POLINOMIOS · 2020. 11. 1. · POLINOMIOS 3 POLINOMIOS EXPRESIONES POLINÓMICAS: MONOMIOS: Un...

POLINOMIOS

1

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IESPROFESORMARTIacuteNMIRANDA

POLINOMIOS4ordmESOMATEMAacuteTICASACADEacuteMICAS

ALUMNOA

GRUPO

4ordmESO

POLINOMIOS

2

RADICALES Y LOGARITMOS

POLINOMIOS 3

EXPRESIONES POLINOacuteMICAS 3

MONOMIOS 3

Monomios semejantes 3

POLINOMIOS 4

Grado de un polinomio 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS 5

Suma y resta de polinomios 5

Multiplicacioacuten de polinomios 7

DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS 9

REGLA DE RUFFINI 9

Divisioacuten de polinomios 9

Regla de Ruffini 10

TEOREMA DEL RESTO 12

Teorema del resto 12

Raiacuteces o ceros de un polinomio 13

Propiedades de las raiacuteces de un polinomio 13

Descomposicioacuten factorial de un polinomio 14

Polinomio irreducible 14

FRACCIONES ALGEBRAICAS 17

SIMPLIFICACIOacuteN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 17

POLINOMIOS

3

POLINOMIOS

EXPRESIONES POLINOacuteMICAS

MONOMIOS

Un monomio es una expresioacuten algebraica formada por el producto de un nuacutemero llamado coeficiente y una o varias letras elevadas a un nuacutemero natural que forman la parte literal del monomio

Las letras de la parte literal se llaman variables

El grado de un monomio es el exponente de la letra que forma la parte literal si solo hay una o la suma de los exponentes si hay maacutes de una

Monomiossemejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal

Ejemplo

POLINOMIOS

4

POLINOMIOS

Un polinomio es una expresioacuten algebraica formada por la suma o la resta de dos o maacutes monomios no semejantes Por ejemplo tenemos

Gradodeunpolinomio

El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x

Seguacuten su grado los polinomios pueden ser de

TIPO EJEMPLO PRIMER GRADO P(x)= 3x+2 SEGUNDO GRADO P(x)=2x 2 +3x+2 TERCER GRADO P(x)=x 3 -2x 2 +3x+2

TEN EN CUENTA LO SIGUIENTE

bull Cada uno de los monomios que forman un polinomio se denomina teacutermino y el que no tiene parte literal teacutermino independiente

bull Al mayor de los grados de los teacuterminos de un polinomio reducido se le llama grado del polinomio

8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

POLINOMIOS

5

OPERACIONESCONPOLINOMIOS

Sumayrestadepolinomios

Para sumar (o restar) polinomios se agrupan los monomios del mismo grado y se suman (o restan) sus coeficientes

Ejemplo

Dado los polinomios

A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7

B(x) = minus 8x3 minus 6x2 minus3x +3

Calcula

a) A(x) +B(x)

3x4 minus 5x3 + x + 7 minus 8x3 minus 6x2 minus3x + 3

3x4 minus 13x3 minus 6x2 minus 2x+10

b) A(x) ndash B(x)

Para ello calculamos el opuesto de B(x)

3x4 minus 5x3 + x + 7 8x3 + 6x2 +3x minus 3

3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4

POLINOMIOS

6

O tambieacuten de la forma

Para sumar polinomios hay que agrupar los monomios semejantes Asiacute

(4x3 + 5x minus 6) minus (3x3 minus 2x2 + 7x) + (6x3 + 4x2 minus x + 5) =

= 4x3 + 5x minus 6 minus 3x3 + 2x2 minus 7x + 6x3 + 4x2 minus x + 5 =

= (4x3 minus 3x3 + 6x3 ) + (2x2 + 4x2 ) + (5xminus 7x minus x) + (minus6 + 5) =

= 7x3 + 6x2 minus 3x minus 1

EJERCICIO MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS

1) Dados los polinomios P(x) Q(x) y R(x) escritos maacutes abajo

Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)

c) P(x) + Q(x) minus R(x)

d) P(x) minus Q(x) minus R(x)

SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=

4x9xx3(x)(x)(x)d)10x9xx7(x)(x)(x)c)

5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7

Multiplicacioacutendepolinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por todos los monomios del otro y despueacutes se suman los polinomios obtenidos

c) (2x3 minus 3x2 + 4x) (2x2 minus 3)

Tambieacuten se puede hacer de forma lineal

d) (2x2 + 5x minus6) (3x2 minus 2x minus 3) =

= 6x4 minus 4x3 + 6x2 + 15x3 minus10x2 + 15x minus 18x2 + 12x minus18=

= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8

EJERCICIOS MULTIPLICACIOacuteN DE POLINOMIOS

2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3

3) Calcula las siguientes operaciones de polinomios

a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS

)()( xSxR times)()( xTxQ times

POLINOMIOS

9

DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS

REGLADERUFFINI

Divisioacutendepolinomios

La divisioacuten de dos polinomios y tiene por objeto hallar dos polinomios de forma que se verifique la PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIOacuteN

DIVIDENDO = DIVISOR COCIENTE + RESTO

Si los grados de y son p y q respectivamente esta operacioacuten es posible cuando

Ejemplo

Se ordenan el dividendo y el divisor dejando un hueco en el lugar de todos los teacuterminos que faltan si el dividendo es incompleto

Se dividen los teacuterminos principales del dividendo y el divisor obteniendo el primer teacutermino del cociente

Se multiplica el divisor por el cociente y el resultado se le resta al dividendo

Se repite este proceso hasta llegar a un polinomio cuyo grado sea menor que el del divisor

41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1 119909 minus 2 minus41199090 + 81199091 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 111199091 minus 6119909 + 1 minus111199091

+ 221199095

221199095 minus 6119909 + 1 minus221199095 + 44119909 38119909 + 1 minus38119909 + 76

77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC

( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +times=

( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini

La divisioacuten estudiada anteriormente permite realizar cualquier divisioacuten de polinomios Pero si el divisor es un binomio de la forma hay una forma maacutes sencilla y raacutepida para realizarla que es lo se conoce como REGLA DE RUFFINI

Usando el ejemplo de la divisioacuten anterior calculamos la divisioacuten

(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)

Se colocan los coeficientes del dividendo de forma ordenada y decreciente antildeadiendo ceros si no es completo Se coloca el valor de del divisor

El primer coeficiente del cociente es el primero del dividendo

Se multiplica este por y se suma el producto al segundo teacutermino del dividendo Asiacute sucesivamente

Los coeficientes obtenidos con un grado menos que el dividendo constituyen el cociente de la divisioacuten El uacuteltimo teacutermino es el resto de la divisioacuten

Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a

1)(3)( 2 =+= xrxxc532 23 -+- xxx )2( -= x 1)3( 2 ++times x

POLINOMIOS

11

EJERCICIOS DE RUFFINI

4) Efectuacutea las divisiones de x3 -5x2 + 6x ndash2 entre a) x + 2 b) x ndash 3

Escribe en cada caso la igualdad dividendo = divisor middot cociente + resto

5) Efectuacutea las divisiones de 3x4 ndashx2 +5x entre a) x ndash 2 b) x+1


6) Aplica la regla de Ruffini y averigua cuaacuteles de las siguientes divisiones son exactas

(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

7) Halla el valor de m para que cada una de estas divisiones sea una divisioacuten exacta

a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =

8) En cada caso calcula el valor de m para que la divisioacuten tenga los restos que se te piden

a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1

9) Calcula el valor de m para que el polinomio 119875(119909) = 21199091 +1198981199095 + 5119909 + 2 sea divisible

por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto

El valor numeacuterico de un polinomio P(x) para x=a coincide con el resto de la divisioacuten P(x)(x-a)

Demostracioacuten

Ejemplo Calcula el valor numeacuterico de los siguientes polinomios

a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3

1 minus5 6 3 3 minus6 1 minus2 0

Por lo que P(3)=0

b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 en x= minus5

1 minus3 minus9 minus5 minus2 minus2 10 minus2

1 minus5 1 minus7

Por lo que P (minus2)=minus7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RaPRaCaaaPRxCaxxP =THORN+times-=THORN+times-=

