Portafolio mate geovanny patricio guerrero
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL
DEL CARCHI
Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario
Módulo
“ALGEBRA”
PRIMER NIVEL
PARALELO: “B ”
Ing. Oscar René Lomas Reyes
Módulo Algebra Página 1
Nombre: Geovanny Guerrero
Marzo 2013 – Agosto 2013
Módulo Algebra Página 2
ContenidoINTRODUCCIÓN............................................................................................................................3
OBJETIVOS................................................................................................................................4
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES....................................................................................5
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................6
EXPONENTES Y RADICALES.......................................................................................................7
EXPRESIONES ALGEBRAICAS.....................................................................................................9
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?......................................................................................................11
Partes de una ecuación..........................................................................................................11
¡Exponente!............................................................................................................................12
PRODUCTOS NOTABLES.........................................................................................................13
FACTORIZACIÓN.....................................................................................................................15
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO..................................................................................16
ECUACIONES LINEALES...........................................................................................................16
SILABO........................................................................................................................................18
Módulo Algebra Página 3
INTRODUCCIÓN
El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para
generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos
análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro
de la misma operación; ecuación algebraica.
El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos
usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el
Teorema de Pitágoras.
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros
símbolos son usados para representar números desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5
a ambos lados del signo igual (=), así:
x - 5 = 2
x - 5 + 5 = 2 + 5
x + 0 = 7
x = 7 (la respuesta)
Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos,
negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de
ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.
Módulo Algebra Página 4
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de
algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Elaborar el portafolio estudiantil
Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para
la evaluación.
Trabajar en forma grupal en la recolección de la información
Módulo Algebra Página 5
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALESCiertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y
así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como 12
y 53
, que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como pq
donde p y q son
enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =21
. De hecho todo entero
es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números
irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la
derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas
Módulo Algebra Página 6
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Sia=b y b=c ,entonces a=c
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
a+b=b+a y ab=ba
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=(ab ) c
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que
para todo número real a.
0+a=a y1a=a
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
a+ (−a )=0
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y
después sumar todos los productos.
a (a+c )=ab+ac y (b+c )a=ab=ac
Módulo Algebra Página 7
EXPONENTES Y RADICALESExponentes
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b−5b es el valor base y -5 es el exponente
−27-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
(xn ) (xm )=xn+m
xn
xm=xn−m
x0=1
x−n= 1
xn
xm
xm=1
(xm )n=xmn
( xy )n
= xn
yn
( xy )−n
=( yx )RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.n√ x= y
n = índice
x = radicando
Módulo Algebra Página 8
y = raíz
√❑ =signo radical
Leyes radicales
x1/2=n√ x
x−1 /2= 1
x1/2= 1
n√ x
n√ xm√ y= n√xy
n√ xn√ y
= n√ xym√ n√x=mn√x
x ,/n=n√ xm
(m√ x )m=x
Módulo Algebra Página 9
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Módulo Algebra Página 10
Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos
semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Módulo Algebra Página 11
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:
x + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
Partes de una ecuación
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)
Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
Módulo Algebra Página 12
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"
¡Exponente!Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones
Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz
Módulo Algebra Página 13
PRODUCTOS NOTABLESBinomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Módulo Algebra Página 14
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Módulo Algebra Página 15
FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de
polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se
dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
a2+2a=a (a+2 )
10b+30ab=10b (1+3a)
Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es
igual al producto de dos binomios conjugados.
9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )
Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado
como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al
primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del
signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado:
9 x2−12 xy+4 y2= (3x−2 y )(3 x−2 y )
Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )
Factorización de cubos perfectos de binomios.
Módulo Algebra Página 16
(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c
9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )
4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )
ECUACIONES LINEALESSabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.
Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:
a) Ecuaciones lineales propiamente tales
En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).
Para proceder a la resolución se debe:
Eliminar paréntesis.
Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro.
Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes.
Ejemplo:
4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)
4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192
Módulo Algebra Página 17
4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
–35x = 182
b) Ecuaciones Fraccionarias
En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).
Para proceder a la resolución se debe:
Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)
Ejemplo:
C . ECUACIONES LITERALES
Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
I.
