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MATEMÁTICAS 4ºACT

IES “ANTONIO CALVÍN” 1

TEMA 3. POLINOMIOS OPERACIONES

1. MONOMIOS

Un monomio es el producto indicado de un número por una o varias

letras

3 x4

1.1 VALOR NUMÉRICO DE UN MONOMIO

Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por números y operar.

Por ejemplo, el valor numérico de 3x2 para x = 2 es 3 · 22 = 3 · 4 = 12

1.2 OPERACIONES CON MONOMIOS

Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica parte literal. Por

ejemplo 0,5 x2 y 16 x2, son semejantes.

Suma y resta: Solo se pueden sumar monomios que sean semejantes. El

resultado es otro monomio, semejante a ellos, cuyo coeficiente es la suma o

resta de los coeficientes

4x3 + 3x3 – 2x3 = 5x3

4x3 + 2x2 no se pueden sumar

Producto de dos monomios: es otro monomio cuyo coeficiente es el

producto de los coeficientes, y cuya parte literal es el producto de las partes

literales ( se suman los exponentes)

(2x3) · (5x4) = 10x7

Potencia de un monomio: Elevaos al exponente indicado tanto los

coeficientes como la parte literal.

(2x3)4 = 24x12= 16x12

División de monomios: El cociente de un monomio entre otro es un nuevo

monomio de coeficiente igual al cociente de los coeficientes, y cuyo grado es

la diferencia de los grados de los monomios que intervienen.

PARTE LITERAL

COEFICIENTE

GRADO 4º

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5

3

8

x2x2

x4

1. Dados los monomios A = 15 x3, B = 3x3 y C = 9x, calcula.:

a) A + B

b) 2A – 3B

c) A2

d) A · B

e) B · C

f) B : C

g) A : B

h) (A –B) · C

2. POLINOMIOS

Un polinomio es la suma de dos o más monomios

7x3 - 3x2 + 4x – 5

Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios lo tenemos que hacer sumando los monomios

semejantes

Por ejemplo

Sean A(x) = 3x2 + 5x – 2 y B(x) = x3 + 4x2 -5. Calcula (A + B) y (A –B)

A + B

TÉRMINO PRINCIPAL

TÉRMINO INDEPENDIENTE

GRADO DEL POLINOMIO

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A(x) = 3x2 + 5x – 2

+ B(x) = x3 + 4x2 -5

A(x) +B(x) = x3 + 7x2 + 5x - 7

O lo que es lo mismo:

(3x2 + 5x – 2)+ (x3 + 4x2 -5) = 3x2 + 5x – 2+ x3 + 4x2 -5 = x3 + 7x2 + 5x – 9

A - B

A(x) = 3x2 + 5x – 2

- B(x) = -x3 - 4x2 +5

A(x) – (B(x) = -x3 – x2 + 5x +3

O bien:

(3x2 + 5x – 2) - (x3 + 4x2 -5) =3x2 + 5x – 2 - x3 - 4x2 +5= -x3 + 4x2 + 5x +3

Para multiplicar:

P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1 y Q(x) = 3x2

P(x) = x3 – 2x2 + 5x – 1

Q(x) = 3x2

P(x) · Q(x) = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

Pero es mejor realizar la operación expresándola directamente:

P(x) · Q(x) = (x3 – 2x2 + 5x – 1) · 3x2 = = 3x5 – 6x4 + 15x3 – 3x2

El producto de dos polinomios:

Por ejemplo:

P(x) = 2x3 – 4x2 – 1 y Q(x) = 3x - 2

P(x) 2x3 – 4x2 – 1

Q(x) 3x - 2

-4x3 + 8x2 +2

6x4 -12x3 -3x

PRODUCTO DE -2 POR P(x)

PRODUCTO DE 3x POR P(x)

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6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2

Y directamente :

(2x3 – 4x2 – 1) · (3x – 2) = 6x4 -12x3 -3x- 4x3 + 8x2 +2 = = 6x4 – 16x3 + 8x2 -3x +2

