CAPÌTULO DOS

NÙMEROS REALES. R

N⊆Z⊆Q⊆RN= Números naturales.Z= Números enteros.Q= Números racionales.R= Números reales.I= Números irracionales.RELACIÒN DE LOS CONJUNTOS NUMÈRICOS.

EJEMPLOS:π= 0,14152 Número irracional.16 = 0,161616= 0,16. Número racional periódico.

√16 Número racional.e2 Número irracional.1,232323= 1,23 Número periódico racional.π4 Número irracional.

NÙMEROS REALESNÙMEROS RACIONALES NÙMEROS ENTEROS

ENTEROS POSITIVOS CERO

ENTEROS NEGATIVOSNÙMEROS IRRACIONALES

I Q

ZN

CAPÌTULO DOS

√ 18 Número irracional.12 = 0,5 Número racional.

√2 Número irracional.PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS.

: Si y sólo si.∀ab∈P ,a∗b∈PBINARIA CONMUNTATIVA: ⇔

∀ab∈P ,a∗b=b∗¿aBINARIA ASOCIATIVA: ⇔∀ab∈P ,a∗(b∗c )=(a∗b)∗cELEMENTO NEUTRO.∃n∈ P∀a∈ P ,a∗n=n∗a=aELEMENTO INVERSO a=i inverso a∀a∈P∃ i∈P ,a∗i=i∗a=n

OPERACIÓN BINARIA:Se define S= { , , } y la operación ¿ sobre S mostraba en la siguiente tabla: *

B= {1, 2, 3}* 1 2 31 3 2 32 2 3 33 3 2 1

CAPÌTULO DOS

VERIFICACIÒN DE PROPIEDADES.a¿b = 2ab+b2+a a¿b=b¿a → Si posee la propiedad conmutativa.a¿b= 2ba+a2+b2 b¿a= 2ab+b2+a2(a¿b)¿c = 2c(2ab+b2+a2)+(2ab+b2+a2)2+c2 = a4+4a3b+6a2b2 +4ab3+b4+2cab+2cb2+2ca2+c2(b¿c)¿ a =2a(2bc+c2+b2)+(2bc+c2+b2)2+a2 =4abc+2ac2+2ab2+b4+4b3c+6b2c2+4bc3+c4+a2Propiedad Asociativaa*b=2ba+a2+b2Neutro inverso (asociativa)∀a∈ ∀b∈ ∀c∈ (a . (b . c) = (a . b) . c)a*b=2ab+b2+ a2(2ab+b2+ a2)*C= ( a2+2ab+b2)2+2(2ab+ b2+ a2)(c) +(c)2(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)+ (4abc+2b2c+2a2c+c2)(2ab+b2+a2)*c=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4+2a2c+2b2c+4abc+c2a4+4a3b+6a2b2+4ab3+4abc+2a2c+2b2c+c2+b4a*(b*c)= a*(2bc+c2+b2)2a(2bc+c2+b2)+(2bc+c2+b2)2+a2(4abc+2ac2+2ab2)+ (b2+4b3c+6b2c2+4bc3+c4)4abc+2ac2+2ab2+b4+4b3c+6b2c2+4bc3+c4+a2Neutro ≠ Únicoa * n ≠ n * a2an + n2+a2=0

CAPÌTULO DOS

Ejercicio en clase: π

2π+4=1

2+ 41=1+82

=92=4.5Racional.

2√3.π Irracional. 3,1415…. Irracional. -√25 Racional. √ 15 Irracional. √9 Racional.DIVISORES Y MULTIPLOS DE UN NÙMERO ENTERO.

Si a ,b , c ∈ ℤ cumplen la relación c=a .b, entonces decimos que a y b son factores o divisores de c. En tal caso, c es múltiplo de a y b.EJEMPLOS:-20 es múltiplo de 10, porque -20= (-2) (10).2 es factor o divisor de -20= (2) (-10).5 y 7 son factores o divisores de 35, porque 35 es múltiplo de 5 y 7.NÙMERO PRIMO.

NÙMERO COMPUESTO.EJEMPLOS.Descomponer los siguientes números en sus factores. 87 3 105 5 2310 2 29 29 21 3 1155 3

Un número entero positivo p>1 es primo, si y solo si sus únicos factores son exactamente 1 y p.Un número entero positivo n>1 es compuesto, si y solo si no es primo.

CAPÌTULO DOS

1 7 7 385 5 1 77 7 11 11 1 87= (3)(29) 105= (5)(3)(7) 2310= (2)(3)(5)(7)(11) 62 2 168 2 360 2 31 31 84 2 180 2 1 42 2 90 2 21 3 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 62= (2)(31) 168= (23)(3)(7) 360= (23)(32)(5)MÀXIMO COMÙN DIVISOR (M.C.D.)