POLINOMIOS

13

Raiacutecesocerosdeunpolinomio

Un nuacutemero a es una raiacutez del polinomio P(x) si P(a)=0

EJEMPLO

no es raiacutez del polinomio porque su resto es

es raiacutez de porque

Propiedadesdelasraiacutecesdeunpolinomio

- Las raiacuteces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del teacutermino independiente

- El nuacutemero de raiacuteces de un polinomio es menor o igual que su grado

10) Calcular el valor numeacuterico de los siguientes polinomios

a) en x=2 b) en x=ndash3 c) en x=1 x=0 d) +1 en x=ndash1 x=0 e) en x=2 f) en x=1 x=0

11) Calcula el valor de m en el polinomio P(x)= para que dicho polinomio

tenga como raiacutez x=2 despueacutes factoriza el polinomio resultante

12) Comprueba que el polinomio P(x)= no tiene raiacuteces enteras

13) Calcula en el polinomio P(x)= el valor de k sabiendo que el valor de P(x)

para x=1 es igual a 7

2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p

44)( 23 +--= xxxxP1623)( 34 ---= xxxxP666)( 23 -+-= xxxxPxxxxxP 99)( 234 +--=2045)( 23 --+= xxxxP124)( 25 +-+= xxxxP

424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14

Descomposicioacutenfactorialdeunpolinomio

FACTORIZAR UN POLINOMIO es escribirlo como producto de polinomios de menor grado posible

Para ello es necesario obtener las raiacuteces de dicho polinomio puesto que dado

si es una raiacutez de es exacta

si a su vez es una raiacutez de

Observa que tambieacuten es una raiacutez de pues sustituyendo en se cumple que

porque

Se tiene entonces que

Este proceso puede continuar si tienen maacutes raiacuteces lo cual permite factorizar

Polinomioirreducible

Un polinomio es IRREDUCIBLE o PRIMO cuando no es posible descomponerlo como producto de polinomios de grado mayor o igual que 1

( )xP

a ( )xP THORN ( ) ( )axxP - THORN ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=

b ( )xQ THORN ( ) ( ) ( )xCbxxQ times-=

b ( )xP ( ) ( ) ( )xQaxxP times-=

( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ

( ) ( ) ( ) ( )xCbxaxxP times-times-=

( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo

Factoriza los siguientes polinomios

a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6

Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 3 plusmn 6

1 minus4 1 6

-1 minus1 5 minus6 1 minus5 6 0 3 3 minus6 1 minus2 0 2 2 1 0

Con lo que el polinomio factorizado es 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 = (119909 + 1) ∙ (119909 minus 3) ∙ (119909 minus 2)

b) 119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5

Las posibles soluciones enteras del polinomio son plusmn 1 plusmn 2 plusmn 5

1 minus3 minus9 minus5 minus1 minus1 4 5

1 minus4 minus5 0 minus1 minus1 5

1 minus5 0 5 5 1 0

Con lo que el polinomio factorizado es

119875(119909) = 1199091 minus 31199095 minus 9119909 minus 5 = (119909 + 1) ∙ (119909 + 1) ∙ (119909 minus 5) = (119909 + 1)5 ∙ (119909 minus 5)

POLINOMIOS

16

EJERCICIOS

14) Factoriza los siguientes polinomios

a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6

i) E(x)=1199090 minus 1199091 minus 71199095 + 13119909 minus 6


a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095

16) Determinar las raiacuteces y factorizar el siguiente polinomio

119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24

17) Escribe un polinomio de grado 4 con soacutelo las raiacuteces 0 y 1 (dobles)

CONCLUSIONES

18) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 + 1198861199095 + 119887119909 + 3 calcular el valor de a y b para que x=1

sea una raiacutez del polinomio y 17 sea el valor numeacuterico para x=2

19) Dados los polinomios

119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2

a) Calcula el valor numeacuterico del polinomio para x=2

b) Calcula la suma de los polinomios P(x) y Q(x)

