PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN EN MÁQUINAS IDÉNTICAS EN …

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PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN EN MÁQUINAS IDÉNTICAS EN PARALELO CON TIEMPOS

DE ALISTAMIENTO DEPENDIENTES DE LA SECUENCIA, PARTICIÓN DE TRABAJOS Y

RESTRICCIONES DE NO SIMULTANEIDAD.

CASO DE ESTUDIO: SISTEMA DE EMPAQUE EN LÍNEA DE PAPA

Daniel Alejandro Ortiz Parra

Asesores:

Ph.D. José Fidel Torres Delgado

Fabián Sampayo (PepsiCo)

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Industrial

Universidad de los Andes

Bogotá D.C., Mayo de 2013

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TABLA DE CONTENIDOS

1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Descripción de la compañía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Definición de la situación problemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.3 Justificación del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Situación actual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Actores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Herramientas conceptuales de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Entorno del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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5. Desarrollo del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1 Caracterización del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Supuestos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Implementación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Metodología heurística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7. Resultados finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8. Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9. Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9. Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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1. INTRODUCCIÓN

En el presente documento se considera el problema de planeación de la producción en un

ambiente de máquinas paralelas considerando tiempos de alistamiento que dependen de la

secuencia, partición de trabajos y restricciones de no simultaneidad de algunos trabajos. El

objetivo del trabajo realizado es encontrar un programa de producción que logre minimizar el

máximo tiempo de terminación del último programado en cada una de las máquinas.

Inicialmente se plantea un modelo de programación lineal con el fin de obtener una solución

óptima para una serie de trabajos. No obstante, se llega a que dada la estructura del modelo

matemático y al número de restricciones y variables, es complicado llegar a una solución óptima (o

a una solución aceptable) en un tiempo de corrida razonable para el problema de interés. Por este

motivo se plantea un algoritmo heurístico basado en programación lineal, en el que se agrupan

trabajos con características similares y se planea la producción de cada grupo por aparte.

Para terminar, el algoritmo heurístico es utilizado para resolver problemas reales en un sistema de

empaque en una línea de producción de papa. Las programaciones obtenidas se comparan con las

realizadas históricamente con el fin de ilustrar como el nuevo algoritmo introduce mejoras en los

indicadores de interés, específicamente en términos de eficiencia y tasa de cumplimiento.

Este documento se encuentra estructurado de la siguiente manera: inicialmente se describe la

compañía donde se aplicará el modelo desarrollado y se plantea la solución problemática; se

presenta también el alcance ya la justificación del proyecto. A continuación se definen conceptos

clave que serán utilizados a lo largo del proyecto y que deben ser comprendidos claramente para

la correcta comprensión de la metodología desarrollada. Antes del planteamiento de una solución,

se hace un estudio bibliográfico de trabajos relacionados con el problema de interés para

posteriormente desarrollar el modelo de programación lineal de la situación de interés. Para

terminar se propone una metodología heurística enfocada específicamente al proceso de

empaque de la empresa de interés, donde se logra aumentar 21% la eficiencia del proceso.

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2. MARCO TEÓRICO

2.1 Formulación del problema

2.1.1 Descripción de la compañía [16]

PepsiCo en una compañía internacional dedicada a la producción, mercadeo y distribución

de alimentos empacados. Esta compañía nace de la fusión dada entre Pepsi-Cola Company

y Frito-Lay Inc. en el año de 1965. A partir de 1995, Frito-Lay hace presencia en

Colombia y cuenta actualmente con un 60% de participación de mercado con productos

tales como Doritos, Cheetos, Choquis, Margarita, Choclitos, Natuchips, entre otros.

2.1.1 Definición de la situación problemática

Actualmente PepsiCo realiza la planeación del empaque en la línea de papa de manera

manual basándose en la experiencia de los operarios encargados, razón por la cual estos

desconocen la calidad de las programaciones que realizan y adicionalmente no logran

cumplir los objetivos establecidos en términos de eficiencia y porcentaje de cumplimiento.

Se entiende eficiencia del sistema de empaque como la razón entre la cantidad de

kilogramos empacados y la capacidad máxima de empaque en una hora:

A continuación se presenta el desempeño en el proceso de empaque en términos de

eficiencia para el mes de febrero del año 2013.

Figura 1. Eficiencia real y esperada para enero de 2013

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Efic

ien

cia

(%)

Instancia (febrero 13 a febrero 23)

Eficiencia

Real

Esperada

)0(1001181

%Kg/hora

horaempacados/Kgη

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2.1.2 Alcance del proyecto

Con el fin de lograr mejorar la planeación de la producción para el proceso de empaque, se

realiza una caracterización del problema según su estructura con el fin de plantear un

modelo de programación lineal con el que se pueda obtener una solución óptima en

distintos escenarios. Debido a que las dimensiones del problema son extensas, se procede

a utilizar un algoritmo heurístico basado en el modelo lineal con el fin de obtener buenas

soluciones en un tiempo razonable. Se propone entonces soluciones para demandas

históricas y se comparan los resultados obtenidos con las planeaciones realizadas para

estas fechas. Finalmente se realiza la comparación de la planeación actual con la nueva

propuesta con el fin de detectar los beneficios de utilizar una metodología estructurada

para solucionar el problema de la planeación de manera sistemática.

2.1.3 Justificación del proyecto

Dada la necesidad de la empresa de mejorar su estrategia de planeación del proceso de

empaque, es adecuado recurrir a una metodología que de manera estructurada permita

obtener soluciones sistemáticas para el problema en cuestión. Mediante un modelo de

matemático de programación lineal y el uso de un algoritmo heurístico será posible

encontrar buenas soluciones para secuenciar el empaque diario de distintas referencias

que son solicitadas por la gerencia de producción.

