Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N°...

Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OBJETIVOS GENERALES

� Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico y viceversa

� Identificar a las expresiones algebraicas

� Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios

� Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios

� Simplificar y operar con expresiones algebraicas fraccionarias

� Modelar situaciones problemáticas con expresiones algebraicas

CONCEPTOS PREVIOS

� Números Reales: Operaciones y Propiedades.

� Lógica Proposicional: Conectivos y cuantificadores lógicos

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Convertir las frases del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico y viceversa

Identificar a las expresiones algebraicas según sean racionales o irracionales, enteras o fraccionarias.

Adquirir habilidad en la operatoria con polinomios

Adquirir habilidad en el proceso de factorización de polinomios

Simplificar y operar con expresiones algebraicas fraccionarias

ones problemáticas con expresiones algebraicas

Números Reales: Operaciones y Propiedades.

Lógica Proposicional: Conectivos y cuantificadores lógicos

Unidad N° 2

según sean racionales o irracionales, enteras o fraccionarias.

Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N° 2

FRT - UTN CURSO DE INGRESO Página | 31

INTRODUCCIÓN

Desde sus remotos orígenes arraigados en Egipto, Arabia y la India veinte siglos antes de nuestra era, el

álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante fórmulas que permiten simplificar los cálculos

numéricos. En ese entonces los problemas algebraicos aparecen formulados y resueltos de una manera

verbal.

Los polinomios, se han aplicado recientemente en la transmisión de la información.

Durante los últimos años, el tráfico de datos por medio de las “carreteras” de la información han crecido

enormemente. Se pretende aumentar las velocidades de transmisión y conservar al mismo tiempo la

integridad de los datos. Un método desarrollado para tal fin es el PET (Transmisión Codificada con

Prioridades). Con él la información se distribuye en diferentes paquetes. Esta distribución se determina con

base en polinomios.

EXPRESION ALGEBRAICA

Llamamos Expresión Algebraica Real a toda combinación de letras y/o números reales vinculados entre sí

por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y potenciación de exponente racional.

Ejemplos

a) 123 23 −+− yyy b) yxyx 52 13 −+ −

c) a

a

+

−

5

2 d)

3

2

1

++ zyx

A los números intervinientes les llamamos coeficientes y a las letras variables.

Clasificación de las Expresiones Algebraicas

Según las operaciones que afecten a las variables, las expresiones algebraicas se clasifican en

esIrracional

iasFraccionar

Enteras

Racionales

sAlgebraicasExpresione



Las Expresiones Algebraicas Racionales Enteras, también llamadas Polinomios, son aquellas donde las

variables están afectadas por las operaciones de suma, resta, producto y potencia de exponente entero no

negativo.

Ejemplos: a) 2 x +1

3 b) - y3 +

4

5 a y + 2a c) 3 - 4z

Las Expresiones Algebraicas Racionales Fraccionarias son aquellas donde al menos una variable esta

afectada a un exponente entero negativo o figura en el denominador.

Ejemplos: a) x + x – 2 + 1 b) x

1 + y x3 – 2 x–1 c)

5a+4x

3-xa2

Las Expresiones Algebraicas Irracionales son aquellas donde al menos una variable está afectada a un

exponente fraccionario o figura bajo un signo de radicación.

Ejemplos: a) x - 3x + 1

2 b) a

12 + 5b – a2

TEORIA DE POLINOMIOS

Monomio

Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las operaciones de suma y resta. Es decir, un

monomio es un polinomio de un solo término.

Grado de un Monomio

Es la suma de los exponentes de las letras( o variables) que contiene.

Ejemplos:

Monomios Grado

6 a 1

-32yx

3

1z 6

2nm2 3

Monomios Semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos: a) -2m3 n2 y 23

nm5

6 b) 2 x y -3x



Polinomio

Un polinomio es la suma de dos o más monomios. El grado de un polinomio es el grado del monomio de

mayor grado que participa en él.

