Por: José Francisco Barros Troncoso
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Por: José Francisco Barros Troncoso
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Por: José Francisco Barros Troncoso
LA DERIVADA
La derivada es una herramienta que permite estudiar el comportamiento de
una cantidad (variable dependiente) cuando otra cantidad que está
relacionada con ella varía (variable independiente)
La derivada se interpreta como una razón de cambio promedio o tasa de
cambio
Problemas que conllevan a la creación del cálculo
• El primero: estaba asociado a la geometría y era como calcular las rectas
tangentes o normales a una curva en un punto.
• El segundo: fue la determinación de la velocidad y la aceleración de un
cuerpo si se conoce la distancia en función del tiempo.
• El tercero: fue determinar cuándo una función alcanza un valor máximo o
mínimo.
• Y el cuarto: fue el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes determinados
por curvas o superficies.
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/DESARROLLO_DE_LA_DERIVADA_SIN_LA%20NOCION_DEL_LIMTE.pdf
LA DERIVADA
Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras
cantidades cambien.
• Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la
misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada
cambiará.
• Si se aumenta la inversión en publicidad probablemente las ventas se incrementen o
disminuyan
• Si aumentamos el número de unidades producidas posiblemente el costo promedio
disminuya o aumente.
• Si aumenta la inversión de capital o se incremente las horas laboradas o aumenta la
mano de obra probablemente se incremente la producción
Observación
Cuando la tasa de cambio es positiva se dice que hay un incremento y si es negativa
hay una disminución
LA DERIVADA
En Economía
La derivada de una función se puede utilizar para determinar:
• Análisis Marginal: Estimar el cambio que experimenta una función que
modele una situación relacionada con la economía (Ingreso, costo,
beneficios, producción, tasa de impuesto, etc.) al incrementar en una
unidad la variable independiente.
• La optimización de procesos (minimizar el costo promedio, maximizar el
ingreso total, maximizar la beneficios, la eficiencia, etc.
• La elasticidad en la demanda.
• Propensión al ahorro o al consumo
Historia y aplicaciones de la Derivada en las ciencias económicas
LA DERIVADA
La derivada de una función, 𝑓 en un punto 𝑥0, se
indica 𝑓´ 𝑥0 y se define como
𝑓´ 𝑥0 = lim𝑥→0
𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)
𝑥0 − 𝑥
Si dicho límite no existe , se dice que la función
𝑓(𝑥) no es derivable en 𝑥0
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 se
denota 𝑦´ ó𝑑𝑦
𝑑𝑥ó
𝑑[𝑓 𝑥 ]
𝑑𝑥ó 𝐷𝑥𝑦 o 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)]
Animación con winplot
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Fórmulas de la Derivada
LA DERIVADA
Ejercicio. Derivar
𝑓 𝑥 = 100 𝑓 𝑥 = −1
2x 𝑓 𝑥 = 4𝑥3 𝑓 𝑥 =
3𝑥2
𝑓 𝑥 =𝟑
𝟐 𝒙𝑓 𝑥 = 4𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 (5𝑥2 + 6𝑥) 𝑓 𝑥 =
x
x−1
𝑓 𝑥 =5𝑥 − 2
1 + 2𝑥2𝑓 𝑥 =
𝑥 − 3𝑥 𝑥
𝑥𝑦 =
2𝑥2 − 3𝑥 + 1
2𝑥 − 1
LA DERIVADA
𝑦 = 3𝑥2 − 4 𝑒𝑛 𝑥 = 2 𝑦 = 𝑥2 −1
𝑥2𝑒𝑛 𝑥 = −1 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1𝑒𝑛 𝑥 = −3
Ejercicios Calcule la derivada de cada función en el punto indicado
LA DERIVADA
Ejercicios Determine la ecuación de la línea tangente a la gráfica de las siguientesfunciones, utilice el winplot para graficar las funciones.
LA DERIVADA
Problemas
