PLAN DE ESTUDIO DE FÍSICA - uep55-cha.infd.edu.ar · Electrónica General y Aplicada ... Método...
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PLAN DE ESTUDIO DE FÍSICA
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14
RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES
Año
UNIDADES
CURRICULARES
Para cursar debe tener Para acreditar debe tener
Regularizada Aprobada Regularizada Aprobada
P
R
I
M
E
R
O
Pedagogía S/R S/R S/R S/R
Alfabetización Académica S/R S/R S/R S/R
Didáctica General S/R S/R S/R S/R
Algebra lineal y Geometría S/R S/R S/R S/R
Análisis Matemático S/R S/R S/R S/R
Física I S/R S/R S/R S/R
Ciencias de la Tierra S/R S/R S/R S/R
Química S/R S/R S/R S/R
Práctica Docente I S/R S/R S/R S/R
S
E
G
U
N
D
O
Filosofía S/R S/R S/R S/R
Psicología Educacional S/R S/R Didáctica
General S/R
Tecnología de la Información y
de la Comunicación en
Educación
S/R S/R S/R S/R
Cultura y Lengua Originarias S/R S/R S/R S/R
Sujetos de la Educación Pedagogía Pedagogía Pedagogía Pedagogía
Electrónica General y Aplicada
Física I Física I Física I Física I
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Física II-Mecánica Clásica Física I Física I Física I Física I
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Algebra Lineal y
Geometría
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
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Didáctica Específica Didáctica Gral Didáctica Gral Didáctica Gral Didáctica Gral
Práctica Docente II Práct. Docente I Práct. Docente I Práct. Docente I Práct. Docent I
Didáctica Gral Didáctica Gral Didáctica Gral Didáctica Gral
Física I Física I Física I Física I
T
E
R
C
E
R
O
Sociología de la Educación S/R S/R S/R S/R
Historia y Política de la
Educación Latinoamericana,
Argentina y Chaqueña
Pedagogía Pedagogía
Termodinámica
Química
Química
Química
Química
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II: Mecánica
Clásica
Año
UNIDADES
CURRICULARES
Para cursar debe tener Para acreditar debe tener
Regularizada Aprobada Regularizada Aprobada
T
E
R
C
E
R
O
Electrónica General y Aplicada
S/R S/R S/R S/R
Física Óptica y Fenómeno
Ondulatorio
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II: Mecánica
Clásica
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Análisis
Matemático
Mecánica de los Fluidos
Química Química Química Química
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II: Mecánica
Clásica
Laboratorio de Física
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II:
Mecánica
Clásica
Física II: Mecánica
Clásica
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Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Idioma Extranjero: Inglés
Aplicado
Práctica Docente III
Práctica
Docente II
Práctica
Docente II
Práctica
Docente II
Práctica Docente
II
Aprobado
completo
1er.año
Aprobado
completo
1er.año
Aprobado
completo
1er.año
Aprobado
completo1º.año
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
C
U
A
R
T
O
Formación en Derechos
Humanos, Ética y Ciudadanía S/R S/R S/R S/R
Enseñanza de la Física Mediada
por TIC
Tecnología de la
Información y
de la
Comunicación
en Educación
Tecnología de la
Información y
de la
Comunicación
en Educación
Tecnología de la
Información y
de la
Comunicación
en Educación
Tecnología de la
Información y de
la Comunicación
en Educación
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Didáctica
Específica
Física Teórica
Termodinámica Termodinámica Termodinámica Termodinámica
Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Electrónica
General y
Aplicada
Física Moderna
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Introducción a la Astrofísica Mecánica de los
Fluidos
Mecánica de los
Fluidos
Mecánica de los
Fluidos
Mecánica de los
Fluidos
Física Experimental
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
Física Óptica y
Fenómeno
Ondulatorio
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Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
Año
UNIDADES
CURRICULARES
Para cursar debe tener Para acreditar debe tener
Regularizada Aprobada Regularizada Aprobada
C
U
A
R
T
O
Epistemología e Historia de la
Física
S/R
S/R S/R S/R
Residencia
Práctica
Docente III
Práctica
Docente III
Práctica
Docente III
Práctica Docente
III
Aprobado
completo
2do.año
Aprobado
completo
2do.año
Aprobado
completo
2do.año
Aprobado
completo
2do.año
Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
Laboratorio de
Física
111
“Profesorado en Física”
112
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Los "Cuatro amores" de DON ORIONE El Carisma orionita suele ser sintetizadoen la expresión de “los cuatro grandes
amores de Don Orione”, que marcaron el ritmo de los látidos de su corazón: Jesús, María, el Papa y las almas.
“Es necesario Jesús. Jesús todos los días y no fuera de nosotros, sino en nosotros; y no sólo espiritualmente, sino sacramentalmente."
“Virgen Santísima, a la cual nadie a recurrido en vano, danos fuerza, danos el querer aquello que Dios quiere de nosotros"
“Amemos a la Santa Iglesia con todo nuestro ser y teniendo siempre como nuestrastodas las doctrinas suyas y de su Jefe visible, el Papa"
“No saber ver ni amar en el mundo más que las almas de nuestroshermanos... Todas son amadas por Cristo, por todas Cristo ha muerto"
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Unidad Introductoria: MAGNITUDES Y CANTIDADES
Fisica. Método científico.EstrategiaspararesolverproblemasdeFísica.Fenómenosfisicos y
quimicos.Magnitud fisica. Magnitudes escalares y vectoriales. Cantidad y magnitud. Patrones,
unidades, sistema de unidades. Magnitudes fundaemtales y derivadas. Patrones de masa, tiempo y
longitud. Equivalencia entre unidades de medida. Volumen y capacidad.
Unidades de medida y equivalencias.Medicion. Notacion cientifica. Operaciones con numeros en
notacion cientifica. Cifras significativas. Errores. Valor mas probable. Error sistematico y accidental.
Error absoluto, relativo y porcentual. Medidas de dispersion: varianza y desviacion estandar.
INTRODUCCIÓN
Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde
Aristóteles en el 350 AC y hasta hace 500 años se creía que la Tierra era plana y que estaba en el
centro del universo, hace 70 años no se conocía la televisión, los aviones jet, ni la forma de prevenir
las caries dentales, hace pocos años se descubrió la clonación de seres vivos, recientemente se
descifró el código del genoma humano. La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser humano
ha estado sobre la Tierra desde hace 100 mil años y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por
ejemplo en el comienzo se descubrieron las primeras regularidades y relaciones en la naturaleza. Una
de las regularidades era la forma de los patrones de las estrellas que aparecían en el cielo nocturno.
Otra era el ciclo del clima a lo largo del año, distinguiéndose claramente el comienzo de la
temporada de lluvias o la temporada de calor. La gente aprendió a usar estos ciclos para hacer
predicciones y surgieron los primeros pronósticos del tiempo. De este modo fueron aprendiendo más
y más acerca del comportamiento de la naturaleza. Todos estos conocimientos forman parte de la
ciencia, pero la parte principal está formada por los métodos que se usan para adquirir esos
conocimientos. La ciencia es una actividad humana, formada por un conjunto de conocimientos.
La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que se llamaba filosofía natural. La filosofía
natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida
que se iban encontrando esas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos ciencia. La
ciencia hizo sus mayores progresos en el siglo XVI, cuando se descubrió que era posible describir la
naturaleza por medio de las matemáticas. Cuando se expresan las ideas de la ciencia en términos
matemáticos no hay ambigüedad, es más fácil verificarlos o refutarlos por medio del experimento.
La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y el estudio de los objetos sin
vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias físicas, pero todas enmarcadas dentro de las
denominadas ciencias naturales, que estudian la naturaleza. Las ciencias de la vida se dividen en
áreas como la biología, zoología y la botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la física,
geología, astronomía y química.
La física es más que una rama de las ciencias naturales: es la más fundamental de este conjunto de
ciencias. Estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, energía,
materia, calor, sonido, luz y el interior de los átomos. La química estudia la manera en que está
integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en
que las moléculas se combinan para formar los diversos tipos de materia que nos rodea, denominadas
sustancias. La biología es aún más compleja, pues trata de la materia viva. Así, tras la biología esta la
química y tras la química esta la física. Las ideas de la física se extienden a estas ciencias más
complicadas, por eso la física es la más fundamental de las ciencias.
Las ciencias naturales están conformadas por la Física, Química, Biología, Geología y Astronomía.
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¿POR QUÉ ESTUDIAR FÍSICA?
Por dos motivos. Uno es porque la física es una de las ciencias más fundamentales. Los científicos
de todas las disciplinas aplican las ideas de la física, desde los químicos quienes estudian la
estructura de las moléculas hasta los paleontólogos quienes tratan de reconstruir la forma de andar de
los dinosaurios. Los principios de la física desempeñan un papel fundamental en el esfuerzo
científico por entender cómo las actividades humanas afectan a la atmósfera y a los océanos, y en la
búsqueda de otras fuentes alternas de energía. También, la física es la base de toda la ingeniería y la
tecnología. Ningún ingeniero podría diseñar un dispositivo práctico, sin antes entender sus principios
básicos. No sería posible diseñar un reproductor de DVD, un televisor de pantalla plana, una nave
interplanetaria ni tan siquiera una mejor ratonera, sin antes haber entendido las leyes básicas de la
física.
