol. Surge de la

necesidad de contar partículas o entidades elementales

microscópicas indirectamente a partir de medidas macroscópicas

(como la masa o el volumen). Se utiliza para contar partículas,

(Enríquez, 2002).

9

MAGNITUDES DERIVADAS.- Son la que dependen de las magnitudes

fundamentales.

VELOCIDAD: Es la magnitud física que expresa la variación de

posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por

un objeto en la unidad de tiempo, (Enríquez, 2002).

AREA: Área es la extensión o superficie comprendida dentro de una

figura (de dos dimensiones), expresada en unidades de medida

denominadas superficiales, (Enríquez, 2002).

VOLUMEN: Es una magnitud definida como el espacio ocupado por

un cuerpo, (Enríquez, 2002).

FUERZA: se puede definir como una magnitud vectorial capaz de

deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o

vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles,

(Enríquez, 2002).

TRABAJO: El trabajo, en mecánica clásica, es el producto de una

fuerza por la distancia que recorre y por el coseno del ángulo que

forman ambas magnitudes vectoriales entre sí, (Enríquez, 2002).

La unidad del trabajo es el JOULE.

ENERGIA: Es una magnitud física abstracta, ligada al estado

dinámico de un sistema y que permanece invariable con el tiempo en

los sistemas aislados. La unidad de la energía es el Joule, (Enríquez,

2002).

10

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro

Esfera

Cono

Cubo

A = 6 a2 V = a3

Prisma

A = (perim. base •h) + 2 •

area base

V = área base

• h

Pirámid

e

Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos

11

CONCLUSIONES

El sistema internacional de unidades es muy importante porque se

involucra en nuestra carrera permitiendo la relación económica con

otros países mediante comercio internacional y su negociación entre

ellos. como también la práctica de problemas del sistema

internacional de unidades nos ayudan a ver la realidad de nuestro

entorno de cómo podemos solucionar problemas al momento de

exportar una mercancía, que cantidad de materia prima,

electrodomésticos, enceres que actualmente se exporta en gran

cantidad, puede alcanzar dentro de un contenedor.

El sistema internacional de unidades nos ayudan a vincularnos en los

negocios, como realizar negociaciones en el exterior porque a través

de este sistema podemos indicar el volumen, área, del tipo de

trasporte el cual se va a exportar la mercancía, que cantidad de cajas

por ejemplo podemos enviar al exterior este sistema es muy

fundamental en la carrera de comercio exterior.

Recomendaciones

Se recomienda saber todas las medidas del sistema internacional de

unidades como también las magnitudes , longitud, masa y volumen de

las figuras geométrica para que nuestro producto o mercancía pueda

ser exportada al exterior, es necesario conocer debido a que nos

permitirá realizar una buena negociación conociendo la cantidad de

mercancía que puede introducirse en el transporte.

Es de mucha importancia, que como estudiantes de la carrera de

comercio exterior conozcamos las unidades básicas más utilizadas

que se encuentran presentes en el Sistema internacional para una

correcta aplicación en los ejercicios propuestos. La utilización de las

medidas del Sistema Internacional se presenta a nivel internacional y

por ende son aplicadas en el los negocios de Comercio Internacional

ya que permite una mejor movimiento e intercambio.

12

13

BIBLIOGRAFÍA

Aldape, A., & Toral, C. (2005). Matemáticas 2. México: PROGRESO S.A.

Altamirano, E. (2007).

Anderson, D. R. (2005). Estadística para Administración y Economía.

México: Cengage Learning.

Diaz, R. G. (2008). Unidades fundamentales .

Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.

Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.

García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia:

I.S.B.N.

J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .

14

Pineda, L. (2008). matematicas.

Rodrígues, M. E. (2001). Coeficientes de Asociación. México: Plaza y

Valdés.

Sabadías, A. V. (2001). Estadística Descriptiva e Inferencial . Murcia:

COMPOBELL.

Serway, R. A., & Faughn, J. S. (2006). FÍSICA para bachillerato general.

New York: THOMSON.

Weiers, R. M. (2006). Introducción a la Estadística para Negocios. México:

Learning Inc.

Willliams, T. A. (2008). Estadística para Administración y Economía. México:

Cengage Learning.

LINKOGRAFIA

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm

file:///K:/Tabla-de-Magnitudes-Unidades-Y-Equivalencias.htm

file:///K:/books.htm

file:///K:/volumenes/areas_f.html

file:///K:/cuerposgeoAreaVolum.htm

ANEXOS:

1.- Convertir 2593 Pies a Yardas.

15

2.- Convertir 27,356 Metros a Millas

3.- Convertir 386 Kilogramos a Libras.

4.- Convertir 2,352 Segundos a Año.

5.- Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.

16

TRANSFORMACIONES

En muchas situaciones tenemos que realizar operaciones con magnitudes

que vienen expresadas en unidades que no son homogéneas. Para que los

cálculos que realicemos sean correctos, debemos transformar las unidades

de forma que se cumpla el principio de homogeneidad, (Ledanois & Ramos,

2002).

Por ejemplo, si queremos calcular el espacio recorrido por un móvil que se

mueve a velocidad constante de 72 Km/h en un trayecto que le lleva 30

segundos, debemos aplicar la sencilla ecuación S = v·t, pero tenemos el

problema de que la velocidad viene expresada en kilómetros/hora, mientras

que el tiempo viene en segundos. Esto nos obliga a transformar una de las

dos unidades, de forma que ambas sean la misma, para no violar el principio

de homogeneidad y que el cálculo sea acertado, (Ledanois & Ramos, 2002).

Para realizar la transformación utilizamos los factores de conversión.

Llamamos factor de conversión a la relación de equivalencia entre dos

unidades de la misma magnitud, es decir, un cociente que nos indica los

valores numéricos de equivalencia entre ambas unidades, (Ledanois &

Ramos, 2002).

EJERCICIOS REALIZADOS EN CLASE

Volumen 300 transformar en pulgadas 3

V= 100000

17

V= 100000

Q= 7200000

Vol. Paralelepípedo L x a x h

Vol. Cubo

Vol. Esfera

Vol. Cilindro

Vol. Pirámide

Área cuadrada

Área de un rectángulo B x h

Área de un circulo

Área de un triangulo

En una bodega tiene un largo de 60 m un ancho de 30 m cuantas cadjas de

manzana puede ubicar en esta bodega en estas cajas tiene 60cm de lado y

30 de ancho y 40 de altura.

Vol. de p bodega = l x a h = 60 x 30 x3 = 5400

Vol. De p caja = 60 x 30 x 40 = 72000

18

TRANSFORMACIÓN

X=

Un tanquero tiene una longitud de 17 m y un radio del tanque de 1.50 m.

¿Cuántos litros se puede almacenar en dicho tanque?.

RESOLUCION

VOL. CILINDRO =

VOL. CILINDRO= 3.1416 X (1.50 X (17)= 0 120.17

TRANSFORMACIÓN

120.17

19

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

LONGITUD

1 Km 1000 m

1 m 100 cm

1 cm 10 mm

1 milla 1609 m

1 m 1000 mm

MASA

1qq 100 lbs.

1 Kg 2.2 lbs.

1 qq 45.45 Kg

1 qq 1 arroba

1 arroba 25 lbs.

1 lb 454 g

1 lb 16 onzas

1 utm 14.8 Kg

1 stug 9.61 Kg

1 m 10 Kg

1 tonelada 907 Kg

ÁREA

100

1 10000

1 hectárea 10000

1 acre 4050

1 pie (30.48 cm

1 pie 900.29

1 10.76

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COMENTARIO EN GRUPO:

Como comentario en grupo podemos decir que las transformaciones nos

servirá en la carrera del comercio exterior y además poder resolver

problemas que se presenten ya que al realizar ejercicios de cilindros y

tanque etc., y otras formas geométricas nos servirá para determinar cuántas

cajas o bultos, etc. que pueden alcanzar en una almacenera o en cada uno

de los contenedores esto nos servirá al realizar prácticas o al momento de

emprender nuestro conocimientos a futuro.

ORGANIZADOR GRAFICO:

21

LONGITUD

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los

múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la

anterior, (Riley & Sturges, 2004).

LONGITUD

1 KM 100 M

1 M 100M, 1000MM

1 MILLA 1609M

1 PIE 30,48CM, 0,3048M

1 PULGADA 2,54CM

1 AÑO LUZ 9,46X1015M

TIEMPO.

El tiempo es la magnitud física con la que medimos la duración o separación

de acontecimientos sujetos a cambio, de los sistemas sujetos a observación,

esto es, el período que transcurre entre el estado del sistema cuando éste

aparentaba un estado X y el instante en el que X registra una variación

perceptible para un observador (o aparato de medida). El tiempo ha sido

frecuentemente concebido como un flujo sucesivo de situaciones

atomizadas, (López, March, García, & Álvarez, 2004).

MEDIDAS DEL TIEMPO

1 AÑO 365 DIAS

1 MES 30 DIAS

1SEMANA 7 DIAS

1 DIA 24 HR

1 HORA 60 MIN,3600SEG

1 MINUTO 60 SEG.

MASA Y PESO.

La masa es la única unidad que tiene este patrón, además de estar en

Sevres, hay copias en otros países que cada cierto tiempo se reúnen para

ser regladas y ver si han perdido masa con respecto a la original. El

kilogramo (unidad de masa) tiene su patrón en: la masa de un cilindro

fabricado en 1880, compuesto de una aleación de platino-iridio (90 % platino

22

- 10 % iridio), creado y guardado en unas condiciones exactas, y que se

guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Seres, cerca de

París, (Hewitt, 2004).

PESO

De nuevo, atención a lo siguiente: la masa (la cantidad de materia) de cada

cuerpo es atraída por la fuerza de gravedad de la Tierra. Esa fuerza de

atracción hace que el cuerpo (la masa) tenga un peso, que se cuantifica con

una unidad diferente: el Newton (N), (Torre, 2007).

SISTEMA DE CONVERSION DE MASA

1 TONELADA

1000 KG

1 QQ 4 ARROBAS, 100 L

1 ARROBA 25 L

1 KG 2,2 L

1 SLUG 14,58 KG

1 UTM 9,8 KG

1 KG 1000 GR

1 L 454 GR, 16 ONZAS

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TRABAJO # 2

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32

CONCLUSIÓN:

La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada

en una cierta unidad de medida, en otra equivalente. Este proceso suele

realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de

conversión del Sistema Internacional de Unidades.

Frecuentemente basta multiplicar por un factor de conversión y el resultado

es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades.

Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades

se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que

el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

Cuando se trabaja en la resolución de problemas, frecuentemente surge la

necesidad de convertir valores numéricos de un sistema de unidades a otro,

por lo cual es indispensable tener conocimientos sobre las equivalencias de

los diferentes sistemas de unidades que nos facilitan la conversión de una

unidad a otra, tomando en cuenta el país y la medida que se emplee en los

diferentes lugares.

RECOMENDACIÓN:

En toda actividad realizada por el ser humano, hay la necesidad de medir

"algo"; ya sea el tiempo, distancia, velocidad, temperatura, volumen,

ángulos, potencia, etc. Todo lo que sea medible, requiere de alguna unidad

con qué medirlo, ya que las personas necesitan saber qué tan lejos, qué tan

rápido, qué cantidad, cuánto pesa, en términos que se entiendan, que sean

reconocibles, y que se esté de acuerdo con ellos; debido a esto es

necesario tener conocimientos claros sobre el Sistema De Conversión De

Unidades pues mediante el entendimiento de este sistema o patrón de

referencia podremos entender y comprender con facilidad las unidades de

medida las cuales las podremos aplicar en la solución de problemas de

nuestro contexto.

33

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

MES DE MARZO-ABRIL

ACTIVIDADES M J V S D L M

Investigar sobre el Sistema Internacional de Unidades y la Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas

X X

Ejecución del Formato del Trabajo X

Resumen de los textos investigados X X

Finalización del Proyecto X

Presentación del Proyecto X

BIBLIOGRAFIA

Enríquez, H. (2002). Fundamentos de Electricidad. México: LIMUSA S.A.

Física, E. d. (1997). Brian Mckittrick. Madrid: Reverté S.A.

García, M. A. (2000). Estadística Avanzada con el Paquete Systat. Murcia:

I.S.B.N.

Hewitt, P. G. (2004). Física Conceptual. México: Pearson Educación S.A.

J.R, W. D. (20007). Ciencias e Ingenieria de las Materias .

Ledanois, J. M., & Ramos, A. L. (2002). Magnitudes, Dimensiones y

Conversiones de Unidades. Caracas: EQUINOCCIO.

López, J. C., March, S. C., García, F. C., & Álvarez, J. M. (2004). Curso de

Ingeniería Química. Barcelona: REVERTÉ S.A.

Pineda, L. (2008). matematicas.

Riley, W. F., & Sturges, L. F. (2004). ESTÁTICA. Barcelona: REVERTÉ.

LINKOGRAFIA:

34

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_fundamental#Unidades_en_el_Siste

ma_Internacional_de_Unidades_.28SI.29

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_%28matem%C3%A1tica%29

http://www.quimicaweb.net/ciencia/paginas/magnitudes.html

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/VolumenCilindro.htm

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/volum1.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/unidades/unidades.htm

ANEXOS:

1.- Investigar las medidas de un tráiler, de una mula y de un camión sencillo,

además las medidas de las cajas de plátano, manzanas, quintales de papa y

arroz. Con esa información calcular el número de cajas y quintales que

alcanzan en cada uno de los vehículos.

TRAILER MULA CAMION SENCILLO

Largo 14.30m Largo 8.27m Largo 10.80m

Ancho 2.45m Ancho 2.50m Ancho 2.60m

Alto 2.6m Alto 1.44m. Alto 4.40m

Medidas de las cajas:

Medidas de las cajas de plátano

LARGO ANCHO ALTO

20cm 51cm 34cm

Medidas de las cajas de manzana

7.5cm 9.5cm 7.5cm

35

Desarrollo:

36

a.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 91.09m3

b.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 9.11*10-05m3

c.

37

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

d.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

e.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 29.77m3

38

f.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 29.77m3

g.

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 29.77m3

.

h.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 9.11*10-05m3

39

i.

1 caja de plátano-----------------911*10-05m3

X 123.55m3

j.

1 caja de manzana-----------------5.3*108m3

X 123.55m3

k.

1 qq de papa-----------------0.05m3

X 123.55m3

40

.

l.

1 qq de arroz-----------------0.05m3

X 123.55m3

.

41

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES DEL PRIMER CAPÍTULO:

Tiempo Actividades

MARZO ABRIL MAYO

SEMANAS SEMANAS SEMANAS

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

PRIMERA CLASE

Competencia especifica (27-Marzo-2012)

X

Introducción de la Materia (27-Marzo-2012)

x

SEGUNDA CLASE

Sistema Internacional de Unidades (03-Abril-2012)

X

Tarea Sistema Internacional de Unidades. Entregar el 10 de abril del

2012

X

TERCERA CLASE

Aplicación de transformaciones (17 de abril del 2012)

X

Tarea Ejercicios de aplicación acerca del Sistema Internacional de unidades según las transformaciones (24 de abril del 2012)

X

CUARTA CLASE

Evaluación primer capitulo (03 de Mayo del 2012)

x

42

43

44

CAPITULO II

MARCO TEORICO:

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL

La correlación estadística determina la relación o dependencia que existe entre las

dos variables que intervienen en una distribución bidimensional. Es decir,

determinar si los cambios en una de las variables influyen en los cambios de la

otra. En caso de que suceda, diremos que las variables están correlacionadas o

que hay correlación entre ellas.

Una medida estadística ampliamente utilizada que mide el grado de

relación lineal entre dos variables aleatorias. El coeficiente de correlación

debe situarse en la banda de -1 a +1. El coeficiente de correlación se

calcula dividiendo la covarianza de las dos variables aleatorias por el

producto de las desviaciones típicas individuales de las dos variables

aleatorias. Las correlaciones desempeñan un papel vital en la creación de

carteras y la gestión de riesgos, (Weiers, 2006).

Comentario:

A una correlación se la puede apreciar con un grupo de técnicas

estadísticas empleadas para medir la intensidad de dicha relación entre dos

variables, en donde se deben identificar la variable dependiente y la

independiente.

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Representación gráfica del grado de relación entre dos variables cuantitativas.

45

Características principales

A continuación se comentan una serie de características que ayudan a

comprender la naturaleza de la herramienta.

Impacto visual

Un Diagrama de Dispersión muestra la posibilidad de la existencia de correlación

entre dos variables de un vistazo.

Comunicación

Simplifica el análisis de situaciones numéricas complejas.

Guía en la investigación

El análisis de datos mediante esta herramienta proporciona mayor información que

el simple análisis matemático de correlación, sugiriendo posibilidades y

alternativas de estudio, basadas en la necesidad de conjugar datos y procesos en

su utilización, (García, 2000).

Comentario:

El diagrama de dispersión sirve para una representación gráfica más fácil y

útil cuando se quiere describir el comportamiento de un conjunto de dos

variables, en donde aparece representado como un punto en el plano

cartesiano.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN RECTILINEA DE PEARSON

En estadística, el coeficiente de correlación de Pearson es un índice que mide la

relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la

covarianza, la correlación de Pearson es independiente de la escala de medida de

las variables.

46

De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de

Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de

dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.

El coeficiente de correlación es una medida de asociación entre dos

variables y se simboliza con la literal r; los valores de la correlación van de

+ 1 a - 1, pasando por el cero, el cual corresponde a ausencia de

correlación. Los primeros dan a entender que existe una correlación

directamente proporcional e inversamente proporcional, respectivamente,

(Willliams, 2008).

Comentario:

El coeficiente de correlación de Pearson nos da una idea de que tan

relacionadas están dos variables, este número varía entre 0 y 1; si el

coeficiente es > 0.9, entonces es una buena correlación y cuando un

coeficiente es < 0.3 indica que las variables no están correlacionadas entre

ellas y por lo que el 1 representa una correlación perfecta.

INTERPRETACIÓN DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación como previamente se indicó oscila entre –1 y +1

encontrándose en medio el valor 0 que indica que no existe asociación lineal entre

las dos variables a estudio. Un coeficiente de valor reducido no indica

necesariamente que no exista correlación ya que las variables pueden presentar

una relación no lineal como puede ser el peso del recién nacido y el tiempo de

gestación. En este caso el r infraestima la asociación al medirse linealmente. Los

métodos no paramétrico estarían mejor utilizados en este caso para mostrar si las

variables tienden a elevarse conjuntamente o a moverse en direcciones diferentes.

Como ya se ha planteado el grado de correlación mide la intensidad de

relación lineal, ya sea directa, inversa o inexistente entre dos variables, se

47

dice que es directa si tiene signo positivo, inversa de signo negativo y nula

cuando el valor sea aproximadamente igual a cero, (Anderson, 2005).

Comentario:

El coeficiente de correlación mide solo la relación con una línea recta, dos

variables pueden tener una relación curvilínea fuerte, a pesar de que su

correlación sea pequeña; por lo tanto cuando analicemos las relaciones

entre dos variables debemos representarlas gráficamente y posteriormente

calcular el coeficiente de correlación para un mejor entendimiento.

