Condensador plano-paralelo

Electromagnetismo

Condensadores

Condensador plano- paralelo Modelo elctrico de un ciclo de Carnot Condensador cilndrico Condensador esfrico Condensador con un dielctrico. Fuerza sobre un dielctrico (I) Fuerza sobre un dielctrico (II) Carga y descarga de un condensador Medida de la velocidad de una bala Agrupacin de condensadores

Condensador

Condensador plano-paralelo

Energa de un condensador cargado

Electrmetro de placas

Actividades

Referencias

Condensador

Se denomina condensador al dispositivo formado por dos conductores

cuyas cargas son iguales pero de signo opuesto.

La capacidad C de un condensador se define como el cociente entre la

carga Q y la diferencia de potencia V-V existente entre ellos.

La unidad de capacidad es el farad o faradio F, aunque se suelen emplear

submltiplos de esta unidad como el microfaradio F=10-6

F, y el

picofaradio, pF=10-12

F.

Un condensador acumula una energa U en forma de campo elctrico. La

frmula como demostraremos ms abajo es

Condensador plano-paralelo

En primer lugar, calculamos el campo creado por una placa plana

indefinida, cargada con una densidad de carga , aplicando la ley de Gauss.

Campo creado por una placa plana indefinida, cargada.

Para una placa indefinida cargada, la aplicacin del teorema de Gauss

requiere los siguientes pasos:

1.-A partir de la simetra de la distribucin de carga, determinar la

direccin del campo elctrico.

La direccin del campo es perpendicular a la placa cargada, hacia afuera

si la carga es positiva y hacia la placa si la carga es negativa.

2.-Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo

Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de base S, cuya generatriz

es perpendicular a la placa cargada. El flujo tiene dos contribuciones

Flujo a travs de las bases del cilindro: el campo y el vector

superficie son paralelos.

ES1+ES2=2EScos0=2ES

Flujo a travs de la superficie lateral del cilindro. El campo E es

perpendicular al vector superficie dS, el flujo es cero.

El flujo total es por tanto; 2ES

3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada

La carga (en la figura de color rojo) en el interior de la superficie cerrada

vale q= S, donde es la carga por unidad de superficie

4.-Aplicar el teorema de Gauss y despejar el mdulo del campo

elctrico

El campo producido por una placa infinitamente grande es constante, su

direccin es perpendicular a la placa. Esta frmula la podemos

considerar vlida para distancias prximas a una placa en comparacin

con sus dimensiones.

Campo creado por dos placas planas cargadas con cargas

iguales y opuestas.

Supondremos que las placas son

infinitamente grandes o bien, que

la separacin entre las placas es

pequea comparada con sus

dimensiones.

En la figura de arriba, se muestra

el campo producido por cada una

de las placas y en la figura de

abajo, el campo resultante.

Sea un condensador formado por

dos placas iguales de rea S,

separadas una distancia d, pequea

en comparacin con las

dimensiones de las placas. El

campo se cancela en la regin del

espacio situado fuera de las placas,

y se suma en el espacio situado

entre las placas. Por tanto,

solamente existe campo entre las

placas del condensador, siendo

despreciable fuera de las mismas.

Como el campo es constante, la

diferencia de potencial entre las

placas se calcula multiplicando el

mdulo del campo por la

separacin entre las mismas. El

rea del rectngulo de la figura.

La capacidad del condensador plano-paralelo ser

donde Q= S es la carga total de la placa del condensador.

La capacidad del condensador solamente depende de su geometra, es

decir, del rea de las placas S y de la separacin entre las mismas d.

Energa de un condensador cargado

Para cargar un condensador pasamos carga de la placa de menor a la de

mayor potencial y requiere, por tanto, el consumo de energa.

Imaginemos que el proceso de carga comienza con ambas placas

completamente descargadas y despus, sacamos repetidamente cargas

positivas de una de ellas y las pasamos a la otra. En un momento dado,

tendremos una carga q en las placas y la diferencia de potencial entre las

mismas ser V tal que

q=CV

El trabajo necesario para incrementar en dq la carga del condensador ser

dW=Vdq

El trabajo total realizado en el proceso de carga, mientras esta aumenta

desde cero hasta su valor final Q.

Electrmetro de placas

Carga constante

Conectamos el condensador plano-paralelo a una batera que carga las

placas del condensador con una carga q. A continuacin, desconectamos

la batera.

Supongamos que la separacin entre las placas del condensador es x, y

mediante una fuerza mecnica externa Fm igual y opuesta a la fuerza de

atraccin electrosttica Fe aumentamos la separacin entre las placas en

dx.