Pero hay otra razón. El estudio de la física es una aventura que el estudiante encontrará estimulante,
a veces frustrante y en ocasiones dolorosa, pero con frecuencia proporcionará abundantes beneficios
y satisfacciones. La física despertará en usted su sentido de lo bello, así como su inteligencia
racional. Lo que conocemos del mundo físico se basa en los cimientos establecidos por gigantes
como Galileo, Newton, Maxwell y Einstein, cuya influencia se ha extendido más allá de la ciencia
para afectar profundamente las formas en que vivimos y pensamos. El estudiante podrá compartir la
emoción de esos descubrimientos cuando aprenda a usar la física para resolver problemas prácticos y
entender fenómenos cotidianos. Si alguna vez se ha preguntado por qué el cielo es azul, cómo
pueden viajar las ondas de radio por el espacio, o cómo un satélite permanece en órbita, encontrará
las respuestas en la física básica. Sobre todo, apreciará la física como un logro sobresaliente del
intelecto humano en su lucha por entender el mundo y la humanidad.
La Física es una ciencia fundamental y experimental que estudia y describe el comportamiento
de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo.
Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es
desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor
número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas.
Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que para entender sin
inconvenientes el tratamiento del formalismo teórico de los fenómenos físicos se debe tener una
apropiada formación en matemáticas.
Como se destaca en las líneas anteriores el objetivo principal de este cursillo es delimitar el objeto de
estudio de la física, para esto será necesario presentar algunos conceptos principales con el fin de
organizar y esquematizar información que nos permitirá elaborar nuestra propia concepción de lo
que es la física como ciencia.
En principio hay que destacar que la "FÍSICA" es una "CIENCIA" y como tal, representa un
conjunto de conocimientos organizados, sistemático que se obtiene a través de un método,
considerado como la única forma aceptada por la comunidad científica para obtener conocimiento
válido, verdadero comprobable, método científico.
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EL MÉTODO CIENTÍFICO
Considerado como el proceso que sigue el investigador acceder u obtener conocimiento. Se trata de
una secuencia lógica de pasos para que el trabajo del físico (o de cualquier científico) tenga validez.
Si bien el método puede variar en detalles, puede definirse como una secuencia general.
Es un método efectivo para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal
fundador fue Galileo (1564-1642). Consta de los siguientes pasos:
1. Observación: El primer paso del investigador consiste en observar un fenómeno. Un
fenómeno es entendido como un cambio en la naturaleza que rodea al investigador. Por ejemplo: un
rayo, el movimiento de los astros en el cielo, la caída de los cuerpos, el cambio climático y de las
estaciones del año, etc.
2. Plantear un problema: Plantear un problema consiste en formular un interrogante o conjunto
de interrogantes relacionado/s al fenómeno. Teniendo en cuenta que un fenómeno es un cambio, el
investigador se plantea preguntas como: ¿Por qué ocurre este cambio? ¿cuál o cuáles son las razones
que lo producen? ¿bajo qué condiciones se produjo el fenómeno?
3. Formular hipótesis: las hipótesis son posibles respuestas al problema.
4. Observar recolectar y analizar datos sobre el fenómeno: Los datos son conjuntos de
informaciones que permiten describir con eficacia y detalle al fenómeno en cuestión. Estos datos
pueden ser cualitativos o como en el caso que compete en la física como ciencia datos cuantitativos
expresados a través de sistemas de mediciones numéricos o parámetros numéricos.
ES AQUÍ DONDE PODREMOS DESTACAR UNA CARACTERÍSTICA DE LA FÍSICA
COMO CIENCIA Y ES QUE LOS DATOS QUE DESCRIBEN Y PERMITEN ESTUDIAR
UN FENÓMENO SE EXPRESAN EN FORMA CUANTITATIVA POR MEDIO DE
SISTEMAS DE MEDICIÓN.
Por ejemplo:Si el interrogante del problema de investigación es ¿Por qué los cuerpos caen al suelo?,
después de formular las respectivas hipótesis se deben extraer datos que permitan describir y analizar
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con detalle el fenómeno mediante estudios experimentales que permitan reproducir y observar varias
veces el fenómenos en cuestión, como: dejar caer un cuerpo desde diferentes alturas, siendo la altura
un dato medible en metros, medir la velocidad con la que un cuerpo cae si se lo lanza de diferentes
alturas, siendo la velocidad de caída otro dato medible en km/h o bien en m/s. La investigación
podría consistir en que sucedería si dejaran caer cuerpos que tengan diferente volumen, peso, masa,
medidos en metros cúbicos, kilogramos fuerza y kilogramos respectivamente y verificar si el tiempo
de caída a diferentes alturas varía según estos datos variables.
5. Experimentación: Consiste en reproducir nuevamente el fenómeno o bien tener contacto con
el mismo en forma anticipada con el objetivo de realizar nuevas observaciones que pongan a pruebas
las hipótesis, además de obtener nuevos datos que permitan explicar con detalle el fenómeno. En
conclusión la experimentación consiste en que el investigador tome contacto con el fenómeno para
analizarlo con rigurosidad.
6. Interpretar los datos: los datos que describen el fenómeno en cuestión y la experiencia
permiten obtener una serie de resultados que se confrontan con las hipótesis con el fin de verificarlas
o refutarlas (confirmar cuál de las posibles respuestas al interrogante del problema se adecua a ser
una respuesta verdadera y comprobable). El análisis de datos pone a prueba las hipótesis para
comprobarlas o refutarlas para obtener conocimiento y respuestas verdaderas y comprobables.
7. Enunciarteorías: Una teoría es un sistema lógico-deductivo constituido por un conjunto de
hipótesis, un campo de aplicación (de lo que trata la teoría, el conjunto de cosas que explica) y
algunas reglas que permitan extraer consecuencias de las hipótesis de la teoría. En general las teorías
sirven para confeccionar modelos científicos que interpreten un conjunto amplio de observaciones, en
función de los axiomas o principios, supuestos y postulados, de la teoría.
Se hacen teorías de aquellas hipótesis con más probabilidad de confirmarse como ciertas.
8. Enunciarleyes: Una hipótesis se convierte en ley cuando queda demostrada mediante la
experimentación.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
¿CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE FÍSICA?
IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Primero, decida qué ideas de la física son relevantes para
el problema. Aunque este paso no implica hacer cálculos, a veces es la parte más difícil. Nunca lo
omita; si desde el principio se escoge el enfoque equivocado, el problema se dificultará
innecesariamente, e incluso podría llevar a una respuesta errónea. A estas alturas se debe identificar
la incógnita del problema: la cantidad cuyo valor se desea encontrar. Podría ser la rapidez con que un
proyectil choca contra el suelo, la intensidad del sonido producido por una sirena o la fuerza de un
campo magnético generado por un electroimán. (En ocasiones, la meta será hallar una expresión
matemática para la incógnita, no un valor numérico. Otras veces, el problema tendrá más de una
incógnita). Esta variable es la meta del proceso de la resolución de problemas; asegúrese de no
perderla de vista durante los cálculos.
PLANTEAR el problema: Si resulta apropiado, dibuje la situación descrita en el problema través de
un gráfico. Con base en los conceptos que escogió en el paso de identificar, seleccione las
ecuaciones que usará para resolver el problema y decida cómo las usará.
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EJECUTAR la solución: En esta paso, se ―hacen las cuentas‖. Antes de meterse en los cálculos,
haga una lista de las cantidades conocidas y desconocidas, e indique cuál o cuáles son las variables
metas. Después, despeje las incógnitas de las ecuaciones. Tenga presente que los valores de los datos
extraídos deben corresponder al mismo sistema de medición, caso contrario debe realizar las
conversiones que sean necesarias.
EVALUAR la respuesta: La meta de la resolución de problemas en física no es sólo obtener un
número o una fórmula; es entender mejor. Ello implica examinar la respuesta para ver qué nos dice.
En particular, pregúntese: ―¿Es lógica esta respuesta?‖. Si la incógnita era el radio de la Tierra y la
respuesta es 6.38 centímetros, hubo algún error en el proceso de resolución del problema. Revise su
trabajo y modifique la solución según sea necesario.
FENÓMENOS FÍSICOS Y QUÍMICOS
Fenómeno es todo cambio que en sus propiedades o en sus relaciones presentan los cuerpos o las
sustancias.
La materia puede someterse a dos tipos de procesos o fenómenos, los físicos y los químicos:
Cuando ocurre un fenómeno físico las sustancias realizan un proceso o cambio sin perder sus
propiedades características, es decir, sin modificar su naturaleza. Son reversibles ya que el cambio
que sufre la materia no es permanente.