FORMULA

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Elegida una de las variables independientes y representadas los valores de la

variable bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la

forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión

lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente, tendremos a la

recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se

obtendrá la recta de regresión de X sobre Y.

Regresión Lineal Simple.- suponga que tenemos una única variable respuesta

cuantitativa Y, y una única variable predictora cuantitativa X. Para estudiar la

relación entre estas dos variables examinaremos la distribución condicionales de Y

dado X=x para ver si varían cuando varia x. (MORER, 2004)

48

COMENTARIO:

Podemos concluir diciendo que una de las variables independientes y

representadas los valores que mejor se adapta a la forma de la nube de

puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. A demás

el hecho de entender de que se trata una regresión lineal y saberla aplicar

relacionando dos variables nos será de mucha ayuda en nuestro futuro ya

que nos permitirá aplicar lo aprendido en problemas reales que se nos

presenten en nuestra vida profesional como por ejemplo el saber que tan

buena resulta una relación entre exportaciones e importaciones que el

Ecuador ha realizado y así con esto poder tomar decisiones.

CORRELACIÓN POR RANGOS

Cuando se obtienen datos en parejas, tales como observaciones de dos variables

para un mismo individuo, deseamos conocer si las dos variables están

relacionadas o no y de estarlo, el grado de asociación entre ellas.

Correlación Por Rangos.- Este coeficiente de Sperman, es muy utilizado en

investigaciones de mercado, especialmente cuando no se deben aplicar medidas

cuantitativas para ciertas características cualitativas, en aquellos casos , en donde

se pueden aplicar ambos coeficientes de correlación, encontraremos que sus

resultados son bastante aproximados. (BENCARDINO, 2006)

COMENTARIO:

Son datos en pareja para poder conocer la relación que existe entre ellas

para un solo individuo en común, y medir el grado de asociación entre ellas.

Esto es muy interesante ya que en un futuro nos ayudara en lo que nos

vamos a desarrollar que es un ambiente de negocios, ya que podemos

aplicar esta técnica estadística aprendida, y así poder solucionar problemas

que se nos presenten comúnmente y saber que tan buena es la relación

49

entre las dos variables propuestas es decir nos ayudara mucho ya que nos

dará una idea de que tan relacionadas linealmente están dos variables y si

su relación es positiva o negativa.

RANGO

La diferencia entre el menor y el mayor valor. En {4, 6, 9, 3, 7} el menor valor es 3,

y el mayor es 9, entonces el rango es 9-3 igual a 6. Rango puede significar

también todos los valores de resultado de una función.

Rango.- es una categoría que puede aplicarse a una persona en función de su

situación profesional o de su status social. Por ejemplo: “Tenemos que respetar el

rango del superior a la hora de realizar algún pedido”, “Diríjase a mi sin olvidar su

rango o será sancionado. (MORER, 2004)

COMENTARIO:

Rango es el valor que se diferencia entre el menor y el mayor valor. Rango

puede significar también todos los valores de resultado de una función, y se

puede así relacionar y correlacionar a dos variables para obtener resultados

que nos ayudan a la toma de decisiones. A demás un rango es importante

ya que nos permite la obtención de datos más exactos y pues con esto

nuestro trabajo se entonara de forma más real y sobre todo de forma más

precisa, y por ende tomaremos decisiones más acertadas.

COMENTARIO GENERAL:

La correlación y regresión lineal están estrechamente relacionadas entre si las

cuales nos ayudan a comprender el análisis de los datos muéstrales para saber

qué es y cómo se relacionan entre sí dos o más variables en una población que

deseemos estudiar para así poder determinar posibles resultados que nos darán

50

en un estudio de mercado por ejemplo ya que nuestra carrera de comercio exterior

está muy relacionada con ese ámbito.

La regresión lineal por otro lado nos permitirá graficar las dos variables a estudiar

determinando su situación y si es conveniente o no desarrollar lo propuesto o

investigado. La finalidad de una ecuación de regresión seria estimar los valores de

una variable con base en los valores conocidos de la otra.

Es decir en resumen que nos permitirá tomar decisiones acertadas dentro de un

estudio ya sea en una población que determinara el éxito o fracaso entre dos

variables a estudiar, y facilitara la recolección de información.

ORGANIZADOR GRAFICO:

CORRELACION Y REGRESION

LINEAL

ayuda a la toma de decisiones segun lo

resultante en la aplicacion de estos

grupodetécnicasestadísticasusadasparamedirlafuerzadelaasociaciónentredosvariable

s

se ocupa de establecer si existe una relación así como de determinar su magnitud y dirección mientras que la

regresión se encarga principalmente de utilizar a

la relación para efectuar una predicción.

determinar posibles resultados como por ejemplo del exito en

un estudi de mercado

permite evaluar decisiones que se

tomen en una poblacion

herramienta basica para estudios y

analisis que pueden determinar el exito o

fracaso entre dos opciones

51

TRABAJO #3

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

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67

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69

70

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78

79

80

81

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES:

Actividad

Días

Responsable

Mar, 08 Mié, 09 Jue, 10 Vie,11 Sáb,12 Dom,13 Lun,14 Mar,15 Mié,16 Jue,17

Copias Tamara

Apraez, Diana

Coral, Diana

García, Tania

Herrera.,

Janeth Reina

Iniciar con

los

ejercicios

Tamara

Apraez, Diana

Coral, Diana

Garcia, Tania

Herrera.,

Janeth Reina

Terminar los

ejercicios

Tamara

Aprez, Diana

Coral, Diana

García, Tania

Herrera.,

Janeth Reina

Prueba Tamara

Aprez, Diana

Coral, Diana

Garcia, Tania

Herrera.,

Janeth Reina

82

ANEXOS:

Ejemplo 1:

La siguiente tabla representa las puntuaciones de 7 sujetos en dos variables X e

Y.

X: 6 3 7 5 4 2 1

Y: 7 6 2 6 5 7 2

Calcule:

a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

b. La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas

c. La varianza de Y ( ), la varianza de las puntuaciones pronosticadas ( )

y la varianza error (

a)

X Y XY X2 Y2

6 3 7 5 4 2 1

7 6 2 6 5 7 2

42 18 14 30 20 14 2

36 9

49 25 16 4 1

49 36 4

36 25 49 4

28 35 140 140 203

83

b)

c)

Ejemplo 2:

Se tienen los datos conjuntos de dos variables, X e Y, con los valores que se

muestran en la tabla:

X: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13

Y: 1; 4; 6; 6; 7; 8; 10

a. Si utilizamos la variable X como predictora de la variable Y, ¿qué porcentaje

de variabilidad de Y no puede ser explicada por la variabilidad de X?.

b. ¿Qué valor pronosticaríamos en la variable Y, si en la variable X obtenemos

un valor de 10?

c. Suponiendo que no dispusiéramos de la información relativa a la variable X,

¿qué valor pronosticaríamos para la variable Y? (Razone su respuesta).

84

a) Completamos la siguiente tabla:

X Y XY X2 Y2

1 1 1 1 1

3 4 12 9 16

5 6 30 25 36

7 6 42 49 36

9 7 63 81 49

11 8 88 121 64

13 10 130 169 100

49 42 366 455 302

El cuadrado del coeficiente de correlación (coeficiente de determinación) se

interpreta como proporción de varianza de la variable Y que se explica por las

variaciones de la variable X. Por tanto: es la proporción de varianza no

explicada. Esta proporción multiplicada por 100 es el tanto por ciento o porcentaje.

b) Aplicamos la ecuación de regresión de Y sobre X: Y= b.X + a. Siendo b la

pendiente y ala ordenada cuyas expresiones aparecen entre paréntesis.

85

c) Le pronosticaríamos la media, porque no disponiendo información de la variable

X es con el que cometemos menos error de pronóstico.

Ejemplo 3:

Elección de la prueba estadística para medir la asociación o correlación. Las

edades en días están en escala de tipo intervalo, tenemos dos variables, entonces

aplicamos esta prueba.

Objetivo: Conocer qué grado de asociación existe entre la edad y peso corporal de

niños de edades desde el nacimiento hasta los 6 meses.

Hipótesis.

Entre las observaciones de edad de los niños y peso corporal existe correlación

significativa.

Ho. Entre las observaciones de edad de los niños y pero corporal no existe

correlación significativa.

86

Ejemplo 4:

Se ha evaluado a 7 sujetos su inteligencia espacial (variable X) y sus

puntuaciones fueron: 13, 9, 17, 25, 21, 33, 29. Además se les pidió a los sujetos

que reconocieran un conjunto de figuras imposibles (variable Y). Después de

calcular la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X, se sabe que

87

para una puntuación típica de 1,2 en X se pronosticaría una puntuación típica de

0,888 en Y. También se sabe que la desviación típica de las puntuaciones

pronosticadas para Y es 11,1. Con estos datos calcular:

a. El coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

Sujeto Xi

1 13 169

2 9 81

3 17 289

4 25 625

5 21 441

6 33 1089

7 29 841

Sumatorio 147 3535

a. La ecuación de regresión en puntuaciones diferenciales para pronosticar Y

a partir de X

88

a. La varianza de los errores del pronóstico.

Ejemplo 5:

De dos variables X e Y, y para un grupo de 5 sujetos, se saben los siguientes

datos que se muestran en la tabla:

Calcular:

a) Recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas.

89

b) Coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y

c) La varianza de las puntuaciones pronosticadas.

EJEMPLO 6:

Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El

Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis

de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el

país de importación.

Empresas

Valor de los transformadores

x

Unidades posibles a vender

y

X2

Y2

XY

1

2

3

4

5

1800

1500

1200

900

850

100

98

80

62

58

3.240.000

2.250.000

1.440.000

810.000

722.500

10.000

9.604

6.400

3.844

3.364

180.000

147.000

96.000

55.800

49.300

∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy=

528.100

Fórmula:

90

Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la

empresa importadora.

EJEMPLO 7:

Se desea importar desde el país de Colombia transformadores eléctricos. El

Ecuador tiene las cotizaciones de cinco empresa diferentes, y se hace el análisis

de cual empresa es la más conveniente, y las unidades que se va a vender en el

país de importación.

91

Empresas

Valor de los transformadores

x

Unidades posibles a vender

y

X2

Y2

XY

1

2

3

4

5

1800

1500

1200

900

850

100

98

80

62

58

3.240.000

2.250.000

1.440.000

810.000

722.500

10.000

9.604

6.400

3.844

3.364

180.000

147.000

96.000

55.800

49.300

∑x = 6.250 ∑y = 398 ∑x2=8.462.500 ∑y2=33.212 ∑xy=

528.100

Fórmula:

Análisis: si se obtiene ese porcentaje se puede lograr una venta exitosa para la

empresa importadora.

92

EJEMPLO 8:

La empresa MIDECAR ha clasificado como mercancías de mayor responsabilidad

las mercancías peligrosas y frágiles obteniendo así los siguientes datos

mensuales sobre las toneladas de mercancías que ingresan sobre este tipo:

MESES Mercancías

Peligrosas

Mercancías

Frágiles

x y x^2 y^2 xy

Enero 189 85 35721 7225 16065,00

Febrero 105 96 11025 9216 10080,00

Marzo 125 78 15625 6084 9750,00

Abril 116 48 13456 2304 5568,00

Mayo 124 98 15376 9604 12152,00

659 405 91203 34433 53615

93

94

La relación que existe dentro de las mercancías frágiles y peligrosas tiende a

positiva como lo demuestra el resultado numérico coma la formula y al grafica

respecto al eje x y eje y.

EJEMPLO 9:

3. De una determinada empresa Exportadora de Plátano se conocen los

siguientes datos, referidos al volumen de ventas (en millones de dólares) y al

gasto en publicidad ( en miles de dólares) de los últimos 6 años:

a) ¿Existe relación lineal entre las ventas de la empresa y sus gastos en

publicidad?

95

ANALISIS: En este caso r es 0.304 por tanto existe correlación ordinal positiva y

es imperfecta, es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.

EJEMPLO 10:

La empresa FERRERO desea importar nueces desde Colombia por lo cual no

está seguro que empresa de transporte contratar para la mercancía de acuerdo a

esto esta empresa decide verificar los rendimientos que han tenido estas

empresas en el transporte por lo cual ha hecho una investigación de mercado y a

obtenido los siguientes resultados.

96

EMPRESAS DE

TRANSPORTE

CALIDAD DE

SERVICIO (X)

RENDIMIENTO

(Y)

XY

TRANSCOMERINTER

TRANSURGIN

TRANSBOLIVARIANA

SERVICARGAS

19

17

16

14

46

44

40

30

361

289

256

196

2116

1936

1600

900

874

748

640

420

66 160 1102 6552 2682

r

r=

r= 0,038

Es una relación positiva pero se podría decir que la empresa no podrá depender

de las dos variables ya que no son muy dependientes el uno del otro.

97

EJEMPLO 11:

Se está efectuando un proyecto de investigación en una empresa para determinar

si existe relación entre los años de servicio y la eficiencia de un empleado. El

objetivo de estudio fue predecir la eficiencia de un empleado con base en los años

de servicio. Los resultados de la muestra son:

0

1

2

3

4

5

6

7

0 5 10 15 20 25

Empleados

Años de Servicio

“X”

Puntuación de eficiencia

“Y”

XY

X2

Y2 Y` A 1 6 6 1 36 3.23 B 20 5 100 400 25 4.64 C 6 3 18 36 9 3.61 D 8 5 40 64 25 3.77

E 2 2 4 4 4 3.31

F 1 2 2 1 4 3.23 G 15 4 60 225 16 4.30 H 8 3 24 64 9 3.77

61 30 254 795 128

98

r = .3531

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

b = 202 = .0765

2639

a = 3.75 - .0765 (7.625) = 3.16

( y - y )2 ( y - y´ )2

5.0625 7.6729

1.5625 0.0961

0.5625 0.3721

1.5625 1.5129

3.0625 1.7161

3.0625 1.5129

99

0.0625 0.09

0.5625 0.5929

r2 = 15.5 - 13.5659 = 0.1247 = 0.1247

EJEMPLO 12:

Un analista de operaciones de comercio exterior realiza un estudio para analizar la

relación entre la producción y costos de fabricación de la industria electrónica. Se

toma una muestra de 10 empresas seleccionadas de la industria y se dan los

siguientes datos:

EMPRESA MILES DE

UNIDADES x MILES DE

$ y XY X2 Y2

A 40 150 6000 1600 22500

B 42 140 5880 1764 19600

C 48 160 7680 2304 25600

D 55 170 9350 3025 28900

E 65 150 9750 4225 22500

F 79 162 12798 6241 26244

G 88 185 16280 7744 34225

H 100 165 16500 10000 27225

I 120 190 22800 14400 36100

J 140 185 25900 19600 34225

Σx 777 Σy 1657 Fxy 132938 Σx2 70903 Σy 2 277119

100

r = 1´329,380 - 1´287,489 =

[709030 - 603729][2771190 - 2745949]

r = ___41891 = r= _41891__ = 0.8078

(105301) (25541) 51860.32

DESVIACION ESTANDAR

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

101

Syx = (277119) - 134.7909 (1657) - (.3978) (132.938)

10 - 2

Syx = 10.53

MARCO TEORICO:

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL

La correlación y la regresión están muy relacionadas entre sí. Ambas implican la

relación entre dos o más variables. La correlación se ocupa principalmente. De

establecer si existe una relación, así como de determinar su magnitud y dirección,

mientras que la regresión se encarga principalmente de utilizar a la relación. En

este capítulo analizaremos la correlación y más adelante la regresión lineal

Relaciones;

La correlación se ocupa de establecer la magnitud y la dirección de las relaciones.

Analizaremos algunas características importantes generales de estas con las que

comprenderemos mejor este tema.

Relaciones lineales:

Veamos una relación lineal entre dos variable. La siguiente tabla nos muestra el

salario mensual que percibieron cinco agentes de ventas y el valor en dólares de

las mercancías vendidas por cada uno de ellos en ese mes.

102

Agente variable X mercancía vendida ($) Y variable salario ($)

1 0 500

2 1000 900

3 2000 1300

4 3000 1700

5 4000 2100

Podemos analizar mejor la relación entre estas variables. Si trazamos una grafica

trazamos los valores XyY, para cada agente de ventas, como los puntos de dicha

grafica. Sería una grafica de dispersión o de dispersigrama.

La grafica de dispersión para los datos de los agentes de ventas aparece en el

cuadro.

Una relación lineal.- entre dos variables, es aquella que puede representarse con

la mejor exactitud mediante una línea recta.

Problema de que ambos tienen escalas muy diferentes. Como mencionamos

anteriormente podemos resolver esta dificultad al convertir cada calificación en su

valor Z transformado, lo cual colocaría a ambas variables en la misma escala, en

la escala Z.

Para apreciar la utilidad de los puntajes Z en la determinación de la correlación,

consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el supermercado de su

barrio está vendiendo naranjas, las cuales ya están empacadas; cada bolsa tiene

marcado el precio total. Ud. quiere saber si existe una relación entre el peso de las

naranjas de cada bolsa y su costo. Como Ud. Es investigador nato, elige al azar

seis bolsas y la pesa, de hecho están relacionadas estas variables. Existe una

correlación positiva perfecta entre el costo y el peso de las naranjas. Asi el

coeficiente de correlación debe ser igual a + 1.

Para utilizar esta ecuación primero hay que convertir cada puntaje en bruto en su

valor transformado. Esto puede tardar mucho tiempo y crear errores de redondeo

103

con alguna algebra, esta ecuación se puede transformar en una ecuación de

cálculo que utilice datos en bruto:

Ecuación para el cálculo de la r de pearson

r

Donde es la suma de los productos de cada pareja XyY

también se llama la suma de los productos cruzados.

Datos hipotéticos a partir de cinco sujetos:

SUBJETIVO X Y X2 Y2 XY

A 1 2 1 4 2

B 3 5 9 25 15

C 4 3 16 9 12

D 6 7 36 49 42

E 7 5 49 25 35

TOTAL 21 22 111 112 106

104

r

r

PROBLEMA DE PRÁCTICA:

Tenemos una relación lineal imperfecta y estamos interesados en calcular la

magnitud y dirección de la magnitud y dirección de la relación mediante la r

Pearson.

# de

estudiantes

IQ

(promedio de

calificaciones)

Promedio

de datos

Y

X2 Y2 XY

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

TOTAL

110 112 118 119 122 125 127 130 132 134 136 138

1503

1.0 1.6 1.2 2.1 2.6 1.8 2.6 2.0 3.2 2.6 3.0 3.6

27.3

12.100 12.544 13.924 14.161 14.884 15.625 16.129 16.900 17.424 17.956 18.496 19.044

189.187

1.00 2.56 1.44 4.41 6.76 3.24 6.76 4.00

10.24 6.76 9.00

12.96 69.13

110.0 179.2 141.6 249.9 317.2 225.0 330.2 260.0 422.4 384.4 408.0 496.8

3488.0

105

r

r

Una segunda interpretación de la r de pearson es que también se puede

interpretar en términos de la variabilidad de Y explicada por medio de X. este

punto de vista produce más información importante acerca de r y la relación entre

X y Y en este ejemplo la variable X representa una competencia de ortografía y la

variable Y la habilidad de la escritura de seis estudiantes de tercer grado. Suponga

que queremos que queremos predecir la calificación de la escritura de Esteban, el

estudiante cuya calificación en ortografía es de 88.

