pio césar roblac_genesis del volumen a partir de una estructura tridimensional

8/7/2019 pio césar roblac_genesis del volumen a partir de una estructura tridimensional

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BACHILLERATO DE ARTES VOLUMEN

TEMA 2: GENESIS DEL VOLUMEN A PARTIR DE UNA ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL (Pío César Robla©) 1

TEMA 2

GENESIS DEL VOLUMENA PARTIR DE UNA ESTRUCTURA TRIDIMENSIONAL

INTRODUCCION

Toda actividad humana es un continuo diálogo entre el espacio interior del individuo y el espa-cio exterior formado por todo lo que le rodea, desde lo más próximo —su casa, su familia yamigos— hasta lo más alejado —las estrellas.Este diálogo se ha manifestado a lo largo de la historia en la creación del hombre, que ha idoproduciendo obras en todos los campos que, al mismo tiempo que han llenado el espacio exte-rior, lo han ampliado con nuevas perspectivas. Es, pues, un diálogo que se presenta intermina-ble. Y quizá sea ésta una manera de entender el concepto de infinito o de eternidad, que vienea ser lo mismo.

LA ABSTRACCION GEOMETRICA DEL ESPACIO

El pensamiento geométrico ha sido la base de la exploración del espacio y, por tanto, del cono-cimiento en todos los campos. Y precisamente por esto es por lo que la Geometría ha llegadoal máximo grado de abstracción del concepto intuitivo del espacio, sin perder por ello sus múlti-ples e inmediatas aplicaciones prácticas.No es difícil imaginar el proceso vital que, en la exploración del espacio exterior a través de lossentidos, llevó al hombre a abstraer conceptos tan básicos como los de punto, recta y plano.Veamos un ejemplo claro que, sin duda, ha constituido una de las experiencias fundamentalesen la asimilación del espacio exterior y, por tanto, en la formación del conocimiento humano.

En una plácida noche de verano nos tumbamos a mirar las estrellas. Nos fijamos en una cual-quiera. Y luego en otra cercana a la anterior. Surge la inevitable relación entre una y otra: ladistancia más corta. Repetimos este juego con distintos pares de estrellas —más o menos ale- jadas entre sí— y nos damos cuenta de que cada dos forman una dirección distinta. Si conside-ramos dos pares de tal manera que una estrella sea común a los dos, es decir, si considera-mos tres estrellas, tenemos el triángulo y al mismo tiempo el plano formado por las dos rectasque sugiere la estrella común con cada una de las otras dos.Estas especulaciones nocturnas, que sin duda se repitieron generación tras generación, senta-ron las bases de la Geometría, que tuvo su sistematización como ciencia con la publicación delos Elementos de Euclides (siglo IV antes de Cristo).Pero aquí hemos de empezar a hacer una importante distinción entre la Geometría Plana y laGeometría del Espacio. Las consideraciones estelares que hemos hecho se refieren evidente-

mente a la Geometría Plana y, sin embargo, están tomadas directamente de una de las expre-siones más evidentes del espacio: la bóveda celeste. Se trata, pues, de un real proceso deabstracción en el que, contemplan-do el espacio en sus tres dimensiones, nos olvidamos de latercera de ellas para limitarnos sólo ados.Esta aparente contradicción no tienemayor importancia siempre y cuandopensemos en la Geometría Plana co-mo una reducción de las dimensionesdel espacio.Porque al mismo tiempo que se des-arrollaba la Geometría Plana se des-

arrollaba la Astronomía, cuya base esla Geometría del Espacio, si bien utili-za la Geometría Plana en sus cálculos





y aun en sus símbolos, ya que los nombres de las constelaciones provienen de un juego tansimple como ese pasatiempo para niños que consiste en unir en cierto orden y mediante unalínea una serie de puntos impresos en el papel, de tal forma que aparece un dibujo determina-do. Esto es lo que hicieron los astrónomos de la Antigüedad: unir visualmente las estrellas deuna misma constelación y, según el dibujo obtenido, darle el nombre correspondiente.De esta manera, por el camino de la abstracción, la exploración del espacio exterior fue dandolugar al repertorio de las formas geométricas.