Por ejemplo, si disolvemos sal común en agua, tiene lugar un proceso físico, tras el cual la sal y el
agua siguen teniendo las mismas propiedades características, como se puede comprobar recuperando
la sal por calentamiento de la disolución. Es decir, en el proceso de disolución no se altera la
naturaleza de las sustancias que se disuelven. Lo mismo ocurre al disolver azúcar en leche, alcohol
en agua, etc. También es un fenómeno físico la fusión del hielo, pues el líquido que se obtiene sigue
siendo agua, e incluso el paso de ésta a vapor. (Todos los cambios de agregación de la materia son
fenómenos físicos).Otros fenómenos físicos son el desplazamiento de un vehículo, el paso de la
electricidad por los cables, la dilatación de un cuerpo al ser calentado, el paso de la luz a través de
los cristales de una ventana o de una lente, etcétera.
Por el contrario, si unas sustancias se transforman en otras nuevas, de distinta naturaleza, se dice que
ha tenido lugar un fenómeno químico. En estos fenómenos, no se conserva la sustancia original, se
transforma su materia, manifiesta energía, no se observa a simple vista y son irreversibles en su
mayoría.
Por ejemplo, el hierro de algunos objetos se combina con el oxígeno, en presencia de la humedad del
aire, transformándose en una sustancia diferente, la herrumbre, que no tiene las propiedades
características del metal, es decir no es tan dura, ni tiene su brillo y su color, ni funde a la misma
temperatura, etc. Es un fenómeno químico lo que ocurre al calentar un hilo de cobre, pues se
transforma en otra sustancia diferente de color negro; también la combustión de un papel y la
descomposición del agua por la electricidad.
SISTEMA DE MAGNITUDES Y UNIDADES
La Importancia de Medir en Física
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Como se menciona anteriormente la física, además de ser una ciencia, se basa en observar para
obtener información que describa el comportamiento de un fenómeno. Esta información se basa en
datos medibles relacionados con magnitudes que intervienen en cualquier cambio en la naturaleza.
MAGNITUD
Una magnitud física es una propiedad o cualidad de un cuerpo o sistema físico a la que se le pueden
asignar distintos valores como resultado de una medición cuantitativa, es decir, se pueden medir.
Las magnitudes se clasifican en escalares o vectoriales.
MAGNITUDES ESCALARES: Son aquellas cantidades que tienen la propiedad de quedar
determinadas por un valor numérico y su correspondiente unidad. Por ejemplo: longitud, masa,
tiempo, temperatura, presión, volumen, etc.
MAGNITUDES VECTORIALES: Son aquellas magnitudes en donde tenemos que especificar
además de su valor numérico con su correspondiente unidad (intensidad o módulo), la dirección y el
sentido. Por ejemplo: velocidad, aceleración, fuerza, etc.
Medir: Es comparar la magnitud con una cantidad arbitraria fija de la misma magnitud, llamada
unidad, para averiguar cuántas veces la contiene.
Unidad: Es una cantidad que se adopta como patrón para comparar con ella cantidades de la misma
especie. Ejemplo: Cuando decimos que un cuerpo mide dos metros, estamos indicando que es dos
veces mayor que la unidad tomada como patrón, en este caso el metro.
La distancia es 10
veces la unidad
120
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES:
Para resolver el problema que suponía la utilización de unidades diferentes en distintos lugares del
mundo, en la XI Conferencia General de Pesos y Medidas (París, 1960) se estableció el Sistema
Internacional de Unidades (SI). Para ello, se actuó de la siguiente forma:
En primer lugar, se eligieron las magnitudes fundamentales y la unidad correspondiente a cada
magnitud fundamental.
Una MAGNITUD FUNDAMENTAL es aquella que se define por sí misma y es independiente de
las demás (masa, tiempo, longitud, etc.). Son medidas directamente a través de un instrumento de
medición.
En el siguiente cuadro puedes ver las magnitudes fundamentales del SI, la unidad de cada una de
ellas y la abreviatura que se emplea para representarla:
La definición operacional actual de las tres magnitudes físicas fundamentales más utilizadas se da a
continuación:
LONGITUD: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han
abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la
distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta
definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299.792.458 m/s.
TIEMPO: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9.192.631.770 periodos de
la radiación de átomos de Cesio 133. Con un reloj atómico de Cesio, se puede medir la frecuencia de
su radiación con una precisión de una parte en 1012
, lo que equivale a una incertidumbre menor que
un segundo cada 3.000 años.
MASA: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa
de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y
Medidas en Sevres, cerca de Paris, Francia. Este patrón es confiable porque dicha aleación es muy
estable.
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Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida
única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades
determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las
magnitudes fundamentales en Mecánica, son la que se dan en la tabla siguiente. Este se conoce
también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo).
También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo, y el
TÉCNICO, siendo el metro, UTM (unidad técnica de masa) y el segundo, sus unidades de longitud,
masa y tiempo respectivamente.
El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias.
Actividad: completar el siguiente cuadro con las unidades de medidas correspondientes a cada
sistema métrico.
En segundo lugar, se definieron las magnitudes derivadas y la unidad correspondiente a cada
una de ellas.
Una MAGNITUD DERIVADA se obtiene mediante expresiones matemáticas a partir de las
magnitudes fundamentales (densidad, superficie, velocidad).
En la siguiente tabla aparecen algunas magnitudes derivadas junto a sus unidades:
MAGNITUD UNIDAD ABREVIATURA EXPRESIÓN S.I.
Superficie metro cuadrado m2
m2
Volumen metro cúbico m3
m3
Velocidad metro por segundo m/s m/s
Fuerza Newton N
kg . m/s2
Energía-Trabajo Joule J N
. m =kg . m2/s
2
Densidad kilogramo por metro cúbico kg/ m3 kg/ m
3
Múltiplos y Submúltiplos
Las unidades mencionadas tienen unidades mayores y menores denominadas múltiplos y
submúltiplos respectivamente. En forma convencional, se designan los múltiplos y los submúltiplos
122
con prefijos al nombre de la unidad fundamental, los cuales tienen un símbolo y representan un
valor.
Aclaración: existen múltiplos más grandes y submúltiplos más pequeños.
ÁREA O SUPERFICIE
123
El área o superficie de un plano se refiere a la extensión del mismo teniendo en cuenta sus dos
dimensiones: largo y ancho.
SUPERFICIE DE UN RECTÁNGULO = LADO X LADO
CAPACIDAD Y VOLUMEN
La "capacidad" y el "volumen" son términos que se encuentran estrechamente relacionados.
Se define la capacidad como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a
otra u otras cosas.
Se define el volumen como el espacio que ocupa un cuerpo.
Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la relación entre el litro
(unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).
Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente con
agua que llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro
(1 dm3), se derramará 1 litro de agua. Por tanto, puede afirmarse que:
1 dm3 = 1 Litro
124
NOTACIÓN CIENTÍFICA
La notación científica se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de una manera
abreviada. Por ejemplo: la temperatura en el interior de nuestro Sol, que es de 15.000.000 °C o el
volumen de una célula humana, que es de 0,000000004 cm3, puede expresarse de la siguiente
manera: 1,5 x 107 °C y 4 x 10
9 cm
3.
Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como
producto entre una potencia de 10 y un número cuyo valor absoluto es mayor o
igual a 1 y menor que 10.
Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal
(si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor
que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la
desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en
ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y
9, y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.
Es más fácil entender con ejemplos:
125
732,5051 = 7,325051 x 102(Movimos la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda)
0,005612 = 5,612 x 10−3
(Movimos la coma decimal 3 lugares hacia la derecha)
Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a la izquierda o derecha) nos indica
el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la movemos dos lugares el exponente es 2, si lo
hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente.
Nota importante:
Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será
positivo.
Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será
negativo.
OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Suma y resta
Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este
ejemplo:
1.1.1.1 5,83 • 10 9 − 7,5 • 10 10 + 6,932 • 10 12 =
Lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de
10, en este caso el factor será 10 9
(la potencia más pequeña), y factorizamos:
1.1.1.2 10 9 (5,83 − 7,5 • 10 1 + 6,932 • 103) = 10 9 (5,83 − 75 + 6932) = 6.862,83
• 10 9
Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda:
1.1.1.3 6,86283 • 1012
Si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará
1.1.1.4 6,86 • 1012
Multiplicación
Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se
aplica producto de potencias para las potencias de base 10.
Ejemplo:
1.1.1.5 (5,24 • 106) • (6,3 • 108) = 5,24 • 6,3 • 10 6 + 8 = 33,012 • 10 14 = 3,3012 15
Veamos el procedimiento en la solución de un problema:
Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1.300 s?
1. Convierte las cantidades a notación científica.
26,83 m/s = 2,683 • 10 1
m/s
1.300 s = 1,3 • 10 3
s
126
2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d) = velocidad (V) x
tiempo (t).
d = V.t
Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica
d = (2,683 • 10 1 m/s) • (1,3 • 10
3 s)
3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial,
(2,683 m/s) x 1,3 s = 3,4879 m.
4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de
potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes.
(10 1) • (10
3) = 10
1+3 = 10
4
5. Del procedimiento anterior se obtiene:
3,4879 • 10 4
Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de
3,4879 • 10 4
m
La cifra 3,4879 • 10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros.
