PLAN DE CONTINUIDAD PEDAGÓGICA.

Matemática – 5° año A/B.

Profesor Oscar Paes Rodriguez (5°A) / Profesora Silvina Galinelli (5°B)

Funciones polinómicas:

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde “n” es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el

coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, “a” tiene que ser diferente de cero, para que

el grado del polinomio sea “n”. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

“a” es el coeficiente principal…”h” es el termino independiente y “n” el grado del polinomio.

Por ejemplo, en el caso de la función f(x)…

Pero las funciones polinómicas también pueden estar escritas en forma factorizada:

f(x) es una función de GRADO 4

El COEFICIENTE PRINCIPAL es 10

El TÉRMINO INDEPENDIENTE es -30

4 210 5 30f x x x x

1 2 3. . . .... nf x a x x x x x x x x

Ejemplos de funciones polinómicas son:

(la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3)

(que es una función de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor

exponente el 6; o también sumando todas las potencias de los binomios)

La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función.

Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje

"x".

IMPORTANTE: Una función de grado “n” puede tener como máximo “n” intersecciones con el

eje "x".

Vamos a distinguir las funciones polinómicas con raíces simples y raíces multiples…

Funciones polinómicas con raíces simples: conocemos las funciones cuadráticas, cuyas forma

factorizada es F(x)= a.(x-x₁).(x-x₂)…. Ahora bien si a esta función la multiplico por mas binomios entonces tengo funciones polinómicas de grado mayor a dos…es decir

F(x)= a.(x-x₁).(x-x₂).(x-x₃)…. Donde x₁, x₂ y x₃ son raíces distintas y simples….

Ejemplo:

(▲▲▲)Tenemos una función polinómica de grado 6, que sus intersecciones se encuentran en x =

1, x = 2, x = -1, x = 3, x = -2 y en x = 0

Ejemplo:

(▲▲▲) La función que se nos presenta es de tercer grado, y sus intersecciones están en x = 2, x =

-1 y en x = -3.

Funciones polinómicas con raíces múltiples: Cuando tenemos la función polinómica

factorizada y alguno de sus binomios están elevados a una potencia mayor a dos decimos que

es una función polinómica con raíces múltiples.

Si el binomio esta elevado al cuadrado es una raíz doble, si esta elevado al cubo es una raíz

triple y asi sucesivamente….

Ejemplo: f(x)= (x+2).(x-1)²

2x 1x En esta raíz la función atraviesa el eje “x”

(Porque su multiplicidad es 1, ya que el paréntesis

correspondiente tiene potencia 1)

En esta raíz la función rebota en el eje “x”

(Porque su multiplicidad es 2, ya que el paréntesis

correspondiente tiene potencia 2)

Orden de multiplicidad:

Se llama orden de multiplicidad de una raíz a la cantidad de veces que la raíz se repite

como tal (eso muchas veces viene indicado por las potencias de los binomios).

Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje x (eje de

abscisas), hay que factorizar el polinomio,

f(x) = an .( x – x1). ( x – x2 ) … ( x - xn-1 ).(x - xn )

y determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

1) Si el orden de multiplicidad de la raíz es PAR, la gráfica de la función toca el

eje x pero no lo atraviesa, REBOTA.

2) Si el orden de multiplicidad de la raíz es IMPAR, la gráfica de la función atraviesa el eje

x, CORTA.

Veamos el ejercicio anterior.

Me dan una función cuya fórmula es …

…y luego me preguntan cual es el gráfico correspondiente.

(A) Bien, lo primero que hacemos es calcular la ordenada al origen:

f (0) = (0 + 1).(0 + 3).(0 – 2)2

f (0) = 1.3.4

f (0) = 12

Cambiamos la “x” por el

“0”, y hacemos la cuenta

correspondiente

Como me dio “12”, quiere decir que la

función corta al eje “y” en un valor positivo

2

1 . 3 . 2f x x x x

(B) Observando la fórmula, podemos ver cuáles son las raíces de la función…

Recuerden que para obtener las raíces solamente deben cambiar el signo de cada número que

aparece en el paréntesis.

Esas tres raíces me indican en que valores del eje “x” la función corta o rebota.

(C) Para sacar la multiplicidad de cada raíz, debemos observar el exponente de cada

paréntesis.

Resumiendo:

- La función corta al eje “y” en el número 12 (un valor positivo)

- La función toca al eje “x” en tres números: El –1, el –3 y el 2.

