Libro. pitagoras

TABLA DE CONTENIDOS LA GEOMETRA DEL TAXISTA. ___________________________________________________ 3 __________________________________ 7

UNIDAD DIDCTICA. EL TEOREMA DE PITGORAS.

Introduccin...................................................................................................................................7 Objetivos didcticos........................................................................................................................8 Contenido........................................................................................................................................8 Pitgoras y los Pitagricos.........................................................................................................8 Conocimientos Previos. Concepto de rea............................................................................103.2.1. Concepto de rea y Propiedades Bsicas..................................................................................................10 3.2.2. reas de algunas figuras geomtricas........................................................................................................11

Teorema de Pitgoras. Enunciado y Demostraciones...........................................................12 Aplicaciones prcticas del teorema de Pitgoras en las Matemticas.................................15 Aplicaciones prcticas del teorema de Pitgoras en otros campos......................................17 3.6. Recproco del teorema de Pitgoras...............................................................................18 3.7. Cuadrados mgicos pitagricos.......................................................................................19 3.8. Aplicacin a las races cuadradas....................................................................................19 3.9. Ejercicios para el alumno.................................................................................................20 Metodologa..................................................................................................................................20 Materiales.....................................................................................................................................21 Evaluacin....................................................................................................................................21 Bibliografa...................................................................................................................................22

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Aventuras en Geometra

La Geometra del Taxista

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LA

GEOMETRA DEL TAXISTA.

Como ejercicio sobre este tema del curso proponemos aqu el modelo de una geometra no eucldea distinta de la hiperblica. En esta geometra se verifican todos los axiomas que hemos expuesto en la seccin anterior menos uno. De este modo se est dando una demostracin de la independencia de dicho axioma. Los puntos del plano sern los puntos del plano 2 . Las rectas son las rectas eucldeas y la medida de ngulos en la medida de ngulos eucldea. Sin embargo la forma de medir distancias es diferente y viene dada por la siguiente frmula: Sean P=(a,b) y P'=(a',b'), definimos d(P,P')=a-a'+b-b'. Esta forma de medir distancias sera la utilizada por un taxista que trabajara en una ciudad cuyas calles forman una cuadrcula de rectas. A partir de la determinacin de la distancia y medida de ngulos, la definicin de puntos y rectas, se pueden definir todos los dems trminos: congruencia, paralelismo, etc. Obsrvese que dado que las rectas y puntos coinciden con los eucldeos, el quinto axioma de los Elementos es evidente. El Ejercicio que proponemos es que encuentre el axioma de la geometra eucldea que no verifica este modelo y por qu._SOLUCIN_

Durante la solucin de este problema propuesto, vamos a ver que el axioma que no se verifica para la geometra del taxista es el Axioma 11, que dice as: (A11) (Criterio lado-ngulo-lado de congruencia de tringulos). Si en una

correspondencia entre dos tringulos, dos de los lados de un tringulo son congruentes con los lados correspondientes del otro, y el ngulo formado por dichos lados es tambin congruente con el ngulo correspondiente, entonces la correspondencia dada define una congruencia entre los dos tringulos.

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Para demostrar que este es el axioma que falla para esta geometra, y que adems los dems s que funcionan, vamos a analizar los axiomas uno a uno. Como en la geometra del taxista las rectas y la medida de los ngulos, estn definidas de la misma forma que en la geometra eucldea, est claro que los axiomas (A1), (A2) y (A3) funcionan. Con respecto al axioma (A4) la definicin de distancia para la geometra del taxista cumple claramente los tres requisitos que se le piden en este axioma. El axioma (A5) tambin es claro que se cumple, pues fijando un punto cualquiera en una recta como origen y calculando la distancia de los dems puntos de la recta a este origen, se puede definir fcilmente una funcin biyectiva como la que piden. (Sera distinta a la que se define para la geometra eucldea, pero esto no es un problema). Los axiomas (A6), (A7), (A8), (A9) y (A10), se verifican claramente ya que tanto los ngulos como las rectas coinciden con las de la geometra eucldea. El axioma (A12) se verifica tambin por la misma razn que los anteriores. Veamos ahora que es el axioma (A11) el que no se verifica, para ello voy a dar dos tringulos tales que: dos de los lados de un tringulo son congruentes (esto es tienen la misma medida) que dos del otro tringulo, y el ngulo que forman estos dos lados es congruente con el ngulo formado por los dos lados correspondientes en el otro tringulo. No obstante, veremos que el tercer lado del primer tringulo no es congruente con el tercer lado del otro tringulo, y por tanto los tringulos no son congruentes. Defino el primer tringulo a partir de los vrtices: P=(0,0), Q=(3,0), R=(0,1). Defino el segundo tringulo a partir de los vrtices: P'=(2,2), Q'=(4,3), R'=(5 8 , ). 3 3

