Polinomios

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En general, entenderemos al cuerpo K como Q,R,C o Zp con p un numero primo. De esta formadefiniremos un polinomios sobre K que denotaremos por K[X], por

f(X) = anXn + an−1X

n−1 + . . . + a0 =

n∑k=0

akXk

Con ai ∈ K para i ∈ {0, . . . n} que son los llamados coeficientes del polinomio. Definiremos el grado delpolinomio f , denotado por deg f , como el mayor exponente del polinomio f de coeficiente no nulo. Porejemplo consideremos el polinomio

f(X) = 3X4 + 2X2 − 1

De esta forma el grado de f es 4. Consideremos dos polinomios f(X) = anXn + . . . + a1X + a0 y

p(X) = bmXm + . . . + b1X + b0, donde m y n no son necesariamente iguales. Se definira el polinomiosuma de f y p como

(f + p)(X) = clXl + . . . + c1X + x0

Donde ck = ak + bk y para evitar problemas, si m > n definiremos ak = 0 cuando k ∈ {n + 1, . . . ,m}.Llamaremos polinomio nulo, al polinomio cuyos coeficientes son todos cero, ası el polinomio cero es elneutro para la suma de polinomios. Por convencion no le asignaremos grado al polinomio cero.

Ademas si f ∈ K[X] es un polinomio de grado n, diremos que f es monico si y solo si an = 1.

Ejemplo. Consideremos el polinomio p(X) = X2 + 1 y f(X) = 2X3 + X − 1 entonces

(f + p)(X) = 2X3 + X2 + X

Consideremos el polinomio f(X) = anXn + . . .+ a1X + a0, definiremos su inverso en sentido de la suma

como −f(X) = −anXx − . . .− a1X − a0, de modo que f(X) + (−f)(X) = 0

Propiedades. Sean f, p, q ∈ K[X]

1. f + p = p + f

2. f + (p + q) = (f + p) + q)

3. deg(f + p) ≤ max{deg f, deg p}

Demostracion. La demostracion de las propiedades 1 y 2 son relativamente iguales, para efectospracticos solo demostremos la propiedad 1.Sean ai y bi los coeficientes de f y p respectivamente,entonces el coeficiente i-esimo de la suma f + p es ci = ai + bi = bi + ai, es decir f + p = p + f . Para lapropiedad 3 consideremos n = deg f y m = deg p los grados de ambos polinomios, si m > n tenemos quedeg(f + p) = m analogamente para n > m. Ahora si m = n el coeficiente n-esimo de f + p esta dado poran + bn si an = −bn el resultado es directo, sino entonces deg(f + p) = n concluyendo lo pedido 2

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Consideremos nuevamente los polinomios f(X) =

n∑k=0

akXk y g(X) =

m∑k=0

bkXk, entonces definiremos su

producto fg(X) = clXl + · · ·+ c1X + c0 donde

ck = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0

Si definimos un polinomio e(X) = 1 tenemos que ef(X) = fe(X) = f(X) para cualquier polinomiof ∈ K[X], este polinomio e(X) se denomina elemento identidad en K[X]

Propiedades. Sean f, g, h polinomios en K[X], entonces

1. fg(X) = gf(X)

2. f(gh)(X) = (fg)h(X)

3. deg fg = deg f + deg g

Estas propiedades no son difıciles de probar ası que se dejaran a cargo del lector. Ahora introduciremos,al igual que en Z, la divisibilidad en terminos de K[X]

Definicion 1. Sean f, g ∈ K[X] diremos que g divide a f si existe un polinomio h ∈ K[X] tal quef(X) = g(X)h(X), esto lo denotaremos como g|f al igual que en los enteros.