EJEMPLOS. Determinar el M.C.D. de los siguientes números 24, 36, 48. 24= (23) (3)

El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.

CAPÌTULO DOS

36= (22) (32)48= (24) (3)M.C.D. :(22) (3)= 12 Hallar el M.C.D. de los siguientes números 99, 210, 480.99= (32) (11)210= (2) (3) (5) (7)480= (24) (3) (5)M.C.D. :(2) (3) (5) (7) (11)= 2310 Calcule el M.C.D. de los siguientes números 10, 22, 96, 120.10= (2) (5)22= (2) (11)96= (25) (3)120= (23) (3)(5)M.C.D. :(2) (3) (5) (11)= 330 Un vendedor dispone de 24, 36 y 48 unidades de tres artículos diferentes, respectivamente. Necesita elaborar paquetes por cada artículo, de tal forma que el número de unidades de todos los paquetes sea el mismo y el más grande posible. SOLUCIÒN.

24= (23) (3)36= (22) (32)48= (24) (3)M.C.D.: (22) (3)= 12Los paquetes deberán contener 12 unidades. Con lo cual, se obtienen 2, 3 y 4 paquetes para los diferentes artículos.

MÀXIMO COMÙN MÀXIMO (m.c.m.)

EJEMPLOS:

El m.c.m. de un conjunto de números enteros es el menor entero positivo que es divisor de cada uno de los números dados.

CAPÌTULO DOS

En el conjunto de números 2, 6, 10; determinar el m.c.m. 2= 26= (2) (3)10= (2) (5)m.c.m.: (2) (3) (5)= 30 Determinar el m.c.m. de los siguientes números 75, 81, 100.75= (3) (52) 81= (34) 100= (22) (52) m.c.m.: (22) (34) (52)= 8100 Encontrar el m.c.m. del siguiente conjunto de números 12, 22, 45, 76.12= (22) (3) 22= (2) (11)45= (32) (5)76= (22) (19)m.c.m.: (22) (32) (5) (11) (19)= 37620 Un fabricante tiene tres productos en su inventario, los cuales se revisan periódicamente cada 2, 6 y 10 semanas, respectivamente. El fabricante necesita calcular cuál será el mínimo tiempo que debe transcurrir en semanas para que la revisión de lo tres productos coincida.

SOLUCIÒN: 2= 26= (2) (3)10= (2) (5)m.c.m.= (2) (3) (5) = 30Cada 30 semanas los tres productos serán revisados al mismo tiempo.

NÙMEROS PARES E IMPARESSe dice que a es:Número Par ⇔ a= 2n ,n ϵ ZNúmero Impar ⇔ a= 2n+1 , n ϵ Z

CAPÌTULO DOS

EJEMPLOS:12 es par porque 12 = (2) (6)-5 es impar porque -5 = (2) (-3) +1 0 es par porque 0 = (2) (0)31 es impar porque 31= (2) (15) +124 es par porque 24 = (2) (12)75 es impar porque 75 = (2) (37)+114 es par porque 7 = (2) (7)87 es impar porque 87 = (2) (43)+1EJERCICIOS EN CLASE: ¿Por qué es verdadera la igualdad (a+b). c=a . c+b . c ?Porque se aplica la propiedad asociativa. El valor de verdad de la proposición √¿¿)2≠(√1−√3)2a) verdadero b) falso Una de las siguientes preposiciones es falsa, identifíquela:

a) 8 ¿eπ<81 verdadera.b) √3 + √2 ¿ 1

√3−√2 verdadera.c) 2√2 ¿√8 verdadera.d) 10.1666…

=6 falsa.e) 5√0.1 ¿ 5√0,2 verdadera. ¿Cuál es la lista donde los números aparecen ordenados de menor a mayor?a) 69200, 19100, 0.8 , 15b) 19100, 15, 69200, 0.8c) 45 , 19100, 15, 69200d)15, 0.8, 69200, 19100

CAPÌTULO DOS

e) 12, 0.5, 24EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

EJEMPLOS:15a2b3c5100m7n3 p+2m6n4 p -3x2 y 4 z32x2−x+72x y4−9 axyz-3x+√3xy

EJERCICIOS EN CLASE. 3

x− xx−1

=3 (x−1 )−x2

x ( x−1 )=3 x−3−x

2

x ( x−1 )=−x2−3 x+3

x (x−1 ) sol.

1x−1

− 1x+1

=( x+1 )−( x−1 )

(x−1 ) ( x+1 )= x+1−x+1

(x−1 ) ( x+1 )= 2

(x−1)(x+1) sol.

5x+53x+3

=5(x+1)3(x+1)

=53sol.

x2+2 x−3x3−x2

=( x+3 ) (x−1 )x2 ( x−1 )

= x+3x2

sol.