Calculamos las distancias de los lados en el tringulo PQR: d(P,Q)=3-0+0-0=3 d(P,R)=0-0+1-0=1 d(Q,R)=0-3+1-0=4 Calculamos ahora las distancias de los lados del tringulo P'Q'R': d(P',Q')=4-2+3-2=3 que coincide con d(P,Q). d(P',R')=5 8 -2+ -2=1 con lo que coincide con d(P,R). 3 3

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d(Q',R')=

5 8 8 -4+ -3= que no coincide con el valor de d(Q,R)=4. 3 3 3

Calculamos los ngulos RPQ y R'P'Q' para ver si coinciden: Evidentemente el ngulo RPQ es 90, y viendo las coordenadas de los vectoresP ' R ' que son: P ' Q ' =(2,1) y P ' R ' =(P' Q'

y

1 2 1 , )= .(-1,2), se ve claro que estos 3 3 3

dos vectores forman un ngulo de 90 grados. As que hemos encontrado dos tringulos PQR y P'Q'R' de manera que d(P,Q)=d(P',Q'), d(P,R)=d(P',R'), y tal que el ngulo RPQ coincide con el ngulo R'P'Q', luego cumplen las hiptesis del axioma (A11). No obstante, como hemos visto que d(Q,R) d ( Q ' ,R' ) , entonces los dos tringulos no pueden ser congruentes. En conclusin, para la geometra del taxista no se verifica el axioma (A11) del plano eucldeo.

Q R

P R P

Q

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El Teorema de Pitgoras


EL TEOREMAINTRODUCCIN.

DE

PITGORAS

Quera empezar comentando el motivo por el cual decido realizar una unidad didctica alrededor del Teorema de Pitgoras. Es indudable el uso que dentro y fuera de las matemticas se puede, y de hecho, se realiza del teorema de Pitgoras. Dentro de la geometra podemos decir que es el teorema ms usado, tanto desde el punto de vista terico, como del punto de vista prctico como herramienta para calcular ngulos, reas, distancias, y un largo etctera. Tambin me gustara sealar que dentro de la educacin secundaria, la geometra tiene un papel importante, y por tanto el teorema de Pitgoras no es slo conocido sino tambin usando ampliamente por los alumnos. Para introducir esta unidad didctica, comentar mi deseo de abordarla haciendo uso de un formato formal en el cual entra el comentario de los objetivos, contenido, metodologa, materiales y por ltimo evaluacin. Dentro del contenido expondr un comentario y biografa de Pitgoras y el pitagorismo, adems de un pequeo repaso al clculo de reas, el enunciado del teorema de Pitgoras, tambin incluir ms de una demostracin del mismo, algunas aplicaciones dentro y fuera de las matemticas, etc. Los dems puntos de esta unidad didctica los orientar en vista a alumnos de educacin secundaria. Tambin quiero comentar que el tema de este trabajo no es en s muy original, est claro que los trabajos acerca del teorema de Pitgoras son innumerables, y sin llegar ms lejos en el texto de este mismo curso, Aventuras en Geometra, ya existe un trabajo dedicado a este mismo tema. No obstante, aunque se den estos puntos negativos para la realizacin de esta unidad didctica, dir a su favor que son innumerables los matemticos que han dedicado su esfuerzo y su tiempo a escribir acerca de este tema, y quizs piense que esta es una buena oportunidad para poner mi granito de arena.