Para calcular la r de Pearson para cada conjunto. Observe que en el conjunto B,

donde la correlación es menor, a algunos de los valores

r=

Son positivos y otros son negativos. Estos tienden a cancelarse entre si, lo

cual hace que r tenga una menor magnitud. Sin embargo, en los conjuntos A y C

todos los productos tienen el mismo signo, haciendo que la magnitud de r

aumente. Cuando las parejas de datos ocupan las mismas u opuestas posiciones

106

dentro de sus propias distribuciones, los productos tienen el mismo signo, la

cual produce una mayor magnitud de r

Calculando r utilizando para el conjunto B, utilizando la ecuación para los datos en bruto

¿Qué quiere utilizar la ecuación de los datos en bruto o la los puntajes z?

Sume la constante 5 de los datos X en el conjunto A y calcule r de nuevo, mediante la

ecuación de datos en bruto ¿ha cambiado el valor?

Construya una grafica de dispersión para las parejas de datos.

Sería justo decir que este es un examen confiable

Un grupo de investigadores a diseñado un cuestionario sobre la tensión, consistente en

quince sucesos. Ellos están interesados en determinar si existe una coincidencia entre

dos culturas acerca de la cantidad relativa de ajustes que acarrea cada suceso. El

cuestionario se aplica a 300 estadounidenses y 300 italianos. Cada individuo debe utilizar

el evento “matrimonio” como estándar y juzgar los demás eventos en relación con el

ajuste necesario para el matrimonio recibe un valor arbitrario de 50 puntos. Si se

considera un evento requiere de más ajustes que el matrimonio, el evento debe recibir

más de 50 puntos. el número de puntos excedentes depende de la cantidad de ajustes

requeridos. Después de cada sujeto de cada cultura ha asignado de puntos a todos los

eventos, se promedian los puntos de cada evento. Los resultados aparecen en la

siguiente tabla.

EVENTOS

ESTADOUNIDENSES

ITALIANOS

Muerte de la esposa 100 80

Divorcio 73 95

Separación de la pareja 65 85

Temporada en prisión 63 52

Lesiones personales 53 72

Matrimonio 50 50

107

Despedido del trabajo 47 40

Jubilación 45 30

Embarazo 40 28

Dificultades sexuales 39 42

Reajustes económicos 39 36

Problemas con la

familia política

29 41

Problemas con el jefe 23 35

Vacaciones 13 16

Navidad 12 10

a. Suponga que los datos tienen al menos una escala de intervalo y calcule la

correlación entre los datos de los estadounidenses y la de los italianos

b. Suponga que los datos solo tienen una escala ordinal y calcule la correlación entre

los datos de ambas culturas

INDIVIDUO EXAMEN CON

LÁPIZ Y PAPEL

PSIQUIATRA

A

PSIQUIATRA

B

1 48 12 9

2 37 11 12

3 30 4 5

4 45 7 8

5 31 10 11

6 24 8 7

7 28 3 4

108

8 18 1 1

9 35 9 6

10 15 2 2

11 42 6 10

12 22 5 3

un Psicólogo ha construido un examen lápiz-papel, a fin de medir la depresión. Para

comparar los datos de los exámenes con los datos de los expertos, 12 individuos “con

perturbaciones emocionales” realizan el examen lápiz-papel. Los individuos son

calificados de manera independiente por los dos psiquiatras, de acuerdo con el grado de

depresión determinado para cada uno como resultado de las entrevistas detalladas. Los

datos aparecen a continuación.

Los datos mayores corresponden a una mayor depresión.

a. ¿Cuál es la correlación de los datos de los dos psiquiatras?

b. ¿Cuál es la correlación sobre las calificaciones del examen de lápiz y papel de

cada psiquiatra?

Para este problema, suponga que Ud. Es un psicólogo que labora en el departamento de

recursos humanos de una gran corporación. El presidente de la compañía acaba de

hablar con Ud. Acerca de la importancia de contratar personal productivo en la sección de

manufactura de la empresa y le ha pedido que ayude a mejorar la capacidad de la

institución para hacer esto. Existen 300 empleados en esta sección y cada obrero fabrica

el mismo artículo. Hasta ahora la corporación solo ha recurrido a entrevistas para elegir a

estos empleados. Ud. Busca bibliografía y descubre dos pruebas de desempeño lápiz y

papel, bien estandarizadas y piensa que podrían estar relacionadas con los requisitos de

desempeño de esta sección. Para determinar si alguna de ellas se puede usar como

dispositivo de selección elige a 10 empleados representativos de la sección de la

manufactura, garantizando que una amplio rango de desempeño quede representado en

109

la muestra y realiza las dos pruebas con cada empleado por semana, promediando

durante los últimos seis meses.

Desempeño

en el

trabajo

Examen 1

Examen 2

1

50

10

25

2

74

19

35

3

62

20

40

4

90

20

49

5

98

21

50

6

52

14

29

7

68

10

32

8

80

24

44

9

88

16

46

10

76

14

35

CORRELACIÓN

4.1.1. TÉCNICAS DE CORRELACIÓN

En los capítulos anteriores, ustedes estudiaron las distribuciones de una sola

variable. A continuación abordaremos el estudio de dos variables y no solamente

de una. Particularmente estudiaremos qué sentido tiene afirmar que dos variables

están relacionadas linealmente entre si y cómo podemos medir esta relación

lineal.

4.1.2. RELACIONES LINEALES ENTRE VARIABLES

Supongamos que disponemos de dos pruebas siendo una de ellas una prueba de

habilidad mental y otra una prueba de ingreso a la Universidad. Seleccionemos

cinco estudiantes y presentemos en la tabla Nº 4.1.1 los puntajes obtenidos en

estas dos pruebas.

110

Tabla Nº 4.1.1

Estudiantes X

Prueba de habilidad

mental

Y

Examen de Admisión

María 18 82

Olga 15 68

Susana 12 60

Aldo 9 32

Juan 3 18

La tabla nos dice que si podemos hacer tal suposición ya que los estudiantes con

puntajes altos en la prueba de habilidad mental tienen también un puntaje alto en

el examen de admisión y los estudiantes con puntaje bajo en la prueba de

habilidad mental. Tienen también bajo puntajes en el examen de admisión. En

circunstancia como la presente (cuando los puntajes altos de una variable están

relacionados con los puntajes altos de la otra variable y los puntajes) afirmaríamos

que hay una relación lineal positiva entre las variables, entonces podemos definir

una relación lineal positiva entre ese conjunto de pares valores X y Y, tal la

muestra la tabla N º 4.1.1

Supongamos que en lugar de los resultados de la tabla Nº 4.1.1, hubiéramos

obtenido los puntajes que se muestran en la tabla Nº 4.1.2 ¿podríamos afirmar

que en esta situación los puntajes de la prueba de habilidad mental pueden usarse

para pronosticar los puntajes del examen de admisión? También, aunque en este

caso mostramos una relación contraria a la que ocurre en la realidad ya que los

sujetos con puntajes altos en el test de habilidad mental aparecen con puntajes

bajos en el examen de admisión y los sujetos con puntajes bajos en el test de

habilidad mental presentan los puntajes altos en el examen de admisión, entonces

111

podemos definir una relación lineal negativa entre un conjunto de pares valores X

y Y (tal como en la tabla Nº 4.1.2) es decir, los puntajes altos de X están

apareados con los puntajes bajos de Y y los puntajes bajos de X están apareados

con los puntajes de Y.

Tabla Nº 4.1.2

Estudiantes X Prueba de habilidad

mental

Y Examen de Admisión

María 18 18

Olga 15 32

Susana 12 60

Aldo 9 68

Juan 3 82

Tabla Nº 4.1.3

Estudiantes X Prueba de habilidad

mental

Y Examen de Admisión

María 18 18

Olga 15 82

Susana 12 68

Aldo 9 60

Juan 3 32

Examinemos ahora la tabla Nº 4.1.3. En este casi ya no podemos afirmar que los

puntajes de la prueba de habilidad mental sirvan para pronosticar los puntajes del

examen de admisión, ya que unos puntajes bajos del examen de admisión y

algunos puntajes bajos del test de habilidad mental están apareados con otros

112

puntajes altos del examen de admisión, entonces en este caso, decimos que no

existe una relación lineal entre las variables X y Y.

4.1.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

En las situaciones que se presentan en la vida real no tenemos solamente cinco

parejas de valores para ambas variables, sino muchísimas parejas. Otra forma

alternativa de ver si existe o no relación lineal entre dos variables seria hacer una

grafica de los valores X y Y en un sistema de coordenadas rectangulares, este tipo

de gráfica es conocido con el nombre de diagrama de dispersión, gráfico de

dispersión o nube de puntos. Dibujemos el diagrama que corresponde a la Tabla N

º 4.1.1. Lo haremos haciendo corresponder a cada valor de la variable

independiente X, un valor de la variable dependiente Y, es decir, para la alumna

Susana haremos corresponder du puntaje en la prueba de habilidad mental (12)

con su puntaje de la prueba de admisión (60); al alumno Juan le hacemos

corresponder su puntaje del test de habilidad mental (3) con su puntaje del

examen de admisión (18). Luego ubicaremos los cinco pares de puntajes en el

sistema de ejes rectangulares y obtendremos los gráficos Nº 4.1.1 y Nº 4.1.2

Observemos en el gráfico Nª 4.1.1 que la tabla Nª 4.1.1. Es descrita por el

diagrama de dispersión. Vemos en este gráfico que los cinco puntos dan la

sensación de ascender en línea recta de izquierda a derecha. Esto es

característico en datos en los que existe una relación lineal positiva. Aunque estos

cinco datos no configuren una línea recta en forma perfecta. Se puede trazar una

línea recta que describa que estos puntos en forma bastante aproximada

conforme se ve en el gráfico Nª 4.1.2 y por esto decimos que la relación es lineal.

Si ocurre que todos los puntos de la gráfica de dispersión están incluidos en una

sola línea en forma exacta afirmamos que la relación lineal es perfecta. El grado

en que se separan los puntos de una sola línea recta nos da el grado en que la

relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos se encuentran en una

113

sola línea decimos que la relación lineal no es perfecta. Así cuando menos puntos

se encuentran en una sola línea decimos que la relación lineal entre las dos

variables es menos fuerte y cuando más puntos queden incluidos en una línea

recta afirmamos que la relación lineal es más fuerte.

GRÁFICO Nª 4.1.1.

114

Usando los datos de una tabla Nº 4.1.2 y utilizando la misma forma de razonar

empleada hasta ahora podemos construir el correspondiente gráfico de dispersión,

tal como se muestra en el gráfico Nº 4.1.3.

Podemos observar en el gráfico Nº 4.1.4. que la nube de puntos de la gráfica

pueden delinearse bien por una línea recta, lo que nos indica que hay una relación

lineal entre las dos variables X y Y Vemos también que la línea desciende de

izquierda a derecha (tienen pendiente negativa) por lo que decimos que la relación

lineal entre las dos variables es negativa.

Si tenemos en cuenta la tabla Nº 4.1.3 podemos obtener una figura como se

muestra en la gráfica Nº 4.1.5 Notamos, en esta situación, que resultará inútil

cualquier línea recta que trate describir adecuadamente este diagrama de

dispersión.

Diagrama de Dispersión

Y

80

70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

115

GRÁFICO Nº 4.1.4.

Diagrama de Dispersión aproximado por una línea recta

4.1.4 COEFICIENTE DE CORRELACIONE RECTILINEA DE PEARSON

Con ayuda de las gráficas nos podemos formar una idea si la nube de puntos, o

diagrama de dispersión, representa una reacción lineal y si esta relación lineal es

positiva o negativa, pero con la sola observación de la gráfica no podemos

cuantificar la fuerza de la relación, lo que si conseguiremos haciendo uso del

coeficiente r de Pearson.

El coeficiente de correlación r de Pearson, toma valores comprendidos entre 1 y +

pasando por 0. El número -1 corresponde a una correlación negativa perfecta (los

puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando perfectamente

una línea recta). El numero +1 corresponde a una correlación positiva perfecta.

(los puntos del diagrama de dispersión deben encontrarse formando

perfectamente una línea recta). El coeficiente de correlación r=0 se obtiene

80

70

60

50

40

30

20

10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 X

116

cuando no existe ninguna correlación entre las variables. Los valores negativos

mayores que -1 indican una correlación negativa y los valores positivos menores

que 1 indican una correlación positiva.

Referente a la magnitud de r podemos decir que independientemente del signo,

cuando el valor absoluto de r esté más cercana de 1, mayor es la fuerza de la

correlación, es así que -0,20 y +0.20 son iguales en fuerza (ambos son dos

valores débiles) los valores -0.93 y +0.93 también son iguales en fuerza (ambos

son dos valores fuertes).

Cálculo del Coeficiente r de Pearson utilizando una máquina calculadora

cuando los datos no son muy numerosos.

Dadas dos variables X y Y con sus respectivos valores. En la Tabla podemos

calcular el coeficiente de Pearson con una máquina calculadora mediante la

siguiente fórmula.

Tabla Auxiliar 4.1.4.

(1) x

(2) Y

(3) X^2

(4) Y^2

(5) XY

18 82 324 6724 1476

15 68 225 4624 1020

12 60 144 3600 720

9 32 81 1024 288

3 18 9 324 54

∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y

2 =16296 ∑XY =3558

En las columnas (1) y (2) se han escrito los valores de X y Y. En la columna (3) se

han elevado al cuadrado los valores de X. En la columna (4) se han elevado al

117

cuadrado los valores de Y. En la columna (5) se ha efectuado el producto de cada

pareja de valores X y Y. Aplicando los datos en la fórmula 4.1.1., se tiene:

INTERPRETACIONES DE UN COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

¿Qué tan elevado es un coeficiente de correlación dado? Tofo coeficiente de

correlación que no sea cero indica cierto grado de relación entre dos variables.

Pero es necesario examinar más esta materia, porque el grado de intensidad de

relación se puede considerar desde varios puntos de vista. No se puede decir que

un r de 0,50 indique una relación dos veces más fuerte que la indicada por un r de

0, 25. Ni se puede decir tampoco que un aumento en la correlación de r = 0,40 a r

= 0,60 equivalga a un aumento de r = 0,70 a r = 0,90. Es de observar que una

correlación de 0,60 indica una relación tan estrecha como una correlación de +

0,60. La relación difiere solamente en la dirección.

Siempre que éste establecido fuera de toda duda razonable una relación entre dos

variables, el que el coeficiente de correlación sea pequeño puede significar

únicamente que la situación medida está contaminada por algún factor o factores

no controlados. Es fácil concebir una situación experimental en la cual, si se han

mantenido constantes todos los factores que o sean pertinentes, el r podría haber

sido 1 en lugar de 0,20. Por ejemplos: generalmente la correlación entre la

118

puntuación de aptitud y el aprovechamiento académico es 0,50 puesto que ambos

se miden en una población cuyo aprovechamiento académico también es

influenciable por el esfuerzo, las actitudes, las peculiaridades de calificación de los

profesores, etc. Si se mantuvieran constantes todos os demás factores

determinantes del aprovechamiento y se midieran exactamente la aptitud y las

notas, el r seria 1 en vez de 0,50.

Una conclusión práctica respecto a la correlación es que ésta es siempre relativa a

la situación dentro de la cual se obtiene y su magnitud no representa ningún

hecho natural absoluto. El coeficiente de correlación es siempre algo puramente

relativo a las circunstancias en que se ha obtenido y se ha de interpretar a la luz

de esas circunstancias y sólo muy rara vez en algún sentido absoluto.

Además podemos agregar que la interpretación de un coeficiente de correlación

como de medida del grado de relación lineal entre dos variables es una

interpretación matemática pura y está completamente desprovista de

implicaciones de causa y efecto. El hecho de que dos variables tiendan a

aumentar o disminuir al mismo tiempo no implica que obligadamente una tenga

algún efecto directo o indirecto sobre la otra.

A continuación calcularemos con la fórmula antes indicada el coeficiente de

PEARSON de la relación presentada en la tabla.

Cuadro Auxiliar 4.1.5.

(1) x

(2) Y

(3) X^2

(4) Y^2

(5) XY

18 18 324 324 324

15 32 225 1024 480

12 60 144 3600 720

9 68 81 4624 612

3 82 9 6724 246

∑X = 57 ∑Y = 260 ∑X2 =783 ∑Y

2 =16296 ∑XY =2382

119

Vemos que la correlación es fuerte y negativa.

Ahora calculemos con la misma fórmula de Pearson Nº 4.1.1. El Coeficiente de

Correlación lineal con los datos de la tabla nº 4.1.3.

Cuadro Auxiliar Nº 4.1.6

(1) x

(2) Y

(3) X^2

(4) Y^2

(5) XY

18 18 324 324 324

15 82 225 6724 1230

12 68 144 4624 816

9 60 81 3600 540

3 32 9 1024 96

∑X=57 ∑Y=260 ∑X2=783 ∑Y2=16296 ∑XY=3006

La correlación es muy débil y positiva.

120

CORRELACIÓN ENTRE DOS CONJUNTOS DE DATOS AGRUPADOS EN

CLASES

El presente tema nos conduce a calcular el coeficiente de correlación r, que nos

proporciona información de la fuerza de la relación que existe entre dos

conjuntos.

Ejemplo: calcular el grado de correlación entre las puntuaciones obtenidas en

inventario de hábitos de estudio y los puntajes obtenidos de un examen

matemático, aplicados a un total de 134 alumnos de un colegio de la localidad.

^-^X Hábitos de Y ^\esiudio

Matemáticas^

20 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 Total fy

70 -* 80 3 2 2 7

60 -> 70 1 0 4 5 10

50 ~» 60 2 6 16 3 27

40 50 4 14 19 10 47

30 >-'■» 40 7 15 6 0 28

20 M 30 8 2 0 1 t 1

10 20 1 1 2 4

Total f. 23 40 48 23 134

Podemos notar que el problema no es tan simple, como el casa anterior, dado,

que ahora los datos se han clasificado en una tabla de doble entrada N" 4.1.7.

Este): cuadro muestra, en la primera columna del lado izquierdo los intervalos de

clase 0» la variable Y, los que cubren todos los posibles datos acerca de las

puntuaciones! alcanzadas por los estudiantes en la prueba de Matemática.

Nótese que los in te rva los los crecen de abajo hacia arriba. En la fila superior

se presentan les intervalos <%

121

Dentro del cuadro en los casilleros interiores o celdas de la tabla, se encuentran

las frecuencias de celda que correspondan a puntajes que pertenecen tanto a un

intervalo de la variable Y como un intervalo de la variable X.