4x−x

xy+12

=

4−x2

x2 x+ x2 x

=2x (4−x2)x (2 x+x)

= 8x−2x3

x (2 x+x) sol.

2 x2−24 x2+8 x−12

=2(x2−1)

4 (x2+2 x−3)=2(x+1)(x−1)4 (x+3)(x−1)

= x+12(x+3)

sol.

Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales están separadas entre sí por los signos + o −¿.

CAPÌTULO DOS

4

x2−4+

3

x2−4 x+4=

4( x+2 ) ( x−2 )

+3

(x−2)2=4 ( x−2 )+3( x+2)(x+2)(x−2)2

=4 x−8+3x+6(x+2)(x−2)2

=7x−2

(x+2)(x−2)2

sol.

21−a

+ 21+a

21+a

− 21−a

=

2 (1+a )+2(1−a)(1−a)(1+a)

2 (1−a )−2(1+a)(1+a)(1−a)

=2 (1+a )+2(1−a)(1+a)(1−a)2(1−a)−2(1+a)(1−a)(1+a)

=2 (1+a )+2(1−a)2 (1−a )−2(1+a)

= 2+2a+2−2a2−2a−2−2a

=−44a

sol.

1x−1

+ 1x−3

+ x−1x2−4 x+3

= 1x−1

+ 1x−3

+ x−1(x−3)(x−1)

= x−3+ x−1+x−1(x−3)(x−1)

= 3x−5(x−3)(x−1)

sol.

xy− yx

1+ yx

=

x2− y2

xyx+ yx

=x( x2− y2)xy (x+ y )

=x(x+ y )(x− y )xy ( x+ y )

=x (x− y)xy

= x2−xyxy

sol.

2xx2+3 x+2

− xx2−4

= 2x( x+2)(x+1)

− x(x+2)(x−2)

=2 x ( x−2 )−x (x+1)(x+2)(x+1)(x−2)

= 2x2−4 x−x2−x(x+2)(x+1)(x−2)

= x2−5x(x+2)(x+1)(x−2)

sol.

CAPÌTULO DOS

8−5 xx−3

−2−3 xx−3

=8−5 x−(2−3 x )

x−3=8−5 x−2+3 x

x−3=6−2 xx−3

=2 (3−x )x−3

=−2 ( x−3 )x−3

=−2

sol. x−5

6 x−9−x

2

4 x2=2 x (x−5 )−3(9−x2)

12x2=2 x

2−10x−27+3 x2

12 x2=5 x

2−10 x−2712 x2

sol.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.POTENCIA.

x0=1 n√ x=x1/n ( xy )n=xn . yn n√(xy )m n√xm . n√ ym

x−1=1x

n√ xm=xm /n (xn )m=xnm n√ xy=n√xn√ y

x−n= 1

xn1n√x

=x−1 /n xm . xn=xm+n n√ xy m=n√ xmn√ ym

( xy )n

= xn

yn1

n√xm=x−m /n n√ x . y= n√x . n√ y

EJERCICIOS EN CLASE: √√a=(a

12)12=a

14 sol.

5√ x3=x35 sol.

712=√7 sol.

523=

3√52= 3√25 sol.

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un mismo factor un cierto número de veces.an=a .a .a…a n veces

CAPÌTULO DOS

6√49=4916=(7¿¿2)

16=7

13=3√7¿ sol.

24√3=2.314=

4√24 .3=4√16 .3=4√48 sol. 4√128=4√27= 4√23 .24=2

34 .2

44=2

4√23=2 4√8 sol. 7√ x30=7√x28 . x2=x

287 . x

27=x4

7√ x2 sol. x2

7√ x3=x2 . x37=x

177 sol.

7√(x2)7 . x3=7√ x14 . x3=7√ x17=x

177 sol.

5√1024=5√25 .25=2.2=4 sol. 7√ x84=x

847 =x12 sol.

4 p(27

p3 )(125p)(6

2p )

(8p3 )(9

3 p2 )(103 p)

=22 p(3 p)(53 p)(22 p .32 p)2p(33 p)(23 p.53 p)

=24 p.33 p

24 p.33 p=1 sol.

( x2+6x+9x2−9 )( x−34 )=( (x+3)2

(x+3)(x−3))( (x−3)4 )=( (x+3)(x+3)(x+3)(x−3))((x−3)4 )= x+34 sol.

3√2 x

= 3.√2x√2 x .√2x

=3.√2 x√22 x2

=3.√2x√2x

= 32x

√2 x Sol.

PRODUCTOS NOTABLES

Los principales productos notables son:

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental.