El trabajo dWm=Fmdx realizado por la fuerza mecnica se invierte en

modificar la energa U=q2/(2C) almacenada por el condensador en forma

de campo elctrico. Como la batera est desconectada no suministra

ninguna energa al condensador durante este proceso, por lo que

dWm=dU

Para un condensador plano-paralelo ideal C=0S/x, la fuerza vale

Cuando la placa del condensador se desplaza x la capacidad disminuye, la energa del condensador aumenta

El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm=Fe para incrementar la

separacin de las placas es

El trabajo realizado por la fuerza exterior Fm se emplea en incrementar la

energa Uc del condensador

Paradoja

El campo elctrico en el condensador es constante y su valor es /0 o bien, q/(S0), la fuerza que ejerce este campo sobre la placa cargada es q

2/(S0), que es el doble de lo que hemos deducido. Cmo se entiende

estos dos resultados dispares?.

Imaginemos que la carga en la superficie de la placa ocupa una capa

delgada, como se indica en la figura, el campo variar desde cero en la

superficie interna de la capa hasta /0 en el espacio entre las placas. El campo medio que acta sobre la carga situada en la capa delgada es

/(20 ), y por tanto las fuerza sobre la carga situada en la capa delgada es q/(20 )=q

2/(S0). Esta es la razn del factor 1/2 que aparece en la

expresin de la fuerza que hemos deducido. (Vase Feynman)

La fuerza de atraccin entre las placas Fe=-Fm es constante e

independiente de su separacin x. La fuerza Fe la podemos obtener a

partir de la energa almacenada en forma de campo elctrico en el

condensador U=q2/(2C), mediante la expresin.

Potencial constante

La balanza de Kelvin mide la fuerza entre las placas de un condensador

plano-paralelo cargado. Una de las placas del condensador cuelga de un

brazo de una balanza, en el otro brazo se colocan pesas.

Las placas del condensador se ponen en contacto con una fuente

ajustable de alto voltaje, que va variando poco a poco hasta que la

balanza se pone en equilibrio. Un anillo metlico que rodea a la placa

superior minimiza los efectos del campo que sale por los bordes de las

placas paralelas

Vamos a determinar la fuerza Fe de atraccin entre las placas,

suponiendo que el condensador tiene inicialmente una capacidad C, y las

placas estn cargadas con una carga q tal que q=CV

Incrementamos en dx la separacin entre las

placas ejerciendo una fuerza mecnica exterior

Fm sobre la placa mvil igual y opuesta a la

fuerza de atraccin elctrica Fe entre las placas.

El trabajo realizado por la fuerza mecnica es

dWm=Fmdx

Si las placas del condensador se mantienen a una diferencia de potencial

constante V mediante una batera, al modificarse la capacidad, la batera

realiza un trabajo para suministrar o retirar una carga dq=VdC. Este

trabajo vale

dWV=Vdq=V2dC

El trabajo total realizado sobre el condensador modifica la energa

U=CV2/2 almacenada en el mismo en forma de campo elctrico.

dU= dWV+ dWm

Como V es constante, tenemos que

V2dC=V

2dC+Fmdx

Despejamos la fuerza Fm

Para un condensador plano-paralelo ideal C=0S/x

La fuerza de atraccin entre las placas Fe=-Fm es inversamente

proporcional al cuadrado de su separacin x. La fuerza Fe la podemos

obtener tambin, a partir de la energa U=CV2/2 almacenada en forma de

campo elctrico en el condensador, mediante la expresin.

Cuando la placa del condensador se desplaza x la capacidad disminuye, la energa del condensador disminuye.

La fuerza Fm=Fe que debemos de hacer para desplazar la placa, de

acuerdo a la argumentacin del punto anterior.

El trabajo de esta fuerza es

A medida que se separa las placas, decrece la capacidad, las placas

pierden carga que va a la batera.

El trabajo realizado sobre la batera es el producto de la prdida de carga

que experimenta el condensador por la ddp V de la batera

La batera gana energa que proviene, la mitad, de la disminucin de la

energa condensador Uc y la otra mitad, del trabajo realizado por la fuerza externa Wm.

Actividades

En el applet se trata de medir una tensin desconocida V, mediante un

electrmetro formado por dos placas planas y paralelas.

La diferencia de potencial V se calcula midiendo la fuerza F entre las

placas, conocidos los datos de la distancia x entre las placas y el rea S

de las mismas.

Cuando se pulsa el botn titulado Nuevo, se genera un nmero aleatorio

que representa la tensin V desconocida de un generador.

Cuando se pulsa el botn titulado Conectar, las placas del condensador

se conectan a dicho generador, atrayndose entre s. La balanza se

desequilibra ya que su brazo est unido a la placa superior del

condensador, y tenemos que volverla a equilibrar para medir la fuerza de

atraccin F.

Moviendo los cursores de la balanza (flechas de color azul, rojo y negro)

equilibramos la balanza y medimos la fuerza en miligramos.

Ejemplo:

Equilibramos la balanza desplazando con el puntero del ratn los

cursores hasta marcar 481 mg.

Sabiendo que el rea de las placas es de 400 cm2 y que su separacin es

de 1 cm. Introducimos los datos en la frmula de la fuerza en las

unidades adecuadas.

Comparamos nuestros clculos con la respuesta dada por el programa

interactivo 1631.7 V, pulsando en el botn titulado Respuesta.