La fórmula que utilizaremos es la siguiente

Para obtener los datos que deben aplicarse en la formula vamos a construir el

cuadro auxiliar al mismo tiempo que se explica el significado de los símbolos de

esa formula

Lo primero que hacemos es reemplazar los intervalos horizontales y verticales por

sus respectivas marcas de clase a continuación adicionalmente al cuadro N4.1.7

cinco columnas por el lado derecho, cuyos encabezamientos son : f para la

primera.

1) Para determinar las frecuencias marginales que se deben colocar en la

columna f sumamos las frecuencias de las celdas que están en la misma

fila de la marca de clase 75, obtenemos 3+2+2=7, numero que se escribe

en el primer casillero o celda de la columna f. en la fila de la marca de

clase 65 sumamos 1+4+5=10 numero que se escribe debajo del 7.

2) Ahora vamos a determinar las frecuencias marginales de la variable x: en

la columna encabezada con la marca de clase 25 sumemos verticalmente

las frecuencias 1+2+4+7+8+1=23

3) Centremos nuestra atención en la columna encabezada u, este signo

significa desviación estándar y procedemos a la misma forma en las tablas.

Recuerden que las desviaciones unitarias positivas: +1+2 y negativas : -1-2

y -3 corresponden a los intervalos menores.

4) Luego vamos a determinar las desviaciones unitarias horizontales de la

variable X. el origen de trabajo es la marca de clase 45 que se halla en la

fila superior del cuadro , por esa razón , escribimos cero debajo de la

frecuencia marginal 48.

122

5) A continuación vamos a determinar los valores que deben colocarse en la

columna encabezada. Para obtener los valores de la cuarta columna

encabezada debemos tomar en cuenta que por lo tanto basta multiplicar

cada valor de la segunda columna por su correspondiente valor de la

tercera columna así se obtiene el respectivo valor de la cuarta columna. En

efecto:

(3)(21)=63 (20)(20)=40(+1)(27)=27; 00*00=0; (-1)(-28)=28; (-2)(-22)=44 y (-

3)(-12)=36

La suma 63+40+27+28+44+36=238

Ahora nos fijamos horizontalmente en la tercera fila. Tenemos que (f)(u)=fu

por consiguiente basta multiplicar verticalmente un valor de la primera fila por

su correspondiente valor de la primera fila por su correspondiente valor de la

segunda fila para obtener el respectivo valor de la tercera fila.

(23)(-2)=-46; (40)(-1)=-40; (48)(0)=0 y (23)(+1)=23

Sumando horizontalmente:

(-46)+ (-40)+ (23)=-86+23=-63

Vamos por la cuarta fila vemos que u (fu)= Fu2 luego basta multiplicar cada

elemento de la segunda fila por su correspondiente elemento de la tercera fila

por su correspondiente elemento de la tercera fila para obtener el respectivo

elemento de la cuarta fila así:

(-2)(-46)=9; (-1)(-40)=40; 0*0=0y (+1)(23)=23

Para obtener valores de la quinta columna observamos que hay tres factores

el 1 es la frecuencia f de la celda o casillero que se está considerando el

segundo factor es la desviación unitaria u, el tercer factor es la desviación

unitaria, por lo tanto el procedimiento será el siguiente: tomemos el número 3

que es la frecuencia de la celda determinada por el cruce de los intervalos que

tienen la marcha de la clase 75 horizontalmente y 35 verticalmente.

123

Para ubicar el tercer factor corremos la vista del numero 3 hacia su derecha

hasta llegar a la columna de las desviaciones unitarias u y ubicamos el

numero +3 formemos el producto de estos tres números: (3)(--1)(+3)=-9

encerrado de un semicírculo lo escribimos en la celda elegida

En la misma fila tomamos la celda siguiente: (2) (0)(+)

Continuando hacia la derecha (2) (+1)(+3)=6

X hábitos estudio Y matemática 25 35 45 55 Fy Uy FyUy FyU^2y

suma de los # en semicírculos

75 2 3 2 2 7 3 21 63 -3

65 1 0 4 5 10 2 20 40 6

55 2 6 16 3 27 1 27 27 -7

45 4 14 19 10 47 0 0 0 0

35 7 15 6 0 28 -1 -28 23 29

25 8 2 0 1 11 -2 -22 44 34

15 1 0 1 2 4 -3 -12 36 0

∑FxUx = 6

∑FxUx^2= 238

∑FxyUxUy= 59

Fx 23 40 48 23 134 Ux -2 -1 0 1 FxUx -46 -40 0 23 ∑FxUx=-63 FxUx^2 92 40 0 23 ∑FxUx^2=155

La fórmula del paso (9) lleva el signo ∑para indicar que se deben sumar

horizontalmente los números que están encerrados en los semicírculos de esa

primera fila elegida así: -9+0+6. Este número se escribe en la quita columna.

Trabajemos con la segunda fila: (1) (-2)(+2)= -4 se encierra en un semicírculo.

(0)(-1)(+2)= 0

(4)(0)(+2)= 0

(5)(+1)(+2)= 10

124

Sumando 0 + 0 + 10 = 10

Ahora con la tercera fila:

(2)(-2)(+1)= -4

(6)(-1)(+1)= -6

(16)(0)(+1)= 0

(0)(+1)(+1)= 3

Sumando: (-4) + (-6) + 0 + 3 = -7

Cuarta fila

(-4) + (-2) + 0 = 0 todos los productos vales cero, luego la suma = 0

Quinta fila

(7)(-2)(-1)= 14

(15)(-1)(-1)= 15

(6)(0)(-1)= 0

(0)(+1)(-1)= 0

La suma es: 14+15= 29

(8)(-2)(-2)= 32

(2)(-1)(-2)= 4

(0)(0)(-2)= 0

(1)(+1)(-2)= -2

La suma es: 32 + 4 -2 = 34

Séptima fila:

125

(1)(-2)(-3)= 6

(1)(0)(-3)= 0

(2)(1)(-3)= -6

Sumando: 6 + 0 – 6 = 0

Sumando los valores de la columna quinta.

Reuniendo los resultados anteriores, se tienen los datos para aplicar en la formula

n= 134

∑ = 59

∑ = -63

∑ = 6

∑ = 155

∑ = 238

r=

r=

r= 0,358

126

Ejercicio Resuelto N° 2 de Cálculo de Coeficiente de Correlación Entre

Conjuntos de Datos Agrupados

Calcular el coeficiente de correlación lineal de las puntuaciones en matemáticas y

físicas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad MN

X Puntuación matemáticas Y Puntuación fisica 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 - 100 TOTAL

90 - 100 0 0 0 2 5 5 12

80 - 90 0 0 1 3 6 5 15

70 - 80 0 1 2 11 9 2 25

60 - 70 2 3 10 3 1 0 19

50 - 60 4 7 6 1 0 0 18

40 - 50 4 4 4 0 0 0 11

TOTAL 10 15 22 20 21 12 100

127

PUNTACIÓN EN MATEMÁTICA

SUMA DE LOS NÚMEROS

ENCERRADOS EN SEMICÍRCULOS EN

CADA FILA

45 55 65 75 85 95 Fy Uy Fy Uy Fy U2y

PU

NT

UA

CIO

N E

NF

ISIS

CA

Y

95 2 5 5 12 2 24 48 54

85 1 3 6 5 15 1 15 15 30

75 1 2 11 9 2 25 0 0 0 0

65 2 3 10 3 1 19 -1 -19 19 2

55 4 7 6 1 18 -2 -36 72 28

45 4 4 3 11 -3 -33 99 36

fx 10 15 22 20 21 12 100 -3 -49 253 150

Ux -2 -1 0 1 2 3 3 Σfy Uy Σfy U2y Σ fxy Ux Uy

FxUx -20 -15 0 20 42 36 63 Σfx Ux

Fx U2

x 40 15 0 20 84 10

8

267 Σfx U2x

128

En este problema tenemos que calcular el confidente de correlación lineal r para

dos conjuntos de datos constituidos por los calificativos en una escala de 0 a 100,

en matemáticas y en física para 100 estudiantes de la facultad de Ciencias de

cierta universidad

Los datos se muestran en el cuadro N° 4.1.9 Notemos que a lo largo de la línea

horizontal superior se encuentran los intervalos que contienen los calificativos de

matemáticas desde 40 hasta 100.

Igualmente en la primera columna vertical izquierda, se encuentran los calificativos

para física de los mismos estudiantes, desde el calificativo 40 hasta 100. Notese

que en la columna de los calificativos de física los datos crecen de abajo hacia

arriba y para la fila horizontal superior vemos que los calificativos en matemáticas

crecen izquierda a derecha.

A continuación procederemos a calcular el confidente de correlación r para estos

datos aplicando el mismo método que utilizaremos en el problema anterior.

1) Traslademos los datos del cuadro N° 4.1.9. Llamaremos xy a cualquiera de

las frecuencias de los casilleros interiores del cuadro N° 4.1.9. En el cuadro

N° 4.1.10. podemos observar que se han agregado cinco columnas por el

lado derecho y cuatro filas por la parte interior

Observemos en el cuadro N° 4.1.10 que los intervalos para la puntuación en

matemáticas y para la puntación en física se han remplazado por las marcas de

clase correspondientes. Así en la fila horizontal superior se han remplazado el

primer intervalo 40 50 por su marca de clase45, el segundo intervalo 50 60

por su marca de clase 55 y de esta manera se han remplazado los demás

intervalos por sus marcas de clases en el cuadro N° 4.1.10.

De igual forma para la columna primera de la izquierda vemos que los intervalos

se han remplazado por sus respectivas marcas de clase así para la puntuación en

física el primer intervalo superior 90 100 se han remplazado por su marca de

clase 95, el segundo intervalo superior 80 90 se ha remplazado por su marca

129

de clase 85 y así sucesivamente hasta llegar al intervalo inferior 40 50 que se

ha remplazado por su marca de clase 45.

Ahora vamos a realizar los pasos siguientes

1) Para las frecuencia marginales fy sumemos todos los valores fxy de la

primera fila que tiene la marca de clase 95. De esta forma tenemos: 2+5+5=

12 Para la segunda fila que corresponde a la marca de clase 85

obtenemos: 1+3+6+5= 15 que escribimos en el segundo casillero de fy.

2) Dediquemos nuestra atención a las frecuencias marginales fx. el primer

resultado de fx lo obtenemos sumando las frecuencias fxy para la colunia que

tiene la marca de clase 45, de esta forma tenemos: 2+4= 10 que se escribe

en el primer casillero de fx para el segundo casillero tenemos el número 15

que se obtiene verticalmente de las frecuencias fxy de la columna que tiene

de marca de clase 55. Continuando con las sumas de las f de las demás

columnas llenamos las frecuencias marginales fx.

3) Atendamos la columna Uy la columna Uy tiene en total 6 casilleros

arbitrariamente escogemos uno de estos casilleros como origen de trabajo

y le asignamos el numero 0. Aquí hemos escogido el tercer casillero

contando de arriba hacia abajo. Observamos ahora la primera columna de

la izquierda en donde están las marcas de clase de los puntajes de física.

Aquí observamos que las marcas de clase crecen de abajo hacia arriba

entonces las desviaciones unitarias en la columna Uy crecerán de abajo

hacia arriba entonces del 0 hacia abajo, las desviaciones unitarias son

números negativos que van decreciendo hacia abajo.

Desde el 0 hacia arriba las desviaciones serán positivas y crecientes.

De manera que podemos observar que la columna Uy está conformada por

los siguientes números que crecen del 0 hacia arriba: 1,2 y desde el 0 hacia

abajo decrece: -1,-2,-3.

4) Veamos la fila Ux

130

Notamos que el fila horizontal superior las marcas de clase crecen de

izquierda a derecha de igual forma las desviaciones unitarias crecerán de

izquierda a derecha. Elegiremos como origen de trabajo arbitrariamente uno

del casillero Ux el tercero contando de izquierda a derecha, y vamos

asignando números positivos crecientes hacia la derecha del 0, así

tenemos 1, 2,3 ya hacia la izquierda, a partir del cero, tendremos:-1y-2.

5) Expliquemos la columna fy Uy. Multipliquemos cada valor de fy por su

correspondiente valor de Uy y se obtiene un valor Fy Uy. Por ejemplo el

numero 24 se obtiene multiplicando la frecuencia marginal fy = 12 por su

correspondiente desviación unitaria Uy = 2esto es, 12*2= 24. Para el

segundo casillero multiplicamos 15*1=15; para el tercero 25*0=, así hasta

terminar con 11*(-3)= -33.

6) Observemos la columna Fy U2y. L primera celda de esta columna tiene el

número 48 que se obtiene de multiplicando el valor Uy =2 de la segunda

columna por su correspondiente valor Fy Uy = 24 de la tercera columna, es

decir, 2*24= 48. Para el segundo casillero de la columna fy U2y , tenemos 15

que es igual a 1 por 15. De esta forma continuamos llenando los demás

valores de la columna Fy U2y.

7) Veamos ahora la fila fx ux. El número -20 del primer casillero de esta fila se

obtiene multiplicando la frecuencia marginal fx = 10 por su correspondiente

desviación unitaria Ux = -2 es decir: 10 (-2)= -20.

Para el segundo casillero de FX UX, multiplicamos (-1)*(-15)= 15 y así

sucesivamente 12*3= 36.

8) Veamos Fx U2

x. El primer casillero de esta fila es 40 y es el resultado de

multiplicar -2 del primer casillero de la fila Fx Ux por menos 20 de su

correspondiente primer casillero de la fila Ux esto es, (-2)* (-20)= 40. Para

el segundo casillero de fx U2

x multiplicamos -1 del segundo casillero de Ux

por -15 de su correspondiente segundo casillero de FX UX, luego obtenemos

(-1) *(-15)=15 .Así continuamos multiplicando los valores de los casilleros

131

Ux por sus correspondientes valores de la fila Fx Ux hasta llegar a (3) (36)=

108.

9) Interesa ahora obtener los números encerrados en semicírculo, por ejemplo

ahora, el numero 4, que corresponde a la marca de clase 75 para la

puntuación en matemáticas y a la marca de clase 95 de la puntuación en

física.

10) Para saber cómo se obtiene este numero 4, corramos nuestra vista hacia

la derecha dirigiéndonos hacia la columna UY y obtenemos el numero 2.

Del numero 4, encerrado en semicírculo, bajemos la vista con dirección a la

fila Ux y obtenemos 1. La frecuencia del casillero donde esta el 4, encerrado

en semicírculo, es fxy = 2. Multiplicando estos 3 factores tendremos fxy Ux Uy

= (2) (1) (2) = 4.

Podemos anunciar la siguiente regla:

Para obtener los valores encerrados en semicírculos en los casilleros interiores del

cuadro N°4..1.10 multiplicamos el valor de la frecuencia fxy del casillero para el

cual estamos haciendo el cálculo, por los valores de las desviaciones unitarias Uy y

Ux , obtenidas corriendo la vista hacia la derecha hasta columna Uy y también

hacia abajo hasta legar a la fila Ux.

Así por ejemplo, para el casillero que corresponde a las marcas de clase 75 en

matemática y 85 en física, tenemos la frecuencia de la celda Fxy = 3, los otros dos

factores son: Uy =1 y Ux = 1.

Luego (3) x (1) x (1) = 3 que es el valor encerrado en semicírculo.

Para el casillero correspondiente a la marca de clase 55 en matemáticas marca de

clase 45 en física, tenemos:

132

fxy = 4, Uy = -3, Ux = -1

fxy Ux Uy = (4) (-3) (-1) = 12 que es el valor encerrado en semicírculo. Así podemos

proceder para obtener todos los demás valores encerrados en semicírculos.

Sumando las frecuencias marginales de la columna fy, se tiene ∑ fy =100.

Sumando los valores de la tercera columna se obtiene ∑fy Uy = - 49. Sumando los

valores de la cuarta columna, tenemos ∑fy U^2y = 253. La suma de los valores de

la quinta columna:

∑fxy Ux Uy = 150

Para todas las filas, en el último casillero de la derecha se tiene la suma de los

valores de la fila. Así, por ejemplo, ∑fx = 100; ∑fy = 100.

Para la tercera fila: ∑fx Ux = 63

Para la cuarta fila: ∑fx U^2x = 267

Estos totales de filas y columnas reemplazaremos en la fórmula.

Vemos que el coeficiente de correlación en este caso es 0.79.

133

Ejercicio Propuesto Nº 1 del Cálculo del Coeficiente de Correlación entre dos

Conjuntos Agrupados de Datos.

Supongamos que tenemos 30 sujetos a los que hemos aplicado una prueba de

conocimientos de Psicología General (variable x) y un test de inteligencia (variable

y).

Aplicando los datos tomados del Cuadro Auxiliar en la fórmula tenemos:

Resultado:

Ejemplo propuesto N°2 del cálculo del coeficiente de correlación entre dos

conjunto de datos agrupados. Supongamos que se tienen 50 vendedores de cierta

compañía. Estos vendedores durante un año 1985 han realizado ventas tal como

lo muestra el cuadro N°4.1.13, el que también muestra el número de años de

experiencia que tiene como vendedores.

Para dicho cuando, se pide calcular el coeficiente de correlación lineal r.

134

0 2

2 4

4 6

6 8

8 10

TOTAL

15 18 1 1

12 15 2 3 4 9

9 12 7 3 2 12

6 9 6 9 4 19

3 6 5 2 7

1 3 2 2

TOTAL 2 11 18 12 7 50

Tomando los datos obtenidos n el cuadro Auxiliar N°4.1.14 apliquemos en la

formula N° 4.1.12, se tiene.

Años de

experiencia

X

Monto de

ventas Y

135

136

Progresiones lineales simples

4.2.1. Regresión lineal simple

Al comenzar a estudiar las técnicas de correlación afirmamos que

estudiaríamos dos variables y no solamente una. Llamamos a esa ocasión X a

una de las variables Y a la otra. En el tema que nos ocuparemos ahora,

estudiaremos la forma de predecir v valores de Y conociendo primero los

valores de X. Es así que viendo la tabla N 4.2.1, similar a la que utilizamos

cuando estudiamos correlación, conociendo el puntaje en la prueba de

habilidad mental (variable X) para un alumno determinado, podemos anticipar

el puntaje del examen de admisión (variable Y) del mismo alumno.

Consideraremos la relación lineal expresada por el cuadro N4.2.1 si dibujamos

esa relación, obtenemos el grafico N4.2.1. Como podemos observar todos los

puntos se alinean exactamente. En una sola línea recta, la que recibe el

nombre de línea de regresión. Teniendo en cuenta esta línea, podemos

predecir cualquiera d los valores de Y conociendo el valor de X; para X=25,

según la recta, correspondiente de Y=35, para X=20 corresponde Y=30. Etc.

En este caso se trata de una correlación positiva perfecta cuyo coeficiente de

correlación es +1.