CAPÌTULO DOS

Cuadrado del binomio.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Suma por diferencia. (a + b)(a - b) = a2 - b2Producto de binomios con un término repetido.(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + abCubo de un binomio. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b Cuadrado de un trinomio. (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcProductos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos.(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3 (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3EJERCICIOS EN CLASE:

(x¿¿2+6 x+9)x2−9

∙(x−3)4

=(x+3)2

(x+3)(x−3)∙x−34

=x+3 (x+3)4 (x+3)

= x+34

¿ Sol. ( xy−xy2−1 )( y+1x+2 )( 2 x+45 x )= x ( y−1 )

( y+1 ) ( y−1 )∙

( y+1 )( x+2 )

∙2(x+2)5x

=2 x5 x

=25 Sol.

a6+a4+a2+1a3+a2+a+1

=(a6+a4 )+(a2+1 )(a3+a )+(a2+1 )

=a4 (a2+1 )+(a2+1 )a (a2+1 )+(a2+1 )

=(a4+1 )a+1

Sol .

7−4mm2−m−6

+ 3m+2

− 23−m

= 7−4mm2−m−6

+ 3m+2

− 23−m

= 7−4m(m−3 ) (m+2 )

+ 3m+2

− 2m−3

=(7−4m )+m−3 (3 )−m+2 (2 )

(m−3 ) (m+2 )=7−4m−3m−9−2m+4

(m−3 ) (m+2 )=

(m+2 )(m+3 ) (m+2 )

=m−3

Sol.

CAPÌTULO DOS

4m2

n2−m2−m−nm+n

+ m+nm−n

= −4m2

(m+n ) (m−n )−m−nm+n

+ m+nm−n

=−4m2− (m−n ) (m−n )+ (m+n ) (m+n )

(m+n ) (m−n )=−4m2−m2+2mn−n2+m2+2mn+n2

(m+n ) (m−n )=−4m2+4mn

(m+n ) (m−n )=

−4m (m−n )(m+n ) (m−n )

= −4m(m+n )

= −4m(m+n )

Sol. a+b

4 a−6b∙

a2−b2

a2−2ab+b2∙2a−2b

a2+2ab+b2=

(a+b )2 (2a−3b )

∙(a+b ) (a−b )

¿¿ Sol.

FACTORIZACIÓNFactorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse exponer en evidencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables. Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda.A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización:Factor comúnax + ay – az = a(x + y − z)Agrupación de términosx2 − ax − bx + ab= (x2− ax) − (bx − ab)= x(x − a) − b(x − a)= (x − a) (x − b)Trinomio cuadrado perfecto4a2− 12ab + 9b2= (2a − 3b¿¿2

Diferencia de cuadrados perfectos 36(m+n)2+121(m−n)2=[6 (m+n )+11(m−n) ] [6 (m+n )−11(m−n) ]=(6m+6n+11n)(6m+6n−11m+11n)=(17m−5n)(17n−5m)

CAPÌTULO DOS

Simplificar la expresión algebraica: m2−1m2+m−2

m2−1m2+m−2

=(m+1)(m−1)(m+2)(m−1)

=m+1m+2

Sol.

6 xy−3 x2

3x2−13 xy+14 y2= 6 xy−3 x2

3 x2−13xy+14 y2=

3 x (2 y−x )(3x−7 y)(x−2 y )

=−3x (x−2 y )

(3 x−7 y )(x−2 y)= −3 x3x−7 y

Sol.

6m3−3m2n21mn+7n2

÷6m2+24mn6mn+2n2

=6m3−3m2n

21mn+7n2÷6m2+24mn6mn+2n2

=[ 6m3−3m2n21mn+7n2 ][ 6mn+2n26m2+24mn ]=[ 3m2(2m−n)7n(3m+n) ][ 2n(3m+n)

6m(m+4n) ]=m(2m−n)7 (m+4 n)

Sol. 20x2−30 x

15 x315 x2÷4 x−6x+1

=5 x (4 x−6)15 x2(x−1)

×x+14 x−6

= 13x

Sol.x2−4 x−5x2−12x−8

÷x2−3 x−10x2+x−12

÷x2−2 x−3x2−4

=( x−5)(x+1)(x+4 )(x−2)

×(x+4 )(x−3)(x−5)(x+2)

×(x+2)(x−2)(x−3)(x+1)

=1

Sol.

RACIONALIZACIÓN

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede EJEMPLOS.

Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente, cuyo denominador sea racional. Cuando se racionaliza el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador.

CAPÌTULO DOS

Racionalizar la siguiente expresión: 1

√3−2= 1

¿¿ Sol. √3+2

3−4→ √3+2

−1=−√3−2 Sol.

Racionalizar el denominador y simplificar la expresión

4√23√xy2

=214 (xy2 )

23

(xy2 )13 (xy 2)

23

=2312 (xy2 )

812

xy2=12√23 x8 y16xy2

=12√8 x8 y16xy 2

Sol.