20) Dado el polinomio 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6 calcula

a) Las raiacuteces del polinomio

b) El valor numeacuterico para 119909 = minus3

21) Dado el polinomio119875(119909) = 21199095 minus 119886119909 + 119887 calcula el valor de a y b para que cumpla las

siguientes condiciones

a) El 1 es raiacutez

b) El valor numeacuterico para x = 0 es 12

POLINOMIOS

17

FRACCIONESALGEBRAICAS

Fraccioacutenalgebraica

Una fraccioacuten algebraica L(M)N(M)

es una fraccioacuten que tiene por denominador un polinomio

EJEMPLOS

Fraccioacutenequivalente

es equivalente a

SIMPLIFICACIOacuteNDEFRACCIONESALGEBRAICAS

Para simplificar una fraccioacuten algebraica hay que descomponer factorialmente el numerador y el denominador y eliminar despueacutes los factores comunes de ambos

EJEMPLO

EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

22) Factoriza numerador y denominador y luego simplifica

a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC

=Ucirctimes=timesUcirc

13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18

23) Descomponer en factores y simplificar

a) b) c) d)

e) f) g)MOPQMMRSMOPS

h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)

24) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando el numerador y

denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve

a) Simplifica la siguiente expresioacuten

1199091 minus 1199095 minus 8119909 + 121199091 + 21199095 minus 5119909 minus 6

OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS

Sumaorestadefraccionesalgebraicas

Para sumar o restar fracciones algebraicas se reducen a comuacuten denominador y se suman o se restan los numeradores

Productodefraccionesalgebraicas

El producto de fracciones algebraicas es otra fraccioacuten algebraica que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores

119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19

Divisioacutendefraccionesalgebraicas

Para dividir dos fracciones algebraicas nos da como resultado otra fraccioacuten algebraica que se obtiene al multiplicar la primera fraccioacuten algebraica por la inversa de la segunda fraccioacuten algebraica

119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)

26) Efectuacutea las operaciones

a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU

27) Opera y simplifica si es posible

a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV

28) Realiza las operaciones

a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU

29) Efectuacutea las operaciones y simplifica su resultado

a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I

30) Efectuacutea estas divisiones de fracciones algebraicas y simplifica su resultado

a) X UMP5

minus MP11199092minus4

Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU

31) Realiza la siguiente operacioacuten simplificando el resultado

1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

2

RADICALES Y LOGARITMOS

POLINOMIOS 3

EXPRESIONES POLINOacuteMICAS 3

MONOMIOS 3

Monomios semejantes 3

POLINOMIOS 4

Grado de un polinomio 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS 5

Suma y resta de polinomios 5

Multiplicacioacuten de polinomios 7

DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS 9

REGLA DE RUFFINI 9

Divisioacuten de polinomios 9

Regla de Ruffini 10

TEOREMA DEL RESTO 12

Teorema del resto 12

Raiacuteces o ceros de un polinomio 13

Propiedades de las raiacuteces de un polinomio 13

Descomposicioacuten factorial de un polinomio 14

Polinomio irreducible 14

FRACCIONES ALGEBRAICAS 17

SIMPLIFICACIOacuteN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS 17

POLINOMIOS

3

POLINOMIOS


MONOMIOS




Monomiossemejantes


Ejemplo

POLINOMIOS

4

POLINOMIOS


Gradodeunpolinomio







8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

POLINOMIOS

5




Ejemplo

Dado los polinomios

A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7


Calcula

a) A(x) +B(x)



b) A(x) ndash B(x)



3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4

POLINOMIOS

6









Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)



SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=


5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

3

POLINOMIOS


MONOMIOS




Monomiossemejantes


Ejemplo

POLINOMIOS

4

POLINOMIOS


Gradodeunpolinomio







8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

POLINOMIOS

5




Ejemplo

Dado los polinomios

A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7


Calcula

a) A(x) +B(x)



b) A(x) ndash B(x)



3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4

POLINOMIOS

6









Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)



SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=


5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

4

POLINOMIOS


Gradodeunpolinomio







8116)( 23 +--= xxxxP2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

POLINOMIOS

5




Ejemplo

Dado los polinomios

A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7


Calcula

a) A(x) +B(x)



b) A(x) ndash B(x)



3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4

POLINOMIOS

6









Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)



SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=


5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

5




Ejemplo

Dado los polinomios

A(x) = 3x4 minus 5x3 + x + 7


Calcula

a) A(x) +B(x)



b) A(x) ndash B(x)



3x4 + 3x3 + 6x2 + 4x + 4

POLINOMIOS

6









Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)



SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=


5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

6









Calcula

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) minus Q(x)



SOLUCIOacuteN

1x2xR(x)35xQ(x)89x4xP(x) 2333 +-=+=+-=


5x9x(x)(x)b)11x9x9(x)(x)a)

23

23

3

3

+-+-=--

+-+=-+

+--=-

+-=+

RQPRQP

QPQP

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

7







= 6x4 + 11x3 minus 22x2 + 27x minus 18

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

8


2) Sabiendo que

119879(119909) = 2119909 + 3


a)

b) 5119909 ∙ 119876(119909)

c)

d) 5119909 ∙ 119877(119909) minus 3 ∙ 119876(119909)

8116)( 23 +--= xxxxP

2832432)( 323 ++--= xxxxxQ

xxxR21366)( 3 -+=

32)( -= xxS


POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

9


REGLADERUFFINI





Ejemplo






+ 221199095


77

SOLUCIOacuteN

P(x)= 41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1

Q(x)= 119909 minus 2

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

( )xP ( )xQ ( ) ( )xRyxC


( )xP ( )xQ qp sup3

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

10

RegladeRuffini



(41199090 + 31199091 minus 6119909 + 1) (119909 minus 2)

4 3 0 minus6 1 2 8 22 44 76 4 11 22 38 77

C(x)= 41199091 + 111199095 + 22119909 + 38 (Cociente)

R(x)= 77 (Resto)

Ejemplo 2 entre

1 minus2 3 minus5 2 2 0 6 1 0 3 1

C(x)= 1199095 + 3 (Cociente)

R(x)= 1 (Resto)





Por tanto

y entonces

( )ax plusmn

532)( 23 -+-= xxxxp 2)( -= xxq

a

a


POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

11







(r=0)

a)

b)

c)

d)

e)

f)


a)

b)

c)

d) (21199095 + 119898119909 + 2) (119909 minus 2) =


a) R= 1

b) R= -2

c) R= 3

d) R= -1


por (x+1)