Prueba de habilidad

mental X

Examen de Admisión

Y

SUSANA 5 15

IVAN 10 20

LOURDES 15 25

ALDO 20 30

JUAN 25 35

MARIA 30 40

137

CESAR 35 45

OLGA 40 50

Recordemos ahora el grafico N 4.1.2 que dibujamos cuando estudiamos

correlación, en este grafico observamos el diagrama de dispersión aproximado

por una línea recta, la recta que mejor se ajuste a los puntos del diagrama de

dispersión, es decir, en la mejor medida procure dejar igual número de puntos

del diagrama de dispersión por encima de ella que igual número de puntos

debajo, se llama línea de regresión.

ECUACION DE LA REGRESION RECTILINEA

La ecuación que describe la línea de regresión es:

GRÁFICO

Serie 1

f(x)=1*x+10; R²=1

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

x

y

r = 1,00

138

= media de la variable X en la muestra.

X = un valor de la variable X

r = coeficiente de Pearson, de la correlación lineal entre las variables X y Y.

SY = desviación estándar de Y en la muestra.

SX = desviación estándar de X en la muestra.

Yr = Valor Y resultado del cálculo de la fórmula.

Veamos cómo podemos predecir los valore de Y a partir de los valores de X.

como el gráfico de este cuadro es una línea recta ascendente sabemos que su

coeficiente de correlación de Pearson r = +1. Además tenemos los siguientes

resultados:

X = 22,5 SX = 11,46 Y= 32,5 SY = 11,46

Estos resultados se pueden calcular a partir de los datos del cuadro.

Apliquemos estos datos a la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:

Simplificando términos obtenemos:

Escojamos cualquier valor de X, por ejemplo para María x = 30, reemplazando

este valor en (b).

Vemos en le cuadro el valor que corresponde a María efectivamente es 40, es

decir podemos usar la ecuación para predecir los valores de Y conociendo los

valores de X.

139

Esta fórmula de regresión se puede aplicar par dos variables X y Y, entre las

cuales no es obligatorio que exista una correlación lineal perfecta, es decir, no

es obligatorio que el r para la correlación entre X y Y sea siempre igual a 1.

Este valor de r para otras aplicaciones de la regresión, puede tomar cualquier

valor distinto de 1.

Ejercicios Resueltos de Regresión Lineal Simple

Al aplicar un test de inteligencia a una muestra representativa constituida por

800 alumnos, se obtuvo la puntuación media de 30,4 puntos, con la desviación

estándar de 12,6 puntos.

La edad media de la muestra fue de 14,5 años, con la desviación estándar de

3,2 años.

El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre la variable Y, edad de los

sujetos estudiados y la variable X, rendimiento mental de los mismos sujetos,

fue r = 0,89.

Con estos datos se pide determinar la ecuación de regresión rectilínea de edad

en base del puntaje del rendimiento mental.

¿Qué edad corresponde a los sujetos que alcanzan puntuaciones de:

X1 = 18 Puntos X4 = 50 Puntos

X2 = 25 Puntos X5 = 60 Puntos

X3 = 45 Puntos X6 = 80 Puntos

Datos:

= 14,5 SY = 3,2 r = 0, 89

= 30,4 SX = 12,6

Aplicando estos datos en la fórmula se tiene:

140

Es la ecuación de regresión buscada.

Respuesta de la 1ra. Pregunta

X1 = 18

YR = 7,63 + 0,226 (18) = 7,63 + 4,07

YR = 11,7 años

Segunda pregunta

X2 = 25

YR = 7,63 + 0,226 (25) = 7,63 + 5,65

YR = 13,28 años

Tercera pregunta

X3 = 45

YR = 7,63 + 0,226 (45) = 7,63 + 10,17

YR = 17,8 años

Cuarta pregunta

X4 = 50

YR = 7,63 + 0,226 (50) = 7,63 + 11,3

YR = 18,93 años

Quinta pregunta

X5 = 60

YR = 7,63 + 0,226 (60) = 7,63 + 13,56

YR = 21,19 años

141

Sexta pregunta

X6 = 80

YR = 7,63 + 0,226 (80) = 7,63 + 18,08

YR = 25,71 años

Este cuadro contiene la primera columna los nombres de los alumnos, en la

segunda están los rangos de esos alumnos en la variable, en la tercera se

hallan los rangos de los alumnos en la variable Y. En la cuarta columna están

las diferencias de los rangos correspondientes de las variables X y Y. en la

quinta columna se colocan las cuadros de las diferencias, ya calculadas.

CUADRO AUXILIAR Nº 4.3.4

ALUMNOS RENGO DE

X

RANGO DE

Y

D=

DIFERENCIA

Rodríguez 3 3 0 0

Fernández 4 5 -1 1

Córdova 2 1 1 1

Flores 1 2 -1 1

Lema 5 4 1 1

APLICANDO LOS DATOS EN LA FORMULA Nº 4.3.1, SE TIENE

P= 0.08

Es una correlación positiva. Su valor es muy alto y poco común puesto que la

práctica enseña que en la correlación de la inteligencia con el rendimiento

escolar en las asignaturas, casi siempre se alcanza un valor próximo a 0.5.

EJEMPLO 2

142

Supongamos el siguiente cuadro nº 4.3.5. Queremos calcular el coeficiente de

correlación por rangos.

CUADRO Nº 4.3.5

EXAMINADOS PRUEBA DE

HABILIDAD MENTAL

X

APTITUD ACADÉMICA

Y

Susana 49 55

Iván 46 50

Lourdes 45 53

Aldo 42 35

Juan 39 48

maría 37 46

cesar 20 29

Olga 15 32

Observamos que los examinados están ordenados con respecto a la prueba de

habilidad mental de mayor a menor; podemos afirmar que la posición o rango

que se podría asignar a Susana es el primero, a Iván le correspondería el

segundo, para Lourdes el tercero tal como se muestra en el cuadro Nº4.3.6.

De igual forma podríamos ordenar la posición o rango de los postulantes según

los resultados de la prueba de aptitud académica Y del examen de admisión, lo

que se muestra en el cuadro Nº4.3.6 es así como Susana también ocupa el

número de orden o rango primero y Lourdes ocupa el segundo lugar o rango

dos en esa prueba, así podemos continuar ordenando los alumnos según su

rango en la pruebe de aptitud académica y terminaremos con cesar que ocupa

el rango 8 en tal prueba.

CORRELACIÓN POR RANGOS

143

Es el orden que posee o se asignan a cada miembro de un conjunto de de

elementos de acuerdo a una escala ordinal dada. El rango ubica el elemento en

un punto de esa escala.

Por ejemplo: podemos establecer un ordenamiento de los alumnos de acuerdo

a los puntajes alcanzados en un examen. Así tenemos en el cuadro Nº 4.3.1

que sigue:

CUADRO Nº 4.3.1

ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora

PUNTAJES 40 65 52 70 76 56

Ordenándolos de acuerdo a la magnitud del puntaje, establecemos los rangos

siguientes en el cuadro Nº 4.3.1.

CUADRO Nº 4.3.2

ALUMNOS García león Pérez Ruíz Lazo Lora

RANGOS 6 3 5 2 1 4

4.3.2 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN POR RANGOS

La correlación por rangos se refiere a la correspondencia en el ordenamiento

de los elementos de dos conjuntos dados. La fuerza de la correlación se mide

por medio del coeficiente por rangos de spearman, cuya fórmula es:

En donde.

P= letra griega rho, designa el coeficiente de correlación por rangos.

144

D= diferencias de rangos correspondientes entre si pertenecientes a dos

variables X y Y. Por ejemplo d=

n= numero de pares correspondientes.

EJEMPLOS Nº 1

En la primera columna de la izquierda del cuadro Nº 4.3.3 se presenta un grupo

de 5 estudiantes; en la segunda columna están sus niveles mentales que se

consideran como categorías de la variable X, en la tercera columna se indican

los resultados de una prueba de matemáticas aplicadas al grupo, cuyas

puntuaciones son valores de la variable Y.

CUADRO Nº 4.3.3

ALUMNOS NIVEL MENTAL

X

MATEMÁTICAS

Y

Rodríguez medio 35

Fernández interior al promedio 17

Córdova superior al promedio 48

flores muy superior al

promedio

42

lema muy inferior al promedio 20

Calcular el coeficiente de correlación por rangos.

ESTUDIANTES CLASIFICACION

DE LOS RANGOS

CLASIFICACION DE

LOS RANGOS

D= DIF D2

RANGO X RANGO Y

145

SUSANA 1 1 0 0

ESTEBAN 2 3 -1 1

LOURDES 3 2 1 1

ALDO 4 6 -2 4

JUAN 5 4 1 1

MARIA 6 5 1 1

CESAR 7 8 -1 1

OLGA 8 7 1 1

∑D2 = 10

En la descripción de este cuadro la columna X corresponde a los rangos en las

pruebas de habilidad mental, la columna Y corresponde a los rangos de las

pruebas de los estudiantes de actitud académica. La columna D corresponde a

la diferencia del rango de un elemento de la columna X menos el rango de su

correspondiente elemento en la columna Y. en la columna D2 se halla el

cuadrado de la diferencia anotada en la columna D.

Ahora para medir la correlación entre los resultados de la prueba de habilidad

mental y del examen de admisión, tomamos los datos del cuadro anterior en el

que los datos están transformados en rangos.

Conforme ya mencionamos en el ejemplo 1 la fuerza de la correlación en este

tipo de problemas, se determina por el coeficiente p (rho) de correlación de

rangos de spearman. Aplicamos la formula N° 4,3,1 en donde

N= 8 pares

∑D2 = 10, este número es el resultado de la suma de los números D elevados

al cuadrado que figuran la columna D2.

146

Vemos que existe una correlación positiva fuerte entre las puntuaciones de la

prueba de la habilidad mental y los puntajes de la actitud académica del

examen de admisión.

Caso de rangos empatados o repetidos

Examinemos el caso N° 4.3.7 y supongamos que en el examen de admisión de

Susana y Esteban obtuvieron el mismo puntaje 55 y por lo tanto a cualquiera

de los dos le corresponde los rangos primero o segundo para romper esta

indeterminación, convenimos en asignar a cada uno de ellos el promedio de

ambos

Rangos, o sea = 1.5 entonces tanto Susana como esteban tendrán el

rango

Tratemos ahora los rangos del VI Ciclo vemos que los profesores L Y P están

empleados o igualados en puntaje por lo que a cualquiera de los dos le

corresponde el rango 5 o el rango 6.el rango que le asignemos serán el

resultado de promedio 5 y 6 que son los dos rangos empatados, luego (5+6) / 2

=5.5 será el número que le asignamos como rango.

Los profesores Fy Z tienen en el VI ciclo los rangos 3 y 4 a cualquiera de estos

dos les corresponde el tercer o cuarto lugar. El número que les asignaremos

será (3+4) /2 = 3.5.

Luego elaboramos una columna para los nuevos rangos Y en donde a los

profesores L y P les asignaremos el rango 5.5 y a los profesores F Y Z les

asignaremos el rango 3 Y 5. los profesores J Y K seguirán con los rangos 1 y 2

respectivamente.

En La Columna D se colocan las diferencias X – Y

Nos ocuparemos ahora de la columna D2. En esta columna se encuentran

valores de la columna D elevados al cuadrado, luego sumamos los valores de

la columna D2 y obtenemos = 17.

Ahora aplicaremos la formula número 4.3.1.

147

Aquí = 17.

N= 6

P= 1- = 0.5

Luego la correlación entre los puntajes asignados a los 6 pro0fesores por el V

ciclo y los puntajes asignados por el VI ciclo es positiva, pero su magnitud no

es ni muy fuerte ni muy débil.

2º EJERCICIO

Cinco niños se someten a una pruebe de habilidad mental y los resultados de

estas se ordenan por rangos en la columna X. también se muestran en la

columna Y los rangos de estos mismos 5 niños respecto al tiempo que gastan

al mirar la tv.? (Ver cuadro Nº 4.3.1)

¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que

gastan mirando tv.?

Calculando los nuevos rangos para la columna Y teniendo en cuenta rangos

igualados obtenemos:

ALUMNOS x Y

A 1 4 o 5

B 2 4 o 5

C 3 2 o 3

D 4 1

E 5 2 o 3

¿Existe correlación entre el rendimiento mental de los niños y el tiempo que

gastan mirando tv.?

6 (17) 6 (36 -1)

6 (36 – 1)

148

Calculando los nuevos rangos para la columna Y. teniendo en cuenta los

rangos iguales obtenemos:

X Y D X - Y

D2

A 1 4.5 -3.5 12.25

B 2 4.5 -2.5 6.25

C 3 2.5 0.5 0.25

D 4 1 3 9

E 5 2.5 2.5 6.25

2 = 34.00

Para Obtener Los Rangos Correspondientes A Los Niños A Y B Hemos

Sumado Los Lugares Que Podrían Ocupar Cualquiera De Los Dos Y Que Son

5 Y 4 Y Luego Esta Suma La Dividimos Entre El Numero De Rango Igualados

Que Son Dos, Esto Es: (4+5)/ 2= 4.5 Luego Rango Que Les Corresponda A A

Y B Es 4.5

DE IGUAL FORMA PROCEDEMOS PARA LOS RANGO C Y E obteniendo

para ellos como nuevo rango 2.5.

Ahora añadiremos una nueva columna D, en esta columna escribiremos

diferencia entre uno de los rangos de x menos el correspondiente rango de Y.

Elevamos al cuadrado cada valor de y y escribimos cada resultado en la

columna del cuadrado. Luego sumamos los valores de la columna de D2 y

obtenemos 2 =34.00

P= 1 – 1.7=+0.7

Luego obtenemos una correlación negativa cuya magnitud es 0.7 que es un

valor fuerte para este tipo de situación.

EJERCICIO PROPUESTO DE CÁLCULO DE COEFICIENTE DE SPEARMAN

149

La tabla muestra siete estudiantes que ordenados alfabéticamente obtuvieron

su número de orden según sus calificaciones en teoría y práctica académica en

un curso de lenguaje. Calcular el coeficiente de correlación de SPEARMAN.

ALUMNOS PRACTICA X TEORIA Y

A 7 6

B 4 7

C 6 5

D 3 2

E 5 1

F 2 4

G 1 3

2º EJERCICIO

El cuadro muestra las correspondientes alturas en centímetros de grupo de

padres y de sus hijos primogénitos.

1) calcular el coeficiente de correlación de espermas

2) calcular también el coeficiente de Pearson

3) son parecidos?

ALTURA PADRE X ALTURA HIJOS Y

172 178

164 154

180 180

190 184

164 166

164 166

165 166

180 175

RESPUESTA 1 p= 0.89

3º EJERCICIO

En la tabla los cinco siguientes individuos se han colocado por rangos de 1 a 5

sobre X e Y. calcular el coeficiente de correlación.

X Y

150

A 2 3

B 1 2

C 3 1

D 5 5

E 4 4

RESPUESTA 1 p= 0.7

EJERCICIO

El gerente del personal una empresa agroindustrial estudia la relación entre la

variable dependiente Y y la variable independiente X de su personal obrero.

Recoge una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtuvieron los datos en

dólares por semana.

a) Determinar el diagrama de dispersión

b) De su comentario sobre el valor de la pendiente

La relación es positiva e imperfecta porque al pasar la recta no cruza por

todos los puntos, sin embargo el valor de la pendiente se aproxima a

uno.

c) Estime el gasto que correspondería a un salario semanal de 90USD.

Salario (x)

Gasto (y)

X2 Y

2 XY (xi -Ẋ) (xi - Ẋ)^2 (Yi -Ῡ) (Yi -Ῡ)^2

28 25 784 625 700 -17,8 316,84 -13,4 179,56

151

25 20 625 400 500 25 625 20 400

35 32 1225 1024 1120 35 1225 32 1024

40 37 1600 1369 1480 40 1600 37 1369

45 40 2025 1600 1800 45 2025 40 1600

50 40 2500 1600 2000 50 2500 40 1600

50 45 2500 2025 2250 50 2500 45 2025

35 30 1225 900 1050 35 1225 30 900

70 55 4900 3025 3850 70 4900 55 3025

80 60 6400 3600 4800 80 6400 60 3600

ƩX=458 ƩY=384 ƩX2=23784 ƩY

2=16168 ƩXY=19550 Ʃ (xi -Ẋ)

=412,2 Ʃ (xi - Ẋ)^2=

23316,84

Ʃ (Yi -Ῡ) =345,6

Ʃ (Yi-Ῡ)^2= 15722,56

Desviación Estándar (X)

Sx = Sx = = 48,28

Ẋ = Sy = = 39, 65

152

Ῡ =

+

+

+

+

+ = 73, 54 gasto de un salario semanal

r = -0.005

153

COMENTARIO.- Vemos que los vehículos de 20 toneladas no tienen relación con los de

40 toneladas, ya que a los de 20 se los utiliza más para las importaciones que los de 40

debido a que son más ligeros al transportar las mercancías.

154

155

156

157

158

PRUEBA DE HIPÓTESIS

Hipótesis Estadística

Se llama hipótesis, a una suposición o conjetura; que se formula, con el

propósito de ser verificada. Cuando se establece la veracidad de una hipótesis,

se adquiere el compromiso de verificada en base a los datos de la muestra

obtenida. La hipótesis estadística es fundamentalmente distinta de una

proposición matemática, debido que al decidir sobre su certeza podemos tomar

decisiones equivocadas, mientras que en la proposición matemática podemos

afirmar categóricamente si es verdadera o falsa.

Hipótesis Nula

Es una hipótesis que afirma lo contrario de lo que se quiere probar. En ella se

supone que el parámetro de la población que se está estudiando, tiene

determinado valor. A la hipótesis nula, se le representa con el símbolo Ho, y se

formula con la intención de rechazarla.

Ejemplo: Para decidir que una moneda está cargada, suponemos lo contrario,

es decir, que la moneda es legal, esto es, que tiene igual probabilidad o

proporción de salir cara, que de salir sello. Llamamos P (proporción poblacional

de cara) y Q (proporción poblacional de sello), P +Q = 1 (proporción del total o

100% de los casos); pero la moneda es legal, entonces esperamos que P = Q,

reemplazando P por Q, P + P = 1, 2P = 1 y P = 0.5, es decir, la proporción

poblacional de éxito (cara), para todas las monedas legales es 0.5. Sobre esta

base, durante la ejecución del experimento, aceptamos que actúan únicamente

las leyes del azar, descartando la influencia de cualquier otro factor.

Hipótesis Alternativa

Es una hipótesis diferente de la hipótesis nula. Expresa lo que realmente

creemos es factible, es decir, constituye la hipótesis de investigación. Se le

designa por el símbolo . En el ejemplo citado, la hipótesis alternativa sería:

: P ≠ 0.5, es decir, P > 0.5 o P < 0.5, si es que queremos realmente

averiguar que la moneda no es legal.

Concepto de significación en una Prueba Estadística

Suponiendo que está formulada una hipótesis y que al realizar un experimento

para someterla a prueba encontramos que el estadístico de la muestra, difiere

marcadamente del valor del parámetro que establece la hipótesis nula , en

ese caso, decimos que la diferencias encontradas son significativas y estamos

159

en condiciones de rechazar la hipótesis nula o, al menos no aceptarla en

base a la muestra obtenida.