EL CONCEPTO DE INFINITO

¿Ha llevado el hombre siempre dentro de sí la idea de lo infinito o, por el contrario, ha sido suexperiencia vital a lo largo de los siglos la que le ha hecho asimilarlo?Observemos que esta pregunta se podría formular, siguiendo nuestro discurso, en los siguien-tes términos: ¿dónde está el infinito: en el espacio exterior o en el espacio interior?Es evidente que, no existiendo el uno sin el otro, la respuesta es que está en los dos.Por otro lado decíamos que en el espacio interior se desarrollan nuestro pensamiento y nuestraimaginación, pero que tanto uno como otra se apoyan en cosas que pertenecen al espacio ex-terior. Y aquí hemos de añadir que cuando nacemos lo hacemos con unos caracteres heredita-rios entre los que podemos incluir, sin duda, los aspectos culturales. Es decir, de alguna mane-ra nuestro espacio interior al nacer lleva ya en sí un germen de espacio exterior -herencia de laexperiencia vital de los que nos precedieron- que se desarrollará por nuestra propia experienciaen la exploración de éste.Así pues, el concepto de infinito reside ya en nuestro espacio interior, si bien la asimilación delespacio exterior nos va dando más datos acerca de su existencia.Evidentemente aquí nos interesa el concepto geométrico de infinito. Pero esto ya se ha vistocon claridad en la primera parte de este libro.Es curioso observar cómo este concepto no pasó a intervenir decisivamente en la Geometríahasta avanzado el siglo XIX, mientras que la Filosofía lo venía manejando desde tiempo inme-morial.Como era de esperar, la entrada del «infinito» por la puerta grande de la Geometría supuso

una tremenda revolución de la misma que amplió increíble-mente su campo de actuación, con-virtiendo la Geometría Euclidiana —que hasta entonces iba a misa—en una parte de la nueva,llamada Geometría Proyectiva.

ABSTRACCION GEOMETRICA DE LOS SINTOMAS DEL ESPACIO

El enriquecimiento del espacio interior por asimilación del exterior tiene su elaboración final enun pro-ceso de abstracción de los datos recibidos. A partir de él se crea un código o lenguajeque reinterpreta el espacio exterior desde el espaciointerior. A este respecto basta echar una ojeada a lahistoria de la geometría del último siglo para ver hastadónde el proceso geométrico de abstracción del espacio

se aparta del concepto intuitivo que del mismo adqui-rimos a nivel vital a través de los sentidos. Sólo el espa-cio euclidiano sigue estando al alcance de nuestra per-cepción. Y en él vamos a basar nuestras con-sideraciones, aunque hagamos referencia en ocasionesa otros conceptos espaciales de la geometría moderna.Los elementos sintomáticos del espacio los siguientes:formas, colores, distancias, alturas, movimiento, sonidos,texturas, calidades y dimensiones. Conviene referirnos aellos como términos conocidos y usados en el lenguajecorriente. Matizaremos su significado, pero no vamos ahacerlo definiéndolos, sino agrupándolos según el ca-rácter de cada uno de ellos y estudiando las relacionesentre unos y otros.

• El primer grupo (grupo I) lo integran las formas.





• El segundo (grupo II) está formado por: distancias = alturas, colores = sonidos, dimen-siones y movimiento.

• Y el tercero (grupo III) por: textura y calidad.En el grupo 1 hemos de distinguir formas elementales y formas com-puestas. Recordemos que estamos hablando de la abstracción geo-métrica de las formas. Así las formas elementales las podemos clasi-ficar en formas rectas y formas curvas. Formas compuestas las hayinfinitas: desde una quebrada —constituida por segmentos rectilí-neos—hasta una forma mixtilínea —constituida por tramos rectos ytramos curvos de distintas clases.Al conjunto de formas compuestas de distintas clases lo llamaremosfigura.En el grupo II hemos hecho equivalente el término distancia al dealtura, ya que su significado es el mismo: espacio que separa dospuntos. El hecho de que se emplee el término altura quiere decir quela dirección a la que se refiere -una distancia marca o está marcada por una dirección- es unadirección singular. Efectivamente la vertical es la única dirección singular que existe porqueresponde a una experiencia vital muy fuerte y determinante: la ley de la gravedad. La vertical,

en cualquier punto de la Tierra, apunta a su centro de gravedad. He aquí un ejemplo muy clarodel proceso geométrico de abstracción de la realidad del espacio exterior. Otras direcciones atener en cuenta especialmente son las horizontales, que responden a un proceso similar (laTierra se creyó plana hasta finales del siglo XV), sólo que éstas son infinitas.El término geométrico de una distancia es el segmento, que podríamos incluir en lo que hemosllamado formas elementales.También hemos hecho equivalentes lostérminos color y sonido, y esto por la sen-cilla razón de que su expresión geométri-ca es la misma: una curva senoidal. Elfenómeno físico del color no es más quela emisión o reflexión de la luz en una

