Captulo 1

1.1. El operador de proyeccion

Teorema 1.1.1 (Teorema de la proyeccion) Sea D Rn un conjunto convexoy cerrado.

Entonces para todo x Rn, la proyeccion de x en D, denotada por PD(x), existey es unica.

Ademas de eso, x = PD(x) s, y solamente si

x D , x x, y x 0 y D

Teorema 1.1.2 (El operador proyeccion es no expansivo) Sea D Rn unconjunto convexo y cerrado.

Entonces para x Rn e y Rn cualesquiera,

||PD(x) PD(y)|| ||x y|| .

1.2. Teoremas de separacion

Definicion 1.2.1 (Hiperplano) El conjunto H Rn es llamado hi-perplano si existe a Rn {0} y c R tales que

H = {x Rn/x, a = c}

Definicion 1.2.2 (Semi espacios) Se definen los semiespacios

H = {x Rn/x, a c}

H+ = {x Rn/x, a c}

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Definicion 1.2.3 (Separables) Dos conjuntos A,B Rn, no vacios

son separables si existen a Rn {0} y c R tales que

a, x c a, y , x A , B

Lema 1.2.1 (Minkowski(Separacion estricta)) Sea D Rn un conjutno con-vexo no vacio. si x D, enntonces existen a Rn {0} y c R tales que

a, x = c y a, y > c y D

{x} y D son separables.

Teorema 1.2.1 Sea D Rn convexo no vacio. Si x D, entonces existen a R

n {0} y c R tales que

a, x = c a, y c , y D

Teorema 1.2.2 (Teorema de separacion) Sean D1, D2 Rn conjuntos conve-

xos no vacios tales que D1 D2 = . Entonces existen a Rn {0} y c R tales

quea, x1 c a, x2 , x1 D1 , x2 D2

Teorema 1.2.3 (Teorema de separacion estricta) Sean D1, D2 Rn conjun-

tos convexos cerrados no vacios y al menos uno de ellos acotado(i.e. compacto).Entonces D1 D2 = si y solo si, existen a R

n {0} y c R tales que

a, x1 < c < a, x2 , x1 D1 , x2 D2

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