2.2 Situación actual

2.2.1 Actores

Clientes: personas o grupos que adquieren los productos ofrecidos por PepsiCo.

Gerencia de producción: grupo encargado de supervisar el correcto funcionamiento de las

distintas líneas de producción de la empresa, entre las que se encuentra la línea de

producción cuyo proceso de empaque es punto de estudio de este documento.

Gerencia de línea: encargado de liderar el grupo de personas involucradas en el proceso

de producción y empaque de papa.

Oficina de planeación de producción: personal encargado de estimar la demanda de los

distintos productos ofrecidos a nivel nacional por la empresa y quienes posteriormente

(según pronósticos de demanda) envían a la gerencia de línea la cantidad de unidades de

venta por referencia que deben producirse diariamente.

Operarios: cada uno de las personas especializadas en tareas específicas y que son

requeridos para ejecutar el proceso de producción y empaque de papa.

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A continuación se presenta las relaciones presentes entre los actores relevantes.

Realizan pedidos periódicos de productos

Estima la demanda de productos a producir

Ordena demanda de producto a líneas de producto

Decide como producir durante cada día

Figura 2. Relaciones entre los actores relevantes del problema

2.2.2 Variables

Variables determinísticas

Demanda de productos: referente a la cantidad de unidades de venta (por referencia) que

deben ser empacadas a lo largo de un día de producción.

Velocidad de empaque: dependiente del tamaño de empaque requerido.

Variables calculables

Tiempos de proceso: calculado como la razón entre la cantidad de unidades de venta y la

velocidad de empaque (según tamaño).

Tiempos de alistamiento: tiempo requerido para pasar a empacar una referencia distinta

a la que se terminó de empacar. Estos tiempos dependerán de los tamaños y de los

sabores de las referencias involucradas.

Clientes

Planeación

Gerencia de producción

Gerencia de línea

Operarios

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2.3 Herramientas conceptuales de investigación

Dada la estructura del problema y teniendo en cuenta que para la gerencia de producción la

demanda es establecida por la oficina de planeación, es adecuado modelar la situación mediante

programación lineal. Con este fin, es adecuado revisar algunos conceptos básicos de programación

lineal y de caracterización de problemas de planeación de producción.

Conceptos clave (Pinedo, 2002 & Nahmias, 2007)

Programa lineal: formulación lineal de una función objetivo y de un conjunto de restricciones.

Variables de decisión: conjunto de valores que deben determinarse para solucionar un problema.

Función objetivo: cantidad que se desea maximizar o minimizar.

Restricción: desigualdad que involucra una combinación lineal de las variables de decisión.

Solución factible: conjunto de valores de las variables de decisión con los que se cumplen todas

las restricciones del problema formulado.

Solución óptima: solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo.

Trabajo: operación que es realizada en un máquina y tiene una duración establecida.

Máquina: recurso que procesa un trabajo durante un intervalo de tiempo.

Secuencia: orden en el que se procesa una serie de trabajos en una máquina específica.

Tiempo de proceso: tiempo requerido para realizar una tarea específica a un objeto o producto.

Fecha de entrega: fecha en la que se debe terminar el trabajo para no recibir penalización.

Un problema de programación de la producción se describe por medio de los campos α|β|γ. El

campo α describe el ambiente de las máquinas y contiene una única entrada. Por otra parte, el

campo β brinda detalles de las características del procesamiento de los trabajos y de las

restricciones; este campo puede no tener entradas o tener varias. El campo γ describe el objetivo

que va a ser minimizado y generalmente contiene una sola entrada.

Las posibles entradas para el campo α son:

Una máquina (1): el caso más básico de los posibles ambientes de maquinaria.

Máquinas idénticas en paralelo (Pm): hay m máquinas idénticas en paralelo. El trabajo j requiere

solo una operación y debe procesarse en una de las m máquinas

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Máquinas en paralelo con distintas velocidades (Qm): hay m máquinas en paralelo con diferentes

velocidades. La velocidad de la máquina i se denota vi .

Máquinas no relacionadas en paralelo (Rm): hay m máquinas diferentes en paralelo. La máquina i

puede procesar el trabajo j a una velocidad vij.

Línea de producción o Flow shop (Fm): hay m máquinas en serie. Cada trabajo debe procesarse en

cada una de las m máquinas. Todos los trabajos deben seguir la misma ruta y luego de completar

el procesamiento en una máquina el trabajo se une a la cola de la máquina siguiente.

Línea de producción flexible o Flexible flow shop (FFc): es una generalización de la línea de

producción. Hay c etapas en serie con un número de máquinas idénticas en paralelo en cada

etapa. Cada trabajo debe procesarse en cada una de las etapas.

Taller o Job shop (Jm): en un taller con m máquinas, cada trabajo tiene una ruta predeterminada.

Taller flexible o Flexible job shop (FJc): hay c centros de trabajo con un número de máquinas

idénticas en paralelo en cada centro. Cada trabajo tiene su propia ruta a seguir a través del taller.

Open shop (Om): hay m máquinas, cada trabajo debe procesarse nuevamente en cada máquina.

No obstante, algunos de los tiempos de procesamiento serán nulos. No hay restricciones respecto

al ruteo de cada trabajo en el sistema de manufactura.

Las restricciones del procesamiento se especifican en el campo β y las posibles entradas son:

Fechas de disponibilidad (rj): el trabajo j no puede iniciar su proceso hasta después de la fecha de

disponibilidad. Si rj no aparece en el campo β, el trabajo j podrá procesarse en cualquier momento.

Tiempos de alistamiento dependientes de la secuencia (Sjk): Sjk representa el tiempo de

alistamiento dependiente de la secuencia entre los trabajos j y k. Si el tiempo de alistamiento

entre los trabajos j y k depende de la máquina, entonces si incluye el subíndice i (Sijk).

