PNL
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Captulo 1
1.1. El operador de proyeccion
Teorema 1.1.1 (Teorema de la proyeccion) Sea D Rn un conjunto convexoy cerrado.
Entonces para todo x Rn, la proyeccion de x en D, denotada por PD(x), existey es unica.
Ademas de eso, x = PD(x) s, y solamente si
x D , x x, y x 0 y D
Teorema 1.1.2 (El operador proyeccion es no expansivo) Sea D Rn unconjunto convexo y cerrado.
Entonces para x Rn e y Rn cualesquiera,
||PD(x) PD(y)|| ||x y|| .
1.2. Teoremas de separacion
Definicion 1.2.1 (Hiperplano) El conjunto H Rn es llamado hi-perplano si existe a Rn {0} y c R tales que
H = {x Rn/x, a = c}
Definicion 1.2.2 (Semi espacios) Se definen los semiespacios
H = {x Rn/x, a c}
H+ = {x Rn/x, a c}
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Definicion 1.2.3 (Separables) Dos conjuntos A,B Rn, no vacios
son separables si existen a Rn {0} y c R tales que
a, x c a, y , x A , B
Lema 1.2.1 (Minkowski(Separacion estricta)) Sea D Rn un conjutno con-vexo no vacio. si x D, enntonces existen a Rn {0} y c R tales que
a, x = c y a, y > c y D
{x} y D son separables.
Teorema 1.2.1 Sea D Rn convexo no vacio. Si x D, entonces existen a R
n {0} y c R tales que
a, x = c a, y c , y D
Teorema 1.2.2 (Teorema de separacion) Sean D1, D2 Rn conjuntos conve-
xos no vacios tales que D1 D2 = . Entonces existen a Rn {0} y c R tales
quea, x1 c a, x2 , x1 D1 , x2 D2
Teorema 1.2.3 (Teorema de separacion estricta) Sean D1, D2 Rn conjun-
tos convexos cerrados no vacios y al menos uno de ellos acotado(i.e. compacto).Entonces D1 D2 = si y solo si, existen a R
n {0} y c R tales que
a, x1 < c < a, x2 , x1 D1 , x2 D2
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