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OBJETIVOSmismo.

DIDCTICOS.

1.- Conocer el Teorema de Pitgoras, tanto el enunciado como alguna demostracin del 2.- Hacer que los alumnos sean capaces de reconocer aquellas aplicaciones que tiene el teorema de Pitgoras, y sepan aplicarlo correctamente dentro y fuera del aula. 3.- Fomentar en el alumnado un inters claro hacia la geometra y ms concretamente hacia el teorema de Pitgoras con sus posibles aplicaciones.

CONTENIDO. Pitgoras y los Pitagricos.EL PITAGORISMO

El nacimiento y la permanencia del pitagorismo es uno de los fenmenos ms interesantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general. Surgi, se desarroll y expandi como un modo de vida religioso. Tenan una visin del universo como un cosmos (es decir, un todo ordenado y de acuerdo a leyes asequibles a la razn humana), en contraposicin al pensamiento de la poca que vean al universo como un caos. El impulso religioso del pitagorismo conduca a la bsqueda y contemplacin de la armona intelectual implantada en este universo como paradigma de conducta humana y como camino y mtodo de evaluacin espiritual, en bsqueda de las races y fuentes de la naturaleza. Nuestra cultura actual, impregnada por el espritu cientfico, fue transmitida en sus lneas generales a travs de los siglos desde las mismas races pitagricas. Pero el mundo del siglo VI a. de C. en el que vivi Pitgoras era muy distinto. Las invasiones persas aproximaron a los griegos las milenarias culturas orientales con su abigarrado espritu religioso y su actitud mstica y contemplativa. El espritu religioso oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia la comunin con lo divino a travs de la contemplacin racional del universo, sino ms bien mediante la negacin de la bsqueda misma de la razn, hacia formas de comunicacin en zonas ms internas del espritu. No obstante, junto con esta vena mstica del espritu, la cultura oriental haba realizado admirables conquistas de la razn, plasmadas, por ejemplo, en los desarrollos astronmicos y aritmticos de los babilonios ms de un milenio antes de que Pitgoras naciese. El fuerte desarrollo del pitagorismo fue quizs el acierto de Pitgoras para unificar ambas tendencias, racional y contemplativo-religiosa, al dar forma a lo que lleg a ser mucho ms que una escuela de pensamiento, una forma de vida.Pgina 8



PITGORAS

La figura de Pitgoras nos aparece coloreada y fuertemente fabulada por quienes nos han ofrecido biografas de l, as lo hicieron Digenes Laercio y Porfirio, del siglo III d. de C., Imblico, del siglo IV. Incluso en el siglo V a. de C. Herodoto presenta un Pitgoras mtico, medio hroe, medio dios. Tambin Aristteles dibuja un Pitgoras en los fragmentos que se conservan entre las brumas de la leyenda. Lo que sobre la vida de Pitgoras se sabe con relativa seguridad es lo siguiente. Naci en la isla de Samos, junto a Mileto, en la primera mitad del siglo VI. Hijo de Menesarco, quizs un rico comerciante de Samos. Seguramente viaj a Egipto, Fenicia y Babilonia. Volvi a Samos durante la dictadura de Policrates (538-522). Hacia 529 viaj al sur de Italia y fund en Crotona la fraternidad pitagrica. Muri muy anciano en Metaponto. Se discute algunos datos de su vida como son. Ao de nacimiento (600? Eratstenes, 570? Aristoxeno). Cronologa de sus viajes. Qu sucedi con l cuando los pitagricos fueron expulsados de Crotona en 509. Si muri violentamente o no en Metaponto. Se distinguen tres etapas en su vida: la primera en el mundo griego, la segunda de viajes a Babilonia y Egipto y la tercera en la Magna Grecia (Sur de Italia), con un intermedio en Samos entre la segunda y la tercera etapa. Imblico cuenta que Pitgoras visit a Tales en Mileto, lo que coincide cronolgicamente y geogrficamente por la proximidad de Samos y Mileto. Tambin pudo conocer all al filsofo Anaximandro. Segn tradiciones, al volver Pitgoras a Samos se le pidi que ensease sus ideas a sus propios conciudadanos. Al parecer les result muy abstracto y tuvo poco xito. Esto, junto con la opresin de Policrates, le debi conducir a la decisin de emigrar. En 529 Pitgoras se traslada a Crotona, a donde lleg con un sistema de pensamiento ms o menos perfilado despus de su larga experiencia por Oriente y Egipto. La ciudad le pidi que expusiera sus ideas y, segn la tradicin, Pitgoras dirigi por separado cuatro grandes discursos a los jvenes, al Senado, a las mujeres y a los nios. Al parecer el contenido de estos cuatro discursos estn llenos de recomendaciones morales de gran perfeccin, derivadasPgina 9