Módulo Algebra Página 18
SILABOI. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA
Formar profesionales humanistas,
emprendedores y competentes,
poseedores de conocimientos
científicos y tecnológicos;
comprometida con la investigación y la
solución de problemas del entorno
para contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza
La Escuela de Desarrollo Integral
Agropecuario contribuye al desarrollo
Provincial, Regional y Nacional,
entregando profesionales que
participan en la producción,
transformación, investigación y
dinamización del sector agropecuario
y agroindustrial, vinculados con la
comunidad, todo esto con criterios de
eficiencia y calidad
UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica
acreditada por su calidad y
posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria.
ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE-
UNESCO
SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE-
UNESCO
Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca.
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
Módulo Algebra Página 19
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48
PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS
1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC
para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid
España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Módulo Algebra Página 20
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de
aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del
entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos,
análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera
preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
Módulo Algebra Página 21
para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO PROCESO
COG NITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
6. TEÓRICO PRÁCTICOAVANZADO CREAR
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
Módulo Algebra Página 22
permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.
Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.
Módulo Algebra Página 23
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de
CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS
DIDÁCTICAS
Estrategias, métodos y técnicas
HORAS CLASE
COGNITIVOS
¿Qué TIENEque saber?
PROCEDIMENTALES
¿Saber cómo TIENE queaplicar el conocimiento?
AFECTIVO MOTIVACIONALES
¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente?
T P
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Sistema de Números
Reales
Recta de números Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones
Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe
Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos
Relacionar en la uve heurística
Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación
Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico
Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales
Disposición para trabajar en equipo
Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica
Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo
Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente
DEMOSTRAR.
1. Caracterizar los números reales para la demostración
2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.
CONVERSACIÓN HEURISTICA
1. Determinación del problema.
2. Dialogo mediante preguntas.
3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.
2 4
Módulo Algebra Página 24
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
Expresiones algebraicas:
nomenclatura y clasificación.
Polinomios clasificación.
Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división.
Productos notables.
Descomposición Factorial
Aplicar operaciones mentales
Identificar los diferentes tipos polinomios
Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones.
Identificar los diferentes tipos de productos notables
Resolver ejercicios
Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo
Potenciar la resolución de problemas
Valorar las participaciones de los demás
Demostrar grado por lo que hacemos
INDUCTIVO-DEDUCTIVO
INDUCTIVO
1.Observación
2. Experimentación.
3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.)
4. Dramatización.
5. Resolución de problemas.
6. comprobación.
7. Asociación (especial temporal y casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de fijación.
CONVERSACIÓN HEURISTICA
1. Determinación del problema.
2. Dialogo mediante preguntas.
3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución,
2 4
Módulo Algebra Página 25
socializar la solución.
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
Máximo común divisor de polinomios.
Mínimo común múltiplos de polinomios.
Operaciones con
fracciones.
Aplicaciones
Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos
Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas.
Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos
Distinguir los componentes de las expresiones racionales
Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema.
Cooperar en el desarrollo del conocimiento.
Demostrar confianza en el desarrollo del proceso.
Cooperar con el grupo en la resolución de funciones.
RAZONAR
1. Determinar las premisas.
2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.
3. Elaborar las conclusiones.
RELACIONAR.
1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.
2. Determinar los criterios de relación entre los objetos
3 6
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
Ecuaciones lineales, resolución
Sistemas lineales y clasificación.
Resolución de ecuaciones lineales.
Aplicaciones
Plantear ecuaciones lineales.
Identificar los sistemas líneas y su clasificación
Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera
Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales.
Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas.
Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo y fuera de él.
Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante.
EXPOSICION PROBLEMICA.
1. Determinar el problema.
2. Realizar el encuadre del problema.
3. Comunicar el conocimiento.
4. Formulación de la hipótesis.
5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.
6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)
3 6
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
Definición y clasificación.
Ecuaciones reducibles a cuadráticas
Resolución de ecuaciones cuadráticas por factoreo.
Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas
Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas
Resolver ejercicios sobre
Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo.
Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados
EXPOSICIÓN PROBLEMICA
1. Determinar el problema
2. Realizar el encuadre del problema
3. Comunicar el
3 6
Módulo Algebra Página 26
Resolución por completación de un trinomio cuadrado.
expresiones cuadráticas
Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos.
conocimiento (conferencia ,video )
4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes)
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Aplicaciones de la ecuación cuadrática.
Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas
Distinguir los componentes de las expresiones racionales
Valorar la creatividad de los demás
Respetar el criterio del grupo.
1. Determinar los procedimientos para resolver problemas.
2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones)
3 6
Módulo Algebra Página 27
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD.
EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA
descripciónTÉCNICAS e INSTRUMENTOS de
EVALUACIÓN
1° PARCIA
L
2° PARCIA
L
3° PARCIA
L
SUPLETORIO
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
FACTUAL. Interpretar información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10%
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
10%
10%
10%
10%
Módulo Algebra Página 28
Pruebas
Portafolio
Reactivos
Documento
50%
10% 100%
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
10%
10%
10%
10%
50%
10% 100%
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5%
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
FACTUAL.
CONCEPTUAL.
PROCESAL
METACOGNITIVO
Interpretar información.
Modelar, simular sistemas complejos.
Analizar problemas y sistemas complejos.
Deberes
Trabajos
Consultas
Participación virtual
Pruebas
Portafolio
Documento
Documento
Documento
Chat-Foro
Reactivos
Documento
5%
5%
5%
5%
25%
5% 100%
ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
Módulo Algebra Página 29
Nivel ponderado de aspiración y alcance
Módulo Algebra Página 30
VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -
COMPETENCIAS)
APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE
HORAS AUTÓNO
MAS
INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO
T P
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos.
Prueba
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales.
2 4
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio.
Grado de un polinomio y su ordenamiento
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Identifica los tipos de polinomios 2 4
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales
3 6
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
Dar solución a ecuaciones de primer grado
Libros.CopiasDocumentos en pdf.Descarga de documentos de la web.
Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6
Módulo Algebra Página 31
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas.
Libros.
Copias
Documentos en pdf.
Descarga de documentos de la web.
Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas
3 6
Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno.
3 6
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL
16 32
CRÉDITOS
1 2
3
Módulo Algebra Página 32
VII. Bibliografía.
BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición:
Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing.
ENTREGADO: Marzo 2013
Módulo Algebra Página 33
Módulo Algebra Página 34
Módulo Algebra Página 35
Módulo Algebra Página 36
Módulo Algebra Página 37
NOMBRES SEXO EDAD fecha de compra fecha actual dias trancurridos años trancurridos
Dayan F 18 20/03/1998 29/07/2013 5610 15,37
Salma F 18 01/01/2010 29/07/2013 1305 3,58
Cintyia F 19 30/06/2009 29/07/2013 1490 4,08
BrayanM
19 01/12/201129/07/2013 606
1,66
MiguelM
19 15/04/201229/07/2013 470
1,29
Adriana F 19 18/10/2005 29/07/2013 2841 7,78
Geovanny M 18 01/01/1996 29/07/2013 6419 17,59
Jonathan F 18 29/06/2000 29/07/2013 4778 13,09
Cristina F 20 01/01/2010 29/07/2013 1305 3,58
Diana F 18 10/09/2004 29/07/2013 3244 8,89
karen F 20 28/11/2000 29/07/2013 4626 12,67
PatriciaF
19 01/01/201329/07/2013 209
0,57