Casos particulares

Binomio: Es el polinomio formado por la suma algebraica de dos monomios

Trinomio: Es aquel que es la suma algebraica de tres monomios

Cuatrinomio: Es el polinomio formado por cuatro monomios

Ejemplos:

Binomio Clasificación Grado

2−x

Binomios

1

42 −x 2

yyx 22 +− 3

ba ++ 22

Trinomios

2

123 −+− xx 3

22 2 baba ++ 2

12 32 −++ xyyx

Cuatrinomios

4

133 23+++ xxx 3

Polinomio Homogéneo

Un polinomio se dice homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado.

Ejemplos:

4 x2 – 2 x y + y2 polinomio homogéneo de 2° grado

7 u3 v + 1/2 z qp 2 - z4 polinomio homogéneo de 4° grado

Polinomios en una variable

Si el polinomio es en la variable x se representa simbólicamente como:

P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0

Donde

n ∈ Ζ, n ≥ 0 se llama grado del polinomio P y se escribe n = grP(x)

ai ∈ ℜ se denominan coeficientes del polinomio

an ≠ 0 se denomina coeficiente principal y a0 se denomina término independiente



Ejemplos

Valor Numérico de un polinomio

Sea P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0 y sea x = c

Entonces P(c) = an.cn + an-1.cn-1 + …+a1.c + a0

valor que se obtiene al reemplazar x por c, lo llamaremos valor numérico de P(x) para x = c

Ejemplos:

a) Si P(x) = 3x4 + 5x3 - 7x + 4, entonces,

P(0) = 4 y P(1) = 3.14 + 5.13 - 7.1 + 4 = 5

b) Si Q(x) = - 2 x, entonces,

Q(0) = 0 y Q( 2 ) = - 2 . 2 = - 2

c) Si R(x) = 8, entonces,

R(0) = 8 y R(c) = 8

Cero de un Polinomio

Sea P(x) . Se dice que b es cero de )x(P ⇔ 0)b(P =

Ejemplos:

a) 2 es cero de 4x2)x(P 2 −= pues ( ) 042.2422)2(P2

=−=−=

b) 0 es cero de 23 2x 3x- Q(x) += pues 0 2.0 3.0- Q(0) 23 =+=

Polinomio Ordenado

Un polinomio en una variable esta ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los

exponentes aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el último.

Ejemplos

a) 1 - 2y3 + 3y5 + 5y7 esta ordenado en forma creciente

b) a3 + 2a2 + 3a esta ordenado en forma decreciente

Polinomio Completo

Polinomio Grado Coeficientes Coeficiente

principal

Término

independiente

P(x) = 3x4 + 5x3-7x+4 4 3 , 5 , 0 , -7 , 4 3 4

Q(x) =- 2 x 1 - 2 , 0 - 2 0

R(x) = 8 0 8 8 8


Un polinomio en una variable está completo cuando figuran todas las potencias de la variable menores al

grado del polinomio.

Ejemplos:

a) 3 x2 – x + 2 x4 – 9 + 5 x3 b)2

1yyy 23 +2+

4

1

3

1

Si un polinomio esta incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable que faltan con

coeficiente cero.

Ejemplo:

53

mm3+m +− 22

1 2

2

1030 2345

mmmmm ++++=

Polinomio Nulo

Llamamos polinomio nulo a aquel que tiene todos sus coeficientes cero.

Se escribe: P(x) = 0 y se dice de él que no posee grado.

Polinomio Opuesto

Dado 011

1 ...)( axaxaxaxPn

nn

n ++++=−

−

se llama polinomio opuesto de P(x) a : 011

1 ...)( axaxaxaxPn

nn

n −−−−−=− −−

dado que: [ ] 0)()( =−+ xPxP

Esto es, la suma de un polinomio con su opuesto, es el polinomio Nulo.

Ejemplo:

Si 38

33

2

1++−= 462

zzz)z(P , entonces 3z8

3z3z

2

1P(z) 462 −−+−=−

Igualdad entre Polinomios

Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo grado y los coeficientes de los términos semejantes son

iguales.