fundamentalmente de la necesidad de ajustar la conducta humana a los cnones de armona y justeza que se derivan de la naturaleza misma de las cosas e ilustradas con elementos especficos de la mitologa de los habitantes de Crotona. Como consecuencia de este primer contacto surgi, no slo en Crotona, sino en toda Italia un gran entusiasmo por Pitgoras.

Conocimientos Previos. Concepto de rea.Considero de inters que los alumnos conozcan bien los conceptos de rea de una figura plana, y algunas propiedades bsicas. El motivo es entre otras razones para el buen entendimiento de la primera y segunda demostracin del teorema de Pitgoras que expongo en esta unidad didctica.

3.2.1. Concepto de rea y Propiedades Bsicas.DEFINICIN DE REA.

Podemos considerar como una definicin de rea, a aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geomtrica (tomando que esta figura sea cerrada).PROPIEDADES BSICAS DEL REA DE UNA FIGURA.

El rea de una figura geomtrica no vara, cuando sobre la figura realizamos acciones tales como cortar y pegar. Gracias a esta propiedad del rea se calculan infinidad de reas de figuras, como por ejemplo el rea del paralelogramo.

Si a una figura le quitamos una porcin de rea conocida, entonces el rea de la figura resultante ser el rea de la figura inicial menos el rea de la porcin quitada. As conociendo el rea de un tringulo y la de un rectngulo, podemos calcular el rea de un trapecio.

La propiedad anterior tambin se verifica, si envs de quitar una porcin se la aades. As si a una figura de rea conocida, le aades una porcin de rea tambin conocida, el rea de la figura resultante ser la suma de las reas.

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3.2.2. reas de algunas figuras geomtricas. rea del rectngulo.h b

Usando la definicin de rea dada anteriormente, el rea del rectngulo como cantidad de superficie encerrada en muy fcil de calculas, ya que es obvio que la cantidad de superficie es el producto de la anchura por la altura. As pues podemos decir con toda seguridad que A=b.h. rea del paralelogramo.h b h bFig. 2 Fig. 1

Para calcular el rea del paralelogramo (que es aquel cuadriltero que tiene sus lados opuestos paralelos) usamos la primera propiedad de las reas. As lo que hacemos es: partiendo de un rectngulo, cortamos un tringulo de la parte izquierda y se lo aadimos en la parte derecha del rectngulo, quedndome el paralelogramo que buscbamos. As pues el rea del paralelogramo es A=b.h. rea del tringulo.h b h bFig. 2 Fig. 1

Es fcil observar que con dos tringulos iguales, podemos colocarlos de manera inteligente de forma que conseguiramos un paralelogramo (Fig. 2). Como sabemos el rea del

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paralelogramo, y tenemos que el rea de dos tringulos iguales es el rea de ese paralelogramo, concluimos que el rea del tringulo es A=b.h . 2

rea del trapecio.b h B b h B bFig. 2 Fig. 1

B

Al igual que hemos hecho para conseguir el rea del tringulo, con el trapecio nos ocurre igual, es decir, podemos colocar dos trapecios iguales de manera inteligente de forma que conseguimos un paralelogramo, en este caso de base B+b y de altera h. As pues el rea del trapecio es A=B +b .h . 2

Teorema de Pitgoras. Enunciado y Demostraciones.TEOREMA DE PITGORAS.

