Pitagoras
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Matemáticas Profr. Rafael Torres Rizo a 2 + b 2 = c 2
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MatemáticasProfr. Rafael Torres Rizo
a2 + b2 = c2
Pitágoras Nació en 572 a. de c.
aproximadamente. En la
isla de Samos, una de las
islas del mar Egeo, cerca
de la ciudad de Mileto,
donde nació Tales.
Es muy probable que haya
sido alumno de este
último.
Teorema
Proposición científica demostrable.
Teorema de Pitágoras
Es uno de los Teoremas más conocidos
del mundo y uno de los más estudiados.
Expresa la relacion
a2 + b2 = c2
Triángulos rectángulos
Los catetos
son perpendiculares
Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto.
Catetos
C B
A
a
cb
Ángulo recto Hipotenusa
C B
A
a
cb
Triángulos rectángulos: propiedades
Dos propiedades de interés:
Primera
En un triángulo
rectángulo la suma de los
ángulos agudos vale 90º
C B
A
a
cb
By A son complementarios
90ºBA
Segunda
La altura sobre el lado desigual
de un triángulo isósceles lo
divide en dos triángulos
rectángulos iguales.
M
A
B C
BM = MCLos triángulos
ABM y AMC
son iguales
CB
Teorema de Pitágoras: idea intuitiva
Área = b2
Área = a2
Área = c2el área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa
c2 = a2 + b2
a la suma de las áreas de los
cuadrados
construidos sobre los catetos
En un triángulo rectángulo:
ac
b
es igual
Teorema de Pitágoras: segunda comprobación
Consideramos un cuadrado de 7 cm de lado. Su área será 49 cm2
Cuatro triángulos
rectángulos de
catetos 3 y 4 cm.
Cuyas áreas valen
6 cm2 cada uno.
Observa que en ese
cuadrado caben:
Además cabe un
cuadrado de lado c,
cuya superficie es c2.
Se tiene pues:
49 = 4·6 + c2
c2 = 49 - 24 = 25
c2 = 25 = 52
25 = 9 + 16
Por tanto, 52 = 32 + 42
4
3
7
c2
25 cm2
6 cm2
c
Teorema de Pitágoras: ejercicio primero
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm,
calcula la hipotenusa.
5
12
c?
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la
raíz cuadrada
Teorema de Pitágoras: ejercicio segundo
En un triángulo rectángulo un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.
Calcula el valor del otro cateto.
6
a?
10
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
a2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64
a = 8 cm
a2 = c2 - b2
Luego:
Haciendo la raíz cuadrada:
Reconociendo triángulos rectángulosUn carpintero ha construido un marco de ventana. Sus dimensiones son 60
cm de ancho y 80 de largo.
Como los lados de la ventana y
la diagonal deben formar un
triángulo rectángulo, tiene que
cumplirse que:
a2 + b2 = c2
Pero 602 + 802 = 3600 + 6400 = 10000 La ventana está
mal construida
¿Estará bien construido si la
diagonal mide 102 cm?
a
b
c
Mientras que 1022 = 10404Son distintos
80 cm
60 c
m
Cálculo de la diagonal de un rectángulo
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 6 y 8
cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales 8 cm, y el otro 6 cm.
La altura es un cateto
de un triángulo
rectángulo cuyo
hipotenusa miden 8
cm y el otro cateto 3
cm.
Luego, 64 = 9 + h2
¿Cuánto mide su altura?
6
8 Cumplirá que: 82 = 32 + h2
Como se sabe, la altura
es perpendicular a la base y
la divide en dos partes
iguales
h
3 3
h2 = 55
4,755h
8