determinada longitud de onda. Y las on-das luminosas y las ondas sonoras secomportan de forma similar. La expresióngeométrica de color y sonido, la curva senoidal, es también una forma elemental o, mejor di-cho, una sucesión interrumpida de una misma forma elemental. Esta sucesión de formas dalugar a nuevos conceptos, como el de ritmo, que analizamos más adelante.La idea de dimensión no se puede concebir si no es en términos comparativos: esto es másgrande más pequeño que aquello. Por tanto, lleva implícito el concepto de unidad, que es eltérmino medio de comparación, el cual da lugar a una dimensión mayor o menor según hayade utilizarse más menos veces. En realidad la expresión más sencilla del término dimensión esel ya estudiado de distancia, que sólo lo es entre dos puntos, entre dos elementos. El términodimensión se refiere a cual-

quier tipo de distancia y encualquier dirección.La abstracción geométricadel espacio considera lastres dimensiones: la vertical —como dirección singular—y dos horizontales, perpendi-culares dos a dos entre sí.De la combinación de estastres dimensiones surgen otras dos clases de dimensión diferentes a la distancia: el área o su-perficie, combinando sólo dos dimensiones, y el volumen, combinando las tres (Fig. 42.8). Estosupone nuevamente la diferenciación entre la Geometría del Espacio y la Geometría Plana. Enrealidad lo que hace el pro-ceso geométrico de abstracción del espacio es reducir éste a sustres dimensiones para poder medirlo y de ahí la diferenciación entre una geometría y otra.





Ya hemos visto cómo del mismo concepto de dimensión surge la comparación entre dos di-mensiones a y b, que llamamos razón a/b. La conservación de esa razón entre pares de di-mensiones o magnitudes diversas se llama proporción: a/b = =c/d=... Es este un conceptogeométrico muy importante sobre el que volveremos más adelante.Por último, de los conceptos de distancia y dimensión surge un término de gran interés y queemplearemos con frecuencia. Es la posición relativa de dos elementos. La distancia de A a B -odimensión del segmento AB- es consecuencia de la posición que A tiene en relación a B (o

viceversa) en el espacio.El movimiento supone una vivencia muy directa del espacio exterior. Por otro lado, la idea demovimiento está implícita en los conceptos analizados hasta ahora.Lo está en el de dimensión y distancia, no sólo en el hecho físico de llevar la unidad una veztras otra para medir, sino también visualmente: medir con la vista.Lo está en el de dirección, ya que ésta encauza el movimiento (dirigirse a o hacia).Lo está en el de color y sonido, pues ambos se propagan en el espacio como medio e, incluso,la curva senoidal, que es su abstracción geométrica, ofrece visualmente la idea de movimiento.Y puesto que color y sonido en su abstracción geométrica se constituyen en formas y puestoque dimensión y distancia son constitutivas de la forma, el movimiento está presente en lasformas y, por tanto, en las figuras.A este respecto conviene considerar las expresiones forma estática y forma dinámica —queestudiaremos más adelante— que llevan implícita la idea de movimiento, aunque en la primeralo sea por omisión.Para terminar nos referiremos al grupo III, integrado por textura y calidad. Estos son términosde orden global que se refieren al conjunto y que sólo serán aplicables a lo que hemos llamadofigura o a un conjunto de ellas.La textura se refiere al orden y disposición de los elementos queintegran una figura o un conjunto de ellas y tiene por tanto que vercon la posición relativa de aquéllos. Se puede decir que la texturaes el ritmo predominante en la disposición de los elementos. (Fig.42.9).La calidad se refiere al carácter de aquéllos y de su orden y dis-

posición, es decir, de su textura.El conjunto de textura y calidad es lo que llamamos estructura. Deésta nos ocupamos más adelante, pero ahora conviene decir queen el proceso de abstracción de los síntomas del espacio el con-cepto estructura es el más elaborado, pues, como hemos visto, engloba a todos los demás ylos sustenta.