- Y además tenemos que…

x = –1 tiene multiplicidad 1 (y 1 es un número IMPAR) f corta al eje x

x = –3 tiene multiplicidad 1 (y 1 es un número IMPAR) f corta al eje x

x = 2 tiene multiplicidad 2 (y 2 es un número PAR) f rebota en el eje x

CON TODOS ESTOS DATOS, PODEMOS ELEGIR EL GRÁFICO CORRECTO…

2

1 . 3 . 2f x x x x

1x 3x

2x

2

1 . 3 . 2f x x x x

La raíz correspondiente a este paréntesis tendrá

multiplicidad “2”. En el caso de los otros dos

paréntesis, la multiplicidad será “1”

Recuerden que (x+5) es lo mismo que (x+5)1

Razonando como en el ejemplo anterior, te pedimos que encuentres el gráfico correspondiente a

la segunda función…

Corta al eje “y” en un valor positivo

“Rebota” en x = 2

“Corta” en x = -1 y en x = -3

ACTIVIDAD 1

Asociar cada una de las s iguientes funciones con el gráf ico que la representa

según sus raíces y la multiplicidad de las mismas.

a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2. (𝑥 + 3)2

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2. (𝑥 + 3)4

c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2. (𝑥 − 1)3

d) g𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

e) 𝑓(𝑥) = 𝑥3. (𝑥 + 3)2

f) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)3. (𝑥 − 2)2

g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2. (𝑥 − 3)2

h) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2. (𝑥 + 1)3

i) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1). (𝑥 + 2)2

j) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2. (𝑥 + 3)3

k) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2. 𝑥

l) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2. (𝑥 − 2)3

Las raíces forman lo que se denomina también Conjunto de Ceros (C0)

En este ejemplo, tenemos que: C0 = { -2 ; -1 ; 0 }

Siempre las raíces se escriben entre “llaves”. Nunca se debe escribir el C0 ni con paréntesis ni con corchetes.

MATERIAL DE APOYO:

https://youtu.be/l-t5YNyanW0

ACTIVIDAD 2 A continuación se muestran los gráf icos de 4 funciones

polinómicas….

. . .A partir de los mismos, se pide:

a) Indique el valor de todas las raíces de la función, y para cada una de ellas, s i

se trata de una raíz de orden PAR u orden IMPAR.

b) Indique el valor de la ordenada al origen; y luego defina: 0,C C y C .

P x

F x

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H x

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Resolvermos este ejercicio a modo de ayuda…

¿Dónde corta al eje Y la función?

Vemos que lo corta en y = 9. Pues bien, entonces esa es nuestra ORDENADA AL ORIGEN: y = 9

¿Y dónde toca al eje X?

Vemos que lo toca en dos valores: En x = –3 y en x = 4. Entonces decimos que la función tiene DOS RAICES: x = –3 y x = 4

¿Qué orden tienen esas raíces?

Vemos que en x = –3 la función rebota, por lo tanto esa raíz tiene ORDEN PAR.

Vemos que en x = 4 la función rebota, por lo tanto esa raíz también tiene ORDEN PAR.

Cómo tenemos las raíces, podemos definir 0C

Recuerden lo que dijimos antes, siempre se utilizan llaves: 0 3;4C

Solamente nos falta definir Cy C

Para definir esto último, se pueden ayudar pintando la región entre

la curva y el eje x.

En este caso, vemos que todo lo pintado quedó arriba del eje x, por

lo tanto decimos que la función es positiva siempre, salvo en los

puntos rojos (que son las raíces).

La función nunca es negativa.

Entonces, si miran el eje x, nos queda:

; 3 3;4 4;C

C

(Ese símbolo es el del CONJUNTO VACÍÓ, se utiliza cuando no

hay nada)

G x

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ACTIVIDAD 3 (Un poco más de práctica)

En cada gráf ico indicar el conjunto de positividad , de negatividad y ceros.

ACTIVIDAD 4

Indique cuál de las s iguientes funciones es la que está representada. Justifique la elección.

221

50. . 3 . 4f x x x x

2 241

50. . 3 . 4p x x x x

2 21

50. . 3 . 4g x x x x

221

50. . 3 . 4h x x x x

ACTIVIDAD 5

Indique cuál sería una posible fórmula para t x

5 . 5 . 2t x x x x

5 . 5 . 2t x x x x

2

5 . 5 . 2t x x x x

2

5 . 5 . 2t x x x x

-3 4

ACTIVIDAD 6

A partir del gráfico de la función p x , podemos af irmar que (marque en cada

caso la única opción correcta).

a. 2; 1C ; 2 1;2C 0;C 2; 1 2;C

b.

;0C 1;2C C ; 2 1;2C

c. 0 4p 0 4p 4 0p 4 0p

d. Una posible fórmula para p x sería…

2 . 1 . 2p x x x x 2

2 . 1 . 2p x x x x

2 . 1 . 2p x x x x 2

2 . 1 . 2p x x x x

Fecha de entrega: 24 de abril de 2020

Email: silvina.galinelli@live.com (5to.B)

Email: josue14_paes@hotmail.com (5to.A)