En símbolos

Sean 011

1 ...)( axaxaxaxPn

nn

n ++++= −− y 01

11 ...)( bxbxbxbxQ

nn

nn ++++= −

−

diremos que:

P( x ) = Q( x ) ⇒ gr P( x ) = gr Q( x ) y ai = bi con i = 0,1,…,n


Ejemplo:

Hallar los valores de a, b, c y d para que P( x ) = Q( x ), donde

P( x ) = -3 x4 + 2 x2 + 5 x –2 y Q( x ) = - a x4 + b x3 - c x2 - d x -2

Respuesta

Se observa que gr P(x) = 4 = gr Q(x)

Además debe cumplirse que -3 = -a, 0 = b, 2 = - c, 5 = - d y -2 = -2

Entonces se concluye que los valores de a, b, c y d para que estas condiciones se cumplan son: a = 3, b = 0,

c = – 2 y d = -5

Operaciones con polinomios

La suma, producto y división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes

operaciones entre reales.

Suma de Polinomios

Aplicando la propiedad asociativa, se agrupan los términos semejantes y se obtiene un polinomio de grado

menor o igual al grado del polinomio de mayor grado.

Resta de Polinomios

Se suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo.

Producto de polinomios

Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de la potenciación de potencias de igual base, se obtiene un

polinomio cuyo grado es igual a la suma de los grados de los polinomios intervinientes.

Ejemplos:

1) Calcular:

a) ( )53)1()42( 22−+−−+−+− xyxxxyyxyxxy

b) ( )222 )( )( yxyxyx +++−

2) Sean P(x) = 832 234 +−+ xxx y Q(x) = 12 2 −x , calcular

a) 2P(x) – x Q(x) c) [P(x) + Q(x)] . Q(x)

Respuestas



1)

a) )53()1()42(22

−+−−+−+− xyxxxyyxyxxy = 53142 22 +−−−+−+− xyxxxyyxyxxy

= 625 2 +−− xyx

b) 222 )()( )( yxyxyx +++− = ( ) 22222 2 yxyxyx +++− = 224 22 yxyxy +++−

2)

a) 2P(x) – x Q(x) = )2()16642()12()832(2 32342234 xxxxxxxxxx +−++−+=−−+−+

16622 234 ++−+= xxxx

b) [ P(x) + Q(x) ] . Q(x) = ( 72 234 +−+ xxx ).( 12 2 −x )

= 7214242 2342456 −+−−+−+ xxxxxxx

= 7152342 23456 −+−−+ xxxxx

División de Polinomios en una variable

División de monomios entre si

El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente se obtiene dividiendo los coeficientes de los

monomios dados y la parte literal es el resultado de aplicar la propiedad de cocientes de potencias de la

misma base. El resultado no siempre es un monomio

Ejemplos:

1) 4

5

43

12x

x

x

−= 2) xx

x2

2

8

4

5

−=−

3) 2

3 2

1

4

2x

x

x=

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio en un monomio se aplica la propiedad distributiva. El resultado no siempre es un

polinomio

Ejemplo: ( ) ( ) 322

32623 32235 +−=−−+− xxx:xxx

División de Polinomios entre si

Sean )(xP y )(xQ dos polinomios con )(xQ ≠ 0, tal que gr )(xP ≥ gr )(xQ

Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x) tales que:

)()().()( xRxCxQxP += con gr )(xR < gr )(xQ .

Llamaremos a )(xP dividendo, a )(xQ divisor, a )(xC cociente y a )(xR resto.


También puede expresarse: )(

)()(

)(

)(

xQ

xRxC

xQ

xP+=

Cuando )(xR = 0, la división es exacta. Entonces,

)().()( xCxQxP =

y se dice que )(xQ es un factor de )(xP o que )(xP es divisible por )(xQ .

De ese modo se tendrá que: )()(

)(xC

xQ

xP=

Algoritmo de la división

Sean P(x) y Q(x) tal que, grP(x) ≥ grQ(x).

Para realizar la división P(x)/Q(x) se procede del siguiente modo

1) Ordenar en forma decreciente a ambos. Completar al dividendo

2) Para calcular el 1º término del cociente, dividir el término de mayor grado de P(x) por el término de mayor

grado del divisor

3) Luego se multiplica el término del cociente recién obtenido por todos los términos del divisor y se coloca

el resultado abajo de los términos de P(x) que le sean semejantes. Luego se resta y se considera este

resultado, un resto parcial, como el próximo dividendo

4) Se repiten los paso 2 y 3

5) Detener el proceso cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor.