Preempción (prmp): una vez iniciado el proceso de un trabajo, no es necesario mantenerlo en la

máquina hasta que sea terminado. El programador tiene permitido interrumpir el proceso en

cualquier instante de tiempo y poner otro trabajo en esa máquina. Cuando el trabajo que fue

interrumpido se pone de nuevo en la máquina, solo se procesa el tiempo que estaba pendiente.

Restricciones de precedencia (prec): uno o más trabajos deben completarse antes de que otro

trabajo pueda ser procesado. Existen distintas formas de restricciones de precedencia: si cada

trabajo tiene a lo más un predecesor y un antecesor, las restricciones son llamadas cadenas. Si

cada trabajo tiene a lo más un sucesor, las restricciones son llamadas intree. Si cada trabajo tiene a

lo más un predecesor, las restricciones son llamadas outtree.

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Fallas (brkdwn): las máquinas no están disponibles continuamente. Los periodos que la máquina

no está disponible, se asumen fijos. Si hay un número de máquinas idénticas en paralelo, el

número de máquinas disponibles en cualquier instante de tiempo es una función m(t).

Restricciones de eligibilidad de máquinas (Mj): aplica para el ambiente de manufactura de m

máquinas en paralelo. El conjunto Mj senota el conjunto de máquinas que está en capacidad de

procesar el trabajo j.

Permutación (prmu): aplica para líneas de producción en los que las colas frente a cada máquina

operan de acuerdo a la disciplina FIFO (el primero que entra es el primero que sale). La

permutación implica que el orden en el que los trabajos pasan por la primera máquina, se

mantienen a través de todo el sistema.

Bloqueo (block): aplica para líneas de producción cuando estas tienen espacio limitado entre

máquinas. Cuando el espacio está lleno, la máquina anterior a dicho espacio no podrá soltar un

trabajo que ya está completo.

No-espera (nwt): aplica para líneas de producción en las que no se permite que los trabajos

esperen entre dos máquinas sucesivas. Esto implica que el tiempo de inicio de un trabajo en la

primera máquina debe retrasarse para asegurar que el trabajo pueda ir por la línea de producción

sin tener que esperar por alguna máquina.

Recirculación (recrc): se presenta en líneas de producción o líneas de producción flexible cuando

un trabajo visita una máquina o un centro de trabajo en más de una ocasión.

Partición de trabajos (split): propiedad de un trabajo que le permite distribuir su tiempo de

proceso en distintas máquinas. Estas partes pueden o no procesarse simultáneamente.

Restricción de no simultaneidad: pareja de trabajos que no pueden procesarse simultáneamente.

El objetivo a ser minimizado es siempre una función de los tiempos de terminación de los trabajos,

que dependen de la programación realizada. El tiempo de terminación del trabajo j en la máquina i

se denota Cij. El objetivo puede ser también función de las fechas de entrega dj. Se define el

retraso del trabajo j como Lj = Cj - dj. La tardanza del trabajo j como Tj = Max(0, Lj).

Algunas funciones objetivo que pueden ser entrada en el campo γ son:

Tiempo de terminación del último trabajo que sale del sistema o Makespan (Cmax)

Tiempo de terminación total ponderado (ƩwjCj): indicador de inventario o costos de inventario.

Máximo retraso (Lmax): Max(L1, L2, ..., Ln).

Tardanza ponderada total (ƩwjTj): suma ponderada de las tardanzas teniendo en cuenta las

prioridades wj de cada trabajo.

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2.4 Estado del arte [9]

Se han realizado numerosos estudios en temas relacionados al presente proyecto,

específicamente se nota un gran interés en el tema de planeación de producción en máquinas en

paralelo a partir de los años 50. Los trabajos más significativos en este tema fueron desarrollados

por McNaughton [1] en 1959 y Hu [2] en 1961. Más tarde en 1978, Frederickson [3] y sus

compañeros implementaron la primer heurística (basada el vecino más cercano) aplicada al

problema de máquinas paralelas. También se encuentran trabajos significativos de otros autores

tales como Hahn (1989) [4] y Kim (1997) [5]. Años después en 1993, Guinet [6] propone una

heurística de dos pasos basándose en el problema de ruteo de vehículos (VRP por sus siglas en

inglés). Posteriormente en el año 2000, Xing y Zhang [7] trabajan en el problema de máquinas

idénticas en paralelo pero con dos aspectos adicionales: tiempos de alistamiento independientes

de la secuencia y partición de trabajos. Más adelante en el año 2003, Yalaoui y Chu [8] proponen

una heurística de dos pasos para solucionar el problema de planeación de la producción en

máquinas idénticas en paralelo con tiempos de alistamiento dependientes de la secuencia y con la

propiedad de partición de trabajos. Finalmente en el año 2005 Nait [9] y su grupo de trabajo

presentan una mejora del método propuesto por Yalaoui y Chu para el mismo problema de

planeación de producción basándose también en el trabajo realizado por Riotteau [10] en el 2000.

El presente trabajo estudia el problema de planeación de producción en máquinas idénticas en

paralelo con tiempos de alistamiento dependientes de la secuencia, partición de trabajos y

restricciones adicionales de no simultaneidad de algunos trabajos. La programación lineal

planteada se basa en los trabajos de Riotteau y Nait.

2.5 Entorno del problema

A continuación se describen las principales variables que pueden facilitar o inhibir el desarrollo del

proyecto, dando una descripción específica del efecto de cada variable.