VALOR ABSOLUTO.El valor absoluto de un número x se representa por | x | y es un número no negativo, tal que: x, x ≥ 0 | x | = − X, x < 0

Aplicación del valor absoluto.|−72 |=|−1||72| |−72 |= (1 )( 72 ) 72=72Sol.|14−4

5|≤|14|+|−45 | 14−45=5−1620

=1120

|−1120 |≤ 14 + 4

514+ 45=5+1620

=2120 1120 ≤ 2120 Sol.

CAPÌTULO DOS

ECUACIONES

ECUACIONES LINEALESUna ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:p(x): ax + b = 0 a, b ∈ ∧ a ≠ 0Donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar.Sea Re = y p(x): 3−2+2−X33

3=1

determine Ap(x)3−

6+2−x33

=1.2

3−

8−x33

=23−8−x9

=2

27−8+x9

=2 19+x9

=2

19+x=x=−1 Sol .

COMPROBACIÒN:3−2+2−X

333

=1

Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

CAPÌTULO DOS

3−2+2−(−1 )333

=1

3−2+2+1

332

=3−2+ 3332

3−332

=3−12

=22=1Sol .

ECUACIONES CUADRATICAS.- Representarse con un predicado de la forma:p(x): a x2+bx+c=0 a, b, c ∈R aʌ ≠0

Sea Re= R y p(x):x2+5x−6=0 , determine Ap(x)x2+5x−6=0

( x+6 ) ( x−1 )=0

( x+6 )=0v ( x−1 )=0 x=-6 v x=1COMPROBACIÒN .

p(x ): x2+5 x−6=0p(-6):(−6 )2+5 (6 )−6=36−30−6=0p(1):(1 )2+5 (1 )−6=1+5−6=0En consecuencia Ap(x)= {−6,1 }

FÒRMULA GENERAL.−b±√b2−4 ac

2a

16x2−24 x+9=0a=16b=24

CAPÌTULO DOS

c=9x=

−24±√(24)2−4 (16 ) (9 )2(16)

=−24±√576−576

32

x=−24±√032

=2432

x1=34 x2=34

SUMA ALGEBRAICA DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.La suma de las raíces de la ecuación cuadrática viene dada por la fórmula: x1+x 2=−a

b

x=−b+√b2−4 ac2a

+−b−√b2−4ac2a

=¿

−b+√b2−4 ac−b−√b2−4ac2a

=−2b2a

=−ba

PRODUCTO ALGEBRAICO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA.El producto de las raíces de la ecuación cuadrática viene dado por la fórmula:x1. x2=

ca

x=−b±√b2−4ac2a

x1=−b+√b2−4 ac

2a; x2

−b−√b2−4 ac2a

x1 . x2=(−b)2−(√b2−4ac )2

4 a2

CAPÌTULO DOS

x1 . x2=b2−b2+4 ac

4a2=4 ac4a2

= ca

Encontrar el valor de k de la siguiente ecuación2 x2−5x=x2+3 x−k+1 ( k−1 ) 2 x2−5x−x2−3x+( k−1 )=0 x2−8 x+(k−1 ) ax2+bx+ca=1b=-8c=(k−1 )

−ba

=3( ca )−−81

=3( (k−1 )1 )=−−8

1=3k−3

18¿ 3k-3 -3k¿−8−3 (−1 )

k=113

ECUACIONES CON RADICALESSea Re = y p(x): √ x + √ x+1= √2x+1, determine Ap(x).(√ x+√x+1 )2= (√2 x+1 )2

x+2√ x√ x+1 + x + 1 = 2x + 12√ x √ x+1 = 0 4x(x + 1) = 0 (4x = 0) ∨ (x + 1 = 0) x1=¿0¿ ∨ x2=¿−1¿

CAPÌTULO DOS

PLANTEO DE ECUACIONESLectura y compresión del enunciado del problema.Antes de iniciar la resolución de un problema, es necesario que hayamos comprendido bien su enunciado. Lea cuidadosamente el problema tantas veces como sea necesario, para aclarar dudas sobre lo que se pide resolver y cómo se relaciona la información dada.Traducción del texto del problema al lenguaje matemático. Exprese en términos algebraicos las relaciones enunciadas verbalmente en el problema.Resolución de las ecuaciones y análisis de las soluciones encontradas. Resuelva la(s) ecuación(es) y verifique que sus soluciones satisfagan al problema original. Escriba la respuesta en la forma de un enunciado que responda a la pregunta que se planteó en el problema.EJERCICIOS.Elena tiene una canasta con canicas. Le dio la mitad de las canicas a Jorge y un tercio de las que quedaban en la canasta, se las dio a María. De esta manera, le quedaron 6 canicas a Elena, ¿Cuántas canicas tenia al principio? a) 18 b) 24 c) 36 d) 30 e) 40Datos:X= número de canicas12x=¿dio aJorge