División
Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de
potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación
científica.
Hagamos una división:
(5,24 • 10 7
)
(6,3 • 10 4
)
=
= (5,24 ÷ 6,3) • 10
7−4 = 0,831746 • 10
3 = 8,31746 • 10
−1 • 10
3 = 8,31746 • 10
2
Potenciación
Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo
1.1.1.6 (3 • 10 6) 2
¿Qué hacemos?
Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32) y en seguida multiplicamos los
exponentes pues la potencia es (10 6)
2, para quedar todo:
1.1.1.7 9 • 10 12
1.1.1.8
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Al anotar resultados analíticos solo deberán usarse cifras.
127
Por definición las cifras significativas, en una cantidad, son todos los dígitos que se conocen con
certeza (dígitos ciertos), más el primer dígito incierto. Todos los demás dígitos reciben el nombre de
cifras no significativas. Por ello el número de cifras significativas es el número mínimo de dígitos
que se necesitan para expresar científicamente un valor sin que se pierda exactitud. Cada dígito
representa la cantidad real que especifica. Por ejemplo, en el número 436 se tienen cuatro centenas,
tres decenas y seis unidades. En el trabajo científico se deben informar datos empleando solo
CIFRAS SIGNIFICATIVAS, para ello es de utilidad guiarse por las siguientes reglas:
1- Es mejor escribir los datos en forma semi-exponencial, es decir, escribir el resultado 0,0123 como
1,23x10-2
a fin de señalar que se justifican tres cifras significativas, lo que conocemos como
NOTACIÓN CIENTÍFICA.
2- EL CERO COMO CIFRA SIGNIFICATIVA Los ceros que aparezcan entre otros dígitos, como
en 10,04, son significativos. Los ceros iniciales, como el 0,104 ó 0,00104, no son significativos y
debe usarse la notación científica. Los ceros terminales, se consideran significativos. Si un cero
terminal sólo se utiliza para fijar el punto decimal, debe eliminarse y escribir el número utilizando
potencias de 10. Por ejemplo: 10.100 deberá escribirse como 1,01x104.
3- REDONDEO DE NÚMEROS: El resultado de los cálculos deberá reportarse únicamente con
cifras significativas. Por lo tanto deberán eliminarse de la respuesta los dígitos no significativos o
residuos.
Si el residuo es mayor que 5, se incrementa el dígito de la izquierda del residuo en una unidad.
Ej: 11,486 = 11,49.
Si el residuo es menor que 5, no se cambia el dígito de la izquierda. Ej: 11,392= 11,39.
Si el residuo es = 5, y el dígito de la izquierda es par, no se cambia. Ej: 41,285= 41,28.
Si el residuo es = 5, y el dígito de la izquierda es impar, se incrementa en una unidad.
Ej: 37,135= 37,14.
4- SUMA Y RESTA o MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: se pueden retener con seguridad
únicamente tantos dígitos a la derecha del punto decimal como número de cifras significativas tiene
el factor con el mínimo número de cifras significativas.
La notación científica consiste en expresar un número utilizando sólo las cifras que sean
significativas, con una sola cifra entera, seguidas de la potencia de diez correspondiente. Por ello el
número de cifras significativas es el número mínimo de dígitos que se necesitan para expresar
científicamente un valor sin que se pierda exactitud.
128
ERRORES
Cuando se realiza una medición cualquiera, siempre se comete algún error que puede obedecer a la
falta de práctica de la persona que está realizando la medición, a imprecisiones del instrumento de
medida o a una serie de factores difíciles de controlar y que pueden influir en las mediciones
efectuadas. Es así como al repetir una medición, por lo general se obtienen resultados diferentes de
cada una. La forma más usual de determinar el valor más probable de una medida es utilizando el
PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA, que consiste en realizar la suma de todas las medidas
obtenidas y luego dividir por el número total de mediciones efectuadas.
Valor promedio o Media aritmética = Suma de valores medido
Número de mediciones
Existen diferentes tipos de errores que se pueden clasificar en:
Errores Sistemáticos: provienen por ejemplo del inexacto calibrado de los instrumentos de medida
(termómetros, reglas, pesas, etc.). Se caracterizan por tener siempre el mismo signo (unidireccionales
y constantes) y pueden ser eliminados o corregidos con un cuidadoso examen de los métodos de
medida. Son fáciles de detectar. Son precisos e inexactos.
Errores Accidentales o Aleatorios: Aparecen por inevitables imperfecciones de los aparatos y la
limitación de nuestros sentidos. Pueden ser positivos o negativos y hacen que los valores obtenidos
presenten discrepancias entre sí, aunque las condiciones experimentales se hayan mantenido
constantes. Son imposibles predecirlos o estimarlos, por tanto, es posible aplicar leyes matemáticas
de probabilidad para llegar al resultado más probable de una serie de mediciones. Imprecisos e
inexactos.
Error Absoluto: Teniendo en cuenta que el promedio es considerado como el mayor acercamiento
al valor verdadero de las mediciones, la diferencia entre cada medición y el promedio es llamado
error absoluto o incertidumbre de la medición, lo cual es inherente a toda medición.
Error Absoluto= Medición — Promedio
129
Error Relativo o Porcentual: Se llama error relativo de una medida al cociente entre el error
absoluto de la medida y su valor promedio, todo multiplicado por 100.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA Y DESVIACIÓN. Así como las medidas de
tendencia central nos permiten identificar el punto central de los datos, las Medidas de dispersión nos
permiten reconocer que tanto se dispersan los datos alrededor del punto central; es decir, nos indican
cuanto se desvían las observaciones alrededor de su promedio aritmético (Media). Este tipo de
medidas son parámetros informativos que nos permiten conocer como los valores de los datos se
reparten a través de eje x, mediante un valor numérico que representa el promedio de dispersión de
los datos. Las medidas de dispersión más importantes y las más utilizadas son la Varianza y la
Desviación estándar (o Típica).
VARIANZA: Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de
los valores respecto a su punto central (Media). Este promedio es calculado, elevando cada una de
las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o
media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y
dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a
una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:
Referencias:
σ:Letra griega Sigma al cuadrado representa la varianza en una población.
Xi: representa cada uno de los valores medidos.
μ: Letra griega Mi: representa la media poblacional.
N: es el número de observaciones o tamaño de la población.
En el caso que estemos trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:
Donde (S2) representa la varianza, (xi) representa cada uno de los valores, ( x) representa la media de
la muestra y (n) es el número de observaciones o tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la
130
ecuación, notaremos que se le resta uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de
aplicar una pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más representativa para
la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da como resultado el promedio de la
desviación, pero este valor se encuentra elevado al cuadrado.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA (Promedio de diferencia)
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su
punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que
representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación
estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que el gerente de una
empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de
sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los
productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente. Por lo
que su media es:
Su varianza:
Por lo tanto su desviación es:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una
tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite
al gerente determinar cuánto es el promedio de pérdidas causado por el exceso de peso en los
empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
131
El resultado se expresaría: 507±12 g.
Glosario
Ciencia: Conjuntos de conocimientos que se obtienen a través del método científico y por tanto es
conocimiento verdadero, válido, comprobable y demostrable.
Conocimiento: Facultad del ser humano para comprender por medio de la razón la naturaleza que lo
rodea.
Sistemático: porque se ajusta a un conjunto de normas y/o procedimientos.
Organizado: porque sigue un orden.
Comprobable: porque puede someterse a procesos de comprobación experimentales que
demuestren o refuten afirmaciones, hipótesis y teorías.
MAGNITUDES Y CANTIDADES
Actividad Nº 1: En las siguientes expresiones, indicar la cantidad y la unidad de la magnitud que se
ha medido:
a-Un alumno mide el ancho del aula utilizando una cinta métrica y obtiene como resultado 7 metros.
Magnitud: ……………………………………………………………
Cantidad: ……………………………………………………………
Medida: ………………………………………………………………
Unidad de medida: ………………………………………………….
Tipo de magnitud: ……………………………………………………
b-Han pasado 35 minutos desde que comenzó la clase de Física.
Magnitud: ……………………………………………………………
Cantidad: ……………………………………………………………..
Medida: ……………………………………………………………….
Unidad de medida: ……………………………………………………
Tipo de magnitud: …………………………………………………….
c-La temperatura de la clase es de 22º C.
Magnitud: …………………………………………………………….
Cantidad: ……………………………………………………………..
132
Medida: ………………………………………………………………
Unidad de medida: …………………………………………………..
Tipo de magnitud: ……………………………………………………
d-El autobús que realiza la ruta Sáenz Peña – Resistencia viaja a un promedio de 80 km/h.
Magnitud: ………………………………………………….
Cantidad: …………………………………………………..
Medida: ……………………………………………………
Unidad de medida: ………………………………………..
Tipo de magnitud: …………………………………………
Actividad Nº 2: Expresar en el sistema MKS los valores de las siguientes magnitudes:
a-Longitud = 2.300 cm
b- Área = 0,87 km2
c- Volumen = 8 cm3
d-Tiempo = 0,65 h
e- Masa = 1.500.000 mg
Actividad Nº 3: Completar el concepto utilizando las siguientes palabras:
unidad – medida – magnitud – expresarse – resultado – cantidad
El ……………… de una medida debe ………………… indicando la ……………… que
se ha medido, la ………………. de dicha magnitud, la ………………. obtenida y la
…………………..utilizada.