Facilitadores

- Interés de la compañía: dado el interés que muestran las personas encargadas del área de

estudio, estos realizarán un mayor esfuerzo para aportar en el desarrollo del proyecto ya sea

mediante la obtención y entrega de información, la dedicación de tiempo para establecer las

prioridades de la empresa, entre otros. Este interés por el proyecto genera un ambiente de

cooperación que termina aliviando la carga del proyecto y que finalmente se puede ver reflejado

en el desarrollo a tiempo de tareas y la obtención de buenos resultados en el proyecto.

- Conocimiento y herramientas: dados los aspectos básicos del problema se ha encontrado una

metodología para encontrar una solución adecuada al problema de asignación de recursos. El

conocimiento de teorías que sean aplicables a la solución del problema y la destreza en el manejo

de software especializado para optimización es un factor de éxito del proyecto.

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Inhibidores

- Disponibilidad de la información: algunos de los datos de entrada requeridos por el modelo

propuesto pueden no existir o estar disponibles, por lo que puede requerirse dedicar tiempo a la

adquisición y caracterización de datos. La no disponibilidad de cierta información puede causar

demoras en el proyecto que finalmente afecten el cumplimiento de fechas de avances y entrega.

- Políticas de información: cierta información requerida para el desarrollo del proyecto puede ser

confidencial por lo que debe justificarse a la empresa la importancia de esta información para

obtener buenos resultados que aporten a la compañía.

- Desconocimiento operacional: debe dedicarse tiempo adicional para entender los aspectos

básicos de las operaciones que realiza la compañía con el fin de modelar adecuadamente el

problema y de este modo obtener buenas alternativas para la planeación del proceso de empaque

de la compañía. El desconocimiento de aspectos básicos de la empresa pueden generar soluciones

que no sean útiles por lo que debe dedicarse tiempo suficiente a esta labor.

- Tiempo limitado: Dado que el tiempo disponible para el desarrollo del proyecto es relativamente

corto, se requiere una adecuada planeación para culminar exitosamente los objetivos del

proyecto. Debe tenerse en cuenta entonces posibles inconvenientes con el fin de cumplir a

cabalidad con los requerimientos del proyecto.

3. OBJETIVOS

3.1 Objetivo general

Plantear una estrategia de planeación del proceso de empaque que mejore el desempeño

de la empresa en esta labor llegando a cumplir el valor meta de los indicadores de interés.

3.2 Objetivos específicos

- Modelar la situación problemática adecuadamente teniendo en cuenta supuestos y

variables de entrada relevantes.

- Analizar la sensibilidad y robustez del modelo propuesto para garantizar el

funcionamiento de este en los casos de interés de la empresa.

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4. METODOLOGÍA

Solución de problemas de ingeniería mediante programación lineal [11]

Definición del problema: inicialmente debe comprenderse el problema identificando

específicamente la situación problemática, los alcances y la justificación. Este proceso es requerido

en la solución de todo problema en Ingeniería y ya se presentó anteriormente para el caso de

estudio de PepsiCo.

Establecimiento de objetivos: luego de plantear claramente el problema deben establecerse los

objetivos que se pretenden lograr mediante el estudio que se va a realizar. Este procedimiento se

presenta de manera más detallada posteriormente en este documento.

Formulación del modelo: se plantea un modelo conceptual de la situación teniendo en cuenta los

alcances del problema y estableciendo que datos son necesarios para poder hacer inferencias

sobre el modelo.

Adquisición de datos: deben conseguirse los datos ya existentes y tomar los datos que no estén

disponibles con el fin de modelar la situación de manera adecuada y realista (teniendo en cuenta

cada uno de los supuestos del modelo).

Desarrollo del modelo: el modelo debe desarrollarse en algún lenguaje de programación en un

software especializado en la metodología de interés. Para el caso de estudio se hará uso intensivo

de Xpress (Software especializado en optimización).

Verificación: luego de la construcción del modelo, debe verificarse que este representa

adecuadamente el modelo conceptual, es decir que el modelo siga la lógica planteada. En el caso

en que no se de la verificación, debe revisarse la formulación del modelo para poder continuar.

Validación: después de verificado el modelo, debe validarse que este representa de manera

adecuada (bajo ciertos supuestos) la situación problemática de interés.

Experimentación: utilizando datos históricos se realizan distintas corridas para encontrar

soluciones al problema planteado.

Análisis de resultados: calcular variables de interés e interpretar los resultados.

Presentación de resultados: ilustrar a la compañía como la nueva estrategia de planeación de

producción afecta positivamente sus variables de interés.

Implementación: la compañía tomará la decisión de implementar o no alguna la nueva estrategia

de planeación de producción mediante la metodología desarrollada.

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Figura 3. Diagrama de flujo del desarrollo del proyecto

Definición del problema

Formulación de objetivos

Formulación conceptual del modelo

Adquisición de datos Acordar supuestos

Retroalimentación

Caracterización de datos Desarrollo del modelo

¿Modelo verificado?

¿Modelo validado?

Experimentación

Análisis de resultados

Presentación de resultados

Implementación

NO

NO

Redacción de documento final

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5. DESARROLLO DEL MODELO

5.1 Caracterización del sistema

Para el proceso de empaque de papa se dispone de 6 máquinas en paralelo, para las cuales se

debe planear (diariamente) el orden en que se empacarán las referencias demandadas. Como se

ilustra en la figura 4, la empresa ofrece distintas referencias (según gramaje del empaque) en 6

distintos sabores: natural, pollo, limón, BBQ, pollo asado y costillitas. Adicionalmente para

unidades de empaque de decenas y docenas, se tienen dos tipos de empaque: DTS (Down to

Street) y OT (Organized Trade). Las unidades DTS se empacan en bolsas transparentes, mientras

que las unidades OT se empacan en cajas de cartón.

