PLANIMETRÍAGeometría.Priscila

Quezada

INTRODUCCIÓN 

La geometría plana trata de aquellos elementos quesolo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano.

Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia

y otras curvas.

La geometría plana se divide en varios temas que nos ayudan

a estudiarla.

GEOMETRÍA MÉTRICA

Estudia los problemas en los que intervienen medidas y a su vez se divide en :

Trazados básicos

Las operaciones geométricas más elementales y que tienen una

utilidad universal, como por ejemplo el trazado de mediatrices,

bisectrices, etc.

Ejemplo: ¿Cómo se traza una bisectriz?

Para trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

•Localizas el vértice B.

•Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte los lados BA y BC en dos puntos que llamaremos N y M

•Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..

•Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que interseque con el anterior, en un punto.

•Une este punto con el vértice B mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del ánguloB..

•Etiqueta con "bB"

Polígonos

Líneas cerradas formadas por varios segmentos. La construcción de polígonos con unas determinadas características o datos es el objetivo de este apartado.

Ejemplo:

AP = 252 = 625 m²AJ = 1502 − 625 = 21 875

m²

En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

Proporcionalidad

Es la forma en la que a partir de unas determinadas longitudes conseguimos otras según una determinada relación. Entre las más habituales están la cuarta proporciona, la tercera proporcional, la media proporcional, etc.

Ejemplo

Dividir un segmento, AB, en partes proporcionales a 3, 5, y 7.

1 - Dibujar una recta cualquiera que parta de uno de los extremos, A, del segmento a dividir con cualquier ángulo.2 - Sobre ese segmento colocar 3, 5 y 7 divisiones de una misma medida cualquiera (en mi dibujo marcado con 3', 5' y 7').3 - Unir el extremo del segmento dado, B, con el de las divisiones, 7'.4 - Hacer paralelas a esta última. 7'-B, por las otras divisiones, 3' y 5'. Donde corten al segmento original son los puntos que dividen al segmento dado, punto marcados con 3, 5 y 7.

Circunferencia

La línea curva cuyos puntos al centro están a una misma distancia. Esta es una de las curvas más importantes y por ello se trata aparte de las demás.

Ejemplo

Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Potencia 

Establece una relación entre un punto exterior a una circunferencia y dicha circunferencia. Es un procedimiento muy empleado para la búsqueda de circunferencias tangentes a otros elementos.

Ejemplo

1 - Dibujar una circunferencia de centro cualquiera X, que pase por uno de los puntos, A, y corte a la circunferencia dada.2 - Unir los puntos de corte de la circunferencia X con la C (puntos 1 y 2)

3 - Unir el punto por el que pasa la circunferencia X con el punto B y trazar una perpendicular a XB

4 - Por B hacer una perpendicular a XB

5 - Por donde esta última corte a 1-2 se dibuja una perpendicular a C-B y este es un eje radical, e.r.1

6 - Por el punto medio de A -B trazar una perpendicular y este es el segundo eje radical, e.r.2

7 - Donde se corten los dos ejes radicales es el centro radical, c.r

Hallar el centro radical de la circunferencia de centro C y de los puntos A y B

Enlaces y tangencias

 Muchos objetos no están formados por una única curva, sino por la unión de varias, siendo este apartado de encargado de determinar sus elementos (centros, puntos de tangencia, etc.).

Ejemplo

Óvalos y ovoides

Estas son dos de las curvas técnicas más usadas. El óvalo es un buen sustituto de la elipse. El ovoide se utiliza en mecánica como leva.

Ejemplo

1 - A partir de los extremos de los ejes, A y C, llevar una distancia igual a la del radio dado, R. El punto que esta sobre el eje mayor, O1, es uno de los centros.2 - Unir los dos puntos, X y O1. Dibujar su mediatriz. Donde la mediatriz corte al eje menor, O2, es otro de los centros.3 - Por simetría (o repitiendo el procedimiento) se obtienen los otros dos centros, O3 y O4.4 - Unir los centros entre sí para determinar los puntos de tangencia.5 - Con centro en O1 y O3 y radio R trazar los arcos que hay entre O2-O3 y O3-O4 y entre O4-O1 y O1-O2.6 - Con centro en O2 y O4 y radio hasta los extremos del eje menor, A y B, dibujar los otros dos arcos.

Curvas cónicas

Son tres la elipse, la hipérbola y la parábola, cuyo estudio es fundamental por ser, tras la circunferencia, las curvas que más aparecen.