Dado un tringulo recto (es decir, un tringulo donde alguno de sus ngulos es de 90), donde a y b son las medidas de los catetos (lados contiguos al vrtice de 90), y h es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al vrtice de 90). Entonces se verifica que h 2 =a 2 +b 2 .a b DEMOSTRACIN 1 h

Aqu expongo una de las demostraciones ms sencillas y fciles de entender que existen sobre este teorema. Los conceptos y propiedades que se usan para esta demostracin son tan coloquiales que hacen de esta demostracin la preferida por cualquier alumno. Adems es una demostracin fcilmente realizable recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados adecuadamente, y as hacer que los alumnos observen la veracidad de esta propiedad.

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b a h

a

b

h

b

b

2

b

hb h

2

h a b

a

a

aa

2

Como podemos observar los dos cuadrados expuestos en la figura tienen las mismas dimensiones (a+b) (a+b) as que tambin tienen la misma rea (a+b) 2 . Si a estos dos cuadrados les quitamos la misma porcin de rea, las figuras resultantes tambin tendrn la misma rea. As en el primer cuadrado hemos sombreado la parte que le vamos a quitar, que son cuatro tringulos iguales, y se ve claramente que el rea resultante es h 2 , ya que la figura que nos ha quedado es un cuadrado de lado h. Para el segundo cuadrado tambin hemos quitado los cuatro tringulos iguales, no obstante ahora los hemos quitado en una distribucin distinta, y nos ha quedado dos cuadrados uno de lado a y otro de lado b, as que el rea de la figura resultante es a 2 +b 2 . Ahora haciendo uso de la segunda propiedad de las reas, tenemos que h 2 =a 2 +b 2 .DEMOSTRACIN 2

Ahora vamos a realizar una demostracin del teorema de Pitgoras haciendo uso de un puzzle de seis piezas. As las piezas que vamos a usar son, el tringulo rectngulo, los cuadrados de lado a, b y h, un paralelogramo de lados el cateto menor a y la hipotenusa h, y por ltimo otro paralelogramo de lados el cateto mayor b y la hipotenusa. As las piezas son:

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Es fcilmente comprobable que el rea de los paralelogramos son a 2 para el menor y b 2 para el mayor. Para probar este resultado veamos las dos figuras siguientes:

Se ve claramente como la altura del paralelogramo menor es a, y que la altura del paralelogramo mayor es b, as pues como el rea de un paralelogramo es base por altura, tenemos que estos paralelogramos tienen reas a 2 y b 2 respectivamente. Ahora vamos a ver con la siguiente figura como el rea del cuadrado de lado h coincide con la suma de las reas de los paralelogramos.

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Como podemos observar es esta figura la colocacin estratgica de los dos paralelogramos, hacen visible que la suma de sus reas coincide con el rea del cuadrado de lado h. As pues tenemos el resultado del teorema de Pitgoras, es decir, h 2 =a 2 +b 2 .DEMOSTRACIN 3

Me gustara incluir una demostracin del teorema de Pitgoras haciendo uso exclusivo de mecanismos algebraicos. Para ello expondr el teorema del cateto, aunque no lo demostrar. A

B

H

C

Teorema del cateto: Sea ABC un tringulo rectngulo sobre su vrtice A. Sea H la proyeccin (ortogonal) del vrtice A sobre el lado BC. Entonces se verifica que: a) AB 2 =BH.BC b) AC 2 =CH.BC A partir de este resultado, la demostracin del teorema de Pitgoras no es ms que un simple clculo. AB 2 +AC 2 =BC.(BH+CH)=BC.BC=BC 2 .