Figura 4. Referencias

Cada una de las seis máquinas posee dos tubos en los cuales se pueden empacar referencias de

distintos tamaño pero del mismo sabor. Adicionalmente existen tiempos de alistamiento para

pasar a producir una referencia diferente a la que se terminó; para realizar un cambio de sabor en

una máquina se requiere de un lavado que tiene una duración de 90 minutos y para un cambio de

gramaje se requiere de un cambio de molde que toma un tiempo de 15 minutos. Existen algunas

excepciones para los tiempos de alistamiento requeridos: pasar de empacar natural a otro sabor

solo requiere de 15 minutos y de igual manera sucede entre los sabores pollo y pollo asado. Dado

a que cada tubo tiene la capacidad de empacar 60 unidades por minuto, estos tiempos de

alistamiento no son despreciables y es importante tenerlos en cuenta en el modelo.

Debe tenerse en cuenta que debido a características de las máquinas y a procesos que se llevan a

cabo después del empaque, existen restricciones adicionales con respecto al empaque en paralelo

de algunas referencias. Específicamente, no es posible empacar paralelamente dos referencias de

48, 115 ó 250g y de manera similar, no se deben empacar dos referencias DTS del mismo sabor

durante un mismo intervalo de tiempo.

Unidad empaque GramajeUnidades por

cajaNATURAL POLLO LIMÓN BBQ ASADO COSTILLITAS

CAJA Familiar 115 12 X X X X

Decena OT (auto) 28 4 X

Docena OT 25 6 X X X X X

25 6 X X X X

28 4 X X X X

30 4 X X X X

33 4 X X X X

28 8 X

48 5 X X

32 4 X

48 24 X X

25 60 X X X

BOLSA

CAJA

Docena DTS

Sextas

Sabritas

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Por otra parte, la gerencia de producción recibe al inicio de cada día la cantidad de unidades que

debe empacar durante un día, por lo que todos los trabajos se encuentran disponibles al inicio de

la planeación del proceso de empaque. Adicionalmente, cada uno de los trabajos puede dividirse

en varias secciones que pueden ser o no procesadas paralelamente en dos o más máquinas.

De acuerdo a las características expuestas anteriormente y mediante el uso de la notación

generalizada propuesta por Pinedo [12] el problema de interés puede verse como:

Es decir, 6 máquinas en paralelo, con partición de trabajos, tiempos de alistamiento dependientes

de la secuencia (sequence-dependent setup times), restricciones de trabajos específicos que no

pueden procesarse simultáneamente (specific job constraints) y con el objetivo de minimizar el

tiempo máximo de terminación (Makespan).

5.2 Supuestos del modelo

Dadas las características del sistema real y a los objetivos establecidos por la empresa es adecuado

suponer que tanto los tiempos de proceso como los tiempos de alistamiento son determinísticos.

Adicionalmente el modelo se basará en que siempre hay materia prima disponible, y que no se

presentan fallas en las máquinas, ni se realizan mantenimientos preventivos o similares.

5.3 Formulación

Conjuntos

Parámetros

Constantes

max6 ,, SJC|CST|SplitP sd

tiempoalprocesarcepuedennoquetrabajosV

abajos) , n} (Tr, , , {N

quinas) , m} (Má, , , {M

:

321

321

jalitrabajodelpasarparatoalistamiendetiempoS

itrabajodelprocesodetiempoP

ij

i

:

:

10:

:

quemenoryquemayornúmero

grandementearbitrariapositivonúmeroK

de 33

Variables

Función objetivo

Restricciones (se explican detalladamente a continuación)

itrabajoelhastammáquinalaensprogramadotrabajosdecantidadZu

il después demente inmediatajjo a el traba se procesmmáquina si en la : x

mquina a en la má se procesio del trabaj si parte: y

muina en la máqitrabajoelfinalizasequeeln: tiempo eC

muina en la máqitrabajo inicia el el que se tiempo en t

ma a máquinocesa en l que se pri el trabajoe tiempo dfracción dQ

im

ijm

im

im

im

im

:

1}1,0{

1}1,0{

:

:

..min max asC

)5(,,

)4(,,)1(

)3(,

)2(,

)1(

max

1

miQyyP

Q

mjiijxKtSxC

miQtC

miCC

iPQ

imimim

i

im

ijmjmijijmim

imimim

im

M

m

iim

)9(1

)8(1

)7(

)6(

1

0

1

)1(

1

1

0

mx

mx

miyx

mjyx

N

j

jm

N

i

mNi

im

N

j

ijm

jm

N

i

ijm

)13(,,)(1

)12(,,)(

)11(,,1

)10(0

nmjiVijQttxK

nmjiVijQttxK

mjiijNxNuu

mix

ininjm

jk

kjm

jmjmin

jk

kjm

ijmjmim

iim

de 33

Una vez definidos los conjuntos, parámetros, constantes y variables involucradas en el modelo se

presenta a continuación la construcción de las restricciones del problema mediante ejemplos

ilustrativos con el fin de establecer claramente el propósito de cada una de estas. El modelo

propuesto a continuación se basa en el trabajo propuesto por Riotteau et al., 2001 [10], Nait et al.,

(2005) [9] y Huang et al., 2010 [13]

Veamos inicialmente un problema de planeación en 2 máquinas y 3 trabajos con tiempos de

proceso de 10, 7 y 5 minutos respectivamente. Adicionalmente no se tienen en cuenta tiempos de

alistamiento entre trabajos y los trabajos 1 y 2 no pueden procesarse simultáneamente.

Una solución factible se presenta en la figura 5.

