planteo_ecuaciones

PF/Ing Romel Jimenez PF/Ing Romel Jimenez Montes De OcaMontes De Oca

PLANTEO DE ECUACIONESPLANTEO DE ECUACIONES

El Arte de Plantear una EcuaciEl Arte de Plantear una EcuacióónnUn problema muy remoto que se solUn problema muy remoto que se solíían an plantear los juristas romanos decplantear los juristas romanos decíía.a.““una viuda estaba obligada a repartirse con el una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debhijo que debíía nacer una herencia de 3500 a nacer una herencia de 3500 monedas que le dejo su marido. Si nacmonedas que le dejo su marido. Si nacíía una a una niniñña, la madre, de acuerdo con las leyes a, la madre, de acuerdo con las leyes romanas, deberromanas, deberíía recibir el doble de la hija. a recibir el doble de la hija.


• Si nacía un niño, la madre recibía la mitad de la parte del hijo. Pero nacieron mellizos: un niño y una niña”

•


• Solución:• Observa el siguiente esquema:• Niña Mama Niño • + + = 3500• Recibe el Recibe el doble• doble de la niña de la mama

• Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta S/. 500 cada parte


• Por lo tanto el reparto debe efectuarse del siguiente modo:

• Niña S/ 500• Mama S/ 1000• Niño S/ 2000 • Como podemos observar, para resolver el

problema, luego de interpretar adecuadamente el texto, hemos ido transformando las condiciones de una igualdad que bien pudo haberse incluido variables para originar una ecuación.


• Niña Mama Niño• X + 2X + 4X = 3500• 7X = 3500• X = 500


TraducciTraduccióón de ciertos enunciados dados en n de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbforma verbal a su forma simbóólica matemlica matemááticatica

• Enunciado Expresión Matemática(Forma Verbal) (Forma Simbólica)

• La suma de dos números (X) + (X+1) + 3Consecutivos mas 3

• Yo tengo S/ 20 mas que tu Yo : 20 + X Tu: X• El cuadrado de la suma de (X + Y)2

dos números X e Y• La suma de los cuadrados X2 + Y2

de dos números X e Y• El cuádruplo de lo que tengo 4Y + 20 Tengo: Y

Aumentado en 20


• Enunciado Expresión Matemática(Forma Verbal) (Forma Simbólica)

• El cuádruplo, de lo que tengo 4(X + 20) tengo Xaumentado en 20

• Yo tengo S/ 40 menos que tu Y = X – 40 yo= x-40o también se dice tu tienes tu= XS/ 40 mas que yo

• A excede a B en 4 lo cual se puede enunciar Como: el exceso A – B = 4 A = X + 4de A sobre B es 4 o la diferencia B = Xentre A y B es 4


EN CONCLUSIEN CONCLUSIÓÓN N

• Ahora podemos concluir que en líneas generales plantear una ecuación consiste básicamente en realizar la tarea que indica el siguiente esquema:

• Forma Verbal Forma Simbólica

Enunciado Traducción Lenguaje Matemático


Ejercicios AplicativosEjercicios Aplicativos

• 1) Un número es tal que, su doble aumentado en 23, resulta igual a 71 hallar dicho número:

• A) 48 B) 36 C) 24 D) 12 E) 9• Solución: Sea el número: x2x + 23 = 71 2x = 71 – 23 2x = 48

Por lo tanto el Número es X = 24


• 2) Una cantidad es tal que su triple, aumentado en 4 equivale al doble de dicha cantidad aumentada en 6 hallar el quíntuplo de dicha cantidad:

• A) 56 B) 80 C) 60 D) 40 E) 20• Solución:• Sea la cantidad desconocida: B• 3B + 4 = 2(B + 6) B = 8• Entonces el quíntuplo será 5B 5x8 = 40


• 3) Carmen compra 3 kilos de manzana. Observa que si consume 7; el doble de la cantidad de manzanas que quedan es igual a la cantidad de manzanas que había inicialmente más 1. cuántas manzanas había en los 3 kilos.