Teorema 1(Algoritmo de la division) Sean f, g ∈ K[X] donde g es un polinomio monico. Entoncesexisten unos unicos polinomios q, r ∈ K[X] tal que

f(X) = q(X)g(X) + r(X)

y ademas deg r < deg g

Demostracion. Escribiendo f(X) = anXn + · · ·+ a1X + a0 y g(X) = Xm + · · ·+ b1X + b0, si

deg f < deg g tendrıamos que q = 0 y r = f , en caso contrario si n = 0 entonces deg g = 0 por lo tantoq = an. Usemos induccion sobre n y supongamos que se cumple para algun natural n, asumiendo quedeg f ≥ deg g. Luego

f(X) = anXn−mg(X) + f1(X)

Por la hipotesis inductiva, como deg f1 < n entonces existe polinomios q1 y r tales que

f(X) = anXn−mg(X) + q1(X)g(X) + r(X) = (anX

n−m + q1(X))g(X) + r(X)

Donde por hipotesis deg r < deg g. Verifiquemos ahora la unicidad, supongamos que existen polinomiosq1, q2, r1, r2 sobre K tales que

f = q1g + r1 = q2g + r2 con deg r1,deg r2 < deg g

De esta igualdad, vemos que g(q1 − q − 2) = r2 − r1 pero comparando grados tenemos que deg g >deg(r2 − r1) = deg g(q1 − q2) ≤ deg g contradiccion 2

Teorema 2 (Teorema del Resto). Sean f ∈ K[X], deg f = n y c un escalar. Entonces existe unpolinomio q(X) con deg q = n− 1 y un escalar r tal que f(X) = q(X)(X − c) + r

Demostracion. Primero veremos que el teorema se cumple para un monomio Xk. Consideremos elpolinomio qk(X) = Xk−1 + Xk−2c + · · ·+ ck−1 y rk = ck entonces se tiene que

qk(X)(X − c) + rk = (Xk−1 + Xk−2c + · · ·+ ck−1)(X − c) + ck = Xk

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Ahora el polinomio f esta dado por

f(X) =

n∑k=0

akXk =

n∑k=0

ak(qk(X)(X − c) + rk) = (X − c)q(X) + r

Donde q(X) =∑

akqk y r =∑

akrk y deg q ≤ max{deg qk : 0 ≤ k ≤ n} ≤ n− 1 probando el teorema2

Diremos que un escalar c es un cero del polinomio f ∈ K[X] si f(c) = 0. De esta forma enunciamosel siguiente teorema

Teorema 3 (Teorema del Factor). Sea f ∈ K[X] un polinomio y c un cero de f entonces (X − c)divide a f .

Demostracion. Del teorema del resto vemos que existe q ∈ K[X] de modo que f(X) = (X−c)q(X)+r,entonces f(c) = r = 0. Luego X − c divide a f 2

Definicion 2. Sea f ∈ K[X] un polinomio no constante. Diremos que f es irreductible sobre K si f nopuede ser escrito como producto de polinomios no constantes sobre K. En caso contrario, diremos que fes reductible.

En general, para estos cuerpos K entenderemos a los polinomios irreductibles como un analogo a losnumeros primos en Z, ası introducimos un analogo al teorema fundamental de la aritmetica

Teorema 4 (Factorizacion unica). Todo polinomio sobre K, monico y no constante, puede serexpresado como un producto de polinomios monicos sobre K, no constantes e irreductibles. Lafactorizacion en polinomios irreductibles es unica salvo reordenamientos de los factores.

Corolario 1. Sea f ∈ K[X] un polinomio irreductible y g, h ∈ K[X] de modo que f |gh. Entonces f |g of |h

Demostracion. Supongamos sin perdida de generalidad que f es monico. Si g o h son constantesentonces el corolario es directo. Sea p ∈ K[X] de modo que fp = gh, si escribimos g y h en su factorizacionpolinomica, entonces como f es irreductible tiene que ser igual a alguno de los factores de g o h, es decirf |g o f |h 2

Corolario 2. Sea f ∈ K[X] un polinomio de grado n entonces f tiene a lo mas n ceros.

Este resultado es directo del teorema del factor aplicado n veces y sabiendo que todo polinomio degrado 1 es irreductible.

Definicion 3. Diremos que un polinomio f ∈ Z[X] es primitivo si el maximo comun divisor de suscoeficientes no nulos es 1

De esta definicion es claro que todo polinomio puede expresarse de manera unica de la forma p(X)cdonde p es un polinomio primitivo.