Ejemplo

Sean P(x) = 2 x3 + 0 x2 + x – 1 y Q(x) = x2 – x + 2 . Calcular el cociente y el resto que se obtiene al dividir

P(x) en Q(x)

Respuesta

2 x3 + 0 x2 + x – 1 x2 – x + 2

2 x3 - 2x2 + 4x 2x + 2

2x2 – 3x - 1

2x2 – 2x + 4

- x - 5

Entonces C(x) = 2 x +2 y R(x) = - x – 5

Se puede escribir 2 x3 + x – 1 = (x2 – x +2).(2 x + 2) +(- x – 5)

O también 2

522

2

12

22

3

+−

−−++=

+−

−+

xx

xx

xx

xx

Caso particular


Si gr Q(x) = 1, entonces R = constante (polinomio de grado cero).

En particular si Q(x) es de la forma Q(x) = x – b, se puede aplicar un algoritmo más sencillo que se conoce

con el nombre de Regla de Ruffini.

Regla de Ruffini

Sean P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ....+ a1 x + a0 y Q(x) = x - b

un cociente, C(x) = cn-1xn-1 + cn-2xn-2 +....c1x + c0

La división de P(x) : Q(x) producirá

y un resto R

que se obtienen con el siguiente algoritmo:

1º paso: En el primer renglón se colocan los coeficientes de P(x) ordenado y completo

2º paso: En el segundo renglón se coloca el valor “b” a la izquierda de los demás números ya colocados

3º paso: En el tercer renglón se colocarán los coeficientes del cociente y el resto del siguiente modo:

i) cn-1 = an

ii) cn-2 = cn-1 . b + an-1

iii) cn-3 = cn-2 . b + an-2

iv) ........y así hasta que

v) R = c0 .b + a0

Ejemplo

Sean P(x) = x5 + 12 x2 – x 3 + 8 ; Q(x) = x + 2. Calcular el cociente y el resto que resulta al dividir

P(x) : Q(x)

El cociente es C( x ) = x4 –2 x3 + 3 x2 + 6 x – 12 y R = 32

1 0 -1 12 0 8

-2 -2 4 -6 -12 24

1 -2 3 6 -12 32


Teorema del Resto

Al dividir P(x) en (x – b), el resto de la división es el valor numérico del polinomio P(x) particularizado para

x = b. Esto es: R = P (b)

Ejemplos

1) Calcular el resto en la división de P(x) = -x2 + 2x – 1 en Q(x) = x - 2

2) Determinar si las siguientes divisiones son exactas

a) ( x2 + 2x + 1 ) : ( x – 1 ) b) (x3 + 1):( x + 1)

c) ( -x3 + 2x2 – 2) : ( x + ½) d) (x5 - 32) : ( x – 2 )

3) Calcular k para que P(x) = kx3 + 2x2 - 1 sea divisible por Q(x) = x + 1

Respuestas:

1) R = P( 2 ) = - ( 2 )2 + 2 2 – 1 = 2 2 - 3

2) a) R = 12 + 2.1 + 1 = 4 , no es una división exacta

b) R = (-1)3 +1 = -1 + 1 = 0 , si es una división exacta

c) R = - (-1/2)3 + 2.(-1/2)2 – 2 = -(-1/8) + 1/2 - 2 = 8

11 no es exacta

d) R = 25 – 32 = 0 es una división exacta

3) Se debe cumplir que R = 0, entonces R = P(-1) = k(-1)3 +2(-1)2-1 = 0

Entonces –k +2 – 1 = 0. Por lo tanto k = 1

Teorema del Factor

Sea P(x) un polinomios de grado n y b una constante. Se dice que

b es un cero de P(x) ⇔ (x-b) es un factor de P(x) Esto es equivalente a afirmar que

b es un cero de P(x) ⇔ P(x) es divisible por (x – b ) Observación

Si (x-b) es un factor de P(x), entonces existe un polinomio C(x) tal que

P(x) = (x – b) . C(x)


Ejemplo

Como 2 es cero de 4x2)x(P 2 −= , entonces 4x2)x(P 2 −= es divisible por )2( −x

Por la Regla de Ruffini tenemos que

Entonces 4x2)x(P2

−= = ( )2x − ( )22x2 +

Teorema Fundamental del Álgebra

Todo polinomio 02n

2n1n

1nn

n a....xaxaxa)x(P ++++= −−

−− de grado n tiene al menos un cero

complejo.

