Polinomios y Ecuaciones Polinómicas

8/16/2019 Polinomios y Ecuaciones Polinómicas

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Polinomios yEcuaciones

Polinómicas


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Se dice que los polinomios y son iguales o idénticos si:

,

Es decir, si a la vez cumplen con:

1. Tienen el mismo grado

2. Los coefcientes de términos idénticos deen ser iguales

Lo anterior implica que al asignar un valor a , se otiensiempre los mismos resultados para y para .

•

"gualdad de dos #olinomios


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Es posile realizar operaciones con polinom

modo que den lugar a nuevos polinomiosoperaciones son:

• *ultiplicaci%n por una constante

•Suma

• *ultiplicaci%n

+peraciones con #olinomios


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onsideremos una constante . Si se multiplica un polinomio

constante, se determina el polinomio , que se otiene multipliccoefciente del polinomio por la constante .

Sim%licamente:

E)emplo:

Sea y sea . -alle .

Soluci%n:

•

*ultiplicaci%n por unaonstante


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ados dos polinomios y la suma de ellos es un nuevo polinomotiene sumando los coefcientes de las potencias de la variale/ponente. Sim%licamente:

E)emplo:

Sea y 0

Entonces:

Luego:

•

Suma de #olinomios


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ados dos polinomios y la resta de ellos es un nuevo polinomio que sumando el polinomio con el polinomio .

E)emplo:

Sea y 0

Entonces:

Luego:

•

3esta de dos #olinomios


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4otemos que si y y , entonces al sumar 5r

amos polinomios, se tiene que el gradopolinomio resultante es menor o igual que . Es d

•

+servaci%n


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El producto de dos polinomios se defne como:

E)emplo:

Si y , entonces:

•

*ultiplicaci%n de #olinomios


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Si y , entonces:

E)emplo:

Si se multiplica el polinomio con el polinom

grado del polinomio resultante ser6 7, es desuma del grado del polinomio , que es 8, y polinomio , que es 9.

•

+servaci%n


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En la aritmética elemental, la divisi%n de dos

enteros, y ;, denotada : ; y con 2,28 que NO es un n(mero entero

Sin emargo, podemos realizar esta misma divsacar decimal?, esto es, podemos escriir:

ivisi%n de #olinomios

@ reconocemos esta divisi%n comodivisi%n con ?resto?.


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+servemos que en esta divisi%n, se tieneque:

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto o Residuo

dem6s, oserve que:

= > ⋅ 2 A 1


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e esta Borma si y ; son enteros y <;, entonces, al dividir en ;, se otendr6un cociente y un residuo o resto 3

Sim%licamente:

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto o Residuo

@ Se cumple que:

A = B C + R


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Estas mismas ideas son v6lidas en el casodos polinomios y , siempre que se cumque:

Es decir, si se cumple esta condici%n,dividir por , se otendr6 un polinomcociente y un polinomio residuo :

•

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto o Residuo


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@ E;E cumplirse que:

E)emplo:

Si y , entonces, si se divide por , se otiene que y .

#odemos comproarlo si escriimos:

l realizar las operaciones respectivas, otenemos:

•


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#aso 1: Se ordena los polinomios enorden decreciente de los e/ponentes delas variales.

#aso 2: Se divide entre . Se otiene .Este término, , ser6 el primer término delpolinomio cociente.

#aso 9: Se multiplica por . Los resultados

se colocan ?dea)o? del polinomio y seles camia sus signos. Cinalmente sesuman.

#aso : Se otiene la e/presi%n . Serepite el proceso anterior dividiendo eltérmino entre , que luego se multiplicapor el polinomio .

•

E)emplo del #rocedimiento para3ealizar la ivisi%n de #olinomios


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E)emplo


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Supongamos que se tiene que . Si realizamos la divisi%n, saese otiene:

Entonces:1.

2.

9.

. Si , entonces > D o ien

•

+servaciones


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Supongamos que se divide un polinomio por ot

polinomio :

1. Si el polinomio residuo 5o resto , se dice que divisi%n es ?e/acta?

2. dem6s se dice que el polinomio es un !acto

•

+servaciones


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Si se divide por el polinomio 9, entonces se otiene cpolinomio cociente y como residuo .

•

E)emplo

e esta Borma:


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omo en el e)emplo anterior el residuo , en#olinomio es:

1. ?ivisile? por el polinomio .

2. El polinomio se puede ?Bactorizar? utilizpolinomios y , es decir:

5

•


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El determinar si el residuo es cero es uno

aspectos m6s importantes de la divisi%n dpolinomios, pues ello nos permite estalecdescomposici%n Bactorial de un polinomio.


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-emos estalecido que si se divide por se otipolinomio cociente y un polinomio residuoadem6s:

nalicemos el caso particular en el que , donden(mero real cualquiera.

•

ivisi%n de un polinomio por upolinomio


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#or e)emplo, si el polinomio es:

entonces 2

entonces F

entonces

entonces

entonces 2

entonces F

entonces

entonces


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l dividir un polinomio por un polinomio , se tiene que:

E)emplo:

Si se divide por , se otiene:

Es decir:

4%tese adem6s que el grado de es e"actamente una unidamenos que el polinomio .

•


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continuaci%nse procedecomo sigue:


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9 7 9 2

& 9 2 1 Descripci%n:

1. Se repite el n(mero en ro)o inmediatamente dea)o de él 5en este caso el n(mero 9

2. Se multiplica 2 5en color lila por 9, se otiene H y se suma con 7. El resultado de ees 2 se coloca inmediatamente a)o 7.

9. Se repite el proceso anterior, esta vez multiplicando 2 5color lila por 2, lo que dase suma con el valor 9 5en color anaran)ado y se otiene 1.

. 4uevamente se repite el proceso multiplicando 2 5color lila por 1 y se suma al valoeste caso, cero.

8. El polinomio tendr6 por grado uno menos que el polinomio . omo este (ltimentonces ser6 de grado 2.

H. #ara determinarlo, asta considerar los n(meros en las celadas de color celeste, qcoefcientes del polinomio de grado 2 al que nos estamos refriendo, es decir:

F. 3especto del residuo, est6 representado por el valor en la celda de color amarillo


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• Se deduce entonces que divide en !orma e"apues el residuo es cero.

• e modo que $emos $allado una !actori'para en términos de .

• #or (ltimo como el residuo Bue cero, se dedu2 es una ra( z de , es decir .

•


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ividir el polinomio H por el polinomio .

Soluci%n:

En este caso el polinomio 4+ es e/actamente de la Borma , de modo que deemos procsiguiente manera:

•

ivisi%n Sintética: E)emplo 2

) * * $& *

2 1

) * * $& *

2 1

En este caso el polinomio se otiene dividiendo cada coefciente 5celdas por 2 n(mero en color ro)o, de modo que:

El residuo se otiene dividiendo el n(mero en la celda amarilla por el mismo2 en color ro)o. e esta manera el residuo es


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E)ercicio


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E)ercicio

3ealice un an6lisis completo de las raIces del polinoBactorice el mismo en J y resuelva, en J, la ecuaci%•


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