Actividad Nº 4: Exprese las siguientes cantidades en notación científica:
a- 287.100 = …………………………………………
b- 4.809.000 = ………………………………………
c- 0,00539 = …………………………………………
133
d- 0,000000037 = …………………………………….
e- 0,0058900 = ………………………………………
f- 289.369.568 = …………………………………….
Actividad Nº 5: Exprese las siguientes cantidades en valores decimales o enteros (Sin utilizar
notación científica):
a-3 x 106 = ………………………………..……………
b-1,50 x 10-2 = …………………………………………
c-5,68346 x 10-4
= ..……………………………………
d- 3,254 x 105 = .……………………………………….
e-2 x 10-6= ……………………………………………..
f-3,36 x 103= ………………………………………….
Actividad Nº 6:Expresar en términos de la unidad fundamental los siguientes resultados.
a- Una tableta de vitamina contiene 180 mg de potasio.
b- El radio medio de la órbita de Saturno es de 1,49 Tm.
c- El radio de la Tierra es de 6,38 Mm.
d- La distancia del planeta Tierra a la Luna es de 384.000 km.
e- Podemos ver objetos muy pequeños de hasta 0,1 mm. A partir de aquí comienza la escala
microscópica.
f- El radio del planeta Júpiter es de 71.500 km.
g- La distancia del Sol a la Tierra es de 1,5 x 108 km.
Actividad Nº 7: Efectúe las siguientes conversiones:
a- 356 mm a hm = …………………………………….
b- 9,16 g a kg = ………………………………………
c- 9.870 s a h = ……………………………………….
134
d- 36 min a s = ……………………………………….
e- 5 m a nm = …………………………………………..
f- 498 L a dl = …………………………………………
g- 78,5 g a Mg = ………………………………………….
h- 299 Gm a cm = …………………………………….
i- 28 ng a dag = ………………………………………
j- 322 Tl a hl= ………………………………………
k- 1987 pm a m= ………………………………………
l- 8 . 104
kcal a mcal= ………………………………………
m- 11 MA a A= ………………………………………
n- 130 . 10-9
Gl a l = ………………………………………
Actividad Nº 8: Resolver los siguientes problemas de aplicación.
a- Un señor vendió una pieza de cinta de 10 m en varias fracciones: 250 cm; 2.103 mm; 0,025
hm y 2,5 m. ¿vendió toda la pieza? ¿cuántos metros vendió y cuántos quedan por vender?
b- En una veterinaria se vende una bolsa de 50 kg de alimento balanceado del siguiente modo:
800 g; 0,4 dag; 0,06 hg y 8 kg. ¿Cuántos kg de alimento se vendieron y cuántos quedan por vender?
c- Juliana tiene que pintar una pared rectangular de 0,25 dam de alto, y 0,06 hm de ancho. La
pintura que compró cubre 2,5 m2 por cada litro. Si la lata de pintura tiene 5 l, ¿Cuántas latas de
pintura necesita para pintar la pared?
DESAFIO
Problema 1 (La Eminencia)
La eminencia: La siguiente situación puede o no constituir un problema. Se trata de un texto en el
cual la única solución es la comprensión del texto mismo. Esta situación fue planteada a varias
personas de las cuales muchas de ellas se plantean el interrogante por sí mismas, puesto que en la
narración del texto no hay ninguna pregunta que responder, pero en muchas ocasiones el texto
resulta algo confuso para lo cual hay algo que falta para que tenga coherencia. A continuación el
problema:
135
Antonio, padre de Roberto, un niño de 8 años, sale manejando su auto desde su casa en la Ciudad de
Buenos Aires y se dirige rumbo a Mar del Plata. Roberto va con él. En el camino se produce un
terrible accidente. Un camión, que venía de frente, sale de su carril en la autopista y embiste de
frente el auto de Antonio. El impacto mata instantáneamente a Antonio, pero Roberto sigue con vida.
Una ambulancia de la municipalidad de Dolores llega casi de inmediato, advertida por quienes
fueron ocasionales testigos, y el niño es trasladado al hospital. Ni bien llega, los médicos de guardia
comienzan a tratarlo con mucha dedicación, aunque luego de conversar entre ellos y estabilizarle las
condiciones vitales deciden que no pueden resolver el problema de Roberto. Necesitan consultar.
Además, advierten el riesgo de trasladar al niño y, por eso, deciden dejarlo internado allí, en Dolores.
Después de las consultas pertinentes, se comunican con el Hospital de Niños de la Capital y
finalmente se asesoran con una eminencia en el tema, a quien ponen en conocimiento de lo ocurrido.
Como todos concuerdan en que lo mejor es dejarlo a Roberto en Dolores, la eminencia decide viajar
directamente desde Buenos Aires hacia allá. Y lo hace. Los médicos del lugar le presentan el caso y
esperan ansiosos su opinión. Finalmente, uno de ellos es el primero en hablar:
–¿Está usted en condiciones de tratar al nene? –pregunta con un hilo de voz.
Y obtiene la siguiente respuesta:
–¡Cómo no lo voy a tratar si es mi hijo!
Si bien este ejemplo podría no constituir un problema, podemos presentarlo como tal. La
información de la narración está completa pero nos resulta confusa, y esto tiene que ver con una
interpretación de textos y entender bien la semántica de las palabras. En el texto nunca se menciona
el sexo de la eminencia, por lo que tendemos a considerarla un hombre. Lo notable de este problema
es lo sencillo de la respuesta. La solución, o mejor dicho una potencial solución, es que la eminencia
de la que se habla sea la madre.
Problema 2
Muchas situaciones como la que se plantea a continuación no exigen como respuesta un resultado
numérico o bien una simple palabra u oración que permita responder la pregunta. Algunas
situaciones exigen como respuesta un procedimiento lógico para lograr un determinado objetivo y
responder una pregunta, por ejemplo: ¿Cómo hago para..?
El problema a resolver es el siguiente: se tienen dos recipientes vacíos de 3 y 5 litros
respectivamente. (Ésos son los únicos datos que uno tiene, es decir, no hay otra forma de medir
volúmenes.) Por otro lado, hay un barril que contiene vino. ¿Cómo se puede hacer para conseguir
exactamente 4 litros de vino?
Problema 3
El desafío consiste en unir los nueve puntos por medio de cuatro rectas.
136
Este desafío plantea un reto a la percepción del espacio puesto que, generalmente se tiende a unir los
puntos de modo que las rectas queden incluidas dentro de un cuadrado imaginario que forman los 9
puntos.
Problema 4
Construir cuatro triángulos equiláteros con 6 palillos de igual longitud
MATEMÁTICA
CONSEJOS A TENER EN CUENTA ANTES DE EMPEZAR:
Leer con mucha atención los contenidos.
Poner énfasis en los ejemplos.
Resolver minuciosamente los ejercicios.
Consultar las dudas que puedan surgir.
Eje I: CONJUNTOS NUMERICOS
1. Números Naturales:
Los números naturales fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. El
conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos y se simboliza:
* +
Los puntos suspensivos indican que en no hay último elemento, pero sí existe primer elemento que
es el número 1 y además todo número natural, llamémosle x, tiene su número natural consecutivo o
siguiente, .
Si a N se le incorpora el cero, recibe el nombre de conjunto de números naturales ampliado y se
simboliza:
* +
Los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de adición y producto
ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural:
5 + 6 = 11 8.5 = 40.
137
No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta; por ejemplo 8 – 3 es un número natural, pero 3 – 8 no
es un número natural; como consecuencia de ello surgen los números negativos.
2. Números Enteros: Z
Los números enteros abarcan a los números naturales, el cero y a los números negativos, se designa
con la letra Z y es una ampliación de los números naturales.
* + * + * +
Todo número natural es un número entero.
Los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta
bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, la
representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, etc.
El conjunto de los números enteros es cerrado para la suma, la resta y el producto; sin embargo, la
división de dos números a:b no siempre es un número entero. Es por ello que surge el conjunto de
los números fraccionarios o racionales.
3. Números Racionales: Q
Se llama números racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros
con denominador distinto de cero.
El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo». Un número racional es un decimal
finito o infinito periódico; por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal
del número racional
y el número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal
del número racional
.
Este conjunto, a diferencia de los conjuntos y no es discreto, ya que entre dos números
cualesquiera existe un número infinito de números racionales.
Q no tiene primero ni último elemento.
OBSERVACIONES
1. Todo número entero ―a‖ es un número racional con denominador igual a 1.
2. Todo número racional en el cual el numerador es múltiplo del denominador es un número
entero.
3. No todo número racional es un número entero.
4. A los números racionales se los suele expresar como números decimales o expresiones
decimales, exactas o periódicas.