• A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 26• Solución: sea el Número de manzanas: M• Si consume 7 quedan (M – 7)• El doble de lo queda 2(M - 7)• Entonces: 2 (M - 7) = (M + 1) 2M-14 = M + 1• M = 15


• 4) En un edificio de 3 pisos hay en total 30 departamentos en el segundo piso hay 2 departamentos más que en el primero y en el tercer piso hay el doble del número de departamentos que hay en el segundo. Indicar el número de departamentos que hay en el primer piso:

• A) 6 B) 8 C) 10 D) 16 E) 12• Solución:


• Solución:• Sea el número de departamentos del 1º piso: D• En el segundo piso: D + 2• En el tercer Piso: 2(D + 2)• como el total de departamentos es 30• Entonces: D + D + 2 + 2 (D + 2) = 30• 4D = 30 – 6• D = 24/4• D = 6• Por lo tanto en el 1º piso hay 6 departamentos.


• 5) En un examen bimestral de matemática de 20 preguntas, un alumno contesta todas ellas obteniendo 40 puntos si una pregunta bien contestada vale 4 puntos y una incorrecta vale (-1) ¿Cuántas preguntas contesto correctamente?

• A) 10 B) 11 C) 13 D) 12 E) 6• Solución:


• Solución:• Sea “x” la cantidad de preguntas contestadas

correctamente puntaje obtenido = 4x• Si 20 son todas las preguntas, entonces (20-x)

expresa la cantidad de preguntas mal contestadas.• Puntaje obtenido = (-1)(20-x).• La suma de ambos puntajes es 40 entonces

resolviendo tenemos:• 4x + (-1)(20-x) = 40• 5x = 60• x = 12• el alumno contesto correctamente 12 Preguntas


• 6) Se debe repartir 60 canicas entre Juan y Ana, de modo que a Juan le corresponda el doble de lo que le corresponde a Ana. Indicar el número de canicas que le corresponde a Ana.

• A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60• Solución:• Sea el número de canicas de Juan x• Entonces el número de canicas de Ana es 60–x• A Juan le corresponde el doble de Ana • x = 2(60-x) 3x = 120 x = 40• a Juan le corresponde 40 canicas


• 7) Una persona tiene S/ 20000 y otra S/ 7500 cada una ahorra anualmente S/ 500 ¿dentro de cuántos años la fortuna de la primera será el doble de la segunda?

• A) 6 años• B) 8 años• C) 10 años• D) 20 años• E) 15 años


• Solución:• Sea “x” el número de años que ahorran cada

persona. Ahorro total de cada persona = 500X• Capital con ahorro de la primera persona es

igual = 20000 + 500X• Capital con ahorro de la segunda persona es

igual = 7500 + 500X del enunciado:• 20000 + 500X = 2 (7500 + 500X)• 1000X – 500X = 20000 – 1500• 500X = 5000• X = 5000/500• X = 10 años


• 8) Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a este cociente dividiéndolo por 3, la suma de estos cocientes es 600

• A) 450• B) 3500• C) 40000• D) 4500• E) 5000


• Solución:• Sea el número X• Dividido por 10 X/10 = cociente• Al cociente X/10 lo dividimos por 3

X/10 entonces X 3 30x + x = 600 3X + X = 600(30)10 30 4X = 600(30)

X = 4500

1 150


• 9) Juan le dice a Pedro: dame S/ 18000 y así tendré doble dinero que tú y Pedro le contesta, más justo es que tú me des S/ 15000 y así tendremos los dos iguales cantidades. ¿Cuánto tenia Pedro?

• A) S/ 48000• B) S/ 114000• C) S/ 84000• D) S/ 96000• E) S/ 10000


• Solución:• Sea X: dinero que tenía Juan• y: dinero que tenía Pedro• Del enunciado: Juan le dice a Pedro dame S/

18000 y así tendré doble dinero que tú• X + 18000 = 2( Y – 18000)• X = 2Y – 36000 – 18000• X = 2Y – 54000 (I)• Pedro le contesta, más justo es que tú me des

S/ 15000 y así tendremos los dos igual cantidad• (Y - 18000) + 15000 = (X + 18000) – 15000• Y – 3000 = X + 3000 X = Y - 6000 (II)


• Igualamos (I) y (II)• X = 2Y – 54000 (I) X = Y - 6000 (II)

2Y – 54000 = Y – 60002Y – Y = -6000 + 54000

Y = 48000 X = 48000 - 6000 X = 42000

Entonces Pedro Y = 48000 solesJuan X = 42000 soles


• 10) Hallar un número cuyo cuadrado, disminuido en 119 es igual a 10 veces el exceso del número con respecto a 8

