MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES: Mayores de 25 años.Tema 4. Funciones elementales.

Concepto de función. Dominio. Funciones lineales y cuadráticas. Funciones de proporcionalidad inversa. Funciones definidas a trozos. Composición de funciones. Función inversa o recíproca. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 4. Funciones elementales.

Concepto previo: El plano cartesiano.

El plano cartesiano está formado por dos rectas graduadas numéricamente y perpendiculares entre sí. Al eje horizontal se le denomina de eje de abscisas o eje X, en tanto que al vertical se le llama de eje de ordenadas o eje Y. El origen de coordenadas, que se denomina O, es el punto donde se cortan los dos ejes.

Las escalas en la que se miden ambos ejes pueden no coincidir.

Cualquier punto del plano cartesiano viene determinado por dos coordenadas, la abscisa "x", y la ordenada "y".

Concepto de función. Dominio.Una función es una apl icación que le hace corresponder a cada número real otro número real

Conjunto inicial Conjunto f inal

Dominio Conjunto imagen o recorrido

Dominio de una función h t t p : / / w w w . v i t u t o r . c o m / f u n / 2 / a _ 2 . h t m l

El dominio es el conjunto de elementos que t ienen imagen.

Estudio del dominio de una función

Dominio de la función pol inómica enteraEl dominio es R, cualquier número real t iene imagen.Ejemplo f(x)= x 2 - 5x + 6                        D=R

http://www.vadenumeros.es/primero/dominio-y-recorrido-de-funciones.htmSon funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones polinómicas de grado superior

Ejemplos

        

Dominio de la función racionalEl dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede exist i r un número cuyo denominador sea cero). Ejemplo

Ejemplos

        

Dominio de la función irracional de índice imparEl dominio es R.Ejemplos

1.

2.

Dominio de la función irracional de índice parEl dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Ejemplos

        

Def in ic ión de logar itmo

S iendo a l a base , x e l núme ro e y e l l oga r i tmo .

Dominio de la función logarítmicaEl dominio está formado por todos los valores que hacen que el la función contenida dentro del logar i tmo sea mayor que cero.Ejemplo

Ejemplos

Funciones lineales y cuadráticas.

Función l ineal y afínLas funciones polinómicas de primer grado, también llamadas funciones afines son aquellas cuya ecuación es del tipo f(x) = mx + n Algunas de sus características principales son:

Su dominio es todo Si m > 0, la función es creciente Su gráfica es una recta con pendiente m Si m < 0, la función es decreciente Pasa por el punto (0,n) [Punto de corte con el eje OY]

        Dentro de las funciones afines podemos distinguir dos tipos. En una función afín: f(x) = mx + n · Si m = 0, la función y = n se denomina función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX, que pasa por el punto (0,n) · Si n = 0, la función y = mx se denomina función lineal y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas (0,0)

Ejemplo y = 2x

x 0 1 2 3 4y = 2x 0 2 4 6 8

Pendientem es la pendiente de la recta.La pendiente es la incl inación de la recta con respecto al e je de abscisas.Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte posi t iva del e je OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte posi t iva del e je OX es obtuso

Función identidadf (x) = xSu gráf ica es la bisectr iz del pr imer y tercer cuadrante.

http://matefacil01.blogspot.com.es/2011/05/funcion-lineal.htmlFUNCIÓN AFÍNLa función afín se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b  llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es la altura a la que la recta corta al eje Y.Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2  g(x) = - x + 7  h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. b es la altura a la que la recta corta al eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones linealesf(x) = 3x+2        Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. 

Funciones cuadráticasLas funciones polinómicas de segundo grado, también llamadas funciones cuadráticas son aquellas cuya ecuación es del tipo:

f(x) = ax2 + bx + c con .

Algunas de sus características principales son:

Su dominio es todo El vértice de la parábola es

Su gráfica es una parábola, simétrica respecto a eje de simetría que pasa por su vértice.

Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más cerrada será la parábola.