ACTIVIDADES

1. Dados los polinomios P = 2x4 – 3x3 + 2x -1 y Q = -3x4 +2x2 – 3x -4, calcula :

a) P + Q

b) P-Q

c) 2P

d) -3P

e) 5P – 2Q

2. Efectúa los siguientes productos :

a) 3(2x3 – 4x2 + 1)

b) -2x3 (3x2- 5x + 3)

c) 2

1x2(4x5 – 2x2 + 8)

d) 2

1x(6x2 – 4x + 2)

e) 4

3x(4x2 – 8x + 4)

f) 4

3x2(2x3 + 3x – 1)

P(x) · Q(x)

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5. Si P = -2x3+ 6x – 1, Q = x2 – 3x + 2 y R = 3x + 4, calcula :

a) P · Q

b) Q · R

c) P · R

d) P · Q · R

3. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado :

a) (5x2 – 3) (2x2 + 4)

b) (6x2 – 3x + 1) (-2x2 + 3x -2)

c) (-2x2 + 4x) (x3 – 3x + 2)

d) (x2 – 3x) (x2 + 2x)

e) 2

1x2

(6x2 + 4x -2)

f) 2

1x (3x2 + 5x – 1)

g) (x2 – 3x)x – 5(x2 + x3)

h) 3x2(2x + 3) – x(x2- 1)

6 Calcula y simplifica :

a) (2x + 1 )2 = (2x +1) (2x+1)

b) (2x – 1)2

c) (x + 1)3

d) (3x2 + 1)2

e) (2x3 – 2)2

f) (x – 1)4

g) (x2 + x + 1)2

h) (2x2 – 3x + 1)2

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3. IDENTIDADES NOTABLES

Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para cualquier

valor de la incógnita.

Se llaman identidades notables a las tres siguientes:

✎ Cuadrado de una suma

Es igual al cuadrado del primero

más el cuadrado del segundo

más el doble del primero por el segundo

✎ Cuadrado de una diferencia

Es igual al cuadrado del primero

más el cuadrado del segundo

menos el doble del primero por el segundo

✎ Suma por diferencia

Es igual a la diferencia de cuadrados

Ejercicios resueltos

1. Calcular utilizando las identidades notables:

a) (3x + 2)2 = (3x)2 + 22 + 2 · 3x · 2= 9x2 + 4 + 12x

b) (3x – 2) 2 = (3x)2 + 22 - 2 · 3x · 2 = 9x2 + 4 - 12x

c) (3x + 2) (3x - 2)= (3x)2 – 22 = 9x2 - 4

ACTIVIDADES

7. Calcula, utilizando las identidades notables:

a) (x + 1)2 =

(a + b)2= a2 + b2+ 2ab

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

(a + b) · (a - b) = (a2- b2)

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b) (2x – 1)2=

c) (x + 3)2 =

d) (5x + 2)2=

e) (5x + 2y)2=

f) (x + 1) (x – 1) =

g) (x +3) (x -3)=

h) (2x -5) (2x + 5)=

i) (x2 + 2) (x2 –2) =

j)

2

2

1x

k)

2

4

1x

l)

2

4

1

2

x

m) 3

1

2

x3

3

1

2

x3

8. Simplifica:

a) (3x – 4)2 – (3x + 4)2

b) (2x – 5) (2x + 5) – (2x + 5)2

4. DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales: al

dividir dos polinomios, se obtienen un cociente y un resto.

Ejemplo:

Vamos a dividir P(x) = 6x4 – 13 x2 + 49 x – 15 entre Q(x)= 2x2- 4x + 5

1. En el dividiendo se dejan huecos por los términos que faltan.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor:

(6x4) : (2x2) = 3x2

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6x4 -13x2 + 49x – 15 2x2 – 4x + 5

3x2

3. El producto de 3x2 por Q(x), cambiado de signo, se sitúa bajo el dividendo, y

se suma:

6x4 -13x2 + 49x – 15 2x2 – 4x + 5

- 6x4 + 12x3 – 15x2 3x2

12x3 – 28x2 + 49x - 15

4. El primer resto parcial es 12x3 – 28x2 + 49x – 15. A partir de aquí volvemos

a proceder como el los apartados 2 y 3.

6x4 -13x2 + 49x – 15 2x2 – 4x + 5

- 6x4 + 12x3 – 15x2 3x2 +6x – 2 = COCIENTE, C(x)

12x3 – 28x2 + 49x - 15

-12x3 + 24x2 - 30x

-4x2 + 19x - 15

4x2 - 8x +10

11x - 5 = RESTO, R(X)

El proceso se continúa mientras el grado del resto parcial obtenido sea mayor o

igual que el grado de Q(x)

Relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.