• A) 13• B) 10• C) 7• D) 3• E) 5


• Solución:• Sea el número pedido: X• el cuadrado del número = X2

• Luego, planteamos la ecuación según el enunciado del problema:

• X2 – 119 = 10(X – 8) X2 – 10X – 39 = 0• X2 – 119 = 10X – 80 x -13 = 3x• X2 – 10X = -80 + 119 x 3=-13x• X2 – 10X = 39 -10x• X2 – 10X – 39 = 0 (x-13) = 0 (x+3) = 0• X = 13 X = -3X = 13


PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS

• 1) En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4 En un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuantas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a1

• A) 22 B) 44 C) 20 D) 24 E) 21


• Solución: Mujeres Hombres• Antes 3n 4n• -6 +3• Ahora 3n-6 4n+3 • Luego 3n-6 = 3 15n-30 = 12n+9 n= 13• 4n+3 5• Entonces ahora hay 33 mujeres y 55 hombres

entonces deben llegar X mujeres para que la relación sea 1 a 1. Cuando dos cantidades están en relación 1 a1 significa que deben ser iguales 33 + x = 55 x = 22

• Respuesta: A deben llegar 22 mujeres.


• 2) Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

• A) 55• B) 60• C) 65• D) 70• E) 75


• Solución:• Sea x el número de escalones de la escalera• esc 4 esc 5• esc4 esc 5•• x escalones x escalones• # de pasos = x/4 # de pasos = x/5

• En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso, por lo tanto.

• x - x = 3 5x – 4x = 60 x = 60• 4 5• La escalera tiene 60 escalones.


• 3) Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros, gasto S/. 44; pero si compro 7 lapiceros y 3 cuadernos, gasto S/. 36 ¿Cuánto cuesta 1 cuaderno y cuanto 1 lapicero?

• A) S/.4 y S/.3• B) S/.2 y S/.5• C) S/.5 y S/.3• D) S/.3 y S/.5• E) S/.6 y S/.4


• Solución: costo de 1 cuaderno : S/ C• costo de 1 lapicero : S/ L• 7 C + 3L = 44 (A) 3 7 C + 3L = 44 • 3 C + 7L = 36 (B) -7 3 C + 7L = 36• 21C + 9L = 132 • -21C – 49L = -252• - 40L = -120 • L = 3• 3C + 7(3) = 36 3C = 36 -21 C = 15/3 C = 5Por lo tanto un lapicero cuesta S/.3 y y un cuaderno cuesta S/.5


• 4) Se tiene un cajón de 84 manzanas de 10 g cada unay otro cajón con 54 manzanas de 25 g cada una. ¿Cuántas manzanas deben intercambiarse para que, sin variar el número de manzanas de cada cajón, ambos adquieran el mismo peso?

• A) 15• B) 16• C) 17• D) 18• E) 19


• Solución: supongamos que intercambiamos x manzanas.

• 84 manzanas c/u 10g 54 manzanas c/u 25g

• 1ra caja peso 840g 2da caja peso 1350g• Por una manzana que intercambiamos de cada caja, la

que sale de la 1ra. Caja pesa 10g y la que sale de la 2da pesa 25g, Entonces la 1ra caja gana 15g y la 2da pierde 15g Entonces ambas cajas tendrán el mismo peso

• Es decir: 840 + 15x = 1350 – 15x 30x = 510• Por lo tanto x = 17 manzanas


• 5) Lo que tu ganas y lo que yo gano suman S/. 600. Si tu ganas S/. 80 más y yo S/. 80 menos, tendríamos las misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenemos cada uno?

• A) 380 y 220• B) 390 y 220• C) 280 y 200• D) 380 y 210• E) 280 y 220


• Solución: • de los dos datos podemos plantear lo siguiente:• Tu + Yo = 600• +80 -80

• Entonces de la condición final retrocedemos así:• Tu + Yo

• + 80 -80• = (La suma de ambos es 600)• Estas cantidades serian iguales

• Yo tengo S/. 380 y Tu tienes S/. 220

300300

380220


• 6) El Papá de José acude al hipódromo con S/.4300 y cuando ya ha perdido S/. 700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que queda y lo triplica. ¿Gano o perdió?¿Cuánto?