Aplicaciones Matemticas.

prcticas

del

teorema

de

Pitgoras

en

las

Como ya coment en la introduccin, las aplicaciones prcticas del teorema de Pitgoras en las Matemticas son innumerables, sobretodo en el campo de la geometra. Mediante este teorema se pueden calcular reas tanto de figuras regulares como son los polgonos regulares, hasta reas de figuras irregulares (siempre que no sean curvas). Sera imposible la resolucin de tringulos rectngulos sin el conocimiento de esta propiedad. En este apartado me gustara exponer dos aplicaciones del teorema de Pitgoras en la geometra, como es la definicin de las funciones trigonomtricas y el clculo de reas de polgonos regulares.

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DEFINICIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Una de las aplicaciones del teorema de Pitgoras ms importantes es la definicin de las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente de un ngulo. Aunque estas tambin pueden ser definidas a partir de la circunferencia unidad, es mediante el teorema de Pitgoras cuando estas cogen ms sentido y utilidad. Al verificarse que h 2 =a 2 +b 2 tenemos que (a,b) son las coordenadas cartesianas de un punto perteneciente a una circunferencia centrada en (0,0) y de radio h.

a

h

bAs si tenemos un tringulo rectngulo como el dibujado arriba, se cumple que: sen( )= a h sen( )= b h cos( )= b h cos( )= a h tan( )= a b tan( )= b a

No es coincidencia la relacin que existen entre las razones trigonomtricas del ngulo y del ngulo , ya que en un tringulo rectngulo la suma de los ngulos agudos es 90, as que

y son ngulos complementarios.La resolucin de tringulos rectngulos se hace muy fcil haciendo uso del teorema de Pitgoras acompaado de las razones trigonomtricas de los ngulos.

REAS DE POLIGONOS REGULARES

Consideremos un polgono regular de n lados, donde la medida de cada lado es l. Para calcular el rea del polgono podemos hacer uso del siguiente procedimiento: 1. Unimos el centro del polgono con sus distintos vrtices, de manera que conseguimos n tringulos iguales. Estos tringulos son issceles, ya que la distancia del centro a los vrtices son iguales (por ser el polgono regular). 2. La bisectriz del centro del polgono nos dividir el tringulo en dos tringulos rectngulos

e iguales, donde uno de los catetos mide l , y la medida de un ngulo que es ya que

2

n

es la mitad del ngulo que forma el centro.Pgina 16



3. Haciendo uso de la propiedad de Pitgoras y sabiendo que la hipotenusa mide

l 2. sen( ) n

, podemos calcular la medida del lado que nos falta, que denominaremos d.n.d .l l 2 .n , que realizando todos los clculos es 2 2

4. El rea del polgono ser entonces .cotg(

n ).

Aplicaciones prcticas del teorema de Pitgoras en otros campos.Aunque las aplicaciones que voy a exponer a continuacin tienen una forma matemtica, quisiera especificar que son aplicaciones prcticas muy tiles en campos tan dispares como la astronoma, la topografa, etc. El uso del teorema de Pitgoras y las razones trigonomtricas de un tringulo rectngulo hacen posible el clculo aproximado de distancias de objetos en el espacio, la altura de una montaa, etc.DISTANCIA DE OBJETOS EN EL ESPACIO

Como podemos observar en esta figura podemos calcular la distancia de un objeto en el espacio, haciendo uso de las propiedades sobre tringulos. Aunque no se ve muy obvio el uso del teorema de Pitgoras en este problema, hay que decir que prcticamente en cualquier problema de tringulos que queramos resolver aparece la propiedad pitagrica.

El clculo de la distancia se hace a partir de los datos: ngulo que forman los observatorios con el otro observatorio y con el objeto, y la distancia que hay entre los dos observatorios. A partir de estos datos, el problema es resoluble usando las propiedades de tringulos.