Si P(x) es el dividendo, Q(x) el divisor, C(x) el cociente y R(x) el resto, la relación

entre ellos es:

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE + RESTO

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

Cuando el resto es cero, R(x) = 0, la división es exacta.

Ejercicios resueltos:

1. Efectuar la división de P(x) = 4x3- 2x + 5 entre Q(x) = 2x – 3, y expresar el

resultado de la forma: P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

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4x3 - 2x + 5 2x - 3

- 4x3 + 6x2 2x2 + 3x +2

7

6x2 – 2x + 5

-6x2 + 9x

7x + 5

- 7x +2

21

2

31

Expresando el resultado de la forma P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

4x3- 2x + 5 = (2x – 3) · (2x2 + 3x +2

7) +

2

31

2. Comprueba que la división de P(x) = x2 – 2x – 3 entre Q (x) = x+1 es

exacta, y expresar el resultado de la forma siguiente: P(x) = Q(x) · C(x)

x2 – 2x – 3 x + 1

- x2 - x x - 3

-3x - 3

3x + 3

0

x2 – 2x – 3 = (x + 1) · ( x – 3)

9. Halla el cociente y resto de estas divisiones, y expresa el resultado de la

forma P(x) = Q(x) · C(x) + R(x).

a) ( x5 – 7x4 + x3 – 8) : (x2 – 3x +1)

b) ( 4x5 + 20 x4 + 28x – 6) : ( x2 + 5x)

c) (6x4 + 3x3 – 2x ) : ( 3x2 + 2)

d) (45x5 + 120x3 + 80x) : (3x2 + 4)

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5. REGLA DE RUFFINI PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR (x-a)

La regla de Ruffini es un método sencillo para hacer divisiones en las que el

polinomio divisor es de la forma x-a, con a un número entero. Si el divisor es de la

forma x-a el valor de a es a positivo y si es de la forma x+a, a es negativo. Por

ejemplo

En x – 3, a =3

En x +7 , a = -7

Si queremos dividir P(x)= 7x4 – 11x3 – 94x + 7 entre Q(x)= x -3

Para realizar la división:

1. Escribimos, solo, los coeficientes del dividendo P(x), ordenados

decrecientemente según su grado, poniendo un cero en el lugar correspondiente a

cada uno de los términos que falten.

A la izquierda de estos coeficientes y en otra fila, escribimos el valor de a

7 -11 0 94 7

3

2. El primer coeficiente del cociente es igual al del dividendo.

7 -11 0 94 7

3

7

3. Multiplicamos 7 x 3 y lo escribimos bajo el segundo coeficiente

7 -11 0 94 7

3 21

7

3. Sumamos:

VALOR

DE a

COEFICIENTES DEL DIVIDENDO P(X)

RESTO,

COEFICIENTES DEL COCIENTE C(x)

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7 -11 0 94 7

3 21

7 10

4. Multiplicamos 10 x 3 y el resultado se coloca bajo el siguiente coeficiente y

así hasta el final:

7 -11 0 94 7

3 21 30 90 -12

7 10 30 -4 - 5

RESTO

COCIENTE: 7 10 30 -4, significa 7x3 +10x2 + 30x -4.

El grado del polinomio cociente es una unidad menor que el grado del dividendo.

RESTO: -5

10. Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones y expresa el

resultado de la forma: P(x) = (x – a) · C(x) + R

a) (5x4 + 6x2 – 11x + 13) : ( x – 2)

b) (6x5 – 3x4 + 2x) : (x + 1)

c) (3x4 – 5x3 + 7x2 – 2x + 13) : (x – 4)

d) (6x4 + 4x3 – 51x2 – 3x – 9) : (x + 3)