13 ( x−12 x)=¿dioaMaria

6=¿quedoa elena

12x+ 13 (x−12 x )+6=x

CAPÌTULO DOS

12x+ 13 ( 2x−x2 )+6=x

12x+ 13 ( x2 )+6=x

12x+ x6+6=x

12x+ x6−x=−6

3x+x−6 x6

=−6

3 x+ x−6 x=−6 (6 )

−2 x=−36 (−1 )

x=362

x=18 Sol.COMPROBACION

12

(18 )+ 13 (18−12 (18 ))+6=18

12

(18 )+ 13 ( 2 (18 )−18

2 )+6=189+ 13 ( 36−182 )+6=18

9+ 62+6=18 18+6+12

2=18

36=18 (2 )36=36R// Elena tenía 18 canicas al principio. Un consultor cobra $ 25 por hora por sus servicios, mientras que su asistente gana en una hora el equivalente en dólares a los 513del número total de horas trabajadas por el consultor. Si en un trabajo, en el cual el consultor trabajó 3 horas más que su asistente, la cuenta total fue de $ 880, encuentre el número de horas trabajadas por el consultor.

CAPÌTULO DOS

DATOS:x=numero dehoras del consultor25 x=cobra el consultor513x (x−3 )=cobra asistente

consultor+3asistente≫total cuenta es880

25 x+ 513x ( x−3 )=880

25 x+ 513

(x2−3 x )=880

25x+5 x2−15 x13

=880 (13 )

325x+5 x2−15 x13

=11440

325 x+5x2−15 x=114405 x2+310 x−11440=0x+62x−2288=0a=1b=62c=-2288x=−b±√b2−4ac

2a

x=−62±√622−4 (1 ) (−2288 )

2

x=−62±√129962

x=−62+√129962

x=−62−√129962

x1=−62+144

2x2=

−62−1442

x1=522x2=

−1762

x1=26 x2=−88( x=26 )V ( x=−88 )

En un avión viajan 330 pasajeros de tres países: españoles, alemanes y franceses. Hay 30 franceses más que alemanes y de españoles hay el doble que de franceses y alemanes juntos. ¿Cuántos hay de cada país?

CAPÌTULO DOS

DATOS:Alemanes: xFranceses: (30+x )Españoles: [2 (30+x )+ x ]

x+(30+x )+ [2 (30+x )+ x ]=330x+30+x+60+2 x+x=330

5 x=330−30−60

x=2405

x=48 Sol.

REEMPLAZO.-x+(30+x )+ [2 (30+x )+ x ]=330 48+(30+48 )+ [2 (30+48 )+48 ]=330

48+78+204=330 330=330 Sol.INECUACIONESDESIGUALDAD.Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas. Dichas expresiones están separadas por alguno de los siguientes símbolos: >, <, ≤, ≥.Ejemplos.-

16>7

( 14 )<(13 )−1≥−2

(−32 )≥(−72 )

INECUACIÓN.

CAPÌTULO DOS

Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.PROPIEDADES.

|a|<b −b<a<b

|a|>b −b≤a≤b

|a|≤b −b≤a≤b

|a|≥b a≥b y a≤−b

CASO 1 p ( x ) :|x|<a ,a≥0[0≤x<a ] v [−a<x<0 ]|x|<ax>−a

CASO 2p ( x ) :|x|>a ,a≥0|x|>ax←a( x>a ) v ( x←a )

CASO 3p ( x ) :|x|≤a ,a≥0−a≤ x≤a

Determine Ap (x )p ( x ):|x|≤a|x−a|≤b

−b≤ x−a≤ba−b≤ x≤a+b

Ap (x ) : [a−b ,a+b ]

CAPÌTULO DOS

Determinar Ap (x ) de la siguiente expresión:|2 x−3|>11

[ (2 x−3 )>11 ] v [ (2 x−3 )←11 ]2 x−3>112 x−3←112 x>11+32x←11+3

x>142x<−8

2x>7 x←4

Ap (x ) : x / x ( x←4 ) v ( x>7 )

Determinar Ap (x ) de la siguiente expresión:|2 x−3|>11−a≤ x≤a −52 ≤ x+2≤ 52

−52

−2≤x ≤ 52−2

−5−42

≤x ≤5−42

−92≤ x≤

12

Ap (x ) :(x ≤−92 )v (x ≤ 12 )

Determinar Ap (x ) de la siguiente expresión:| x+22x−3|≥4

( x+22x−3≥4) v ( x+22 x−3

≤−4 )(−4≤ x+2

2 x−3 ) v (4≥ x+22x−3 )

(−4 (2 x−3 )≤x+2 )v (4 (2x−3 )≥ x+2 )(−8 x+12≤ x+2 ) v (8 x−12≥ x+2 )(−8 x−x ≤2−12 ) v (8x−x ≥2+12 )