Lema 1. Si f, g ∈ Z[X] son dos polinomios primitivos, entonces su producto fg tambien es unpolinomio primitivo

Demostracion. Definamos f(X) = anXn + · · ·+ a1X + a0 y g(X) = bmXm + · · ·+ b1X + b0, si ck son

los coeficientes de fg(X) supongamos que existe un numero primo p tal que p|ck. Claramente p no puededividir a todos los ak ni bk, sea i el mınimo ındice tal que p - ai y j el mınimo ındice tal que p - bj .

ci+j = a0bi+j + a1bi+j−1 + · · ·+ aibj + · · ·+ ai+jb0

De la definicion de los ındices tenemos que p|ak para k ≤ i− 1 y p|bk para k ≤ j − 1 entonces vemos que

ci+j = a0bi+j + a1bi+j−1 + · · ·+ aibj + · · ·+ ai+jb0 ≡ aibj ≡ 0 mod p

Luego p|ai o p|bj que en cualquier caso es imposible 2

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Definicion 4. Sea f ∈ K[X] un polinomio de la forma f(X) = anXn + · · ·+ a1X + a0. Definiremos su

derivada f ′ como el polinomio de grado n− 1 sobre K dado por

f ′(X) = nanXn−1 + (n− 1)an−1X

n−2 + · · ·+ a1

Propiedades. Sean los polinomios f, g ∈ K[X] entonces

1. (f + g)′(X) = f ′(X) + g′(X)

2. (fg)′(X) = f ′(X)g(X) + f(X)g′(X)

3. log′ f(X) =f ′(X)

f(X)

Lema 2 (Gauss). Sea f ∈ Z[X]. Si f no puede ser escrito como producto de dos polinomios noconstantes de coeficientes enteros, entonces f es irreductible sobre Q

Demostracion. Sean g, h ∈ Q[X] polinomios no constantes tales que f = gh, entonces existe un enterominimal m tal que mf(X) = g1(X)h1(X) donde g1, h1 ∈ Z[X]. Escribamos estos polinomios de la forma

g1(X) = anXn + an−1X

n−1 + · · ·+ a0 y h1(X) = bkXk + · · ·+ b1X + b0

Sea p un primo que divida a m, sean i, j indices minimales tales que p - ai y p - bj , entonces p divideal coeficiente asociado a Xi+j , es decir p divide a

a0bi + j + a1bi+j−1 + · · ·+ aibj + · · ·+ ai+jb0

Luego p|aibj lo cual es absurdo, entonces p divide a todos los coeficientes ai o bi. Supongamos sinperdida de generalidad que p|ai para i = 0, 1, . . . , n, entonces podemos escribir g1(X) = pg2(X). Sim = pm1 entonces m1f(X) = g2(X)h1(X) contradiciendo la minimalidad de m. Luego m = 1, es decirf puede ser escrito como un producto de dos polinomios no constantes de coeficientes enteros. 2

Teorema 5 (Teorema de los factores multiplos). Sea f ∈ K[X] un polinomio no constante. Siexiste un polinomio g tal que g2|f entonces g|f ′. Recıprocamente si g es un polinomio tal que g|f y g|f ′entonces g2|f

Demostracion. Sea h ∈ K[X] tal que f = g2h, entonces

f ′ = 2gg′h + g2h′ = g(2g′h + gh) es decir g|f ′

Supongamos ahora que g|f entonces existe otro polinomio p ∈ K[X] tal que f = gp, luego f ′ = g′p+ gp′.Como g|f ′ es directo que g divide a g′p, pero deg g′ < deg g entonces g - g′ con lo que se concluye queg|p. Finalmente existe un polinomio u ∈ K[X] tal que p = ug entonces f = g2u probando lo pedido 2

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Referencias

[1] Algebra, Serge Lang

[2] Algebra, Renato A. Lewin

[3] Introduccion al Algebra, Pablo Dartnell

[4] Polinomios Ciclotomicos e o Teorema dos Primos de Dririchlet, Antonio Caminha

[5] Problem-Solving Strategies, Arthur Engel

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