Figura 5. Solución factible

La solución factible está representada por los siguientes valores de las variables:

La ecuación (1) tiene en cuenta que la suma de las partes en las que se divide cada trabajo, debe

ser igual al tiempo de proceso de ese trabajo:

Adicionalmente la ecuación (2) garantiza que el máximo tiempo de terminación es mayor o igual a

los tiempos de terminación de cada una de las máquinas:

Por otra parte el tiempo en el que se finalice el trabajo i en la máquina m debe ser equivalente al

tiempo de inicio más la fracción de tiempo procesada [ecuación (3)]:

11

11

10

y

32

25

100

Q

5

7

10

P

33231

22221

11211

PQQ

PQQ

PQQ

iPQgeneralen i

m

im

2

1

:

miQtC imimim ,

miCCim ,max

de 33

La ecuación (4) garantiza que si el trabajo j se procesa después del i, entonces el tiempo de inicio

del trabajo j sea mayor o igual al tiempo de finalización del i más un tiempo de alistamiento:

En general:

Se debe también tener en cuenta las restricciones (ecuación 5) referentes a la variable binaria :

- Debe tomar el valor de 1 si parte del trabajo i se procesa en la máquina m:

- Debe tomar el valor de 0 si parte del trabajo i no se procesa en la máquina m:

En cuanto a la entrada al proceso de empaque se debe cumplir que si se pasa a procesar parte del

trabajo j en la máquina m, entonces debe tomar el valor de 1 (Ecuación 6):

Para la solución factible que se presentó en la figura 5 se tiene:

En general:

)1(

)1(

322223232232

231312323121

xKtSxC

xKtSxC

mjiijxKtSxC ijmjmijijmim ,,)1(

imy

miyP

Qim

i

im ,

miCteQy imim ,)(10

jmy

1)2,3(

1)2,2(

1)2,1(

1)1,3(

1)1,2(

0)1,1(

32332232132032

22322222122022

12312212112012

31331231131031

21321221121021

11311211111011

yxxxxmj

yxxxxmj

yxxxxmj

yxxxxmj

yxxxxmj

yxxxxmj

mjyx jm

N

i

ijm 0

de 33

De manera similar para las restricciones de salida del proceso de empaque (7), debe cumplirse que

si se pasa de procesar parte del trabajo i en la máquina m, entonces debe tomar el valor de 1.

En general:

También debe incluirse restricciones que garanticen que algún trabajo se programe al final y al

inicio en cada una de las máquinas (ecuaciones 8 y 9):

Para la solución factible:

En general:

Adicionalmente el modelo debe garantizar que no se programen consecutivamente dos partes de

un mismo trabajo (ecuación 10):

imy

1)2,3(

1)2,2(

1)2,1(

1)1,3(

1)1,2(

0)1,1(

32342332322312

22242232222212

12142132122112

31341331321311

21241231221211

11141131121111

yxxxxmi

yxxxxmi

yxxxxmi

yxxxxmi

yxxxxmi

yxxxxmi

miyx im

N

j

ijm

1

1

1

1

342242142

341241141

xxx

xxx

1

1

032022012

031021011

xxx

xxx

mxN

i

mNi

11

)1(

mxN

j

jm

11

0

mixiim 0

de 33

También es necesario agregar restricciones adicionales para evitar la formación de sub-tours (11):

En el caso de estudio un sub-tour sería una secuencia en la que en una misma máquina se pasa a

empacar dos partes de un mismo trabajo (no consecutivamente) tal como ilustra la figura 6:

Figura 6. Sub-tour

El caso presentado en la figura 6 se tendría las siguientes restricciones:

Para probar como funcionan estas tres ecuaciones, basta con sumarlas y notar que para el sub-

tour en cuestión no existirían para que se cumpla la desigualdad .

Finalizando, se requieren las restricciones para los trabajos que no pueden procesarse

simultáneamente (Ecuaciones 12 y 13). Teniendo en cuenta que para el caso ejemplo los trabajos

1 y 2 tienen esta restricción, se utiliza la solución factible ilustrada en la figura 7 con el fin de

aclarar el funcionamiento de las restricciones propuestas.

Figura 7. Nueva solución factible

Si se pasa a procesar el trabajo 1 en la máquina 2, debe haberse terminado de procesar el trabajo

2 en la máquina 1:

Si se pasa a procesar el trabajo 1 en la máquina 1, entonces debe haberse terminado de procesar

el trabajo 2 en la máquina 2:

mjiijNxNuu ijmjmim ,,1

23

23

23

1323212

2121222

3222232

xuu

xuu

xuu

suim ' 69

222211222211311211011

111122111122311211011

)()1(

)()()(

QttQttxxxK

QttKQttxxxK

212112212112312212012

121221121221312212012

)()1(

)()()(

QttQttxxxK

QttKQttxxxK

de 33

5.4 Implementación

A continuación se ilustran varios casos hipotéticos utilizados para el proceso de validación del

modelo de programación lineal que fue explicado en la sección anterior; el modelo se programó

en el software Xpress IVE.

Caso 1:

- 3 trabajos, 2 máquinas

- Tiempos de proceso: 10, 7 y 5 minutos

- Tiempos de alistamiento: 0 minutos

- Los trabajos 1 y 2 no pueden procesarse simultáneamente

Para el caso 1, se llega a la siguiente solución óptima:

Figura 8. Solución óptima encontrada para el caso 1

Caso 2:


- Tiempos de proceso: 8, 7, 15, y 3 minutos

- Tiempos de alistamiento: 1 minuto entre los trabajos 1,2 y 3; 2 minutos entre los trabajos

4 y 5; 0 minutos para otros casos.




de 33

Caso 3:


- Tiempos de proceso: 7, 5, 3, 9, 2 y 8 minutos

- Tiempos de alistamiento: 1 minuto entre los trabajos pares y 2 minutos entre los trabajos

impares; 0 minutos para otros casos.