EL DESARROLLO DE LAS DIMENSIONES Y EL CONCEPTO GEOMETRICO DE MOVI-MIENTOEn este proceso de abstracción la Geometría ha incorporado a su lógica el concepto de movi-miento a diversos niveles y utilizando cuatro versiones del mismo: dirección, giro, traslación yproyección-sección, siendo este último un movimiento doble que se emplea simultaneando sus

dos componentes.El primer nivel en que la Geometría utiliza el movimiento es en el desarrollo de las dimensioneso paso de una dimensión a otra.Si un punto se mueve en una dirección inalterable a partir de una posición inicial la huella de suitinerario describe una línea recta, que es la primera dimensión (el punto carece de dimensión).Moviendo la línea en cualquier otra dirección distinta de la suya se obtiene el plano, que incor-pora la segunda dimensión.Moviendo el plano en cualquier dirección no con-tenida en él se obtiene el cuerpo sólido o vo-lumen, que incorpora la tercera dimensión.Como se ve, el movimiento es siempre un cambio de dirección, pues traslación y giro no sonmás que cambios de dirección.Por su enorme interés y su capacidad de ampliación del discurso geométrico que estamosdesarrollando incluimos aquí la exposición que hace Keith Critchlow en su libro Order in Space(Orden en el Espacio) sobre los tres caminos del movimiento geométrico en busca de las tresdimensiones.





A partir del punto se genera la recta —un segmento— que, en un giro parcial de 60°, determinael triángulo equilátero, el cual, a su vez, en otro giro parcial sobre uno de sus lados, genera eltetraedro. Este es el movimiento mínimo.Si el segmento se traslada paralelo a sí mismo una distancia igual a su longitud engendra elcuadrado, que, trasladándose paralelamente a sí mismo la misma distancia, genera el cubo. Esel movimiento intermedio.Girando el segmento un ángulo de 360°sobre uno de sus extremos genera el círculo, el cual, algirar 360°sobre su diámetro, engendra la esfera. E s el movimien-to máximo.Con el primer movimiento se obtiene la primera dimensión; con elsegundo la segunda (figuras planas) y los volúmenes o terceradimensión se consiguen con el tercer movimiento.El movimiento sometido a leyes diversas engendra todas las figu-ras geométricas planas y espaciales.El movimiento llamado proyección consiste también en crear unadirección: proyectar un punto A desde otro B es trazar la rectaque los une.El movimiento sección consiste en interceptar una proyección(una recta) mediante un plano, lo que da como resultado un pun-to.Normalmente proyección y sección se simultanean de forma que se obtiene la proyección de

un punto A desde otro B sobre un plano x.Un cono se obtiene como proyección de una cónica situada en un plano desde un punto exte-rior a éste.

LA REDUCCION DE LAS DIMENSIONES O EL JUEGO DELAS REPRESENTACIONES

Uno de los mayores logros de la abstracción geométrica delespacio exterior es lo que se llama Sistemas de Representa-ción, que constituyen el objeto de la Geometría Descriptiva.Nuevamente aparece aquí la dualidad entre Geometría Espa-cial y Geometría Plana. Pero aquí aparece plenamente justifi-

cada, ya que es un juego entre las tres dimensiones de la reali-dad y la posibilidad bidimensional de su representación en elpapel: el juego de las representaciones.





La única forma de representar un objeto —que tiene tres dimensiones— en un papel —quetiene dos— es crear procedimientos mediante los cuales la lectura de las dos dimensiones dela representación lleve implícita la que falta. Esto es posible gracias a la doble operación pro-yección-sección, que es el primer movimiento y la primera regla del Juego de las Representa-ciones. Cada uno de los sistemas de representación o variantes del juego siguen esta regla,poseyendo luego cada uno sus reglas particulares.

La posibilidad de representar con toda exactitud y fidelidad sobre el papel un objeto tan com-plejo como un edificio, y máxime cuando todavía no existe —el proyecto del edificio—, hablamuy claramente de la asimilación del espacio exterior que, a través de un proceso de abstrac-ción fundamentalmente geométrico, ha hecho el hombre.La idea de un edificio, de un cuadro, de un libro, de una partitura, de una fórmula química, estáen el espacio interior de su creador. A través de un diálogo con el espacio exterior se constru-ye, se pinta, se escribe, se fabrica y, una vez terminados, pasan a formar parte del espacioexterior, pero conservando en sí la interioridad de quien los creó.

NATURALEZA Y GEOMETRIA

Hemos analizado en el proceso geométrico de abstracción del espacio exterior y llegado a sen-tar las bases del lenguaje que está al final de dicho proceso. De este lenguaje nos vamos avaler ahora, pero hemos de ser conscientes de que estamos utilizando ya unos conceptosgeométricos cuyo comportamiento nos interesa estudiar para manejarnos en el mundo de lacomposición y del diseño.