Si el polinomio tiene un cero complejo, entonces, el conjugado de éste también es cero

dicho polinomio.

Teorema sobre el número de ceros

Todo polinomio 02

21

1 ....)( axaxaxaxP nn

nn

nn ++++= −

−−

− de grado n tiene exactamente n ceros

complejos, nxxxx ,....,,, 321

Y puede escribirse en la forma

( )( ) ( ) ( )nn xxxxxxxxaxP −−−−= ..... )( 321

Ejemplo:

De 4x2)x(P 2= = ( )2- x ( )222 +x sacamos factor común 2 y tenemos

4x2)x(P 2= = 2 ( )2 - x ( )2+x

De allí se deduce que 4x2)x(P 2= tiene dos ceros: 2 y - 2

Extensión de la Regla de Ruffini

División del tipo P(x) : (ax + b)

Al dividir P(x) en el binomio ax +b se tendrá un cociente C(x), polinomio de un grado menor que P(x) y un

resto R, constante.

Sabemos que se debe cumplir que P(x) = (ax + b)C(x) + R.

2 0 -4

2 2 2 4

2 2 2 0


Sacando factor común “a” del binomio se puede escribir P(x) = a (x + b/a) C(x) + R, lo cual es equivalente a

P(x) = (x + b/a).a.C(x) + R

Esto indica que si aplicamos la Regla de Ruffini dividiendo P(x) en (x + b/a), obtendremos el cociente, a.C(x),

que será múltiplo del cociente que buscamos, y para encontrar C(x) tendremos que dividir el resultado

encontrado por el valor “a”, mientras que el resto es el mismo.

Extensión del Teorema del Resto

El resto de la división de P(x) en el binomio (ax + b) es R = P(-b/a).

Ejemplos:

Efectuar las siguientes divisiones: a) 1x2

1 - x 2x 24

−

+ b)

9 x 3

27 x3

+

+

Respuesta

a) Vamos a considerar la división en x – ½

2 0 1 0 -1

½ 1 ½ ¾ 3/8

2 1 3/2 3/4 -5/8

Entonces el cociente buscado es el obtenido, 4

3 x

2

3 x 2x 23 +++ , dividido en 2. Esto es:

8

3 x

4

3

2

x x C(x)

23

+++= y el resto es el mismo, 8

5−=R

Se puede verificar que 1 - x 2x 24 =+8

5 - 1) -(2x

8

3 x

4

3

2

x x

23

+++

b) Vamos a considerar la división en x + 3

1 0 0 27

-3 -3 9 -27

1 -3 9 0

Entonces el cociente buscado es el obtenido, 9 3x - x2 + dividido en 3. Esto es:

3 x - 3

x C(x)

2

+= y el resto es el mismo, R = 0

Se puede verificar que 27 x3

=+ 9) (3x 3 x - 3

x2

+

+


FACTOREO DE POLINOMIOS

Factorear un polinomio es expresarlo como producto de polinomios primos.

Caso particular

Sea P( x ) = an.xn + an-1.xn-1 + …+a1.x + a0 , con an ≠ 0 y sean x1 , x2 , x3 ,...,xn sus ceros. Entonces p(x)

puede ser factoreado en la forma

P( x ) = an ( x – x1 ).( x – x2 )…( x – xn )

Donde cada binomio de la forma ( x – xi) es un factor primo

Ver adjunto: “Expresiones algebraicas primas y compuestas” Las estrategias de factoreo más usadas son las siguientes: Factor común

Una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando aparece

multiplicando en cada uno de esos términos.

Ejemplos

1) En la expresión 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5, el factor común es 4 x2 z.