kepler M 21 14/02/2010 29/07/2013 1261 3,45
JavierM
21 01/01/201229/07/2013 575
1,58
Jacob M 20 30/03/2011 29/07/2013 852 2,33
Oscar M 21 01/01/1994 29/07/2013 7149 19,59
Diana F 21 17/08/2009 29/07/2013 1442 3,95
DiegoM
22 23/12/201129/07/2013 584
1,60
Tania F 20 12/05/2012 29/07/2013 443 1,21
LENIN F 24 01/01/2013 29/07/2013 209 0,57
Módulo Algebra Página 38
Dayan5% Salma
5% Cintyia5%
Brayan5%
Miguel5%
Adriana5%
Geovanny5%
Jonathan5%
Cristina5%Diana
5%karen5%
Patricia5%
kepler5%
Javier5%
Jacob5%
Oscar5%
Diana5%
Diego6%
Tania5%
LENIN6%
TABLA DE COMPRAS
Dayan
Cintyia
Miguel
Geova
nny
Cristina
karen
kepler
Jacob
Diana
Tania
0
5
10
15
20
25
NOMBRES DE ESTUDIANTES
Series1
Módulo Algebra Página 39
Dayan5% Salma
5% Cintyia5%
Brayan5%
Miguel5%
Adriana5%
Geovanny5%
Jonathan5%
Cristina5%Diana
5%karen5%
Patricia5%
kepler5%
Javier5%
Jacob5%
Oscar5%
Diana5%
Diego6%
Tania5%
LENIN6%
TABLA DE COMPRAS
Dayan
Cintyia
Miguel
Geova
nny
Cristina
karen
kepler
Jacob
Diana
Tania
0
5
10
15
20
25
NOMBRES DE ESTUDIANTES
Series1
0.00
20000.00
40000.00
60000.00
80000.00
100000.00
120000.00
140000.00
160000.00
Series1Series2
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Módulo Algebra Página 41
Módulo Algebra Página 42
Tarea 1
Números reales
Módulo Algebra Página 43
Módulo Algebra Página 44
Tarea 2
Problemas
Módulo Algebra Página 45
Módulo Algebra Página 46
Módulo Algebra Página 47
Tarea 3
Ejercicio de potenciación racionalización
Expresiones algebraicas
Módulo Algebra Página 48
Módulo Algebra Página 49
Módulo Algebra Página 50
Módulo Algebra Página 51
Módulo Algebra Página 52
Módulo Algebra Página 53
Ejercicios de factorización
Módulo Algebra Página 54
Módulo Algebra Página 55
Módulo Algebra Página 56
Trabajo de algebra
Nombre: Geovanny Guerrero
Curso: 1 B
1. ES el conjunto de número que nos sirve para contar A. RacionalesB. NaturalesC. EnterosD. Primos
2. la suma de dos enteros consecutivos es 43, diga cuales son:
A. 42y 1B. 16 y 17 C. 21 y 22 D. 43x
3. Cuál es la Raíz de 32.A. 2√2B. 4√2C. √2D. √6
4. Resuelva el siguiente ejercicio y determine la respuesta correcta.
√ x−5=4A. 14B. 21C. 23D. 30
5. Dado que x vale 5 remplace en la ecuación dada.Y= 5x +1
A. 10B. 15C. 26D. 30
6. Supongamos que el Gobierno impone un precio máximo para la vacuna de la varicela que es superior al precio de equilibrio de dicha vacuna. Ante esta situación, se espera
Que: A. Se produzca un exceso de oferta en el mercado B. Se produzca un exceso de demanda en el mercado. C. No tenga consecuencias sobre la cantidad demandada y la ofrecida. D. Se desplazará la curva de demanda y la curva de oferta.
Módulo Algebra Página 57
7. ¿Qué determina el precio que están dispuestos a pagar los consumidores?. A. El coste de oportunidad. B. La utilidad marginal. C. La utilidad total. D. . La renta.
8. El crecimiento económico puede tener lugar por cualquiera de los siguientes hechos: A. Disminución de la fuerza de trabajo. B. Disminución del volumen de capital C. Mejora técnica en la producción de bienes y servicios. D. Ninguna de las anteriores.
9. El crecimiento económico puede expresarse gráficamente mediante: A. Un desplazamiento hacia la izquierda de la FPP. B. Un desplazamiento hacia la derecha de la FPP. C. La FPP no se desplaza. D. Ninguna de las anteriores.
10. . Un sistema de economía mixta se caracteriza por: A. Que la actuación del sector público es mínima. B. Que no existen fallos de mercado. C. El libre juego de la oferta y la demanda. D. La colaboración del sector público con la iniciativa privada en las
decisiones económicas.