4. Números Irracionales: I
138
Hay números que se caracterizan porque tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Estos
números se llaman irracionales, ya que no se pueden expresar nunca como cociente o razón de dos
números enteros.
Son números irracionales:
Las raíces de índice par de números naturales que no dan como resultado un número natural. Por
ejemplo: √ √ √
Las raíces de índice impar de números enteros que no dan como resultado un número entero. Por
ejemplo: √
√
.
Números de gran importancia en Matemática, como el número , que se utiliza para calcular la
longitud de la circunferencia; el número e , base de los logaritmos naturales; etc.
5. Números Reales: R
El conjunto formado por los números irracionales y racionales es el conjunto de los números
reales.
Observaciones
Todo número natural es un número real.
Todo número entero es un número real.
Todo número racional es un número real.
Todo número irracional es un número real.
A tener en cuenta!!!
Entre dos naturales siempre hay un número finito de naturales entre ellos.
Entre dos números enteros hay un número finito de enteros entre ellos.
Entre dos números racionales hay infinitos racionales entre ellos.
Entre dos números reales hay infinitos reales entre ellos.
Representación gráfica de los números reales
El conjunto de los números reales se representa gráficamente sobre una recta que se conoce con el
nombre de recta real o recta numérica.
Se fija un punto origen que representa el número 0 y se establece un segmento unidad. Los números
reales positivos quedan representados a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda, tal
como se muestra en la figura.
139
Operaciones con números reales
En R se definen básicamente dos operaciones: la adición y el producto.
Propiedades de las operaciones de adición y producto
1. Propiedad asociativa de la adición ( ) ( )
2. Propiedad asociativa de la multiplicación ( ) ( )
3. Propiedad conmutativa de la adición
4. Propiedad conmutativa de la multiplicación
5. Propiedad del neutro aditivo
6. Propiedad del neutro multiplicativo
7. Propiedad del opuesto aditivo ( )
8. Propiedad del inverso multiplicativo
9. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
( )
POTENCIACION
La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
Consideremos el producto 3.3.3.3, este producto puede escribirse en forma exponencial como .
En general, para cualquier número real a y cualquier , el símbolo representa el producto
de factores, cada uno de ellos igual a .
⏟
⏟
140
Propiedades de la potenciación
1. Un número elevado a 0 es igual a 1.
a0 = 1 4
0 = 1
2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo.
a1 = a 6
1 = 6
3. Producto de potencias de igual base:
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am
· a n
= am+n
35
· 32
= 35+2
= 37
4. División de potencias de igual base : es otra potencia con la misma
base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes .
am
: a n
= am – n
35
: 32
= 35 - 2
= 33
5. Potencia de una potencia : es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es el producto de los exponentes .
(am
)n = a
m · n (3
5)
3 = 3
1 5
6. Producto de potencias con el mismo exponente : es otra potencia con
el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases .
an
· b n
= (a · b) n 2
5 · 4
5 = 8
5
7. Cociente de potencias con el mismo exponente : es otra potencia con
el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases .
an
: bn
= (a : b)n 6
4 : 3
4 = 2
4
141
Nota: la potenciación no es distributiva respecto a la suma y a la resta.
Notación Científica
Usamos la notación científica para expresar números muy grandes o muy
pequeños, lo cual nos permite captar el tamaño del número.
Para escribir un número en notación científica, lo expresamos como el producto
de una potencia de 10 por un número que tiene un valor absoluto mayor o igual
que 1 y menor que 10, es decir:
En donde n es un numero entero y c un número real tal que
Ejemplos:
a. La luz recorre aproximadamente 300000km por segundo. En notación
científica lo expresamos así: por segundo.
b. Los átomos tienen un núcleo con electrones que giran a su alrededor. en
el núcleo de los átomos existen protones y neutrones.
Los protones y los neutrones tienen cerca de 0,000000000000001m de ancho
y una masa de aproximadamente 0,000000000000000000000000 0017 kg.
En notación científica, estas dos medidas las escribimos así: y
Por lo tanto cuando un número se multiplica por una potencia de 10 de
exponente positivo se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como
indique el exponente.
Si por el contrario el exponente de la potencia de 10 es negativo, se mueve
la coma hacia su izquierda.
Radicación
142
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Dado un número real a
y un número natural n > 1, definimos:
√
En √
, n es el índice, a es el radicando y √ es el signo del radical.
Cuando el índice n es par, un numero positivo a tendrá dos raíces n - ésimas
reales, una posit iva y otra negativa. La raíz posit iva es llamada raíz principal o
raíz aritmética.
Cuando el índice n es impar, un número real tiene únicamente una raíz n - ésima
real .
Propiedades de la radicación
y con la condición de que si m y n son números pares
entonces satisfacen las siguientes propiedades:
1. Distributiva con respecto al producto
√
√
√
2. Distributiva con respecto al cociente
√
√
√
3. Raíz de raíz
√ √
√
4. Simplificación de radicales
143
√
√
5. Reducción a mínimo común índice
√
√
Extracción de factores
Se extraen aquellos factores cuyo exponente es mayor o igual que el índice,
siendo el exponente fuera del radical, el cociente entero de dividir su
exponente por el índice y dentro del radical queda el factor con un
exponente igual al resto de ese cociente.
Ejemplo: √
√
Operaciones con radicales
Estudiaremos las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.
Radicales semejantes: son aquellos radicales que t ienen el mismo índice e
igual radicando, pudiendo tener diferente los coeficientes.
Ejemplos: √
√
√
Suma algebraica de radicales semejantes: la suma algebraica de radicales
semejantes es otro radical semejante a los dados cuyo coeficiente es la suma
algebraica de los coeficientes de los mismos.
Ejemplos:
a. √ √ √ ( )√
b.
√
√
.
/ √
√
144
Multiplicación de radicales: la multiplicación de radicales de igual índice es
otro radical del mismo índice que el de los factores, cuyo coeficiente es el
producto de los coeficientes de los radicales dados y cuyo radicando, el
producto de los radicandos. Si son de diferentes índices, se red ucen a índice
común.
Ejemplos:
a. De igual índice: √ √ √
b. De dist into índice: √
√ √
√
√
√
División de radicales: la división de radicales de igual índice, es otro radical
del mismo índice, cuyo coeficiente es el cociente del coeficiente del dividendo
por el divisor, y cuyo radicando es el cociente de los radicandos. Si tienen
distinto índice se reducen previamente a índice común.
Ejemplos:
a. De igual índice √ √
√
b. De dist into índice √
√ √
√
√
√
Racionalización de Denominadores
A menudo, cuando se trabaja con los radicales, nos encontramos con una
expresión radical en el denominador de una fracción. Lo tradicional es escribir
nuestras fracciones en una forma que no tengan radicales en el denominador,
por lo que se uti liza un proceso llamado racionalización del denominador para
eliminarlas.
Se presentan las siguientes situaciones:
145
1. Que el denominador sea una raíz cuadrada : en este caso se multiplica
numerador y denominador por la misma raíz.
Ejemplo:
√
√
√ √ √
2. Que el denominador no sea una raíz cuadrada : en este caso se
multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice que
la del denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que
sea la diferencia entre el índice y el exponente.
Ejemplo :
√
√
√ √
√
√
√
3. Que el denominador sea un binomio con raíces cuadrad as: en este
caso se multiplica numerador y denominador por el conjugado del
denominador.
Ejemplo:
√
( √ )
( √ )( √ ) √
√
√
Actividades
Actividad 1: Clasificar los siguientes números en racional (Q) o irracional (I). Marcar con una x.
-6 0 3,14 0,568
√ √
Q
I
Actividad 2: Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el
miembro derecho para obtener una igualdad verdadera.
a. b. ( )
c. √ √ √
e.
f. √
g.
h. √( )
Actividad 3: evaluar las siguientes expresiones si
146
a. ( ) b. – , ( ) - c. ( )
( )
e. *,( ) - +
Actividad 4: resolver las siguientes operaciones
a. * , ( )- , ( ) - +
b. ( ) , ( )-=
c.
.
/ .
/
d.
e. .
/ .
/ (√
)
f. .
/ .
/ ( )
√
g. √.
/
( )
h. √( )
.
/
i. √ √
√
√
[.
/
]
.
/ .
/ =
j. √ .
/ √ √ √
( )
.
/
( )
Actividad 5: expresar los siguientes números en notación científica
a. 3470000000 d. 25300
b. 0,00026 e. 100000000000000
c. 0,0000005 f. 0,000000083
Actividad 6: resolver los siguientes ejercicios usando notación científica
a. 700000. 30000 c. 0,000006: 2000
b.
d.
Actividad 7: resolver aplicando notación científica.
a. El cuerpo humano contiene casi átomos. Si quisiéramos estimar cuántos átomos
contiene el cuerpo de todos los habitantes de la Tierra (7 mil millones de personas = )
b. La luz monocromática de color amarilla presenta la longitud de una onda completa igual a
. ¿Qué longitud en cm le corresponde a ondas?
147
Actividad 8: simplificar los siguientes radicales
a. √
b. √
c. √
Actividad 9: extraer factores del signo radical
a. √
b. √
c. √
d. √
e. √
Actividad 10: racionalizar denominadores, aplicando el caso correspondiente.
a.
