Autor: Jesús Samper

Grados minutos y segundos

Radianes

Reglas de conversión entre grados y radianes

Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los grados, minutos ygrados, minutos y segundossegundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia90º = 1/4 de vuelta1º = 1/360 de vuelta, etc.

Grados, minutos y segundos

1 grado = 60 minutos

1 minuto = 60 segundos

También se puede definir otra unidad angular, el radián, que en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo que trabajar con grados.

Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio.

Radian

Conversión entre grados y radianes

La medida en radianes (a) entre un ángulo de grados se obtiene mediante la proporción:

3602

a

Ejemplos:radianes

4360

24545

1202

360

3

2

3

2

radianes

Razones trigonométricas de un ángulo agudoVamos a estudiar un ángulo . Tomamos un punto cualquiera P. En el consideramos:

Su abscisa x (que puede ser positiva o negativa)

Su ordenada y (que puede ser positiva o negativa)

Su distancia al origen r(siempre positiva por ser una distancia)

En el triángulo OPQ: x es el cateto contiguo, y es el cateto opuesto y r la hipotenusa.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

El valor de las razones trigonométricas no depende del punto P(x,y) elegido. Si elegimos otro punto P‘(x‘,y‘) se tiene que:

r

y

r

ysen

r

x

r

x

cos

x

y

x

ytg

En virtud del teorema de Thales:

Para saber más

Relación entre razones Relación entre razones trigonométricastrigonométricas

De un ángulo

De ángulos diferentes

Relaciones entre las razones Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulotrigonométricas de un ángulo

Circunferencia goniométrica

sen a

cos a

1a

Teorema fundamental de la trigonometría

sen2a + cos2a = 1

Aplicando Pitágoras

Dividiendo por sen2a o cos2a:

1 + tg2a = sec2a 1 + cotg2a = cosec2a

Para saber más

Relaciones entre las razones Relaciones entre las razones trigonométricastrigonométricas de ángulos distintosde ángulos distintos

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos que se diferencian en 180º

Ángulos opuestos

sen a

cos a

sen (90º-a)

cos(90º-a)

sen a = cos (90º-a)cos a = sen (90º-a)tg a = cotg (90º-a)

Para saber más

90º-a

a

El complementario del ángulo a es 90º-aLas razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 90º-a son:Comprobamos que:

Compuébalo

a

180º-a

sen a

cos a

sen (180º-a)

cos (180º-a)sen a = sen (180º-a)cos a = - cos (180º-a)tg a = - tg (180º-a)

Para saber más

El suplementario del ángulo a es el ángulo 180º-aLas razones trigonométricas del ángulo a son:Las razones trigonométricas del ángulo 180º-a son:

Observamos que:

Compruébalo

a

180º+a

Las razones trigonométricas del ángulo a son:

sen a

cos a

Las razones trigonométricas del ángulo 180º+a son:

sen(180º+a)

cos(180º+a)

Comprobamos que:

sen a = - sen(180º+a)cos a = -cos(180º+a)tg a = tg(180º+a)

Para saber más

Compruébalo

a

-a

Las razones trigonométricas del ángulo a son:

sen acos a

Las razones trigonométricas del ángulo –a son:

cos (-a) sen (-a)

Comprobamos que:

sen a = - sen (-a)cos a = cos (-a)tg a = - tg (-a)

Para saber másCompruébalo

R e so luc ión de tr ián g u losre ctá ng u los

T eo rem ad e l seno

T eo rem ad e l co se no

R e so luc ión de tr ián g u loscua lesqu ie ra

F órm u la d e H erón

S = (1 /2 ) · la do ·la do · sen (á ng u lo co m pre nd id o)

A rea s d e triá ng u los

A p licac ion esd e la tr igo no m etr ía

Resolución de triángulos rectángulos

• La suma de los dos ángulos agudos es igual a 90º: B+C=90º

• Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

• Razones trigonométricas seno, coseno y tangente: sen B = b/a = cos C cos B = c/a = sen C tg B = b/c ; tg C = c/b

ab

cA B

C

Teorema de los senos (en un triángulo cualquiera)

• El teorema del seno afirma que en un triángulo cualquiera los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos: a/sen A = b/sen B = c/ sen C.

• Interpretación geométrica del teorema del seno: a/senA = b/senB = c/senC = 2R Donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

2R2R

b

a

c

C A

B

Teorema de los cosenos (en un triángulo cualquiera)

• El teorema del coseno afirma que en un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

• a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A• b2 = a2 + c2 – 2 a c cos B• c2 = a2 + b2 – 2 a b cos C

b

a c

C A

B

Resolución de triángulos cualesquiera

• Para resolver un triángulo cualquiera tenemos en cuenta las siguientes relaciones entre sus elementos:

• La suma de sus ángulos es igual a 180º.

• El teorema del seno.

• El teorema del coseno.

• Según los datos del problema podemos considerar tres casos:

• CASO I: conocidos dos lados y el ángulo comprendido.

• CASO II: conocidos los tres lados.

• CASO III: conocidos un lado y dos ángulos.

b

a

C

a

C

B

CASO I: conocidos a,b y C.

CASO II: conocidos a, C y B.

CASO III: conocidos a, b y c.

b

a c

Área de un triángulo

• S = (1/2) · b · a · sen C• S = (1/2) · b · c · sen A• S = (1/2) · a · c · sen B• S = (a · b · c) / (4 · R) donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.• Fórmula de Herón : S = (p · (p-a) · (p-b) · (p-c)) donde p es el semiperímetro del

triángulo, p = (a+b+c)/2

A

B

C

A

B

C• R• RR

b

a

cb

a

chbhb