Si a > 0 el vértice de es un mínimo absoluto. Es una función convexa (tiene forma de U)

Si a < 0 el vértice es un máximo absoluto. Es una función cóncava (tiene forma de ∩)

Representación gráfica de la parábolaPodemos construir una parábola a part i r de estos puntos:

1. Vértice

Por el vért ice pasa el e je de simetr ía de la parábola. 2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos que resolver la ecuación ax² + bx + c = 0para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:Que corte al eje X en dos puntos distintos si b² − 4ac > 0

Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) si b² − 4ac = 0

Un punto de corte: (x 1 , 0) Que no corte al eje X si b² − 4ac < 0

Ningún punto de corte

3. Punto de corte con el eje OYEn el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero, por lo que tendremos:f (0) = a·0² + b·0 +c= c   (0 ,c) Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje Y) (0, c)

Gráfica de las funciones cuadráticasLa función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3f(x) =

x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3. Se calcula la

coordenada x del vértice mediante la fórmula que se escribe a mitad de la tabla y se toman valores menores y mayores a este valor. Se calculan las imágenes de estos puntos.

x -1 0 1 2 3 4f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Representamos todos estos puntos sobre los ejes coordenados y obtenemos la parábola

Ejercicio 1: Estudia la intersección de la recta y = -x + 2 y la parábola y = x2.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

Como tenemos despejada en ambas la y resolvemos igualando ambos valoresx2 = x + 2 → x2 - x - 2 = 0. Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1 y x2 = -2.Si x1 = 1, entonces y1 = 1.Si x2 = -2, entonces y2 = 4.Por tanto, hay dos puntos de corte entre recta y parábola y tienen de coordenadas (1,1) y (-2,4), respectivamente.Se dice, entonces, que la recta y la parábola son secantes.

Ejercicio 2: Estudia la intersección de la parábola y = -x2 con la recta y = -6x + 9 .

El sistema tiene ahora una solución (3,-9).Por tanto, la recta y la parábola son tangentes.

 Ejercicio 3: Estudiar la intersección de la parábola y = -x2 y la recta y = -x + 5.

Solución: El sistema no tiene solución y, por tanto, la

recta y la parábola no tienen ningún punto de corte.

En consecuencia, las posiciones relativas de una recta y una parábola son:

según que el sistema que forman sus ecuaciones tenga dos soluciones, una o ninguna.

Funciones de proporcionalidad inversa.http://www.hiru.com/matematicas/funcion-de-proporcionalidad-inversaEn el mundo real se producen con frecuencia situaciones en las que se relacionan dos variables de manera que su producto siempre permanece constante. Así sucede, por ejemplo, cuando se pretende determinar el caudal de un grifo necesario para llenar un depósito en un cierto tiempo: al aumentar el caudal, se reduce el tiempo, y a la inversa. Estas relaciones se conocen genéricamente con el nombre de funciones de proporcionalidad inversa. Relación de proporcionalidad inversa

Se denomina relación de proporcionalidad inversa a la que se establece entre una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma que el producto de ambas es siempre igual a una constante k. Es decir: x y = k. Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real, llamada función de proporcionalidad inversa, que se escribiría genéricamente del modo siguiente:

Esta función estaría definida en todo el conjunto de los números reales excepto el punto para el cual se anula el denominador (esto es, para x = 0).

Representación gráfica Si se analiza la expresión de la función de proporcionalidad inversa, suponiendo que la constante k > 0, se advierte que: La función no está definida para x = 0. Para valores de x > 0, la función es positiva, de manera que tiende a infinito para valores muy pequeños

de x y se aproxima a cero conforme aumenta la variable independiente. Análogamente, cuando x < 0, la función toma valores negativos de manera que tiende a menos infinito

cuando x tiende a cero y se aproxima a cero cuando x tiende a menos infinito.

De todo ello se deduce que la función de proporcionalidad inversa, para k > 0, se representa a modo de una gráfica de dos ramas simétricas con respecto al origen y con respecto a la bisectriz del segundo y el cuarto cuadrantes del plano.