√ b.
√ c.
√
d. √
√ e.
√ f.
√
g. √
√ h.
√ √
√ √
Eje II: Expresiones Algebraicas
―No hay rama de la Matemática, por abstracta que sea, que no
pueda aplicarse algún día al fenómeno del mundo real‖
Nicolai Lobachevsky
Antes de desarrollar la teoría de polinomios, es necesario definir los siguientes conceptos:
Expresión algebraica racional: es toda combinación de números y variables (que se denotan con
letras), en ella las variables están afectadas por las siguientes operaciones: suma, resta,
multiplicación, división y potenciación.
Por ejemplo:
Las expresiones algebraicas racionales se clasifican en: expresiones algebraicas racionales enteras
y fraccionarias.
Expresión algebraica racional entera: son expresiones en las que las variables están vinculadas
por las operaciones de suma, resta y multiplicación. Las potencias son con exponentes naturales.
148
Por ejemplo: a. b. ⁄ √
El ejemplo b es una expresión algebraica racional entera puesto que las operaciones de radicación y
división afectan a los coeficientes y no a las variables.
Expresión algebraica racional fraccionaria: son expresiones en las que alguna de las variables
forma parte de un divisor o presenta exponente negativo.
Por ejemplo: a.
b.
Expresión algebraica irracional: son expresiones en las que alguna de las variables está afectada
por radicales o exponente fraccionario.
Por ejemplo: a. √
√ b.
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica racional entera de la forma:
Donde son números reales que se llaman coeficientes del polinomio y x es indeterminada.
Las potencias de la indeterminada son naturales.
Entonces, llamaremos polinomios a la suma de monomios en los que, las variables estén elevadas a
potencias naturales o cero.
Ejemplos:
Para tener en cuenta:
Si el polinomio es de grado cero, se llama polinomio constante.
El coeficiente de la mayor potencia de x se llama coeficiente principal. Si el coeficiente
principal es 1, el polinomio se dice mónico.
El coeficiente se llama término independiente.
149
El polinomio de un solo término (no nulo) se llama monomio, el de dos (no nulos), binomio,
etc.
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Si al polinomio no le faltan términos se lo llama polinomio completo.
El polinomio puede estar ordenado (en forma creciente o decreciente), o desordenado.
Si el polinomio tiene un solo término se denomina monomio, si tiene dos términos se
denomina binomio, con tres es un trinomio, con cuatro es un Cuatrinomio.
Grado del polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. Se simboliza gr
(P(x)).
Ejemplo: ( ) es un polinomio de grado 5
Polinomios especiales
Polinomio nulo: es aquel que tiene todos sus coeficientes iguales a cero. P(x)=0. Polinomio
mónico: es aquel que tiene su coeficiente principal igual a 1.
Ejemplo: P(x)= es un polinomio mónico de grado 6.
Polinomios opuestos: dos polinomios son opuestos cuando los coeficientes de los términos de igual
grado son números opuestos.
Ejemplo: ( ) el polinomio opuesto es ( )
Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma
creciente o decreciente respecto de los exponentes de las variables.
Ejemplo: ( )
Polinomio Completo: Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del
grado. Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficientes cero.
Ejemplo: ( )
Valor numérico de un Polinomio:
Es el valor que toma un polinomio al sustituir la variable por un cierto número.
Así, dado el polinomio P(x) = , su valor numérico para x = -1 es:
P(-1) = 2 ( ) ( ) =
150
Operaciones con Polinomios
Adición
La suma de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando los
coeficientes de los términos de igual grado. El grado del polinomio resultante es igual al mayor
grado de los polinomios sumandos.
Al sumar términos semejantes, en realidad sumamos los coeficientes con su signo, por lo cual, la
suma de polinomios es, en definitiva, suma de números reales.
Esta operación, así definida, verifica las propiedades:
Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
Existe elemento neutro: polinomio nulo.
Cada polinomio tiene su opuesto.
Sustracción
La sustracción de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando a
P(x) el opuesto de Q(x).
Debes tener en cuenta que:
En caso que, se suman dos polinomios de distinto grado, la suma es un polinomio que tiene el
grado del mayor grado de los polinomios sumados.
En caso que, se suman dos polinomios de igual grado, la suma es un polinomio que tiene el
grado menor o igual al grado de los polinomios sumados.
Producto de Polinomios
151
Cuando se multiplican dos polinomios, el resultado es otro polinomio cuyo grado es igual a la suma
de los grados de los polinomios factores y cuyos términos se obtienen de aplicar la propiedad
distributiva entre los términos de P(x) y Q(x).
Igual que para la suma, el producto de polinomios verifica las propiedades:
Asociativa: [P(x) . Q(x)] . R(x) = P(x) . [Q(x) . R(x)]
Conmutativa: P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x)
Existe elemento neutro: P(x) = 1
No existe polinomio inverso: Es decir, dado un polinomio cualquiera no existe otro que
multiplicado por aquél dé 1.
Distributiva del producto respecto de la suma:
P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x).Q(x) + P(x).R(x)
Productos notables
Cuadrado de un binomio.
( ) = ( ) ( )
( )
Ejemplo:
( ) ( )
152
Cubo de un binomio.
( ) ( )( ) ( )( )
( )
Ejemplo:
( )
Producto de dos binomios conjugados (diferencia de cuadrados)
( )( )
( )( )
Ejemplo:
( )( )
División de Polinomios
Dado un polinomio P(x) (polinomio dividendo) y otro D(x) ≠ 0 (polinomio divisor), siempre existen
y son únicos otros dos polinomios C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polinomio resto) tal que:
P(x) = D(x) . C(x) + R(x) donde: grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0
Para realizar la división de dos polinomios, el polinomio dividendo debe tener grado mayor o igual
que el del polinomio divisor, ambos deben estar ordenados en forma decreciente y el polinomio
dividendo debe estar completo.
Para completar un polinomio se deben agregar los términos que faltan con coeficientes ―cero‖.
Ejemplo:
Dado el polinomio ( )
Completo nos quedaría ( )
Una vez que completamos el polinomio y ordenamos las potencias decrecientes de la variable
podemos comenzar con la división.
Para facilitar la operación, es conveniente proceder de la siguiente manera:
a. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el
primer término del cociente:
153
b. Se multiplica este término del cociente por el divisor y se resta este producto del dividendo,
obteniéndose un nuevo dividendo:
Se reitera el procedimiento indicado en a) y b) tantas veces como sea necesario hasta que el resto se
transforme en el polinomio nulo, o bien, su grado sea menor que del divisor.
Luego ( ) ( )
Observaciones:
El grado del cociente, es la diferencia entre el grado del dividendo y el del divisor. Es decir gr (C(x))
= gr (P(x)) – gr(D(x)).
Si al dividir el polinomio P(x) por otro Q(x), el resto es el polinomio nulo (R(x) = 0), se dice que el
cociente es exacto y que P(x) es divisible por Q(x) o bien que Q(x) es divisor de P(x).
Regla de Ruffini
Cuando el divisor es un polinomio de la forma , siendo α un número real, se simplifica el
proceso utilizando la regla de Ruffini.
Se muestra el proceso con el ejemplo anterior
( ) y ( )
Primero escribimos en una fila los coeficientes del dividendo completo y ordenado, según las
potencias decrecientes de la variable:
Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el
opuesto del término independiente del divisor
Luego se traza una cruz como indica la figura, y en el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del
término independiente del divisor
154
En la tercer fila se obtienen los coeficientes del cociente, el primero de los cuáles es el primero del
dividendo:
Los restantes coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el resultado anterior obtenido por el
número que figura en el ángulo izquierdo (que actúa como ―pivote‖) y se lo coloca en la segunda fila
en la columna correspondiente. Luego se suma este producto al correspondiente coeficiente de la
primera fila (ubicado en la misma columna). El último número así obtenido es el resto.
Como se puede observar, como en estos casos el divisor es de grado uno, el grado del cociente es
una unidad menor que el grado del dividendo. El grado del resto, es cero, por tratarse de una
constante.
Así nos queda ( ) ( )
Teorema del Resto
Hipótesis: Sea el polinomio P(x) y otro polinomio Q(x) de la forma Q(x) = (x + α)
Tesis: El resto de la división entre P(x) y Q(x) es igual al valor numérico del polinomio P(x)
valorizado en - α es decir P(-α), siendo α un número real.
Demostración: Sabemos que si C(x) es el cociente de la división de P(x) por Q(x), entonces:
P(x) = C(x) . Q(x) + R(x), pero Q(x) = (x + α)
155
reemplazando: P(x) = C(x) . (x + α) + R(x),
Pero para x = - α , se tiene:
Es decir:
P(-α) = R(-α)
Ejemplo:
( ) ( )
( ) Resto de la división 0.