(−9 x ≤−10 ) v (7 x≥2+12 )

CAPÌTULO DOS

(x ≤ 109 )v ( x≥ 147 )(x ≤ 109 )v ( x≥2 )

Ap (x ) : x / x( x≤ 109 )v ( x ≥2 )

PLANTEO DE INECUACIONES.Jenny quiere invertir $ 50000. Ella puede escoger el banco A que ofrece un interés anual del 8%, o con un mayor riesgo, escoger el banco B que ofrece un interés anual del 10%. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en el banco B, de modo que reciba una rentabilidad anual total de al menos $ 4400?DATOS:Jenny debe invertir: $50.000Banco A, porcentaje anual 8% mayor riesgoBanco B, porcentaje anual 10%Rentabilidad $4400 Banco BxCantidad que debe invertir Banco B50.000−X Cantidad banco A

B (10%)+A (8% )≥44000,1 x+0,08 (50000−x )≥44000,1 x+4000−0,08 x≥44000,1 x−0,08 x≥ 4400−4000

−0,02 x≥−400

x≥−400−0,02

x≥20.000

R// Jenny debe invertir $20.000 en el banco B para obtener la cantidad deseada.TEOREMA DE INDUCCIÒN.

CAPÌTULO DOS

Si en efecto logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica para su sucesor, n + 1, cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, además, que se verifica para el primero de los números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que concluir que la propiedad se verifica para todo elemento de ℕ.Es decir, para probar que una propiedad se cumple en todos los números naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 1 y a continuación, suponer que se cumple para un natural n, y a partir de esta suposición, deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente, n + 1.

TEOREMA DE INDUCCIÒN.

TÈCNICAS DE CONTEO.FACTORIAL.

A este esquema de definición se lo denomina recursivo. La recursión es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.Al encontrar el valor de 6! se obtiene:6! = 6 . 5!

Sea n un entero no negativo, su factorial se calcula de la siguiente manera: n !=¿ { 1 ;n=0

n (n−1 )! ;n≥1

Si p(n) es una propiedad sobre el conjunto de los números naturales ℕ, tal que: p(1) ≡ 1 (Caso base) ∀n [p(n) ⇒ p(n + 1)] (Paso inductivo)Entonces, ∀n ∈ ℕp(n) ≡ 1, es decir, Ap(n) =ℕ

CAPÌTULO DOS

= 6 . 5 . 4!= 6 . 5 . 4 . 3!= 6 . 5 . 4 . 3 . 2!= 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1!= 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 0!= 720COMBINATORIA.

EJEMPLO.Al encontrar el valor de (106 ), se obtiene:

(106 )= 10 !6 ! (10−6 ) !

= 10 !6 ! .4 !

= 10 .9 .8 .7 .6 !6 ! .4 .3.2 .1= 210 Sol.

Determine el valor de (145 ). (145 )= 14 !

5 ! (14−5 ) !

¿ 14 !5! .9 !

¿ 14.13.12.11.10.9 !5 !9 ! =2002 Sol.PERMUTACIONES.

Sean n, m enteros no negativos tales que n ≥ m, el símbolo ( nm) que se lee “combinatoria de n elementos tomando m de ellos a la vez”, se calcula de la siguiente manera:( nm)= n !

m! (n−m ) !

CAPÌTULO DOS

EJEMPLOS: En una carrera participan 10 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro plata y bronce?Solución: Se busca las diferentes ternas (m =3) que se pueden formar con los 10atletas (n =10).

p310=10 !

7 !=10.9 .8 .7 !

7 !=720

Por lo tanto, a los 3 primeros lugares se los puede premiar de 720 formas distintas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse cinco libros de historia, cuatro de literatura y seis de matemáticas, si los de la misma materia deben estar juntos?Solución:Los libros de historia pueden permutarse así:

p55= 5 !

(5−5 )!=5 !0 !

Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos, considerando el orden en su ubicación. El número de permutaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza como Pmn y se lo calcula así:Pmn= n!

(n−m)!, n≥m

CAPÌTULO DOS

COMBINACIÓN

EJEMPLO:Se necesita constituir un grupo mixto de vigilancia formado por 2 hombres y 3 mujeres, para lo cual se dispone de 12 oficiales hombres y 8 oficiales mujeres; determine el número de grupos diferentes que se pueden formar.Solución:Para constituir el grupo de hombres:Grupos: 2 hombres3 mujeres

Cmn= n !m (n−m )!

C212= 12!2 (12−2 ) !

= 122 (10 )!

=479.001600(2)3628800

=66

C38= 8!3 (8−3 )!

= 8 !3 (5 ) !

=40320720

=56

La cantidad de números de 2 digitos que pueden formarse a partir de los dígitos que pueden formarse a partir de los dígitos 1, 2, 3, 4,5.Pmn= n !m (n−m) !