ACTIVIDADES DEL TEMA

11. Indica cuál es el grado de los siguientes monomios y di cuáles son

semejantes:

a) 2x2

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b) -3x3

c) 2x2

1

d) x4

3

e) x3

1

f) x3

g) 3

h) 2x5

4

i) 5

1

12. Calcula el valor numérico de cada uno de estos monomios para x = -1, para

x = 2 y para x = 2

1

a) 3x2

b) 4x3

c) -2x

d) –x2

e) 2x2

1

f) x4

1

13. Simplifica:

a) 2x6 – 3x6 – x6

b) 3x2 – x2 + 5x2

c) xx4

3x

2

1

d) 222 xx

10

1x

5

2

e) -2x3 + x3 – 3x3

f) 222 x2x

2

1x

2

5

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14. Dados los monomios A = -5x4, B = 20x4, y C = 2x, calcula:

a) A + B

b) A - B

c) 3A+ 2B

d) A3

e) C2

f) A2 + C8

g) A · B

h) A · C

i) B · C

j) B : A

k) A : B

l) B:C

15. Efectúa las siguientes operaciones y di cuál es el grado del monomio resultante:

a) 2x · (-3x2) · (-x)

b) 2x3 · (-x2) · 5x

c) 4

3x3 · (-2x2) · 2x

d) x · x5

3·x

2

1

e) ·x3

13x2 · (-x)

f) 22 x3

10·x

4

3·x

5

2

16. Efectúa las siguientes divisiones de monomios y di cuál es el grado de cada

monomio resultante:

a) (8x3) : (2x2)

b) (4x6) :(2x)

c) (3x3) : (2x2)

d) (18x3) : (2x3)

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e) 2

3

x2

x20

f) 2

3

x2

x7

g) x10

x120 2

h) 2

6

x3

x15

i) 2

2

x

x2

j) x

x5

17. Indica cuál es el grado de los siguientes polinomios (recuerda que deben estar

en forma reducida):

a) 2x4 – 3x2 + 4x

b) x2 - 3x3 +2x

c) x2 – 3x2 – 3x3

18. Halla el valor numérico de estos polinomios para x = 0 , para x = -1 y para

x =2:

a) x3 – 2x2 + 3

b) x2 – 3x + 1

c) 2x2

1+ 3x

d) 1x2x4

3 3

19. Sean los polinomios:

M (x) = 3x2 – 5x – 3

N (x) = 1x4

3x

2

1 2

K(x) = 3

2x

3

1x2

Calcula:

a) 2M(x) + 4N(x) +3K(x)

b) M(x) – 2N(x)

c) M(x) + 3N(x) – K(x)

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20. Opera y simplifica:

a) (5x – 2) (3 – 2x)

b) x (x – 3) (2x – 1)

c) 3x3(2x2 – 3x + 5)

d) (x2 – 5x) (x3 + 2x)

e) (x3 – 2x + 3) (x2 + 4x – 1)

f) (3x2 – 2x + 2) (x2 + 3x – 2)

g) (3x -2)2

h) (x + 2)2

i) (x + 2)3

j) (x + 2)4

k) (x2 – 2x + 2)2

l) (x2 + x – 3)2

21. Calcula, utilizando las identidades nobles:

a) (4x + 1)2

b) (3x – 1)2

c) (x + 5) (x – 5)

d) (x – 1)2

e)

2

3

1x3

g)

2

2

1x2

h) 5

1x

5

1x

j) 2

1x2

2

1x2

22. Calcula el cociente y el resto en cada una de estas divisiones

a) (x5 + 7x3 – 5x + 1) : (x3 + 2x)

b) (x3 – 5x2 + x) : (x2 – 1)

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c) (x3 – 5x2 + x) : (2x2 – 1)

d) (3x2 – 7x + 5) : (x2 – x + 1)

23. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de cada división:

a) (3x4 – 2x2 + 5x – 2) : (x – 2)

b) (-x4 + 2x3 – 3x + 1) : (x + 1)

c) (3x3 + 2x2 – x) : (x + 2)

d) (x3 – 27) : (x – 3)

e) (x4 – x2): (x + 1)

f) (x4 – 2x3 + 5x – 1) : (x – 2)

g) (x4 + x2 – 20) : (x + 2)

h) (2x4 + x2 – 3x) : (x – 1)

i) (x4 – 81) : (x – 3)

24. Desarrolla y simplifica:

a) (x – 4)2 +(x - 2) (x + 2)

b) (2x – 1)2 – 2(x + 1)2

c) (3x – 1)2 – (2x + 1) (2x – 1)

d) (5x – 1)2 – 2(4x – 1)2

25. Opera y reduce:

a)4

1x2

2

3x2

b)4

1x

5

3x2

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