Representación gráfica de la función de proporcionalidad inversa para k > 0.Interpretación geométrica

La expresión de la función de proporcionalidad inversa se corresponde con la de una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

Aplicaciones de la función de proporcionalidad inversa La función de proporcionalidad inversa aparece en numerosos fenómenos físicos y sociales. Algunos casos comunes ilustrativos de la aplicación de esta función serían: La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura k constante, que

sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P V = k. En este caso, el dominio de definición se restringe a la rama positiva de la función de proporcionalidad inversa, ya que no existen volúmenes ni presiones negativos.

La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.

La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, como consecuencia de la ley de Ohm: V = I R. La intensidad y la resistencia se hallan en relación de proporcionalidad inversa.

La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.

En todas estas situaciones apuntadas, las variables en juego siguen una relación definida gráficamente por medio de una hipérbola equilátera.

Funciones definidas a trozos.Son funciones que están definidas por expresiones algebraicas distintas para determinados intervalos reales.

Ejercicio 1: Representa la función definida a trozos:

Ejercicio 2: Representa la función definida a trozos:

Solución:

Ejercicio 3: Representa la función definida a trozos:

Solución:

Ejercicio 4: Representa la función definida a trozos: f(x) = E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1

Ejercicio 5: Representa la función definida a trozos: f(x) = x − E (x)x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x − E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Composición de funciones. Función inversa o recíproca.Composición de funcionesSi tenemos dos funciones: f (x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté inclu ido en el recorr ido de la 1ª, se puede def in ir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) e l valor de g[f(x) ] .

(g o f) (x) = g [ f (x) ] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Ejemplos

1 Sean las funciones:

1 Calcula ( f o g) (x)

2 Calcula (g o f) (x)

2 Calcula ( f o g) (x) (g o f) (x)

1

2

3

1

2

Función inversa o reciprocaSe l lama función inversa o reciproca de f a otra función f − 1 que cumple que:Si f (a) = b, entonces f − 1 (b) = a.

Podemos observar que:El dominio de f − 1 es el recorr ido de f .El recorr ido de f− 1 es el dominio de f .Si queremos hal lar e l recorr ido de una función tenemos que hal lar e l dominio de su función inversa.Si dos funciones son inversas su composición es la función ident idad .( f o f− 1 ) (x) = ( f− 1 o f ) (x ) = x

Las gráf icas de f y f - 1 son simétr icas respecto de la bisectr iz del pr imer y tercer cuadrante

Hay que dist inguir entre la función inversa, f− 1 (x) , y la inversa de una función,

.Son funciones distintas

Cálculo de la función inversa1. Se escr ibe la ecuación de la función con x e y.2. Se despeja la var iable x en función de la var iable y.3. Se intercambian las var iables.

Ejemplos Calcula la función inversa de:

1.

Vamos a comprobar el resul tado para x = 2

2.

3.

Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Función seno

f (x) = sen x

Dominio :

Re cor r i do : [−1 , 1 ]

Per íodo :

Cont inu idad : Con t inua en

Impar : sen (−x) = −sen x

Función coseno

f (x) = cos x

Domin io :

Re co r r i do : [−1 , 1 ]

Per íodo :

Cont inu idad : Con t inua en

Pa r : cos (−x) = cos x

Función tangente f (x) = tg x

Domin io :

Re co r r i do :

Cont inu idad : Con t inua en

Per íodo :

Impar : t g ( −x) = −tg x

Función exponencialLlamamos función exponencial a la que tiene por expresión analítica y=ax, siendo a un número real positivo distinto de 1. Son funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Son funciones positivas que pasan por los puntos (0,1) y (1,a). Si a>1, son funciones crecientes en todo su dominio. Para valores de x muy grandes pero negativos, f(x) toma valores próximos a cero. Para valores de x muy grandes, f(x) toma valores también muy grandes.

Cuanto mayor sea el valor de a, más rápido crecen estas funciones. Si 0<a<1, son funciones decrecientes en todo su dominio. Para valores de x muy grandes pero negativos, f(x) toma valores muy grandes. Para valores de x muy grandes, f(x) toma valores próximos a cero. Cuanto menor sea el valor de a, más rápido decrecen estas funciones.

Función logaritmo

Al ser f y g funciones inversas, sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. Para dibujar y=logx intercambiamos los valores de la x y de la y respecto de la gráfica de y=10x.