Módulo Algebra Página 58
Tarea
Módulo Algebra Página 59
Tarea
Módulo Algebra Página 60
Módulo Algebra Página 61
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHIDESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
NOMBRE: GEOVANNY GUERREROCURSO: 1 B
Año de compra Tipo costo Valor de
rescatePorcentaje de
depresiónDepreciación
sin rescateDepresiación con rescate
# de años trascurridos
hasta el 2013 1/2 año
Depreción sin rescate
Depresión con rescate
Saldo por depreciar
sin rescate
Saldo por depreciar
con rescate
1 EN2012
TOYOTA20.000
2000 20% 4000 3600 1,5 6000 5400 14.000 12.600
1EN2011 NIZZAN 15.000 2000 20% 3000 2600 2,5 7500 6500 7.500 6.5001EN2010 MAZDA 30.000 2000 20% 6000 5600 3,5 21000 19600 9.000 8.4001EN2013 CHEVROLET 40.000 2000 20% 8000 7600 0,5 4000 3800 36.000 34.200
Módulo Algebra Página 62
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
NOMBRE: GEOVANNY GUERRERO
CURSO: 1B
Año de compra Tipo costo Valor de
rescate
Porcentaje de
depresión
Depreciación sin rescate
Depresiación con rescate
# de años trascurridos
hasta el 2013 1/2 año
Depreción sin rescate
Depresión con rescate
Saldo por depreciar
sin rescate
Saldo por depreciar
con rescate
2008 maquinaria 20.000 2000 33% 6666 5999,4 1,5 9999 8999,1 10.001 9.0012007 camioneta 15.000 1000 20% 3000 2800 2,5 7500 7000 7.500 7.0002001 trupler 30.000 1000 20% 6000 5800 3,5 21000 20300 9.000 8.7002004 NPR 45.000 2000 20% 9000 8600 0,5 4500 4300 40.500 38.7002000 CASA 75.000 2000 5% 3750 3650 1,5 5625 5475 69.375 67.5252005 EDIFICIO 200.000 1000 5% 10000 9950 2,5 25000 24875 175.000 174.1252010 MICROONDAS 400 50 33% 133,32 116,655 3,5 466,62 408,2925 -67 -582012 PORTATIL HP 8.000 100 33% 2664 2630,7 0,5 1332 1315,35 6.668 6.5852011 CELULAR 250 50 33% 83,25 66,6 0,5 41,625 33,3 208 1672010 LCD 500 50 33% 166,5 149,85 1,5 249,75 224,775 250 2252010 COCINA 600 50 33% 199,8 183,15 2,5 499,5 457,875 101 92
Módulo Algebra Página 63
Módulo Algebra Página 64
Tarea de algebra
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
a) Halla el valor numérico del perímetro y del área de un terreno rectangular cuyos lados miden
50 y 30 m, respectivamente.
b) Halla el valor numérico del polinomio para
SUMA ALGEBRAICA
En una suma algebraica, la operación se dice FINALIZADA o completa si todos los términos semejantes entre los sumandos, han sido simplificados totalmente.
Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas más hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.
PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA
1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la suma de dos o mas polinomios dará como resultado otro polinomio.
2. PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A
3. PROPIEDAD ASOCIATIVA: la suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos, obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad conmutativa).
Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
4. PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO: existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo altera. Este NEUTRO es el 0.
Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A
Módulo Algebra Página 65
PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO: para cada polinomio queda definido
Módulo Algebra Página 66
otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.
Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre si, entonces se cumple que: A+(-A)=0
División de expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones.
División de monomios
Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes
Ejemplo:
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.
Ejemplo:
Restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:
División de polinomios entre polinomios
La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;
Si se tiene la división
1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:
2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x2) por el primer término del divisor (x):
Módulo Algebra Página 67
3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.
4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.
TAREA DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES LINEALES.
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto que son muy fáciles de asimilar. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: discutir el sistema; en este caso utilizaremos el conocido teorema de Roché -Provenías, y las consecuencias de dicho teorema. En cuando a la resolución daremos algunos sencillos métodos y comentaremos el método de Gauss como otra alternativa de resolución.
Módulo Algebra Página 68
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ECUACIONES CUADRATICAS
nteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremosecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.A
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0 Ecuación polifónica en la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma general de tales ecuaciones en la variable x es
ax2 + bx + c = 0
Donde a, b y c son constantes.
Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:
En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde la gráfica cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales distintas. Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la gráfica no cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante es negativo y las raíces son dos números complejos conjugados.
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales.
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Ejemplo:
9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0
-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática
EJEMPLOS Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo
grado
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Módulo Algebra Página 71
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Ç
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Ejercicios resueltos ecuaciones de segundo grado
Graficando Funciones Cuadráticas
Las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones poligonales con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomio tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con
Módulo Algebra Página 72
áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración. Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas. Graficando con Puntos Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:
La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:
x y = x2
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:
Módulo Algebra Página 73
Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función. Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:
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Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.
Módulo Algebra Página 75
Características de una Parábola
La forma estándar de una ecuación cuadrática es . Por ejemplo
, el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola. Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.
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