En realidad estamos determinando, si la diferencia, entre el valor del parámetro

establecido en y el valor del estadístico obtenido en la muestra, se debe tan

solo al error de muestreo (en este caso aceptamos ); o si la diferencia es tan

grande que el valor obtenido por el estadístico de la muestra, no es fruto del

error de muestreo, en este caso rechazamos .

Prueba de Hipótesis

Se le llama también ensayo de hipótesis o dócima de hipótesis. Son

procedimientos que se usan para determinar, se es razonable o correcto,

aceptar que el estadístico obtenido en la muestra, puede provenir de la

población que tiene parámetro, el formulado en .

Como resultado de la prueba de hipótesis, aceptamos o rechazamos . Si

aceptamos , convenimos en que el error de muestreo (el azar), por sí solo,

puede dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre éste y el

parámetro. Si rechazamos , convenimos que la diferencia es tan grande, que

no es fruto del error de muestreo (al azar) y concluimos que el estadístico de la

muestra no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado.

El mecanismo para rechazar la hipótesis , es el siguiente: suponemos como

válida la hipótesis nula , la que afirma que el parámetro tiene cierto valor

(supongamos el caso de la media poblacional entonces : ʯ = . Tomamos

una muestra y calculamos e

). Como suponemos que es

cierta, podemos suponer que la muestra proviene de la población que tiene

como parámetro el de (es decir, no serán muy diferentes) y la probabilidad

de que dicha diferencia muestral pequeña aparezca, será grande. Si en cambio

tomamos una muestra de una población que no tiene como parámetro

- será muy distinto que ), es

decir,

y , nos permita aceptar o rechazar

y es muy pequeña (menor que α), rechazaremos y la

muestra aleatoria no proviene de la población con parámetro

- es grande (mayor que α) aceptamos

y la muestra aleatoria proviene de la población con parámetro .

160

Cuando se toma la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis

y y no de un hecho establecido), es decir, de

cometer errores.

Estos posibles errores son:

Error tipo I

Consiste en rechazar la hipótesis , cuando en realidad no debería ser

rechazada, por ser verdadera. La probabilidad de cometer el error tipo I, se

llama alfa (α).

Error tipo II

Consiste en no rechazar a hipótesis Ho, cuando debería ser rechazada por ser

falsa. La probabilidad de cometer el error tipo II, se llama beta (β).

Se debe procurar que la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, sean las más

pequeñas posibles, sin embrago, para un tamaño de muestra dado, el querer

disminuir un tipo de error, trae consigo, incrementar el otro tipo de error. La

única forma de disminuir ambos errores, es aumentar el tamaño de la muestra.

Nivel de significación de una Prueba Estadística.

En relación a la comprobación de una hipótesis dada, se llama nivel de

significación, a la probabilidad a de cometer el error tipo I, al rechazar la

hipótesis nula Ho.

Los niveles de significación más usados en la práctica son: de 0.05 (5%) y de

0.01 (1%).

El nivel de significación de 5% se interpreta de la siguiente manera: en 100

casos, cabe esperar, que en 5 de ellos se cometa una decisión equivocada, al

rechazar la hipótesis Ho, cometiendo, en consecuencia, un error de tipo I.

Pasos de una Prueba de Hipótesis

1o Formular la Ho y la H1

161

2o Determinar si la prueba es unilateral o bilateral.

3o Asumir el nivel de significación de la prueba.

4oDeterminar la distribución muestral que se usara en la prueba.

5o Elaborar el esquema de la prueba.

6o Calcular el estadístico de la prueba.

7o Tomar la decisión, para esto, se comparan el esquema de la parte.

5o, con el estadístico del paso 6o.

Ejemplo de una prueba de hipótesis utilizando los pasos anteriores.

Se realiza el experimento aleatorio de lanzar 50 veces una moneda,

obteniéndose 34 veces el resultado cara. Al nivel de significación de 5%, se

quiere averiguar si la moneda está cargada.

1) Ho: P= 0.5, la moneda no está cargada.

H1: P≠ 0.5 la moneda está cargada (P>0.5 ó P<0.5).

2) La prueba debe ser bilateral o de dos colas, porque hay dos

posibilidades en la H1:

a) Si se obtiene muchas veces cara, entonces la moneda está cargada

de un lado (P>0.5).

b) Si se obtiene pocas veces cara, entonces la moneda está cargada

del otro lado (P<0.5).

3) Asumimos el nivel de significación de 5%, con lo que estamos

aceptando de que con la probabilidad de 0.05, puede ocurrir que se

rechace Ho, a pesar de ser verdadera; cometiendo por lo tanto el error

de tipo I. la probabilidad de no rechazar Ho, será de 0.95.

4) Determinar la distribución muestral que se utilizara en la prueba.

Tenemos por dato muestral la proporción , el parámetro de Ho, es la

proporción poblacional P; entonces utilizaremos la distribución muestral

de proporciones para describir la variación de las muestras por el error d

162

muestreo. Tamaño de muestra n= 50> 30. (Muestra grande)

aproximaremos la distribución muestral de proporciones, mediante la

distribución normal, porque n=50> 30.

5) Esquema de la prueba: En la distribución normal de probabilidades

estandarizadas, para el nivel de significación de 5%, el nivel de

confianza será de 95%, entonces los coeficientes críticos o coeficientes

de confianza para la prueba bilateral serán: -1.96 1.96, es decir -1.96 ≤ z

≤ 1.96.

El esquema correspondiente es:

163

Si al realizar el experimento y calcular el puntaje estandarizado Z, encontramos

que Z cae fuera del intervalo -195 ≤ z ≥ 1.96, esto indicara que se debe

rechazar H ˳

Si por el contrario Z cae dentro del intervalo ya mencionado, eso indicara que

no debemos rechazar H ˳

Vemos que hay dos regiones e rechazo, por eso la prueba se llama prueba

bilateral o de dos colas.

6) Cálculo de Z. utilizando la fórmula 5.3.2

Donde Xi corresponde en este caso a la producción de la muestra: p`

: es la medida de la distribución muestral de proporciones, igual a la

proporción poblacional P de H ˳

: es la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones,

llamada también error estándar de la proporción: p`

164

Ejemplo de Prueba de una Cola o Unilateral.

Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene 905 de efectividad para

curar una enfermedad. En una muestra de 200 persona de aliviaron 160.

Determinar que a afirmación no es cierta, es decir, la medicina cura meno del

90% de los casos. Sea el nivel de significación 0.05.

1) .- H :˳ P = 0.90 P, proporción poblacional de éxito.

H1: P < 0.90 Es lo que queremos probar.

2) .- Habrá una sola región de rechazo o región crítica y es aquella en la

que la proporción de personas curadas por la medicina es menor que

0.90; luego se trata de una prueba unilateral, o de una sea cola; en esta

165

caso de cola izquierda, que es la dirección a la que apunta la

desigualdad de H1.

3) Asumiendo el nivel de significación de 5% (0.05), en la distribución

normal de probabilidades estandarizada se tiene el coeficiente critico de

Z= -1.65.

4) Como el dato es una proporción muestral, y en Ho hay una proporción

poblacional, usaremos la distribución muestral de proporciones.

5) El esquema de la prueba es:

166

´P = Proporción de la muestra =

P = Proporción de la población P = 0.9

Grados de libertad: el termino libertad se refiere a libertad para variar y recoger

datos de la muestra. Analicemos la fórmula para la desviación estándar

corregida

Para calcular la desviación estándar es necesario estimar la media poblacional

û mediante x= u, es decir se eta estimando un parámetro poblacional por lo

tanto por grados de libertad serán n-1. Al querer calcular la desviación estándar

ha disminuido en uno la libertad de escoger los datos, por haber estimado un

parámetro, la media poblacional.

En la prueba de student de diferencia de medidas, se estimaran dos medias

poblacionales de cada una de las dos poblaciones de las cuales se toman los

datos, para calcular las dos medias. Los grados de libertad serán n1+n2-2

donde n1 es el tamaño de la muestra 1, tomada de la población 1 y n2 es el

tamaño de la muestra tomada de la población 2.

Los grados de libertad están representados por la siguiente formula

Gl=n-k

N: numero de observaciones independientes

K: numero de parámetros estimados

Distribución de Student

Cuando:

i) el tamaño de la muestra es pequeño y este es menor que 30

ii) la población de donde se obtienen los datos está distribuida normalmente

167

iii) se desconoce la desviación estándar de la población entonces haremos uso

de la distribución de Student

La distribución de Student está representada por el estadístico t:

El estadístico z de la distribución normal era

En el denominador de t tenemos s, que varía de muestra en muestra. En el

denominador de z tenemos o , la desviación estándar de la población que es

una constante; t sigue una distribución de Student con n-1 grados de libertad,

los valores de t se pueden encontrar en la tabla correspondiente en el apéndice

de este libro. Existe un valor específico para cada grado de libertad asociado

con un determinado nivel de significación.

La grafica de la distribución de Student es mas aplanada que la distribución

normal Z.

Ejemplo de prueba de una media utilizando la distribución de student

Se aplico un test de inteligencia a una muestra de 15 alumnos de un salón de

clase de cierto Colegio y se determino un CI promedio de 105.4 con una

desviación estándar de 5.3. Se saber que al estandarizar el mencionado test en

los colegios secundarios de la localidad, se hallo un CI medio de 101.

Asumiendo un nivel de significación de 1% probar que el rendimiento mental

Distribución de

student

Distribución

normal

168

del grupo de 15 alumnos, es más alto que el promedio de estandarización del

test.

U= rendimiento mental medio de estandarización = 101

X= rendimiento mental medio de la muestra = 105,4

1) formulación de la hipótesis

H0:µ = 101, no existe diferencias significativas en el rendimiento mental, de la

muestra X y de la población

H1: µ= >101

2) prueba unilateral de cola derecha, de acuerdo con H1,

3) Nivel De Significación Asumido: 1% = 0.01

4) Distribución aplicable para la prueba

Considerando que los datos son la media de la muestra X y la media

poblacional µ, se debe reutilizar la distribución maestral de medias, además

como n <30 (muestra pequeña) y se desconoce 0 (desviación estándar de la

población) se empleara la distribución de student, ya que ese sabe los valores

de CI siguen una distribución normal.

5) Esquema grafico de la prueba

El nivel de significación es a = 0.01

Los grados de libertad son:

Gi= n-1 = 15 – 1=14g. de lib

En la tabla de distribución de student, con 14gl, a = 0.01 y prueba de 1 cola,

encontramos el t crítica: tc =2.624

169

6) Cálculo del estadístico de la prueba

Datos

X= 105.4 ; µ = 101 ; s= 5.3 ; n= 15

170

7) toma de decisiones

Observamos que t=3.11 se ubica en la región de rechazo por tanto se descarta

que µ = 101 y se acepta la alternativa µ > 101 es decir el grupo de 15 alumnos

tiene rendimiento mental mayor que el promedio de estandarización.

Ejemplo:

Una tableteadora de un laboratorio farmacéutico produce comprimidos de cierto

medicamento, con un peso medio de 2grs. Por comprimido. Para determinar si

la maquina sigue en buenas condiciones de producción, se tomó una muestra

de 10 tabletas cuyos pesos en gramos son: 2.04; 1.96; 2.00; 1.98: 2.02; 2.01;

1.97; 1.94; 2.03; 2.01, asumiendo un nivel de significación de 0.01, verificar que

la maquina no está en

Buenas condiciones de producción.

Llamemos:

µ: el peso medio de las tabletas producidas por la máquina.

1) Formulación de hipótesis

H0: µ= 2, la maquinas se halla en buenas condiciones.

171

H1: µ ≠ 2, la maquina no se halla en buenas condiciones

2) Prueba bilateral porque en H1 hay dos posibilidad

µ>2 o µ< 2

3) Nivel de significación , s4e asume el 1% = 0.01

4) Distribución de probabilidad apropiada para la prueba.

Considerando que las hipótesis se refieren a medios poblacionales, que se

da como dato el valor de la media población µ= 2grs, y que se puede

calcular la media de la muestra, utilizaremos la distribución muestral de las

medias para efectuar la prueba. Siendo la muestra pequeña (n= 10) y la

desviación de student o de la población desconocida, no es aplicable la

distribución normal y por tanto recurridos a la distribución de student,

asumiendo que la población.

172

173

Ejercicio.

Un laboratorio afirma que uno de sus productos tiene el 90% de efectividad

para curar una enfermedad. En una muestra de 200 personas se aliviaron 160.

Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la medicina cura menos

del 90% de los casos. Si el nivel de significancia (error de estimación) es del

0,05

1.- HALLAR H0 Y HA

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

Es unilateral de una cola

3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA

4.- DETERMINAR EL VALOR DE n

5.- GRAFICAR LA CAMPANA DE GAUSS

174

6.- CALCULAR EL VALOR DE Z

= 0,80

175

7.- rechazo de la hipótesis nula y aceptación de la hipótesis alternativa, porque

los medicamentos curan menos del 90% a los pacientes.

Ejercicio.

Una muestra de 80 alambres de acero producidos por la Fábrica A, da una

resistencia media a la rotura de 1230lobras con una desviación estándar de

120 libras. Una muestra de 100 alambres de acero producidos por la Fábrica B

da una resistencia media a la rotura de 1190 libras con una desviación

estándar de 90 libras. ¿Hay una diferencia real en la resistencia media de las

dos marcas de alambre de acero, si el nivel de confianza es el 95%?

1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.

Ho: U1 = U2

Ha: U1 U2

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

La campana de gauss es bilateral de 2 colas

3.- DETERMINAR EL VALOR DE CONFIANZA

Nivel de significancia o E.E. = 0,05

Z = 1,96 valor estandarizado

176

4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA

n 1 = 80 n > 30

n 2 = 100 n > 30 Prueba de Hipótesis

5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS

6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z

1 = 1230 S1 = 120

2 = 1190 S2 = 90

177

7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. La rotura de los

alambres de la Fábrica A es diferente a la rotura de los alambres de la Fábrica

B.

Ejercicio.

Los salarios diarios de una industria particular tiene una distribución normal con

media de 23,20 dólares y una desviación estándar de 4,50 dólares. Si una

compañía de esta industria emplea 40 trabajadores, les paga un promedio de

21,20 dólares. ¿Puede se acusada esta compañía de pagar salarios inferiores

con un nivel de significancia del 1%?

1.- DETERMINAR LA HO Y LA HA.

Ho: U = 23,20

Ha: U > 23,20

2.- DETERMINAR LA CAMPANA DE GAUSS

La campana de gauss es de una cola

3.- NIVEL DE CONFIANZA = 99%

178

4.- DETERMINAR QUÉ TIPO DE MUESTRA SE UTILIZA

5.- CONSTRUIR LA CAMPANA DE GAUSS

6.- CALCULAR EL PUNTAJE Z

7.- Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa. No está pagando

a los trabajadores lo que les corresponde entonces debe entrar a un juicio para

resolver este inconveniente.

179

Ejercicio.

Según una encuesta realizada se afirma que la exportación de petróleo crudo

tiene el 95% de efectividad para comercializarse en el mercado internacional.

En una muestra de 45 países a los que se envía el petróleo ecuatoriano, se

reflejaron que 35 países los más grandes importadores de petróleo tienen

ventas elevadas. Determinar que la afirmación no es cierta, es decir que la

exportación de petróleo se comercializa en menos del 95%. Si se tiene un nivel

de significancia del 0,05.

1. Ho: U = 95%

Ha: U < 95%

2. La campana de Gauss es de una cola

3. α = 95%

Error de Estimación: 0,05

Z = -1,65

4. n = 45 n > 30 Prueba de Hipótesis

5. Construir Campana de Gauss

6.

180

7. Rechazo la hipótesis nula y acepto la hipótesis alternativa.

Las exportaciones de petróleo que el Ecuador realiza a diferentes países

se comercializan en más del 95%, por lo que el país puede continuar

realizando sus exportaciones al exterior.

ORGANIZADOR GRTÁFICO

PRUEBA DE

HIPÓTESIS

Es una suposición o conjetura respecto a

una característica

Al aceptar o rechazar la hipótesis nula debe

asumirse un determinado error al tomar una decisión

Procedimiento de toma de decisión que

conduce a la aceptación o rechazo

de hipótesisestadísticas

Proposición sobre los parámetros de una

población o sobre la distribución de

probabilidad de una variable aleatoria

181

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población

normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados

de libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la

siguiente:

f(t)=

)1(2

12

)1(

)2

(

)2

1(

n

n

t

nn

n

, - t , 0

1)( dxexp xp

siendo p>0

La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de

ordenadas, con independencia del valor de n, y de forma semejante a la

distribución normal.

Propiedades:

1. La media es 0 y su varianza 2n

n

, n>2.

2. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.

3. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.

4. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).

5. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose

en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se

encuentra por debajo del de la normal.

6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con

los de la normal.

Ejercicio:

La empresa de transporte pesado TRANSURGIR de la ciudad de Tulcán

adquirió camines nuevos que cargan un peso aproximado a 15 toneladas

cada uno para determinar si esta afirmación es verdad se tomo una muestra de

7 camiones con repletos de carga cuya carga pesaba; 15,04tonn, 14,96tonn,

15tonn, 14,98tonn, 15,2tonn, 15,1tonn y 14,96tonn. Asumiendo un nivel de

182

significancia de 0,01 verificar que los camiones si cumplen con el peso

establecido.

Ho: u=15tonn

Ha: u≠2 u es diferente de dos

1) Bilateral

2) 99% 0,01 gl=n-1

gl= 10-1= 9

t=±3,250

3) nʯ30 T-student

4) GRAFICA

5) – –

Xi (Xi-X) (Xi-X)2

15,04 0,006 0,000032653

14,96 -0,074 0,005518367

15 -0,034 0,00117551

14,98 -0,054 0,002946939

15,2 0,166 0,027461224

15,1 0,066 0,004318367

14,96 -0,074 0,005518367

105,24

-

0,000000000000008881784197 0,046971429

183

6) Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la hipótesis alternativa ya

que el peso que puede transportar cada camión se encuentra en la

zona de aceptación.

ORGANIZADOR GRÁFICO

DISTRIIBUCIÓN T - STUDENT

LAS TABLAS DE LA DISTRIBUCIÓN T DE

STUDENT DAN VALORES ACUMULADOS DE

IZQUIERDA A DERECHA.

SURGE DE ESTIMAR LA MEDIA DE UNA

POBLACIÓN NORMALMENTE

DISTRIBUIDA CUANDO EL TAMAÑO DE LA

MUESTRA ES PEQUEÑA.

SIRVE PARA LA DETERMINACIÓN DE

LAS DIFERENCIAS ENTRE LAS DOS MEDIAS

MAESTRALES Y PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL

INTERVALO DE CONFIANZA

ES UNA PRUEBA ESTADISTICA PARA

EVALUAR SI DOS GRUPOS DIFIEREN

ENTRE SI DE MANERA SIGNIFICATIVA

RESPECTO DE SUS MEDIAS

184

TAREA

REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN

La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden

utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios.

Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y

cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una

variable depende de la otra variable.

Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables

cualquiera en un modelo de Regresión Simple.

"Y es una función de X"

Y = f(X)

Como Y depende de X,

Y es la variable dependiente, y

X es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión es muy importante identificar cuál es la variable

dependiente y cuál es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo

una variable independiente, razón por la cual se le denomina también

Regresión Divariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra

independiente y se representa así:

Y = f (X)

"Y está regresando por X"

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir.

También se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA.

La variable Independiente X se le denomina VARIABLE EXPLICATIVA ó

REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR Y.

185

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una

variable X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y,

llamada dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:

Y = a + b X + e

Donde:

a: es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el

eje Y.

b: es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)

e: es el error

SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL

1. Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.

2. La variable Y es aleatoria

3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y

(subpoblaciones Y)

4. Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.

5. Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.

6. Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente

independientes.

ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL

Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir,

encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El

método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se

obtiene:

186

Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es

Que se interpreta como:

a es el estimador de a

Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0

b es el estimador de b , es el coeficiente de regresión

Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el

número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una

unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).

Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en

Y por cada unidad de aumento en X.

PRUEBA DE HIPÓTESIS

A partir de esta unidad estudiaremos lo relacionado a probar diferentes tipos de

hipótesis, empezando por definir que es una hipótesis y una prueba de

hipótesis, enlistaremos los pasos para probar una hipótesis, y realizaremos

pruebas de hipótesis relativas a la media de una población y a las medias de

dos poblaciones.

¿Qué es una hipótesis?

Hipótesis es una afirmación o suposición respecto al valor de un parámetro

poblacional

Son ejemplos de hipótesis, o afirmaciones hechas sobre un parámetro

poblacional las siguientes:

ʯ El ingreso mensual promedio de todos los ciudadanos es $4500.00

ʯ El 20% de los delincuentes capturados son sentenciados a prisión

187

ʯ El 90% de las formas fiscales son llenadas correctamente

Todas estas hipótesis tienen algo en común, las poblaciones de interés son tan

grandes que no es factible estudiar todos sus elementos. Como ya sabemos,

una alternativa a estudiar la población entera es tomar una muestra de la

población de interés. De esta manera podemos probar una afirmación para

determinar si la evidencia soporta o no la afirmación.

¿Qué es una prueba de hipótesis?

Una prueba de hipótesis comienza con una afirmación o suposición acerca de

un parámetro poblacional, tal como la media poblacional. Una hipótesis podría

ser que la colegiatura que pagan los estudiantes universitarios de la República

Mexicana es en promedio de 3000 pesos. Para comprobar esta hipótesis no

podríamos contactar a todos los estudiantes universitarios de la república, el

costo sería exorbitante. Para probar la validez de esta afirmación podríamos

seleccionar una muestra de la población de estudiantes y basados en ciertas

reglas de decisión, aceptar o rechazar la hipótesis. Si la media muestral fuera

de 1000 pesos ciertamente tendríamos que rechazar la hipótesis, pero si la

media muestral fuera 2990 pesos ¿podríamos asumir que la media poblacional

si es de 3000 pesos?, ¿podemos atribuir al error de muestreo la diferencia de

10 pesos entre las dos medias, o es una diferencia significativa?

Prueba de hipótesis es un procedimiento basado en una evidencia muestral y

la teoría de la probabilidad, usado para determinar si la hipótesis es una

afirmación razonable para no ser rechazada, o es una afirmación poco

razonable y ser rechazada.

Procedimiento de 4 pasos para probar una hipótesis

Hay un procedimiento de cuatro pasos que sistematizan la prueba de hipótesis.

Para ilustrar el procedimiento, completemos el ejemplo anterior. Supongamos

que la muestra es de 20 estudiantes y el nivel de significancia es de .05. Los

cuatro pasos son los siguientes:

Paso 1. Establecer las hipótesis nula y alterna

El primer paso es establecer la hipótesis a ser probada. Esta es llamada la

hipótesis nula, simbolizada por H0, el subíndice cero implica “cero diferencia”.

Usualmente el término “no” es encontrado en la hipótesis nula significando “no

cambio”. La hipótesis nula de la introducción podría ser “la colegiatura mensual

188

promedio de los estudiantes universitarios no es diferente de 3000 pesos”. Esto

es lo mismo que decir “…es igual a 3000 pesos”. La hipótesis nula se puede

simbolizar H0: µ = 3000.

La hipótesis nula es una afirmación que será aceptada si los datos de la

muestra no nos proveen de evidencia convincente de que es falsa, es decir, si

se acepta la hipótesis nula decimos que la evidencia no es suficiente para

rechazarla pero no podemos afirmar que es verdadera.

La hipótesis alterna es la afirmación que se acepta si se rechaza la hipótesis

nula. Esta hipótesis, también llamada hipótesis de investigación, se simboliza

con Ha. La hipótesis alterna es aceptada si la evidencia proporcionada por la

muestra es suficiente para afirmar que la Ho es falsa.

En este ejemplo las hipótesis serían las siguientes:

Ho: La colegiatura promedio de los estudiantes no es diferente de 3000 pesos

Ho: µ = 3000

Ha: La colegiatura promedio de los estudiantes es diferente de 3000 pesos

Ha: µ ≠ 3000

Paso 2. Determinar el criterio de contraste

Determinar el criterio de contraste consiste en especificar el nivel de

significancia, el tipo de distribución, y los valores críticos.

Existen cuatro posibilidades al tomar una decisión respecto a una hipótesis:

Aceptar Ho Rechazar Ho

Ho verdadera Decisión

correcta

Error

Tipo I

Ho falsa Error

Tipo II

Decisión

correcta

Nivel de significancia es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula

verdadera

189

El nivel de significancia es simbolizado por α, y también es conocido como

nivel de riesgo. Este último término es más apropiado porque es el riesgo que

se toma de rechazar una hipótesis verdadera.

No hay un nivel de significancia para todos los estudios, se puede utilizar

cualquier valor de probabilidad entre 0 y 1. Tradicionalmente, el nivel de .05 es

aplicado a proyectos de investigación, el nivel .01 a control de calidad, y .10 a

sondeos políticos. Tú como investigador debes decidir el nivel de significancia

antes de colectar la muestra de datos.

El tipo de distribución se determinará dependiendo de la naturaleza de la

hipótesis y del tamaño de la muestra. Cuando la hipótesis es relativa a medias

poblacionales y las muestras son grandes (n>30) se utiliza la distribución

normal. Cuando es relativa a la media y la muestra es chica (n≤30) se utiliza la

distribución t de student.

Los valores críticos son los valores de la variable de la distribución que limitan

el área crítica, que es la parte de la curva que corresponde al nivel de

significancia.

En este ejemplo el nivel de significancia es de .05, se utiliza la distribución t de

student porque la muestra es pequeña, los valores críticos se encontraron de la

siguiente manera

El área crítica cuando la hipótesis alterna tiene el símbolo ( ≠ ) se divide en dos

y se dice que el problema es de dos colas, y cada cola vale α/2. Si la Ha tiene

el signo (<) el problema es de la cola izquierda, si tiene el signo(>) es de la cola

derecha, y en ambos casos la cola vale α. Este problema es de dos colas:

190

Paso 3. Calcular el estadístico de prueba

El estadístico de prueba es un valor obtenido de la información de la muestra

para compararlo con el criterio de contraste y rechazar o aceptar la hipótesis. El

estadístico de prueba cambia de acuerdo a la distribución que se utilice. En

este problema el estadístico de prueba es t y se simboliza t*

Supongamos que las colegiaturas de los estudiantes universitarios

entrevistados son las siguientes:

2821 3102 2398 2511 3222

2329 3109 2725 3627 2933

3822 3044 3125 2650 2741

3054 3281 2292 2952 2462

La media y la desviación estándar de la muestra son 2910 y 411.95

respectivamente, se procede enseguida a calcular el error estándar y la t*

Paso 4. Tomar decisión y conclusión

Una regla de decisión es establecer las condiciones sobre las cuales la

hipótesis nula es rechazada o no rechazada. Si el estadístico de prueba queda

dentro de la zona crítica la hipótesis nula deberá ser rechazada. Si el

191

estadístico de prueba queda fuera de la zona crítica la hipótesis nula no

deberá ser rechazada.

En el ejemplo de las colegiaturas, como el estadístico de prueba quedó fuera

de la zona crítica la hipótesis nula no puede ser rechazada. La conclusión

podría ser la siguiente:

“No hay evidencia suficiente para afirmar que la colegiatura que pagan en

promedio los estudiantes universitarios es diferente de 3000 pesos, en un nivel

de significancia de .05”

DISTRIBUCIÓN T-STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de

probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población

normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados

de libertad, donde n es un entero positivo, si su función de densidad es la

siguiente:

f(t)=

)1(2

12

)1(

)2

(

)2

1(

n

n

t

nn

n

, - t , 0

1)( dxexp xp

siendo p>0

La gráfica de esta función de densidad es simétrica respecto del eje de

ordenadas, con independencia del valor de n, y de forma semejante a la

distribución normal.

192

Propiedades:

7. La media es 0 y su varianza 2n

n

, n>2.

8. La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.

9. Los datos están más disperso que la curva normal estándar.

10. A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1).

11. La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose

en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se

encuentra por debajo del de la normal.

12. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con

los de la normal.

EJERCICIOS

1.- El gerente de personal de la empresa P&C quiere estudiar la relación entre

el ausentismo y la edad de sus trabajadores, tomó una muestra aleatoria de 10

trabajadores de la empresa y encontró los siguientes datos.

Edad (años) Ausentismo

(días por año)

25 46 58 37 55 32 41 50 23 60

18 12 8

15 10 13 7 9

16 6

450 552 464 555 550 416 287 450 368 360

625 2116 3364 1369 3025 1024 1681 2500 529

3600

324 144 64

225 100 169 49 81

256 36

313,29 10,89

234,09 32,49

151,29 114,49

2,89 53,29

388,09 299,29

43,56 0,36

11,56 12,96 1,96 2,56

19,36 5,76

21,16 29,16

193

PRIMER MÉTODO

SEGUNDO MÉTODO

194

TERCER MÉTODO

CUARTO MÉTODO

QUINTO MÉTODO

Serie 1

f(x)=-0.25985876*x+22.495969; R²=0.7281

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

-20

-10

10

20

30

40

50

x

y

195

2.- El banco de préstamos estudia la relación entre ingreso (X) y de ahorros (Y)

mensuales de sus clientes.

a) Determinar la ecuación lineal de las dos variables.

b) Trace el diagrama de dispersión en el plano cartesiano

c) Estime el ingreso que corresponde a un ahorro semanal de 90 dólares.

d) Si el ahorro es de 200 dólares que gasto puede realizar el obrero en

dicha semana.

e) Si el ingreso es de 350 dólares cual es el salario.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 200 400 600 800 1000

Axi

s Ti

tle

Axis Title

Y

Linear (Y)

196

Desarrollo

Ingresos Ahorros

x Y X Y X2 Y2 (xi-x) (xi-x)2 (yi-y) (yi-y)2

350 100 35000 122500 10000 -283,33 80275,89 -111,11 12345,43

400 110 44000 160000 12100 -233,33 54442,89 -101,11 10223,23

450 130 58500 202500 16900 -183,33 33609,89 -81,11 6578,83

500 160 80000 250000 25600 -133,33 17776,89 -51,11 2612,23

950 350 332500 902500 122500 316,67 100279,89 138,89 19290,43

850 350 297500 722500 122500 216,67 46945,89 138,89 19290,43

700 250 175000 490000 62500 66,67 4444,89 38,89 1512,43

900 320 288000 810000 102400 266,67 71112,89 108,89 11857,03

600 130 78000 360000 16900 -33,33 1110,89 -81,11 6578,83

5700 1900 1388500 4020000 491400 410000 90288,89

Primer caso

X=

Y=

197

3.- Un comerciante mayorista encargo un estudio para determinar la relación

entre los gastos de publicidad semanal por radio y las ventas de sus productos.

En el estudio se obtuvieron los siguientes resultados.

Semana 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Gasto de Publicidad ($) 30 20 40 30 50 70 60 80 70 80

Venta ($) 300 250 400 - 550 750 630 930 700 840

En la quinta semana por diversos motivos no se pudo hacer el estudio

a) Determine la ecuación de regresión de ventas sobre gastos de

publicidad

X=

Semanas Ingresos Ahorros

x Y xy

2 30 300 9000 900 90000 -25,6 652,80 -294,44 86694,91

3 20 250 5000 400 62500 -35,55 1263,80 -344,44 118638,91

4 40 400 16000 1600 160000 -15,55 241,80 -194,44 37806,91

6 50 550 27500 2500 302500 -5,55 30,80 -44,44 1974,91

7 70 750 52500 4900 562500 14,45 208,80 155,56 24198,91

8 60 630 37800 3600 396900 4,45 19,80 35,56 1264,51

9 80 930 74400 6400 864900 24,45 597,80 335,56 112600,51

10 70 700 49000 4900 490000 14,45 208,80 105,56 11142,91

11 80 840 67200 6400 705600 24,45 597,80 245,56 60299,71

500 5350 338400 31600 3634900 0,05 3822,22 454622,22

198

Y=

199

b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes.

c. Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este

valores

yr= -5,27 + 10,79(30) yr= 318,43

4.- Se obtuvieron los siguientes datos para determinar la relación entre

cantidad de fertilizante y producción de papa por hectárea.

Sacos de fertilizante por hectárea 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Rendimiento en quintales 45 48 52 55 60 65 68 70 74 76

a) Encuentre la ecuación de regresión de la cosecha sobre el fertilizante,

por el método de mínimos cuadrados.

0200400600800

1000

0 50 100

Axi

s Ti

tle

Axis Title

Ahorros Y

Linear (Ahorros Y)

b. Estime la cosecha si se aplica 12 sacos de fertilizantes ¿Cuánto es el error o

residual?

-76=1.63 es el error.

c. Determina el coeficiente de determinación. De su comentario sobre este

valores

201

5.- El número de horas de estudio invertidas y las calificaciones finales en un

curso de matemáticas de una muestra 10 alumnos ha dado los siguientes

resultados:

Alumno

Horas de estudio 14 16 22 20 18 16 18 22 10 8

Calificación 12 13 15 15 17 11 14 16 8 5

a) Determine la recta de regresión de la calificación sobre el número de

horas de estudio invertidos. Interprete la ecuación de regresión.

Alumno Horas de

Estudio X

Calificación

Y XY

A1 14 12 168 196 -2,40 5,76

A2 16 13 208 256 -0,40 0,16

A3 22 15 330 484 5,60 31,36

A4 20 15 300 400 3,60 12,96

A5 18 17 306 324 1,60 2,56

A6 16 11 176 256 -0,40 0,16

A7 18 14 252 324 1,60 2,56

202

A8 22 16 352 484 5,60 31,36

A9 10 8 80 100 -6,40 40,96

A10 8 5 40 64 -8,40 70,56

6.- Sobre la base de una muestra de tamaño 28 se encontró que la ecuación de

regresión muestral de gastos mensuales (Y) sobre tamaño de la familia (X) es:

Además la covarianza de Y con X es igual a 32, y la desviación estándar de Y

es igual a 5,

a) Determine el coeficiente de correlación y analizar la bondad del ajuste

de la línea de regresión con el coeficiente de determinación.

203

7.- Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una

importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y

(ventas en miles de dólares) ha dado los siguientes resultados:

a) Determine la ecuación de regresión:

Ecuación

b) Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la

variación total es explicada por la regresión?

204

8.- Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados en el

nivel de producción. En la tabla que sigue se da la información recabada sobre

gastos generales y las unidades producidas en 10 plantas y se desea estimar

una ecuación de regresión para estimar gastos generales futuros.

Gastos generales ($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200

Unidades producidas 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10

a) Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de

regresión.

205

–

206

9.- Las cantidades de un compuesto químico (Y) que se disuelven en 100

gramos de agua a diferentes temperaturas (X) se registraron en la tabla que

sigue:

X (°C) Y gramos

0 15 30 45 60 75

10 15 27 33 46 50

8 12 23 30 40 52

10 14 25 32 43 53

9 16 24 35 42 54

11 18 26 34 45 55

11,8 15 25

32,8 43,2 52,8

225 180,6

X (°C) Y gramos

0 11,8 0 0 139,24 1406,25 139,24

15 15 225 225 225 225 225

30 25 750 900 625 900 625

45 32,8 1476 2025 1075,84 2025 1075,84

60 43,2 2592 3600 1866,24 3600 1866,24

75 52,8 3960 5625 2787,84 5625 2787,84

207

PRIMER MÉTODO

SEGUNDO MÉTODO

TERCER MÉTODO

208

10.- Una muestra de 60 de las 350 agencias de ventas de automóviles de una

importadora registrada en un mes con X (autos vendidos por agencia), Y

(ventas en miles de dólares) ha dado los siguientes resultados:

Determine la ecuación de regresión:

Ecuación

209

Calcule el coeficiente de terminación ¿Qué porcentaje de la variación total

es explicada por la regresión?

11.- Los contadores con frecuencia estiman los gastos generales basados en el

nivel de producción. En la tabla que sigue se da la información recabada sobre

gastos generales y las unidades producidas en 10 plantas y se desea estimar

una ecuación de regresión para estimar gastos generales futuros.

Gastos generales

($) 300 1000 1100 1200 600 800 900 500 400 200

Unidades

producidas 15 45 55 75 30 40 45 20 18 10

210

N x Y X2 Y2 X Y (xi-x)2 (yi-y)2

1 300 15 90000 225 4500 160000,00 412,09

2 1000 45 1000000 2025 45000 90000,00 94,09

3 1100 55 1210000 3025 60500 160000,00 388,09

4 1200 75 1440000 5625 90000 250000,00 1576,09

5 600 30 360000 900 18000 10000,00 28,09

6 800 40 640000 1600 32000 10000,00 22,09

7 900 45 810000 2025 40500 40000,00 94,09

8 500 20 250000 400 10000 40000,00 234,09

9 400 18 160000 324 7200 90000,00 299,29

10 200 10 40000 100 2000 250000.00 640.09

sumatoria 7000 353 6000000 16249 309700 1100000,00 3788,10

Determine la ecuación de regresión y haga un análisis del coeficiente de

regresión.

211

Diagrama de dispersión en el plano cartesiano

PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS

Primer paso formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa

Hipótesis nula

Ho = β=0

La hipótesis alternativa

Ha= β<0; β>0

Segundo paso determinar si la prueba es unilateral o bilateral

Bilateral

Tercer paso Asumir el nivel se significación de la prueba

99% 2.58

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Series1

212

Cuarto paso determinar la distribución muestral que se usara en la prueba

Quinto paso elaborar el esquema de la prueba

-2.58 +2.58

Sexto paso calcular el estadístico de la prueba

3

213

CONCLUSIONES:

Mediante el presente trabajo he podido conocer y aplicar sobre

regresión, prueba de hipótesis y t-student, además he aprendido sobre

las relaciones que existen entre las variables dentro de un problema.