P25= 5 !2(5−2)

= 5!2 (3 )!

=1206

=20

Una combinación es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado, Sin considerar el orden en su ubicación. El número de combinaciones posibles de n objetos tomando m de ellos a la vez, se simboliza comocmny se calcula así:cmn= n !m ! (n−m) !

, nm≥

CAPÌTULO DOS

De cuantas maneras pueden 5 personas tomar asiento en un automóvil, si 2 han de viajar en el asiento delantero, y 3 en el posterior. Dando que personas determinadas no han de viajar en el asiento del conductor.Cmn= 5 !2(5−2)

=12012

=10

3 10-2=810-1=9 72TEOREMA DE UN BINOMIO.El desarrollo del binomio (a + b)n, esta dado por:

(a + b)n= (n0)an + (n1)an-1b + (n2)an-2 b2 + …… +(nn)bnDonde n ∈ ℕ; a, b∈ R.

En este desarrollo, el término general tiene la forma:(ni ) an-1 b1

Donde:n: Exponente del binomio.i: Posición del termino en el desarrollo del binomio disminuido en 1.a, b: Términos del binomio.SUCESIONES.

f: N → Rdom f= N

Una sucesión es un conjunto de números reales, los cuales reciben el nombre de términos. Todas las sucesiones tienen un primer término y cada término tiene un siguiente.

CAPÌTULO DOS

f(n)= 1/nf(n)= (n-2)2f(n)= n/n+1EJEMPLOS:Dada la siguiente sucesión an= 2(an-1 - 3) siendo a1=5, determine:a2= 2(a1 – 3) = 2(5-3) = 4R//.a3= 2(a2 -3) = 2(4-3) = 2R//.a4= 2(a3 -3) = 2(2-3) = -2R//.a5= 2(a4 -3) = 2(-2-3) = -10R//.Dada la siguiente sucesión an= 3an-1 y a1=2/3, determine: a2, a3, a4 y a5.a2 = 3a1 = 3(2/3)= 2a3 = 3a1 = 3(2)= 6a4 = 3a1 = 3(6)= 18a5 = 3a1 = 3(18)= 54

PROGRESIONES ARITMÈTICAS.

A la diferencia entre dos términos consecutivos se la denota por d.

a= 1er término. n= # término.d= diferencia.EJEMPLOS:

f(n+1) –f(n)= d

f(n)= a+(n-1)d.

Se denomina progresión aritmética a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una misma cantidad al término posterior.

CAPÌTULO DOS

Determine el décimo tercer término 2, 7, 12, 17, 22.a=2n=13d= (7-2) = 5f(n)= a+(n-1)d.f(n)= 2+(13-1)5.f(n)= 2+(12)5.f(n)= 2+60.f(n)= 62 R//.Determine el valor de n de la siguiente progresión 5, 9, 13,……49.a= 5d= 9-5= 4f= 49f(n)= a+(n-1)d.49= 5+(n-1)4.49= 5+4n+4.4n= 5+4-49.4n= -48n= -48/-4n= 12R//.En el concurso “Rueda de la Fortuna” hay 12 premios, que en total suman $ 96000. Si existe una diferencia de $ 1000 entre cada premio sucesivo, determine el premio de menor valor en el concurso.SOLUCIÓN:n=12 96000¿ 12

2[2 (a )+(12−1 )1000 ]

Sn=96000 96000=122 [2 (a )+(11)1000 ]

d= 1000 96000=6 [2a+11.000 ]

a=? 96000=12a+66.000-12a= 66.000-96000

CAPÌTULO DOS

+12a=+30.000a=30.000

12=2.500

PROGRESIONES GEOMÈTRICAS.

EJEMPLO. Encuentre el octavo término de la progresión geométrica: 1, 3, 9, ...SOLUCIÓN:a = 1r = 31 = 3f (8) = (1)(3)7 = 2187 Sol.

1

√33+ 1

√36+ 1

√39+ 1

√312……

a= 1

√33

r=

1

√391

√312=√36

√39

Hallar el 8º término de 6, 4……..a=6n=8r=46=23 arn-1= 6 ×( 23 )

7

=6× 1282187

=256729

Sol.

Se denomina progresión geométrica a aquella sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad al término anterior. Por lo tanto, el cociente entre dos términos consecutivos es constante y se denomina razón r de la progresión.f (n+1)f (n )

=r

CAPÌTULO DOS

Hallar el 5º término de 2, 6,18…….a=2n=5r=6÷2=3arn-1= 2×35−1=2×34=162 Sol. Determinar el 7º término de 23 ,−12 , 38…….

a= 23r= -

12÷23=−12×32=−34

arn-1=23×(−34 )

6

=23×7294096

= 2432048

Sol.