Entonces 8 x5 z2 – 4 x3 z + 12 x2 w z5 = 4 x2 z ( 2 x3 z – x + 3 w z4 ) por la propiedad distributiva, en sentido recíproco 2) A veces es necesario sacar factor común (-1)

( )14214222

+−−=−+− xxxx

Factor Común en Grupo

Una expresión algebraica puede no tener un único factor común en todos los términos sino factores comunes

distintos en cada grupo de términos. Si luego de asociar convenientemente se puede extraer un único factor

común habremos factoreado.

Ejemplos:

a) 15 m x + 6 m + x y – 2 x – 5 x2 – 3 my = (15 m x + 6 m – 3 my) + ( x y – 2 x – 5 x2 )

= 3m (5 x + 2 – y ) – x (5 x + 2 – y)

= (5 x + 2 – y) ( 3 m – x )

b) 2x3 + x2 + 6x + 3 = ( 2x3 + x2 ) + (6x + 3)

= x2( 2x + 1) + 3(2x + 1)

= (2x+1).(x2+3)


Diferencia de Cuadrados

Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos

cuadrados por la suma de las mismas, es decir:

a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )

Ejemplos:

a) 0.01a4b2 −1

4y4 = ( 0.1a2b −

1

2y2).( 0.1 a2b+

1

2y2)

b) x2 – 3 = x2 – ( )23 = (x + 3 )(x- 3 )

Trinomio Cuadrado Perfecto

Vimos que: ( a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b2 y que ( a - b ) 2 = a2 - 2 a b + b2

Entonces los trinomios de la forma a2 ± 2 a b + b2 se pueden factorear como cuadrados de binomios.

Observaciones:

(-a - b ) 2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

( b – a )2 = [-(a - b)] 2 = (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:

i) Se busca a los cuadrados y se determina a sus bases

ii) Se comprueba que el otro término sea el duplo de las bases de dichos cuadrados

iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cuadrado de una suma o al cuadrado de una

diferencia

Ejemplos:

a) 4x2 + 4x + 1 es un trinomio cuadrado perfecto pues 4x2 y 1 son cuadrados de bases 2x y 1

respectivamente. Además el duplo de las bases es 2.2x.1 = 4x coincide con el 2do término.

Entonces 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2

b) 25x4y2 + 4p4 – 20x2yp2 es un trinomio cuadrado perfecto pues 25x4y2 y 4p4 son cuadrados de bases

5x2y y 2p2 respectivamente.

Además el duplo de estas bases es 2. 5x2y. 2p2 que es el tercer término de la expresión. Como este término

es negativo se tiene que

25x4y2 – 20x2yp2 + 4p4 = ( 5 x2 y – 2 p2 )2


Cuatrinomio Cubo Perfecto

Vimos que: (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3

y que: (a - b)3 = a3 - 3 a2b + 3ab2 - b3

Entonces los cuatrinomios de la forma a3 ± 3 a2b + 3ab2 ±b3 se pueden factorear como cubos de

binomios.

Para encontrar el binomio adecuado se procede del siguiente modo:

i) Se busca a los cubos y se determina a sus bases

ii) Se comprueba que los otros términos sean el triple del cuadrado de una base por la otra base

alternativamente

iii) Se analizan los signos y se determina si corresponde al cubo de una suma o al cubo de una diferencia

Ejemplos

a) x3 – 6x2 + 12x – 8 es un cuatrinomio cubo perfecto pues x3 y 8 son cubos cuyas bases son x y 2

respectivamente

Además 3.x2.2 = 6x2 y 3.x.22 = 12x que son los otros términos

Entonces x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2)3

b) -1 – 3x – 3x2 – x3 no tiene los signos adecuados pero sacando factor común (-1) se tiene

- (1 + 3x + 3x2 + x3)

La expresión entre paréntesis tiene dos cubos 1 y x3 cuyas bases son 1 y x.

3.x2.1 = 3x2 y 3.x.12 = 3x que son los otros términos

Entonces: -1 – 3x – 3x2 – x3 = - (1 + 3x + 3x2 + x3) = - (1 +x )3


Suma o Diferencia de Potencias de Igual Grado

Son polinomios de la forma: xn + an o xn – an

Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sea n.

Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:

xn + an

Si n es impar

xn + an es divisible por x + a y por lo tanto

xn + an = (x + a)C(x) donde C(x) es el cociente de la división

Ejemplos: x3 + a3 = (x + a)(x2 – ax + a2)

x5 + a5 = (x + a)(x4 - ax3 + a2x2 - a3x + a4)

Si n es par

xn + an no es divisible por x + a ni por x – a pues el resto de la división

es R ≠ 0 en ambos casos

Excepción : Si n no es potencia exacta de 2, se le puede considerar

como múltiplo de un impar en cuyo caso se le puede factorear como

suma de potencias de grado impar

Ejemplo: x6 + a6 = (x2)3 + (a2)3 = (x2 + a2)(x4 - a2x2 + a4)

xn – an

Si n es impar

xn - an es divisible por x - a y por lo tanto

xn - an = (x - a) C(x) donde C(x) es el cociente de la división

Ejemplos: x3 - a3 = (x - a)(x2 + ax + a2)

x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x + a4)

Si n es par

xn - an es divisible por x + a y por x- a

xn - an = (x + a) . C1(x)

xn - an = (x - a). C2(x)

Ejemplo: X4 – a4 = (x - a) C1 (x) = (x + a) C2(x)

Observe que en este caso es más conveniente factorear como diferencia

de cuadrados

x4 – a4 = (x2 + a2)(x2 - a2) = (x2 + a2)(x + a)(x - a)

Ejemplo

x3 – 27 = ( x - 3) (x2 + 3x + 9)

1 0 0 -27

3 3 9 27

1 3 9 0


Ejemplos de casos combinados

a) 1+23 aaa = )1()1()1( )1()1()1()1( )1 - ( - ) - ( 2223 +−−=−−=−−−= aaaaaaaaaaa

b) 2224 +1 xyyx = )()1( 2224 xyyx ++ = )x(y)x)(x( 2222 +1+1+1 =

)1()1()1(

)1()1()1()1()1()1()1()1(

22

222222

+++−=

+−+++−=−++−=

yxxx

xxyxxxxyxx

c) )3()1()1(2)3()1(2)1(6)1(26262 233333baxxxbaxxbxababxax +++−=+−=−+−=−−+

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS

Se llama expresión algebraica fraccionaria al cociente indicado entre dos polinomios, siempre que el

denominador no sean ni el polinomio nulo ni polinomios constantes.

Ejemplos

x

1 ;

23y ;

5

2

+x

x ;

xx

x

2

32

2

+

− ; ( ) ( )

2

2 3y x+ −

Valor Numérico de una Expresión Algebraica Fraccionaria

Se llama Valor Numérico de una expresión algebraica fraccionaria al número real que se obtiene al sustituir

la variable por determinados valores.

Ejemplo

El valor numérico de 2

2

−x

x para x = 0 es 0 y para x = 1 es -1

Pero la expresión no está definida para x = 2, dado que la división por cero no existe.

Dominio de una expresión algebraica

Se llama Dominio (Dom) de una expresión algebraica real al conjunto de valores reales que le podemos

asignar a las variables de modo que las operaciones en las que intervienen sean posibles en el conjunto de

los Números Reales.

Ejemplos

a) Dom

− 2

2

x

x = ) ,2( )2 ,( ∞−∞ U b) Dom

+ 2

1

xx = ) ,(0)0 ,( ∞−∞ U

c) Dom

y-x

1 = { }yxyx ≠/),(


Expresiones algebraicas equivalentes

Dos expresiones algebraicas se dicen iguales o equivalentes cuando tienen iguales valores numéricos para

cualquier sistema de valores asignados a sus letras

Simplificación

Simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria significa dividir su numerador y denominador por un

mismo factor.

Cuando por sucesivas simplificaciones resultan el numerador y el denominador primos entre si, la expresión

fraccionaria se dice reducida a su mínima expresión.

Para facilitar el proceso de simplificación se deben factorear numerador y denominador.

Entonces las expresiones serán equivalentes cuando una expresión se ha obtenido de otra tras un proceso

de simplificación y esto será válido en el dominio de la expresión de partida.

Ejemplo

3x

6 x

6) -(x 3x

6) (x 6) -(x

18x - 3x

36 - x2

2 +=

+=

Operaciones entre expresiones algebraicas fraccionarias

Se procede del mismo modo que entre números fraccionarios.