Con el desarrollo de varios problemas con respecto al tema he podido

practicar y aprender las relaciones existentes: relación infinita, positiva

perfecta, negativa imperfecta, nula etc.

RECOMENDACIONES:

Es de vital ayuda poner en práctica los conocimientos aprendidos ya que

nos servirán dentro de nuestra carrera.

Es necesario identificar el coeficiente de correlación dentro de dos

variables porque estas se aplican dentro del desarrollar un proyecto.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

ACTIVIDAD

DIAS

Responsable

Mayo Junio Julio

M 22

V 25

S 26

M 29 V 1 S 2 M 5 V 8 S 9

M 12

V 15

S 16

M 18

V 22

S 23

M 26

V 29

S 30 M 3 M 4 J 5

Recepción de Clases Msc. Jorge P.

Copias del texto Tamara A.

Desarrollo del marco teórico Tamara A.

Desarrollo de los ejercicios Tamara A.

Propuesta de ejercicios Tamara A.

Entrega de Trabajo

Tamara A.

215

BIBLIOGRAFÍA

Rodríguez, María Elene, ÁlvareZ, Sergio y Bravo, Ernesto. 2001. Coeficientes de Asociación.

México : Plaza y Valdés S.A, 2001.

Sabadías, Antonia Vargas. 1995. Estadística Descriptiva e Inferencial. Cuenca : CIDI, 1995.

Williams, Thomas A. 2008. Estadística para Administración y Economía. México : Cengage

Learning Editores S.A, 2008.

ANEXOS

Ejercicio # 1

Dados los siguientes datos referentes a horas trabajadas en una maquila

(X), y a unidades de cobijas producidas (Y), determinar la recta de regresión

el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo y resolver por medio de los

5 métodos.

216

PRIMER MÉTODO

SEGUNDO MÉTODO

217

TERCER MÉTODO

CUARTO MÉTODO

QUINTO MÉTODO

218

Ejercicio # 2

Se exporta café ecuatoriano a Japón y según los datos obtenidos en el

estudio de mercado, se puede evidenciar el año en el cual se exporto gran

cantidad de este grano en miles de toneladas.

Serie 1

f(x)=3.4734043*x+31.741135; R²=0.9101

-150 -100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400

-100

-50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

x

y

219

PRIMER MÉTODO

SEGUNDO MÉTODO

220

TERCER MÉTODO

CUARTO MÉTODO

QUINTO MÉTODO

221

Ejercicio # 3

De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media

muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma

una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la

desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando

como nivel de significancia 0,04.

Ho: u1 = u2

Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de decisión

Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la

hipótesis alternativa

c) Calcule el valor del estadístico de prueba

Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta

Serie 1

f(x)=3.4734043*x+31.741135; R²=0.9101

-80 -60 -40 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

-50

50

100

150

200

250

x

y

222

H1

d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?

Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se

acepta la hipótesis alternativa

Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05

e) Cuál es el valor p?

Z = 2,59 Area 0,4952

0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096

Ejercicio # 4

Prueba la hipótesis H0 : p = 0.4

H1 : p ʯ 0.4

Presuma que = 0.45, n = 200, y ʯ = .01.

Solución:

H0 : p = 0.4

H1 : p ʯ 0.4

Usando ʯ = .01, el diagrama de la región de rechazo es:

Calculando el valor z para la proporción muestral p = 0.45),

.005 .005

-2.575 2.575

223

obtenemos:

0346.0200

)4.01(4.0p

Z = 45.10346.0

4.045.0

Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2) obtenemos:

Como el valor z está fuera de la región de rechazo (sombreada), por lo tanto no rechazamos Ho.

La proporción en la población es 0.4.

Ejercicio # 5

Suponer una variable aleatoria X para designar el peso de un pasajero de

avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros.

Como hay limitaciones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma

una muestra de 36 pasajeros de la cual se obtiene una media muestral

= 160 libras. Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una

distribución normal con desviación estándar = 30. Con un nivel de

significancia de .05. ¿ Se puede concluir que el peso promedio de todos los

pasajeros es menor que 170 libras?

Datos

n =36

= 160 libras

= 30

= .05

1. Establecer la hipótesis

Ho: 170

Ha: < 170

X

X

.005 .005

-2.575 2.575

1.45

224

2. Establecer la estadística de prueba

Z =

3. Definir el nivel de significancia y la zona de rechazo

-1.64

Nivel de significancia = .05

Zona de rechazo = { Z/ Z -1.64}

4. Calcular la estadística de prueba

Z = la media poblacional esta bajo la hipótesis nula

entonces tenemos

Hacer liga con nivel de significancia y zona de rechazo

5. Regla de decisión basada en la estadística de prueba

Como -2 es menor que -1.64 la hipótesis nula se rechaza con un nivel de

significancia de 0.05.

n

X

n

X

25

10

36

30

170160Z

225

6. Conclusión

Así podemos afirmar: que el peso promedio de todos los pasajeros

corresponde a un valor menor de 170 libras con .

Ejercicio # 6

La producción promedio de leche diaria por vaca en la provincia en los

meses de verano ha sido en los años anteriores de 10.1 litro. Este año en

una muestra simple aleatoria de 16 días de los meses de verano se obtuvo

una producción media diaria por vaca de 9.8 litros con una varianza muestral

de 1.21. ¿Hay razón para afirmar que ha variado la producción de leche

diaria promedio por vaca?. Considere distribución normal y = 0.05

Esta es una prueba paramétrica sobre media, ya que de lo que se trata es

de verificar si ha tenido variación la producción diaria promedio de leche por

vaca.

La información que nos brinda el problema es la siguiente:

= 10.1 σ² = ? n = 16 x = 9.8 S2 = 1.21 S = 1.1

Estamos en el caso en que se desconoce la varianza poblacional (2

) y n

30, luego tenemos que trabajar con la distribución t'student, para el cálculo

de la R.C.

1.- Formulación de las hipótesis

Ho: = 10.1

H1: 10.1

Aquí Ho nos expresa que la producción promedio de leche es de 10.1 y H1

que la producción promedio de leche varió, es decir puede ser mayor ó

menor.

2.- Nivel de significación

= 0,05

226

PRUEBA CHI - CUADRADO

Pruebas Paramétricas. Se llama así a las pruebas de hipótesis que

cumplen tres requisitos fundamentales:

1. La variable de la prueba debe ser la variable cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Los datos deben ajustarse a determinadas distribuciones estadísticas.

Ejemplos.

1. La prueba basada en la distribución normal de probabilidades.

2. La prueba de student.

Pruebas No Paramétricas.- llamadas también pruebas de distribución libre.

Son aquellas que:

1. La variable de la prueba puede ser cualitativa o cuantitativa.

2. Los datos se obtienen por muestreo estadístico.

3. Son independientes de cualquier distribución de probabilidad.

Ejemplo.

La prueba de Chi – Cuadrado (también llamada prueba Ji –Cuadrado).

Las pruebas paramétricas son mas poderosas. Sin embargo cuando la

variable es cualitativa, sólo se puede usar las pruebas no paramétricas.

El Estadístico Chi – Cuadrado

En un estadístico que sirve de base para una prueba no paramétrica

denominada prueba chi – cuadrado que se utiliza especialmente para

variables cualitativas, esto es, variables que carecen de unidad y por lo tanto

sus valores no pueden expresarse numéricamente. Los valores de estas

variables son categorías que sólo sirven para clasificar los elementos del

universo del estudio. También puede utilizarse para variables cuantitativas,

transformándolas, previamente, en variables cualitativas ordinales.

El estadísticos chi- cuadrado se define por

227

En donde:

n= número de elementos de la muestra.

n-1= número de grados de libertad

s2= varianza de la muestra

a2= varianza de la población

Desarrollaremos un ejemplo numérico con la finalidad de fijar el concepto de

Chi – cuadrado.

Ejemplo:

En un estudio de la capacidad de aprendizaje de matemáticas, en los niños

de una población, se tomó una muestra representativa de 40 niños. Se les

aplicó una prueba de diagnostico del aprendizaje en matemáticas y con los

datos obtenidos se calculó la varianza s2=8.4, conociendo que la varianza

poblacional es de α2= 12,37, calcular el valor del estadístico chi-cuadrados.

Datos:

n= 40 S2= 8,4 a2= 12,37

Ahora vamos a elaborar el concepto de DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL

ESTADÍSTICO CHI- CUADRADO.

Supongamos que se realiza los pasos siguientes:

1. De una población de N elementos se extrae todas las muestras

posibles del mismo tamaño n.

228

2. Con los datos de cada muestra se calcula el estadístico chi –

cuadrado.

3. Con todos los valores de Chi – cuadrado se forma una distribución de

frecuencias; éstas se denomina distribución muestral del Chi-

cuadrado.

Esta distribución muestral se representa gráficamente en un sistema de

coordenadas, colocando en el eje de abscisas los valores del estadístico

Chi- cuadrado.

Cuadrado en el eje vertical se colocan las frecuencias de cada valor del chi-

cuadrado.

El área encerrada bajo la curva y el eje horizontal es igual a uno y

representar la probabilidad de que Chi-cuadrado tome valores mayores que

0.

El área rayada situada a la derecha de la ordenada levantada en la abscisa

x2 (gl), representa la probabilidad de cometer el error tipo l en la prueba de

chi-cuadrado. Esta probabilidad es el nivel de significación de la prueba.

El valor x2 (gl) se llama valor crítico del chi-cuadrado y se determina por

medio de una tabla especial, que representa al final del libro el aprendizaje

de tablas.

Antes de entrar en el manejo de la tabla debemos tener encuentra que para

una probabilidad dad, por ejemplo =0.05, al aumentar el número de grados

de libertada también aumenta el valor crítico de Chi-cuadrado; esto se

ilustra en las tres figuras siguientes:

229

Este crecimiento del valor crítico se debe a que el aumentar el número de

grados de libertad, la curva de la distribución muestral de Chi-cuadrado

tiende a tomar una forma más extendida y por tanto el punto crítico se

desplaza hacia la derecha.

Descripción y manejo de la tabla.- La tabla de valores críticos de x2 se

encuentra en el apéndice. En la línea horizontal superior encabezando en

cada columna se hayan los valores de .

En la primera columna de la izquierda están los grados de libertad. Los

ejemplos siguientes el manejo de la tabla.

1. Ejemplo:

=0.05 y gl= 4 g de l

230

A partir de gl=4g de l, dirigimos una visual hacia la derecha hasta cortar a

la visual que baja por =0.05; en la intersección se encuentra el valor

crítico

2. Ejemplo:

Si

Hallamos x2 (6)=12.592

3. Ejemplo:

Si

Encontramos x2 (10) = 18.307

Con estos 9 valores de la variable de estudio X, vamos a elaborar el cuadro

de frecuencias observadas correspondientes a las 10 categorías

establecidas.

Cuadro 11. 3. 2

Intervalos Conteo Frecuencias

Observadas

Menos de 6,26 a 6, 26 IIII - I 6

6 , 26 a 11,62 IIII - I 6

11,62 a 15,51 III 3

15,51 a 18,80 IIII 5

18,80 a 21,96 IIII 4

21,96 a 25,12 IIII - IIII 10

25,12 a 28,41 III 3

28,41 a 32,30 IIII 4

32,30 a 37,66 IIII 4

37,66 a más. IIII 5

A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los 50 datos, es

decir, colocar a cada uno de ellos dentro de su categoría representándolo

por una tarja. La suma de las tarjas de cada clase da la frecuencia

observada de esta clase.

231

Para facilitar el cálculo del estadístico chi-cuadrado mediante la fórmula

indicada

Agregamos las frecuencias observadas y esperadas en celdas tal como se

presenta a continuación. Recordemos que se fijo la frecuencia esperada de

5 en cada intervalo, luego:

Frecuencia observada O, y frecuencia esperada E, en la Prueba Chi-

cuadrado de Bondad de Ajuste.

Ei 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Oi 6 6 3 5 4 10 3 4 4 5

7) Toma de decisiones

Observamos que este valor de Chi-cuadrado, en el esquema grafico (figura

11.3.5) se ubica en la regresión de aceptación, luego aceptamos esto es,

que la muestra se obtiene de una población distribuida normalmente.

Problema

De una investigación demográfica se conoce que los habitantes de ciertos

países se distribuyen en la forma siguiente: 0- 20 años, 25%; 21 – 40 años,

35%; 41 -61 años, 25%; 61 -80 años, 10%; 81 – 100 años, 5%.

Después de transcurridos varios años se quiso probar que la distribución

poblacional de las edades no ha cambiado para lo que se selecciono una

muestra respectiva de 1000 personas y se observo que las frecuencias de

232

las 5 categorías fueron: 0- 20 años, 200; 21 – 40 años, 300; 41 -61 años,

300; 61 -80 años, 100; 81 – 100 años, 100.

1) la distribución actual por edades es igual a la del año de ejecución

del censo

La distribución actual por edades no es igual a la del año de

ejecución

2) La prueba es unilateral y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.10

4) Se utiliza la distribución CHI – CUADRADO

ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen k= 5 celdas, tenemos gl = K-1 = 5-1=4 grados de libertad a =

0.10 en la tabla de CHI – CUADRADO obtenemos

77.14

7.779

233

5) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

200

300

300

100

100

Las frecuencias observadas nos las proporcionan con la muestra aleatoria

de los 1.000 habitantes.

CALCULO DE LAS FRECUENCIAS ESPERADAS

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 35% = 350

= 1.000 X 25% = 250 = 1.000 X 105% = 100

= 1.000 X 5% = 50

CALCULO DEL ESTADISTICO CHI – CUADRADO

= +

= 10+7.14+10+0+50

= 77.14

250 350 250 100 50

234

6) TOMA DE DECISIONES

Vemos que el estadístico calculado CHI – CUADRADO (77.14) es

mayor que el valor critico encontrado en la tabla (7.779) vemos que

77.14 cae en la región de rechazo por lo tanto rechazamos y

aceptamos , es decir la distribución actual por edades no es igual a

la de la investigación demográfica.

CORRECCIÓN DE YATES

Cuando el número de grados de libertad es igual a la unidad, es necesario

realizar una corrección por continuidad durante el cálculo del estadístico de

la prueba. Esta corrección se denomina de yates y consiste en disminuir en

0.05 al valor absoluto de la diferencia entre las frecuencias

observadas y as frecuencias esperadas.

El ejemplo siguiente ilustra la aplicación de esta corrección.

PROBLEMA

En el año de 1960, la proporción de hombres y mujeres de cierta institución

de enseñanza superior, fue de 75% y 25%, respectivamente. Con la finalidad

de verificar si el transcurso del tiempo había originado algún cambio en las

proporciones de estudiantes de ambos sexos, en el año de 1970 se tomó

una muestra aleatoria de 100 alumnos de 1º ciclo, obteniendo 60 hombres y

40 mujeres. Con estos datos realizar la verificación por medio de la prueba

de CHI – CUADRADO, asumiendo el nivel de significación de a= 5%.

1) la distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 también es

de 75% y de 25% respectivamente

235

La distribución de hombres y mujeres en el año de 1970 no es

del 75% ni del 25% respectivamente

2) La prueba es universal y de cola derecha

3) Nivel de significación a= 0.05

4) Emplearemos la distribución muestral de CHI – CUADRADO

5) ESQUEMA DE LA PRUEBA

Existen 2 categorías entonces K= 2 y gl = K – 1 =2-1=1 a= 0.05 con

estos datos vamos a la tabla de CHI – CUADRADO y obtenemos

3.841.

6) CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

11.21

3.841

75 25

236

60

40

OBTENCIÓN DE LOS VALORES ESPERADOS

Valor esperado para los hombres: 100 x 75% = 75

Valor esperado para las mujeres: 100 x 25% = 25

CACULO DEL ESTADÍSTICO DE LA PRUEBA

Como gl = 1 utilizaremos la corrección de yates

=2.8+8.41= 11.21

7) TOMA DE DESICIONES

Como el valor de CHI – CUADRADO es de 11.21, mayor que el valor

CHI – CUADRADO afirmamos que 11.21 cae en la región de rechazo,

luego rechazamos la por lo tanto afirmamos que la distribución de

hombres y mujeres no es del 75% ni del 25% respectivamente.

237

En un estudio realizado en el departamento de investigación del ESAN

acerca del perjuicio étnico hacia el negro. En los universitarios de lima se

aplico

Una encuesta a los universitarios según su lugar de procedencia,

obteniendo los resultados que presenta la siguiente tabla

Al nivel de significación Q=0.05, determinar que las variables perjuicio étnico

hacia el negro y lugar de residencia son independientes

1. Ho: el perjuicio étnico y el lugar de residencia son independientes

H1: existe dependencia entre las variables.

2. La prueba es unilateral y la cola derecha

3. Asumimos el nivel de significación de Q= 0.05

4. Utilizaremos la distribución muestral de chi-cuadrado porque las dos

variables son cualitativas.

5. Esquema de la prueba

Gl =(C-1) (F-1) 1.1.3.4

Gl =(3-1) (2-1) = 2 11.3.4

Gl= 2

Q= 0.05

X2 = (2) = 5.991

C= # de columnas

F= # de filas

6. Calculo del estadístico de la prueba x=

3.54 5.991

Formula

Lugar de residencia

Grado de perjuicio

Barriadas Barrios populares

intermedios

Barrios residenciales

total

Alto 32 225 50 307

Bajo 28 290 79 397

Total 60 515 129 704

238

2

X2= 3.54

Ya conocemos las frecuencias observadas para determinar las frecuencias

esperadas emplearemos la misma tabla, manteniendo invariables de

frecuencias marginales de dos variables

Lugar de Residencia

Grado de perjuicio

Barriadas Barrios populares

(intermedios)

Barrios residenciales

total

Alto E11 E12 E13 307

Bajo E21 E22 E23 397

Total 60 515 129 704

Cuando las variables X y Y son independientes, las frecuencias de cada

celda son igual al productos de las frecuencias marginales correspondientes

dividido por el tamaño de la muestra.

26.16

32

224.58

225

33.84

28

290.42

290

72.75

79

56.25

50

239

Las frecuencias esperadas y las asociadas determinan las frecuencias

observadas anteriormente

ORGANIZADOR GRÁFICO

CHI -CUADRADO

SI SE EXTRAEN TODAS LAS MUESTRAS

POSIBLES DE UNA POBLACIÓN NORMAL Y A CADA MUESTRA

SE LE CALCULA SU VARIANZA

LOS VALORES DE X2

SON MAYORES O IGUALES QUE 0.

FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN X2

DEPENDE DEL GL=N-1. EN

CONSECUENCIA, HAY UN NÚMERO INFINITO DE

DISTRIBUCIONES X2.

EL ÁREA BAJO UNA CURVA CHI-

CUADRADA Y SOBRE EL EJE HORIZONTAL

ES 1.