Y ese comportamiento pertenece por un lado al mundo de la lógica y al mundo de la intuiciónpor otro. A ambos nos tendremos que atener de aquí en adelante.Sin embargo, para no sumirnos demasiado en la abstracción -o mejor dicho, para sumirnos enella con mayor realismo- vamos a hacer un breve repaso de las distintas manifestaciones geo-métricas que existen en la Naturaleza.

GEOMETRIA DE LAS FORMAS NATURALES

La Geometría abunda en la Naturaleza y se manifiesta a distintos niveles. Para entender mejoresta manifestación es necesario analizar los conceptos de equilibrio y eficiencia mecánica.Ambos se refieren tanto al estado de reposo como al de movimiento, y los dos se dan en losseres vivos y en los inanimados.

Todo cuerpo vivo o inanimado está sometido a la fuerza de la gravedad debido a su propio pe-so y también a otras fuerzas exteriores -un empujón o llevar un paquete serían ejemplos en el





caso de una persona- y en los seres vivos a fuerzas interiores debidas almovimiento del ser en cuestión.El equilibrio es un estado mecánico en el cual la suma de todas las fuerzasque actúan a la vez sobre un cuerpo es igual a cero. Por ello nos caemoscuando perdemos el equilibrio, pues significa que hay una determinadafuerza que no ha sido anulada por las demás.La eficiencia mecánica se traduce en las formas y estructura del esqueleto

de los seres vivos, así como en sus mecanismos de movimiento, formas ymecanismos que también permiten mantener el equilibrio en cualquier po-sición. La eficiencia mecánica de los seres inanimados se traduce en laforma y disposición de los elementos que los constituyen. Una gruta natu-ral, por ejemplo, sigue las mismas leyes mecánicas que hay que seguirpara construir un recinto abovedado. Y las formas de los elementos delesqueleto o estructura mecánica de los seres vivos vertebrados, así comolas que adoptan los invertebrados, los vegetales y los seres inanimados —desde el nivel primario celular al más elaborado de los cristales naturales—, son formas geométricas.Vamos a enumerar sólo unos ejemplos característicos, tomados del libroCrecimiento y Forma, de D'Arcy Thompson.

Las pompas de jabón, debido a la tensión superficialde la lámina que las forma, se configuran como esferas: superficie de áreamínima respecto a su volumen. Sin embargo, silas sostenemos desde abajo con la paja conque las fabricamos se aplastan contra ésta,convirtiéndose en un elipsoide achatado, y silas sujetamos desde arriba, en un elipsoidealargado. Esto es debido a la acción de la gra-vedad.La forma esférica pura se da en una gran va-riedad de organismos unicelulares flotantes en

el agua u otro líquido —lo que anula la acciónde la grave-dad—, como las algas unicelularesProtococcus o Hisphaera, los innumerableshuevos flotantes de los peces, la foraminíferaflotante Orbulina y el verde y multicelularVo/vox de los estanques.La forma cilíndrica se encuentra fundamental-mente en el reino vegetal: troncos de árboles,tallos de plantas, en las spirogyra, las algasfilamentosas y los hongos.

Hasta ahora nos hemos referido a seres unicelulares; veamos aho-ra ejemplos de las formas que adoptan los grupos de células en los

seres pluricelulares. En aquéllos la forma era una consecuencia dela tensión superficial, manifestándose en superficies de área mínima según las circunstancias yexigencias materiales de cada caso. En los seres multicelulares el fenómeno formal vendrádado por el hecho de estar unas células en contacto con otras, lo cual se traduce en la mayorreducción posible de las super-ficies de contacto para obtenerel equilibrio.Dos pompas de jabón en con-tacto, si son iguales, estánseparadas por una películaplana y, por tanto, circular (in-tersección de dos esferas). Sison des-iguales esa películaes esférica.





La espuma formada por pompas de jabón, en contacto unascon otras, forma, en sección, hexágonos, excepto en la capaexterior que, por estar en contacto con el aire, curva su su-perficie. Este principio de simetría hexagonal se cumple no sóloen las células o pompas de jabón, sino en cualquier agregado

de elementos del mismo tamaño y forma original circular. Así elesquema hexagonal se da con mucha frecuencia bajo muy va-riadas circunstancias.Si imaginamos que el sistema de círculos de la figura se some-

te a una presión uniforme -cau-sada por crecimiento o expansiónde las células o por una presiónexterior-, los seis puntos de con-tacto de cada círculo con los otrosseis que le rodean se convertirán

en líneas que representarán superficies de contacto entre las esferas o cilindros cuya secciónson los círculos considerados, los cuales se convertirán en hexágonos regulares. Esto es loque ocurre con los panales de las abejas (cilindro-prisma hexagonal) y con el parénquima del

maíz (esfera-octaedro truncado).