Suma algebraica

1º paso: Factorear todos los denominadores e indicar el dominio de la expresión

2º paso: Calcular el mcm entre los denominadores

3º paso: Aplicar el mismo algoritmo que la suma entre números fraccionarios

Ejemplo:

Sea la expresión 1

4

2

3

1

2

−−+

− 2x2+xx

Siguiendo el algoritmo de la suma de fracciones resulta:

Pasos auxiliares

11 −=− xx

)1(222 +=+ xx

)1()1(12−+=− xxx

mcm = )1)(1(2 +− xx

( ) ( )( ) )1(2

7

)1()1(2

)1(7

)1()1(2

77

)1()1(2

83344

)1()1(2

8)1(3)1(4

11x

4

12

3

1

2

+=

−+

−=

−+

−

−+

−−++=

−+

−−++=

+−−

++

− xxx

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xxx


Producto de expresiones algebraicas fraccionarias

1° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión.

2° paso: Aplicar el mismo algoritmo que entre números fraccionarios, simplificando si es posible.

Ejemplo:

Sea la expresión 27

6

3

96

62

1

3

2

−

+−

− x.

xx.

x

Respuesta:

)93()3(

6.

3

)3(.

)3(2

1

27

6.

3

96.

62

12

2

3

2

++−

−

−=

−

+−

− xxx

x

xx

xx

x

93

12 ++

=xx

División de expresiones algebraicas fraccionarias

1° paso: considerar al cociente como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

2° paso: Factorear tanto numeradores como denominadores, indicar el dominio de la expresión

3° paso: Aplicar el algoritmo del producto entre números fraccionarios, simplificando si es posible

Ejemplo:

Simplificar las siguiente expresión

22

32

22

22

6

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

−

+

−−

−

++

Respuesta:

)()(

6

)()(

3

6 32

22

32

22

22

yxyx

yx

yxyx

xy

yx

yx

yx

yx

yx

yxyx

+−

+−=

−

+

−−

−

++

2322

1

6

)()(

)()(

3

xyyx

yxyx

yxyx

xy=

+−

+−=

Pasos auxiliares

yx

yx

yx

yxyx

+

−−

−

++22

22

=

=+

−−

+−

++

yx

yx

yxyx

yxyx

))((

22

=+−

−−++

))((

)()( 222

yxyx

yxyxyx

=+−

−+−++

))((

2 2222

yxyx

yxyxyxyx

))((

3

yxyx

xy

+−=

Pasos auxiliares

)3(262 −=− xx

962 +− xx = ( )23−x

)93()3(27 23 ++−=− xxxx

Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Unidad N° 2

Expresiones algebraicas enteras primas y compuestas

Una expresión algebraica se dice prima cuando sólo es divisible por si misma y la unidad. Es decir no puede

factorearse en el conjunto de las expresiones algebraicas con coeficientes reales.

En cambio una expresión algebraica que admite otros divisores distintos de la unidad y de si misma se llama

compuesta

Ejemplos: Todos los binomios de 1° grado del tipo a x ± son primos

2 x + ; 2

1 -x ; 2 x +

Ejemplos: Todos los binomios de 2º grado del tipo 22ax + son primos.

1 x 2 + ; 3 x2+ ;

4

9 x2 +

Ejemplos: Todos los binomios de 2° grado del tipo 22 a ax x +± son primos

9 3x x2++ ; 1 x x2 ++ ; 4 2x - x2 +

El máximo común divisor (mcd) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el

producto de los factores primos comunes con su menor exponente. Se denota con mcd [A, B], donde A y B

son las expresiones algebraicas consideradas.

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más expresiones algebraicas enteras se obtiene formando el

producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplo: Sean las expresiones A = 3223 b - ab - ba a + y B = x5b abx 10 x 5a 22++

mcd[A , B ] = 2) b a ( +

mcm[A, B] = b) - (a ) b a (5x 2+

13872017.5..32801734 25 ==

Pasos auxiliares

b) - (a b) (a b - ab - ba a 23223 +=+ b) (a5x x 5b abx 10 x 5a 222 +=++

Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS Unidad N°...

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