( ) =+-+ )3(104 4 xxx

( ) =+++ )8(48142 xxx

( ) =-- )1(34 xx

( ) =-+- )2(242 xxx

( ) =+-+ )4(12103 23 xxx

( ) =++ )1(4 xxx

( ) =++++ )4(48 23 xmxxx

( ) =-+-- )5(5102 23 xmxxx

( ) =---+ )2(432 234 xmxxx

( ) =+-+ )3(42 xmxx

( ) =-+- )1(5 23 xmxx

( ) =-+++ )3(125 24 xmxxx

( ) =+-+- )1(104 235 xmxxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

12

TEOREMADELRESTO

Teoremadelresto


Demostracioacuten


a) 119875(119909) = 1199095 minus 5119909 + 6 en x=3


Por lo que P(3)=0



1 minus5 1 minus7



POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

13



EJEMPLO













2=x 12)( 2 +-= xxxp 01)2( sup1=p

1=x 12)( 2 +-= xxxp 01121)1( 2 =+-=p


424 +-mxx

291312 23 -+- xxx

kxx -- 62 2

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

14







porque





( )xP




( ) ( ) ( ) 0=times-= bQabbP ( ) 0=bQ


( ) ( )xPoxC( )xP

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

15

Ejemplo


a) 119875(119909) = 1199091 minus 41199095 + 119909 + 6


1 minus4 1 6







1 minus5 0 5 5 1 0



POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

16

EJERCICIOS


a) P(x) = 1199091 minus 51199095 + 7119909 minus 3

b) Q(x) = 1199095 minus 119909 minus 2

c) R(x) = 1199095 minus 5119909 + 6

d) T(x) = 1199090 minus 31199091 + 41199095 + 3119909 minus 5

e) A(x) = 1199090 minus 21199095 + 1

f) B(x) = 1199091 minus 1

g) C(x) = 1199090 + 1199091 minus 21199095 minus 119909 + 1

h) D(x)=1199091 minus 119909 minus 6



a) P(x) = 1199090 minus 71199091 minus 61199095 + 72119909

b) P(x) = 1199090 minus 1199091 minus 251199095 + 25119909

c) P(x) = 1199090 + 1199091 minus 361199095 minus 36119909

d) P(x) = 1199090 minus 251199095

e) P(x) = 1199090 + 41199091 minus 51199095

f) P(x) = 1199090 minus 41199091 minus 121199095

g) D(x)=119909I + 21199090 minus 51199091 minus 61199095


119875(119909) = 1199090 minus 81199091 + 171199095 + 2119909 minus 24


CONCLUSIONES




119875(119909) = 1199091 + 21199095 minus 119909 + 3

119876(119909) = 21199090 + 1199095 + 5119909 + 2










POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

17





EJEMPLOS


es equivalente a



EJEMPLO



a) b) c) d)

Sol a) 53 b) x2 c) d)

31

2 -+

xx

4583 2

+--

xxx

213x-

( )( )xBxA ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )xDxC

xBxAxCxBxDxA

xDxC


13

)2)(1()2)(3(

2365

23

23

++

=++++

=++++

xx

xxxxxx

xxxxxx

3+3x5+5x

6-2x3x-x2

1-xx+x

2

2

2x+x412x2

1-xx

1+2x6

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

18


a) b) c) d)


h)

Sol a) x-1 b) c) d) e) f) 1 g) h)


denominador

a) Sol

b) Sol

c) Sol

d) Sol

e) Sol

f) Sol

g) Sol

h) Sol

25) Resuelve








119875(119909)119876(119909) ∙

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909) ∙ 119877(119909)119876(119909) ∙ 119878(119909)

1+x1-x2

)1-(x1-x2

2

4-2x4-x2

4-x4+4x+x

2

2

16+8x+x16-x

2

2

4+4x+x2)+(x x

2 81-x9-x

4

2

1-x1+x

22+x

2-x2+x

4+x4-x

2+xx

3+x3-x

9+x12

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++xx

xx

652

2

2

+--xxxx

3-xx

6544

2

2

++++xxxx

32

++xx

62107

2

2

--+-xxxx

( )2325+times-xx

1833182

2

2

-+-xx

x ( )( )23

32-times-timesxx

1123

23

2

--+-+xxxxx ( )

( ) ( )113 3

1

-times+-timesxx

x

2354

3

23

+--+

xxxx

( ) ( )21552

+times-++xxxx

5654

3

23

+--+xx

xxx ( )55

2 -++timesxxxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS

19



119875(119909)119876(119909)

119877(119909)119878(119909) =

119875(119909)119876(119909) ∙

119878(119909)119877(119909) =

119875(119909) ∙ 119878(119909)119876(119909) ∙ 119877(119909)


a) 0MRU

+ 5MR5

b) UMRI

minus VMP5

c) P1MPU

+ WMP1

d) P1MRQ

minus SMPU


a) UMOP1MP0

minus 5MP0

minus UMRU

b) U5MOR1MPI

minus UMPU

minus M5MRI

c) MR15MOPIMR0

+ 5MMP0

+ UMPU

d) MRU5MORIMPU0

+ MPIMP5

minus QMRV


a) 0MPU

∙ MR55

b) P1MPU

MP1M

c) MPI5MORMP1

∙ MOPU1MO

d) M5MORMRU

MO

5MPU


a) SM1MP1

∙ MOPU1MO

b) 5MPQMOP0

∙ MOP0MR0MOPQMRS

c) MP1M∙ M

OR1MMOPS

d) MRIMPI

∙ MOP5IMOR5I


a) X UMP5


Y ∙ MR5Mminus M

5

b) UMRU

+ 5MMOPU

minus UMPU

c)

d) MOP5MMOPIMRQ

∙ MOR0MR0MOP0M

e) MPUMOPU

MRUMOR5MRU


1356

2 +-+

xxx

POLINOMIOS · 2020. 11. 1. · POLINOMIOS 3 POLINOMIOS EXPRESIONES POLINÓMICAS: MONOMIOS: Un...

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