La simetría hexagonal se da también en los cristales de nieve, los esque-letos de los radiolarios y algunas flores, como la lila y el tulipán.La simetría pentagonal se da en muchas flores y en algunos animalesmarinos.En realidad ninguna de las formas geométricas de la naturaleza se da entoda su pureza; todos los ejemplos citados y muchos otros que existenson aproximaciones a las formas geométricas. El hombre ha asimiladolas formas naturales del espacio exterior y ha profundizado en ellas me-diante un proceso de abstracción hasta las formas geométricas puras.

LA HORIZONTAL Y LA VERTICAL

Ya nos hemos referido a la importancia de la vertical como dirección singular y a la de cualquierdirección horizontal situada en un plano perpendicular a aquélla.





La misma Naturaleza tiene manifestaciones muy claras respecto a la singularidad de la direc-ción vertical: el crecimiento en el mundo animado se realiza en contra de la acción de la grave-dad, árboles, plantas y personas crecemos hacia arriba.En la modificación que el hombre hace de su entorno -fundamentalmente a través de la Arqui-tectura la vertical predomina como la dirección que encauza la fuerza gravitatoria. De hecho sepodría realizar una historia de la Arquitectura y sus estilos referida exclusivamente al uso de ladirección vertical.La horizontal no tiene esa predominancia, pero es la que nos da la extensión de las cosas y lasdistancias que las separan sobre el suelo en que se apoyan. Y en esta duplicidad horizontal-vertical es don-de mejor se ve el proceso de abstracción de la Geometría.

El espacio geométrico euclídeo es, como ya hemos dicho, el más práctico para nuestro manejo, ya que nos movemos en un entorno muy pequeño comparado con las dimensiones de laTierra. Pero ya sabemos que las verticales no son paralelas entre sí —ya que todas se dirigenal centro de la Tierra— ni las horizontales son rectas, ya que están sobre la superficie terrestre,que es esférica. A estas curvas trazadas sobre la superficie terrestre se las denomina curvasgeodésicas, de las cuales los paralelos y meridianos constituyen la retícula más importante,sobre la que se confeccionan los mapas.

Por otro lado, estas dos direcciones principales constituyen el sistema básico de referencia queposee la humanidad y que se manifiesta en el sistema cartesiano de coordenadas.De acuerdo a las coordenadas cartesianas y a las curvas geodésicas se realizan todas las mo-dificaciones del espacio exterior que el hombre hace. Son sistemas de referencia que el hom-bre necesita para su orientación. De acuerdo con ellos se conoce la posición relativa de unpunto de la superficie terrestre con respecto a otro y de un punto fuera de ella con respecto a lamisma.

SIMBOLOGIA DE LAS FORMAS GEOMETRICAS

A lo largo de la historia las formas geométricas han ido adquiriendo ciertos significados, llegan-do algunas de ellas a convertirse en símbolos, que son significados universales que todo elmundo entiende, ya que pertenecen al subconsciente colectivo. La mayoría de estos significa-dos tienen que ver con los campos religioso y filosófico. El triángulo y el hexágono son símbo-los cristianos. El primero es el símbolo de la Trinidad, mientras que el segundo fue heredado





del judaísmo: la Estrella de David, símbolo de la creación y perfección ex-presada en sus seis componentes: poder divino, majestad, sabiduría,amor, misericordia y justicia.

En las culturas orientales también tienen el triángulo y el hexágono o laestrella de seis puntas valor simbólico. En la India existe la trinidad Siva-Brama-Visnú y en la filosofía yoga aparecen junto con el cuadrado y el cír-

culo como símbolos de los siete centros físicos o chakras. Las plantas delos templos indios están realizadas de acuerdo a estas formas geométricassimbólicas.Para las culturas china y japonesa el triángulo representa la trilogía cielo-tierra-hombre y el

hexágono es la expresión queutiliza en sus hexagramas el lChing o Libro de los cambios.El cuadrado y el octógonoson también símbolos cultura-les de gran importancia. Asítenemos los cuatro elementosde la Antigüedad y de losalquimistas —Tierra, Aire,Fuego y Agua—, siendo elcuadrado tradicionalmente elsímbolo geométrico de laTierra. El cuadrado es tam-

bién la figura predominante en los mandalas hindúes y budis-tas. El número 8 se asocia con la suma de los 7 planetas y laTierra y con las notas de la octava musical; para la Cris-tiandad es el número de la Resurrección, reflejado en la formaoctogonal de las pilas bautismales. En la tradición budistaabundan las pagodas de planta octogonal.