Como se observa en las soluciones encontradas para los 3 casos ilustrados anteriormente, el

modelo funciona tal como se esperaba por lo que el siguiente paso es probar con instancias más

grandes (cercanas al caso real) con el fin de evaluar la posibilidad de solucionar el problema

directamente con el modelo propuesto. En la figura 11 se muestra el resumen de las corridas

realizadas, puede observarse que dependiendo del número de restricciones y variables el modelo

no llega a la solución óptima con certeza pues las soluciones encontradas llegan a tener un GAP

entre el 19 y el 39% después de más de 10 horas de corrida.

Figura 11. Resumen de corridas

amente simultáneprocesarse pueden no que trabajos de parejas de Cantidad*

de 33

A partir del resultado obtenido, se puede inferir que para casos más grandes (caso real) no será

posible llegar a la solución óptima en un tiempo razonable. No obstante se realizó una corrida con

el fin de poner a prueba esta afirmación, y se corrió el programa para un caso con 15 trabajos que

deben programarse en 6 máquinas. El programa logra obtener varias soluciones, pero la mejor

solución encontrada tiene un GAP del 92% por lo que no se conoce la calidad de la solución

encontrada. Por este motivo debe acudirse a una metodología alterna con la cual puedan

encontrarse buenas soluciones al problema real.

Históricamente se han utilizado dos enfoques para la solución de problemas similares

(programación en máquinas en paralelo con partición de trabajos y tiempos de alistamiento

dependientes de la secuencia) que son: métodos híbridos basados en programación lineal (Nait et

al., 2006) y metaheurísticas (algoritmo genético (Tavakkoli, 2009 & Vallada, 2011), búsqueda tabú

(Bilge, 2004; Eksioglu 2008 & Celik, 2011), enfriamiento simulado, colonización de hormigas, entre

otros).

Con el fin de seleccionar la metodología más adecuada para solucionar el problema, se estudiaron

distintos aspectos adicionales de las características del sistema real, de la estructura de las

soluciones óptimas y de las estrategias utilizadas para la programación en la empresa. Se

encontraron aspectos clave que al tenerse en cuenta reducen la complejidad de solución:

- Los tiempos de alistamiento largos (90 minutos) se evitan al máximo y se trata de tener

máximo uno de estos tiempos muertos en un día de producción

- La cantidad de particiones de trabajos es pequeña debido a que estas introducen más

tiempos de alistamiento (de 15 minutos)

- La cantidad de trabajos no simultáneos tiende a ser pequeña

- Las soluciones óptimas tienen a ser balanceadas (i.e. los tiempos de terminación de cada

máquina son similares o iguales)

Teniendo en cuenta las anteriores características se propone una metodología heurística

“avariciosa” basada en programación lineal buscando obtener soluciones balanceadas y evitando

al máximo los tiempos de alistamiento grandes.

de 33

6. METODOLOGÍA HEURÍSTICA

Debido a la estructura del problema y a la cantidad de variables y restricciones presentes en el

modelo de programación lineal propuesto aplicado al sistema real, no es posible encontrar buenas

soluciones en un tiempo razonable. Por este motivo se propone a continuación una metodología

basada en la experiencia de los operarios, las características de soluciones óptimas y aspectos

adicionales con el fin de encontrar buenas soluciones para el problema en cuestión.

Teniendo en cuenta que para el caso de estudio se debe programar una cantidad de trabajos

variable (entre 10 y 24 trabajos) en seis máquinas, la metodología propuesta se basa en agrupar

los trabajos según sabores y posteriormente calcular el número de máquinas requeridas para

empacar cada sabor teniendo en cuenta el porcentaje de participación de cada uno de estos en el

total de referencias a empacar. Haciendo uso del número de máquinas requeridas por sabor se

procede a utilizar el modelo de programación lineal para encontrar el programa óptimo de

empaque para cada sabor. A continuación se presenta el pseudo-algoritmo de la metodología:

Fin

máquinasR(m en saboresde resto el programar

máquinasmR(m en naturaly escogido saborel programa se

entero un a cerca más estém(m que el para saborel escoger

m(m calcular natural a diferente saborcada para Paso

6 paso al ir contrario lo de

5 paso al ir entonces m

4 paso al ir entonces m

:es )(m natural saborpara requeridas máquinas el siPaso

P

P6m

saborcada para requerido máquinas de aproximado número el calcularPaso

jsabordelsreferenciadenúmeronpnP

tos)alistamien o(incluyend total proceso de tiempo el calcular saborcada paraPaso

x de entera parte la E(x) Sea

x de decimal parte la D(x) Sea

x de cercano más entero al redondear función la R(x) Sea

j

j1

j1

j1

1

1

1

j

total

total

j

j

n

i

ijtotal

j

j

j

j

)

)

)

):4

35.1

85.0

:3

:2

:)1(15

:1

1

de 33

Fin


máquina 1 en natural saborel programar :6 Paso

Fin


máquinas E(menE(m programa se

máquinasmR(D(m en naturaldeD(my escogido saborel programa se

entero un a cerca más estém(D(m que el para saborel escoger

m(D(m calcular natural a diferente saborcada para Paso

j

j

11

j11

j1

j1

)

)

))

)))

))

)):5

La metodología propuesta se implementó mediante el uso de macros de Excel, donde el usuario

final (operador de línea) debe ingresar las unidades de venta que se deben empacar en un día.

Inmediatamente después de ingresados los datos, se calcula en número aproximado de máquinas

requeridas por sabor y también la recomendación de cómo realizar la programación (que puede

incluir combinación de sabores). Finalmente se debe ejecutar el algoritmo principal de la macro

que automáticamente genera varios archivos de datos que deben ejecutarse en Xpress con el fin

de encontrar a programación óptima para cada sabor en el número de máquinas establecido.