ACTIVIDADES
1. Decir si las siguientes expresiones son polinomios, en caso de no serlo indicar porqué.
a. ( ) √
b. ( )
c. ( ) √
d. ( )
2. Indicar el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
a. ( )
b. ( )
c. ( )
3. Indicar si los polinomios están completos, ordenados o ambos. En caso de no estarlo escribirlos
completos y ordenados en forma decreciente.
a. ( )
b. ( )
c. ( )
156
4. Encontrar el valor numérico de los siguientes polinomios
a. ( ) para
b. ( ) para
c. ( ) para
5. Dados los polinomios
( ) ( )
( ) ( )
( )
Hallar:
a. ( ) ( ) b. ( ) , ( ) ( )- c. ( )
( )
d. ( ) ( ) e. ( ) ( ) f. , ( ) ( )-
6. Calcular
a. .
/ .
/ b. .
/ .
/
c. .
/
d. .
/
e. .
/
f. .
/
7. Resolver las siguientes divisiones aplicando la Regla de Ruffini
a. ( ) ( ) b. .
/ .
/
c. .
/ ( ) d. ( ) .
/
8. Sea el polinomio ( ) , utilizando el teorema del resto, calcula los
siguientes valores:
a. ( ) b. ( ) c. ( )
157
d. ( ) e. ( ) f. (
)
Introducción
En la vida diaria aplicamos las leyes de la Física donde encontramos que existe la
proporcionalidad tanto directa como inversa y sus razones que explican el resultado de las
acciones provenientes de los elementos que intervienen a diario en nuestras actividades.
Aprenderemos que la naturaleza está presente en todas las pequeñas cosas como los gases o en
la frecuencia y período de una onda o más cercanamente solo en el vapor de la tetera tenemos
mucha matemáticas y sobre todo proporcionalidad
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN: razón de dos números es el cociente indicado de ambos. Es decir, la razón de los dos
números a y b es a: b, o lo que es lo mismo, la fracción
PROPORCIÓN: es la igualdad entre dos razones.
Ejemplos:
;
La proporción se compone de 4 términos, a, b, c y d, de los cuales:
a y d se llaman extremos, mientras que:
b y c se llaman medios.
Propiedad fundamental de las proporciones
En una proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos:
En el ejemplo anterior: y 4 .56 = 32 .7
Como puedes comprobar, esta propiedad nos permitiría escribir la proporción de diferentes modos,
permutando los medios o los extremos entre sí.
158
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:
Al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el
mismo número.
Si a un valor de la primera magnitud le corresponde un valor de la segunda magnitud, se
puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante. A esta
cantidad se le llama constante o razón de proporcionalidad directa.
Las magnitudes distancia recorrida y tiempo son directamente proporcionales, porque la razón entre
sus respectivos valores es constante e igual a 40. Es decir, la constante de proporcionalidad es 40
km/h.
RAZON DE PROPORCIONALIDAD
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al crecer una la otra disminuye en la
misma proporción, y al decrecer la primera la
segunda aumenta en la misma proporción.
Si a un valor de la primera magnitud le
corresponde un valor de la segunda
magnitud, se puede comprobar que el producto
de estos dos valores es siempre constante. A
este producto se le llama constante de
proporcionalidad inversa.
RAZON DE PROPORCIONALIDAD
Un tren avanza 40 km hacia el norte cada vez que
transcurre una hora.
Tiempo(horas)
Km (distancia)
Razón de proporcionalidad
1 40
2 80
3 120
Al dividir cualquier valor de la segunda magnitud por
el valor de la primera magnitud se obtiene el mismo
cociente.
Una alumna compra un regalo de $ 720 para una
compañera de la clase. ¿Cuánto tendrán que pagar según
el número de compañeros que participen?
Número de personas
Precio Constante de proporcionalidad
1 720
2 360
3 240
Al multiplicar los valores correspondientes a las dos
magnitudes se obtiene se obtiene el mismo
producto.
159
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA E INVERSA
La regla de tres simple es una herramienta muy útil y a la vez muy fácil de usar. La utilizamos
diariamente, por ejemplo, cuando deseamos saber cuánto costarán 3 kg de naranjas, si el cartel del
mercado indica solamente cuánto cuesta 1 kg. También utilizamos regla de tres simple para calcular
cuánto costarán 10 lápices si la caja de 5 lápices cuesta $3.
Por otro lado, la regla de tres nos permite trabajar con distintas categorías o elementos, tales como
kilómetros, kilos, número de trabajadores, horas, velocidad, etc.
Entonces la regla de tres simple se utiliza para calcular magnitudes o cantidades proporcionales.
Cuando estas cantidades son directamente proporcionales, la regla de tres simple es directa. Si por el
contrario las cantidades son inversamente proporcionales, entonces, la regla de tres simple es
indirecta.
Las operaciones que se utilizan para resolver la regla de tres son muy sencillas, simplemente se
plantea una multiplicación y una división.
Lo realmente importante es saber plantear la regla de tres. A continuación veremos cómo se resuelve
la regla de tres simple directa e inversa.
Regla de tres simple directa: Una forma muy fácil de resolver una actividad de proporcionalidad
directa es un procedimiento llamado regla de tres. Consiste en aplicar de un modo práctico la
proporcionalidad, de forma que podamos hallar cualquiera de los términos de una proporción,
conociendo los otros tres.
Ejemplo:
Un perfume se mezcla a razón de 4 gotas de esencia por 12 gotas de alcohol. Cuántas gotas de
esencia se necesitan para 60 gotas de alcohol?
Esencia Alcohol
4 gotas 12 gotas
X gotas 60 gotas
Se trata de dos magnitudes directamente proporcionales, al construir la proporción se obtiene:
160
Por lo tanto se necesitan 20 gotas de esencia.
Regla de tres simple inversa: Esta se establece entre dos magnitudes inversamente proporcionales.
Para resolverla se utiliza la propiedad fundamental de las proporciones, pero se emplea el inverso de
la primera magnitud.
Ejemplo:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para
realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de
trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto, las magnitudes son inversamente
proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).
Hombres días
3 24
18 x
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo.
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes
y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente
proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá
constante.
Actividades
1. ¿Cuál es la rapidez de un tren de carga con vagones de 10 m de longitud cada uno, que pasa
junto a ti a razón de 2 vagones por segundo?
2. Un automóvil gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros,
¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
3. Si 4 personas hacen una obra en 14 días. ¿En cuántos días podrían hacer la misma obra 7
personas?
161
4. Un automóvil circulando a 90 km/h ha tardado 12 horas en realizar un viaje. ¿Cuánto tiempo
tardará en el mismo trayecto a una velocidad de 80 km/h?
5. Si 18 máquinas mueven 1200 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24 máquinas
para mover 1600 de tierra?
6. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada
uno.
7. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a
120 km/h?
8. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la
capacidad de esos toneles?
9. El volumen de un globo con helios es de 2,51 y se encuentra a una temperatura de 298 K.
¿Qué ocurriría si introducimos el globo dentro de un refrigerador a una temperatura de 273K?
¿Cuál es valor del nuevo volumen?
10. Tres grifos llenan un depósito de 10 en 5 horas. ¿Cuánto tardarán en llenar un depósito de
8 dos grifos iguales a los anteriores?
11. En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar
contendrán 5.200 gramos de sal?
12. Una guarnición tiene alimentos para 20días a 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias le
corresponderá a cada hombre si se quiere que los alimentos duren 5 días más?
13. Si los 2/5 de la capacidad de un tanque son 480 litros. ¿Cuál será la los 3/8 de la capacidad
del mismo tanque?
14. Se sabe que para pintar una pared 2 pintores tardan 60 minutos ¿Cuánto tardarán en pintar la
misma pared si se agrega un pintor más?
15. Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días.
¿Cuántos días necesitan 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la
misma obra?
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Recordar:
Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor
desconocido.
El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema
trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.
Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la
ecuación en una identidad.
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Actividades
Resuelva las siguientes ecuaciones
162
1) 2(x − 3) = 5 − (x + 1)
2) 4x − 6 = 18
3) 5x − 20 = 3x − 8
4) 32 − 4x = 8
5) x + 3(2 − x) = 8
6) 3(x − 1) = 2(5 − 2x)
7) 3(2x − 1) − (x − 1) = 0
8) 5(2 − 3x) = 5x + 1
9)
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Recuerda:
Es una función cuadrática.
La gráfica es una parábola.
La orientación de la parábola depende del signo de a:
ramas hacia arriba la función es cóncava.
ramas hacia abajo la función es convexa.
El eje de simetría viene dado por la recta
Vértices de la parábola
( )
( )
Los puntos de corte con el eje de abscisas vienen dado por las dos soluciones de la ecuación de
segundo grado:
√
Son: ( , 0) y ( , 0).
El punto de corte con el eje de ordenadas viene dado por el punto (0, c).
Ejemplo:
Sea la función
163
Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque a = 1 > 0
El eje de simetría es la recta ( )
El vértice tiene por abscisa: x = 3 y por ordenada y=
Entonces el vértice es el punto (3, −4)
Para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos:
√
√
√
{
Entonces los puntos de corte son: (5, 0) y (1, 0)
El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 5).
Actividades:
Dibuja las siguientes funciones cuadráticas:
1)
2)
3)
4)
164