Ejemplo

1 - Con centro en cada uno de los dos puntos dados y radios hasta el foco dado, se trazan sendas circunferencias. 2 - Se halla el simétrico del foco dado respecto de la tangente dada (punto s)3 - Se determina el centro de la circunferencia tangente a las dos realizadas y que pase por el simétrico del foco4 - El centro de la circunferencia hallada, es el segundo foco.5 - La distancia entre el simétrico del foco dado y el foco hallado es el eje mayor, 2a.

GEOMETRÍA PROYECTIVA 

Estudia las proyecciones en un plano y sus invariantes, se divide en :

Homología 

- La proyección de dos figuras planas que se encuentran en planos distintos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy utilizada para hallar secciones de cuerpos como pirámides y conos.

Ejemplo

Homología de una figura, ABCD, conocido el centro de homología, el eje de homología y un punto ya transformado.

1 - Prolongar AB hasta el eje.2 - Unirlo con A'3 - Donde corte a la unión de O con B es su homólogo B'.4 - Prolongar BC hasta el eje.5 - Unirlo con B'.6 - Donde corte a la unión de O con C es su homólogo C'.7 - Prolongar AD hasta el eje.8 - Unirlo con A'.9 - Donde corte a la unión de O con D es su homólogo D'.

Afinidad 

 La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos, desde un punto de proyección que esta en el infinito. Muy utilizada para hallar secciones de cuerpos como prismas y cilindros

Ejemplo

Dado el cuadrado de vértices abcd y sus diagonales, hallar su figura afín al aplicar la afinidad definida por su eje y por el par de puntos afines A-A'.

1 - La dirección de afinidad es A-A' (paralela al eje) 2 - Unir A con C hasta cortar al eje, X. Unir X con A'. Por C una paralela a A-A'. Donde corte a la anterior es C'.3 - Unir A con D hasta cortar al eje, Y. Unir Y con A'. Por D una paralela a A-A'. Donde corte a la anterior es D'.4 - Unir B con C hasta cortar al eje. Unir ese punto con C'. Por B una paralela a A-A'. Donde corte a la anterior es B'.

Homotecia

 La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos y paralelos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy utilizada para construir figuras de forma conocida con una determinada característica.

Trazar una recta por un punto que sea convergente con otras dos que se cortan fuera de los límites del dibujo.

1 - Trazar una recta cualquiera AB y otra cualquiera paralela a ella, A'B'. :2 - Unir los extremos de la primera recta, A y B, con el punto dado C.3 - Trazar paralelas por los extremos de la otra, A' y B', a AC y BC.4 - Unir el punto de corte de ambas, C', con el punto dado C y esta es la solución pedida.

Semejanza 

 Es una homotecia a la que también se le ha podido aplicar un giro o una simetría. Muy utilizada para construir figuras de forma conocida con una determinada característica.

Ejemplo

los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

Simetría

 Es el giro de una figura plana alrededor de un eje (simetría axial) o de un punto (simetría central). Una forma de simplificar los trazados al solo necesitar una parte.

Ejemplo

Giro 

 Es mover una figura alrededor de un punto un determinado ángulo. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.

Ejemplo

Traslación

 Es mover una figura de tal forma que los nuevos lados son paralelos a los iniciales. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.

Ejemplo

Una traslación en el plano está definida por un vector .

Inversión 

Relaciona los puntos del plano según el producto de sus distancias a uno fijo, el centro de inversión. Muy utilizada para la determinación de las circunferencias tangentes a otros elementos.

Ejemplo

Figura inversa de un cuadrado ABCD de 40 mm de lado, centro de inversión en A y potencia de inversión K = 36 cm².

1 - Se determina el valor del radio de la circunferencia de autoinversión (o de puntos dobles) mediante la raíz cuadrada de 36. Obtenida esta se dibuja dicha circunferencia.2 - Prolongar el lado DC hasta cortar a la circunferencia de autoinversión, puntos 1 y 2. La inversa de dicha recta es la circunferencia que pasa por el centro de inversión, O = A, y los puntos dobles 1 y 2. Al unir los vértices D y C con el centro de inversión, O, se obtienen sus inversos, D' y C', siendo el inverso del segmento CD el arco C'D'.3 - Se opera de igual modo para determinar el inverso de BC.4 - El inverso del punto A esta en el infinito (es impropio). La recta que pasa por AD es doble por lo que su inverso es ella misma. Pero el inverso del segmento AD es el rayo que parte de D' y sigue hacia el infinito (no el que hay entre D' y A).5 - El inverso de AB se obtiene igual.