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ALTURA DE UNA MONTAA O CUALQUIER OBJETO

d

Es muy fcil el clculo de la altura de una montaa o cualquier objeto a partir de tringulos rectngulos, aunque desconozcamos la distancia que hay hasta la base de la montaa. Los datos que necesitamos son dos ngulos que forme el pico de la montaa con el suelo a distintas distancias de la montaa, tambin necesitamos la distancia que se ha recorrido entre las dos mediciones de los ngulos. A partir de los ngulos y y conociendo la distancia d podemos calcular la altura a la que est el objeto.

3.6. Recproco del teorema de Pitgoras.Al igual que el teorema de Pitgoras es importante, el recproco de este teorema tambin es razn de estudio de muchos matemticos. Esencialmente el recproco del teorema de Pitgoras dice que si tenemos tres segmentos de forma que sus medidas cumplen a 2 +b 2 =h 2 , entonces el tringulo formado a partir de esos segmentos es un tringulo rectngulo. Ha sido muy estudiado por distintas civilizaciones (egipcia, babilnica, hind, ...) la bsqueda de ternas pitagricas, que son ternas de nmeros que verifican la propiedad pitagrica. As los egipcios conocan la terna 3, 4, 5, y a partir de ella podan construir tringulos rectngulos de cualquier medida (aunque la razn entre sus catetos es fija). Tomando por la unidad la medida que veamos oportuna podemos construir un tringulo rectngulo de lados 3, 4, 5 veces la unidad. Esto tambin es un problema experimental que se le puede asignar a alumnos de los primeros cursos de secundaria y as observar el resultado.

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Tambin podemos comentar de este recproco de la propiedad pitagrica, que si construimos una semicircunferencia y unimos los dos puntos de la semicircunferencia que tocan al dimetro con otro punto cualquiera de la semicircunferencia, tenemos por resultado un tringulo rectngulo. Este resultado es fcilmente comprobable a partir de la ecuacin a 2 +b 2 =h 2 que nos indica que (a,b) es un punto de la circunferencia de centro (0,0) y radio h.

3.7. Cuadrados mgicos pitagricos.Para la construccin de un cuadrado mgico pitagrico, basta con dibujar un tringulo rectngulo junto con los cuadrados correspondientes a sus catetos e hipotenusa, cuadriculando estos cuadrados en casillas iguales a la unidad. Dentro de estas cuadriculas colocamos nmeros que se relacionen verificando una cierta propiedad preestablecida. Como ejemplo podemos estudiar uno de los cinco cuadrados mgicos que construye Loomis (1968): 1.- En el cuadrado A, la suma de cualquier fila, columna o diagonal es 125; en el cuadrado B es 46 y en el C es 147. 2.- La suma de todos los nmeros de B ms los de C nos da la suma de los nmero de A. Podemos pedirle a los alumnos que construyan cuadrado mgicos como en este ejemplo, o que estudien las propiedades de otros cuadrados mgicos de Loomis.

3.8. Aplicacin a las races cuadradas.Una aplicacin ms de la propiedad pitagrica es al querer trasladar races cuadradas sobre la recta real. Si construimos un cuadrado de lado la unidad, la diagonal medir sobre el rectngulo de ancho2 y de altura la unidad, su diagonal medir2

que podemos

trasladar a la recta real sin ms que usar el comps. Usando otra vez la propiedad pero ahora3

. Reiterando el

proceso indefinidamente podemos colocar sobre la recta real cualquier raz cuadrada. Vase la siguiente figura para mayor comprensin:

2

3

4 = 2

5

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3.9. Ejercicios para el alumno.En esta pequea lista de ejercicios no he querido incluir problemas tpicos como es calcular la medida un lado de un tringulo rectngulo conociendo las medidas de los dos lados que faltan. Aunque con ese tipo de problemas es con los que hay que empezar a trabajar con los alumnos, prefiero exponer problemas que aun siendo sencillos requieran un poco ms de dedicacin. 1.- Calcula la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm. Tambin se pide el rea del cuadrado. 2.- Calcular la medida de la diagonal de un rectngulo con lados 3 y 4 centmetros respectivamente. 3.- Calcular la altura de un tringulo equiltero de 5 cm de lado. 4.- Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero. Si se desea que el punto de enganche del cable est a una distancia de 4 m de la base de la antena. Cuntos metros de cable se necesitarn?. 5.- Un explorador requiere conocer la altura de una montaa que se encuentra a una distancia indeterminada de l. Para ello mide el ngulo que forma el suelo con el pico de la montaa resultando ser de 60, avanza en direccin a la montaa 25 metros y hace otra medicin del ngulo que forma el suelo con el pico de la montaa, dndole esta vez 75. Se pide el clculo de la altura de la montaa, y de la distancia a la que se encuentra la base de la montaa respecto al segundo lugar donde se realiz la medida del ngulo.

METODOLOGA.Como orientacin metodolgica importante hay que tener en cuenta que el teorema de Pitgoras es el primer resultado terico que debe aprender el alumno cuando se enfrenta al estudio de los tringulos. Es por ello que es un nuevo concepto para el alumno y por tanto hay que hacer mucho hincapi en la buena comprensin del teorema. Es muy til el uso de cartulinas y tijeras para que el alumno realice la primera demostracin del teorema que he expuesto en esta unidad didctica. No hay que negar la importancia que pueda tener el conocimiento de las otras dos demostraciones del teorema que he expuesto, sobretodo la demostracin 3 en la que con una buena introduccin del teorema del cateto (para ello el alumno debe conocer el teorema de Thales), la demostracin del teorema de Pitgoras queda muy sencilla e intuitiva. Sin embargo,

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son los las demostraciones grficas con las que el alumno adquiera mayor comprensin del resultado. No hay que olvidar para el uso de una buena metodologa de enseanza-aprendizaje que aqu los importantes son los alumnos, as que es de mxima importancia conocer bien el grupo ya que ste ha de determinar el mejor camino hacia la buena comprensin de los conceptos.

MATERIALES.Es muy importante el uso de todos los materiales que podamos incluir para poder facilitar el proceso de enseanza-aprendizaje, as a parte de los materiales ms comunes como son la pizarra, el libro de texto y el buen uso de la palabra, para este tema en concreto podemos aadir materiales como cartulinas y tijeras. Con cartulinas donde indiquen donde se ha de cortar y la tijeras, es muy fcil hacer ms comprensible las dos primeras demostraciones del teorema de Pitgoras, adems del concepto de rea que he incluido como conocimientos previos. El alumno ver por s mismo como al recortar las cartulinas y colocarlas de manera estratgica las reas de las figuras coinciden y por tanto se verifican los resultados que queremos demostrar. Adems el uso de materiales distintos a los comnmente usados provocan por parte del alumnado un mayor inters, y hace de la explicacin del tema un trabajo ameno y efectivo.

EVALUACIN.Aunque con la LOGSE queda claro que la evaluacin no slo se debe realizar al alumnado, sino que tambin al profesor y al proyecto de enseanza-aprendizaje, en este apartado nicamente nombrar los puntos de evaluacin para los alumnos. Los puntos ms impotantes de evaluacin de los alumnos son: 1. Conocer, comprender y saber hacer uso del concepto de rea, sus propiedades bsicas. Adems de conocer las reas de las figuras ms comunes. 2. Reconocer los tringulos rectngulos del resto. 3. Conocer el enunciado y demostraciones del teorema de Pitgoras. Adems de comprender y saber usar la propiedad pitagrica. 4. Conocer alguna aplicacin prctica del teorema de Pitgoras.Pgina 21



A parte de estos puntos, el profesor debe evaluar el trabajo diario de los alumnos, adems de incentivar y reconocer el trabajo de stos, aunque sus resultados no sean los ms indicados. Aunque en este apartado no incluya la evaluacin del profesor y el proyecto, no siempre es culpa del alumno la mala o baja comprensin de los conceptos.

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