El pentágono fue el símbolo de los pitagóricos, para quienessignificaba salud y es el origen de la Sección Aurea, que de-sarrollamos más adelante.El símbolo del taoísmo zen está hecho a base de círculos y

representa el equilibrio del mun-do en la manifestación de losdos opuestos: el yin y el yang(Fig. 43.25).Los poliedros también han teni-do y tienen implicaciones simbólicas. Platón establece en el Ti-meo la relación entre los cuatro elementos y cuatro de los polie-dros regulares: cubo, tetraedro, octaedro e icosaedro, mientras

que el dodecaedro representaba al éter —contenedor de todo— olos cielos. De aquí que se llamen platónicos a estos cinco polie-dros regulares.Por último, la esfera representa no sólo a la Tierra, sino a la bó-

veda celeste, siendo, por tanto, símbolo del cosmos.

Habiendo analizado, si bien someramente, la existencia de formas geométricas en la Naturale-za y la importancia simbólica de las mismas, podemos aseverar una vez más y con mayor co-nocimiento que el hombre ha ido asimilando el espacio exterior a lo largo de los tiempos —espacio que en un principio estaba ocupado solamente por la Naturaleza—, captando en él lasformas geométricas que, tras un proceso de abstracción y elaboración, ha revertido a ese es-pacio exterior en todo tipo de realizaciones. El conocimiento de este proceso es fundamentalpara la adquisición de cualquier tipo de técnica, ya que ésta es el resultado diversificado de eselargo proceso.





PROPORCION SIMETRIA Y ESTRUCTURA

Vamos a analizar aquí unos conceptos fundamentales en el campo de la composición y deldiseño en todas sus manifestaciones. Todos ellos están muy relacionados entre sí y tambiéncon lo que hemos llamado «síntomas del espacio». Al hablar de uno de ellos, la dimensión (dela que la distancia es su expresión más sencilla), decíamos que surge de la comparación entredos elementos. Pues bien, se denomina razón a la comparación cuantitativa entre dos cosas o

magnitudes que pertenecen a la misma clase o es-pecie. Esta comparación, de la cual la razón es elsímbolo y el resultado, es un juicio de valor.Sean dos segmentos AB y B; la razón entre ambosquedará simbolizada por AB/BC o por a/b, siendo ay b las longitudes de estos segmentos medidos conla misma unidad.La razón a/b tiene no sólo la apariencia de unafracción, sino todas sus propiedades y se puede expresar por un número que es el resultado dela di-visión de a por b. Así la razón 8/5 es equivalente al número 1,6.

PROPORCIONProporción es la igualdad de dos razones. Si hemos establecido dos razones A/8 y C/D entre«magnitudes» (objetos o cantidades comparables), la igualdad A/B = C/D (A comparado con Bes como C comparado con D) expresa que A, B, C y D están relacionados por una proporción.Si A, B, C y D son segmentos cuyas magnitudes son a, b, c y d respectivamente, tendremosentre estas magnitudes o números la proporción a/b = c/d. Esta es la proporción geométricausada en composición y diseño.Se llama proporción discontinua si todos los elementos son diferentes: a/b = c/d, y continua sidos de los cuatro elementos son iguales: a/b = b/c. Ambas pueden tener cualquier número detérminos:

a/b = c/d = e/f = g/h...

a/b = b/c = c/d = d/e...En ambos casos tenemos la permanencia de una razón característica, lo cual explica que fre-cuente-mente se confunda la noción de razón con la de proporción. La proporción, aparte delvalor comparativo que la razón posee, conlleva la idea de una cualidad permanente que setransmite de una razón a otra. Esta invariante analógica es un principio ordenador.La figura plana más importante desde el punto de vista de la proporción es el rectángulo, yaque su rasgo más importante es su proporción o razón característica b/a, razón entre su ladomás largo b y el más corto a.Una repetición de una proporción determinada o una sucesión proporcionada de proporcionesda lugar a un ritmo. (Ver Figuras siguientes).