• A) 1200 soles• B) 1300 soles• C) 1400 soles• D) 1100 soles• E) 1050 soles


• Solución:• Al inicio tenia S/. 4300• Dinero S/. 4300•• 2x + 700 = 4300 x = 1800• Entonces, le queda S/. 1800• Luego apuesta lo que le queda y lo triplica• 3(1800) = 5400 ahora tiene 5400• Por lo tanto: Gano 5400 – 4300 = 1100 soles

No ha perdido: x Ha perdido: x + 700


• 7) Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada una y además le regalan 4 por cada 19 que compra. Si se recibió en total 391 carteras, ¿cuál fue la inversión del comerciante?

• A) S/: 24225• B) S/: 24220• C) S/: 24235• D) S/: 24230• E) S/: 24245


• Solución:• Compra Le regalan Recibe• 19 + 4 = 23 x

• 391 Recibió en Total

• Compra Le regala Recibe• 19 + 4 = 23• x17 x17 x17

• + =• Entonces el número de carteras que compro es

323 por dato el costo de cada cartera es S/.75• 323 x 75 = S/. 24225

17

323 39168


• 8) Halle dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero mas los cinco tercios del segundo. Décomo respuesta el consecutivo del mayor de dichos números.

• A) 7• B) 8• C) 9• D) 11• E) 10


• Solución:• Sean los números: n y (n + 1)• Luego, del enunciado planteamos:• n + (n+1) = 1(n) + 5 (n+1) n = 8• 4 3 • los números son: 8 y 9• Por lo tanto el consecutivo del mayor es 10• Respuesta: E

10


• 9) En una granja se observa 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de cada especie?

• A) 10• B) 20• C) 30• D) 40• E) 50

• Solución:


• Solución: • Sea el número cerdos: x entonces como el total

de animales son 40, el número de gallinas será40 – x

• El número de patas es: 4(x) + 2(40 - x) = 100• 4x +80 – 2x = 100 x = 10• Entonces hay 10 cerdos y 30 gallinas • Nos piden la diferencia de estos números • Es decir: 30 – 10 = 20• Respuesta: B

20


• El problema anterior lo podemos esquematizar en el siguiente cuadro:

• Total de patas:• 4x+80-2x=100 x=10• Entonces hay 10

cerdos y 30 gallinas• Nos piden:• 30-10 = 20

80 – 2x4x# patas

40 - xx# animales

gallinascerdos

20


• 10) Tengo 56 soles entre monedas de 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad de monedas que tengo:

• A) 8 monedas• B) 10 monedas• C) 12 monedas• D) 14 monedas• E) 16 monedas


• Solución:• Sea el número de

monedas de 2 soles igual a x, entonces

• Tengo 56 soles• 10(x+2) + 2x = 56• 10x+ 20 + 2x = 56• x = 3• Luego:• # monedas de S/.10 = 5• # monedas de S/.2 = 3• Por lo tanto tengo:• 5 + 3 = 8 monedas.

Monedas de S/. 2

Monedas de S/.10

2(x)10(X+2)Valor en soles

XX + 2# monedas

8


• 11) Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en las sillas como en las mesas, obtuvo lo mismo. ¿Cuántos artículos vendió, si las mesas las vende a S/. 360 más que las sillas y recaudo S/. 9600 en total?

• A) 9 Artículos• B) 10 Artículos• C) 11 Artículos• D) 12 Artículos• E) 13 Artículos


• Solución:• Sea el # de mesas: x entonces el número de

sillas es igual x + 3. De la recaudación total que es 9600 soles, a las sillas le corresponde 4800 soles y a las mesas también 4800 soles, esto es, según el dato del problema.

• Cada mesa lo vendió en 4800/x soles• Cada silla lo vendió en 4800/x+3 soles• Por dato cada mesa lo vendió a 360 soles mas

que cada silla. Esto significa que la diferencia de precios es de 360 soles.


• Entonces planteamos la siguiente ecuación:• 4800 - 4800 = 3600• x x+3• Simplificando:• 40 - 40 = 3• x x+3• Resolviendo: X = 5• Vendió 5 mesas y 8 sillas, o sea lo que vendió• 5 + 8 = 13 artículos • Respuesta: E

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