Con fines ilustrativos se presenta en la figura 12 la interfaz del usuario para uno de los casos

solucionados. De igual manera se ilustra en la figura 13 el resultado obtenido para este día.

Figura 12. Interfaz

de 33

Figura 13. Diagrama de Gantt de la solución obtenida

Se puede observar en este caso que la solución encontrada es bastante balanceada (los tiempos

de terminación en cada máquina no están muy alejados) y adicionalmente se logra un tiempo

máximo de terminación de 1170 minutos (19.5 horas), es decir que se puede cumplir con el

empaque de todas las referencias solicitadas. Con el fin de evaluar la calidad de las soluciones, se

utilizó la eficiencia del proceso de empaque, obteniendo para el caso de la figura 13 una eficiencia

del 91.4% (ver ecuación 0), valor superior a la meta establecida del 85% de eficiencia. Como se

verá en la siguiente sección, para cada uno de los días de febrero se logra obtener un tiempo

máximo de terminación inferior a 24 horas y en promedio se logra una eficiencia del proceso de

empaque superior a la meta establecida por la gerencia.

de 33

7. RESULTADOS FINALES

Se solucionaron 11 casos reales de requerimientos diarios de empaque. A continuación se

presentan los resultados obtenidos para los distintos casos y se compara la eficiencia de las

soluciones propuestas con las programaciones realizadas en esas mismas fechas.

Instancia Fecha Tubos Trabajos Sabores Parejas de no simultáneos

Makespan (horas)

Eficiencia

Real Heurística

1 feb-13 12 17 3 10 20.16 73.7% 86.0%

2 feb-14 12 15 3 5 15.67 65.5% 80.3%

3 feb-15 12 19 3 14 20.83 62.1% 90.4%

4 feb-16 12 16 4 7 21.17 61.0% 84.6%

5 feb-17 12 12 4 2 12.67 48.0% 89.1%

6 feb-18 12 16 4 10 18.00 68.9% 89.4%

7 feb-19 12 16 3 7 18.83 67.6% 88.5%

8 feb-20 12 15 4 5 20.33 66.1% 94.7%

9 feb-21 12 16 4 12 19.50 70.8% 91.4%

10 feb-22 12 10 4 2 17.90 65.8% 76.8%

11 feb-23 12 17 4 10 20.83 69.5% 82.2%

65.4% 86.7%

Figura 14. Síntesis de resultados

En la tabla presentada en la figura 14 se sintetizan los resultados obtenidos para 11 días donde se

puede observar que en la mayoría de los días, 24 horas es tiempo suficiente para lograr empacar

los pedidos solicitados por la oficina de planeación. Adicionalmente se observa una mejora de la

eficiencia del proceso al utilizar la metodología propuesta; en promedio se logra una mejora del

21.3% llegando a un 86.7% de eficiencia (superior al 85% establecido como meta).

Adicionalmente con el fin de ilustrar un poco más la mejora que introduce la metodología en

términos de eficiencia, se ilustra en la figura 15 el comportamiento de este indicador de interés

para su valor real y el valor obtenido mediante la heurística. Se puede observar que se logra una

mejora significativa en términos de eficiencia del proceso de empaque.

de 33

Figura 15. Eficiencia

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se logró construir un modelo de programación lineal que representa adecuadamente un

sistema real en un ambiente de máquinas paralelas, con tiempos de alistamiento,

partición de trabajos y restricciones adicionales de trabajos que no pueden procesarse

simultáneamente. No obstante, se encontró que para casos reales y específicamente para

el caso de estudio, no es posible encontrar buenas soluciones con este modelo en un

tiempo razonable para el problema de interés.

Mediante el planteamiento de una metodología heurística basada en programación lineal

se logró construir un algoritmo que encuentra una buena programación de los trabajos

teniendo en cuenta aspectos tales como las características de las soluciones óptimas y

experiencia de los operadores de línea.

Utilizando la metodología heurística propuesta se logra mejorar la eficiencia del proceso

de empaque en un 21.3%. Con este aumento en este indicador de interés la compañía

logra superar la meta establecida por la gerencia de la planta.

Como trabajo futuro puede plantearse otros algoritmos heurísticos o meta-heurísticos con

los que se logren soluciones aún mejores que las obtenidas.

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

100.0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Efic

ien

cia

(%)

Instancia (febrero 13 a febrero 23)

Eficiencia

Real

Heurística

de 33

Apéndice A1: cálculo de los parámetros de la metodología heurística

En el paso 3 de la metodología heurística se utiliza como criterio el número de máquinas

requeridas para empacar sabor natural para decidir si este sabor se combina o no con otro. En

caso de que este número tome un valor entre 0.85 y 1.35 las referencias de sabor natural se

programan en una sola máquinas y en caso contrario se combina este sabor con otro.

La fijación de estos valores se realizó probando distintos valores con el fin de encontrar los

parámetros con los cuales se obtiene (en promedio) el menor tiempo máximo de terminación en

todas la máquinas. A continuación en la figura 16 se ilustra el procedimiento realizado.

Figura 16. Fijación de parámetros de la metodología heurística

de 33

Figura 16 (continuación). Fijación de parámetros de la metodología heurística

Se observa en la figura 16 que al fijarse el límite superior en 0.85 la metodología logra un mejor

desempeño en términos de tiempo máximo de terminación en todas las máquinas. Por otra parte

la el límite inferior se observa que es equivalente seleccionar un valor entre 0.85 y 0.95 para

obtener el mejor desempeño. Se encuentra que al reducir el límite inferior, el tiempo máximo de

terminación aumenta de manera considerable.

de 33

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