LA SECCION AUREA

La proporciónmás importantees la llamadaSección Áurea,que es la divisiónde un segmentoen media y ex-trema razón, esdecir, la divisiónde una longitud talque la parte me-nor es a la másgrande como la más grande es a la longitud total. Se es-cribe b/a = a/a + b, donde a>b. El valor





numérico de b/a es la raíz positiva de la ecuación (b/a)2 --(b/a)— 1 =0, y es b/a =V a + 1/2 =1,618...Este número, b/a, número Φ número sagrado de los griegos,fue llamado por ellos «La Sección», por Luca Pacioli «La Divi-na Proporción» (1509) y por Leonardo y desde entonces«Sección Áurea». Este número posee las más asombrosaspropiedades aritméticas, algebraicas y geométricas. Así Φ =

1,618..., 1/ Φ = 0,618...; Φ2= 2,618...Si multiplicamos la ecuación (µ2 = µ + 1 (de la que hemos ob-tenido Φ), por Φn veces, obtenemosΦn = Φn-1 + Φn-2, lo cual quiere decir que en cualquier progre-sión o serie de términos que tenga a Φ por razón entre dostérminos sucesivos, cada término es igual a la suma de losdos precedentes. Esto permite una fácil manipulación geomé-trica de las series: dados dos términos sucesivos se puedenconstruir todos los demás con simples movimientos del com-pás (Fig. 44.3).El rectángulo áureo es aquel cuya proporción es b/a = Φ =1,618... (Fig. 44.4). Dado un segmento AB podemos determi-nar un tercer punto C tal que AB/BC = AC/AB = Φ. La figura44.5 muestra el método cuando C es exterior a AB y la figura44.6 lo hace para el segmento dado AC, encontrado el puntointermedio B.La figura 44.7 muestra la forma de dividir el lado vertical de uncuadrado según la Sección Áurea, obteniendo el rectánguloáureo EFCD.En un pentágono regular la razón entre la diagonal y el lado esΦ (Fig. 44.8). Esta diagonal es el lado del pentagrama, el cualcontiene 200 secciones áureas (Fig. 44.8: ACDBEA).La razón entre el radio de un círculo y el lado del decágono

inscrito es R/dr = Φ. La razón entre el lado del decágono es-trellado EMAICGDFBHE y el radio del círculo circunscrito estambién Φ (Fig. 44.8).El número Φ es muy útil para la construcción del pentágonoregular. En la figura 44.9 se muestra a la izquierda la cons-trucción del pentágono regular inscrito en un círculo dado, y ala derecha a partir de la magnitud de su lado

LA SECCION AUREA Y LA NATURALEZA

Los escultores griegos establecieron cánones de proporción en sus estatuas (Fig. 44.10). Enlos inicios del Renacimiento el monje Luca Pacioli publicó su libro Divina Proportione (Venecia,

1509) con ilustraciones de Leonardo (Fig. 44.11), en el que subraya el papel de la Sección Áu-rea en el cuerpo humano y los organismos vivos.Alrededor de 1850 Zeysing comprobó en Alemania que, como promedio para un cierto númerode cuerpos humanos, el ombligo divide la altura del cuerpo humano en la proporción de la Sec-ción Áurea (figura 44.12).El diagrama estructural de la cabeza humana refleja y reproduce, en su proyección frontal, eldiagrama del cuerpo completo (Fig. 44.13). Curiosamente esa proyección coincide con la deldodecaedro estrellado (Fig. 44.14).La Sección Áurea aparece también en los diagramas de forma y crecimiento de las plantas(Figura 44.15) y de algunos organismos marinos (estrella de mar) (Fig. 44.16) basados en lasimetría pentagonal.





LA SECCION AUREA Y LAS ARTES

Arquitectos, escultores y pintores de todos los tiempos han utilizado la Sección Áurea comométodo de composición en sus obras (Fig. 44.17).En Arquitectura se ha comprobado su utilización en las tumbas egipcias, en los templos griegosy en las catedrales góticas (Fig. 44.18).En nuestro siglo el arquitecto franco suizo Le Corbusier ha desarrollado una escala -el Modulor

basada en el cuerpo humano y su proporción áurea (Fig. 44.19), de la que Einstein dijo en1946: «Es una gama de dimensiones que hace lo malo difícil y lo bueno fácil.» Le Corbusier laaplicó en muchas de sus obras, entre las que la Unidad de Habitación de Marsella es la quemás la ejemplifica (Fig. 44.20).





SIMETRIA

Simetría para los griegos y los romanos y también para los arquitectos góticos significaba laproporción que las partes de un todo guardan entre sí y con el todo al que pertenecen. El casomás sencillo y más conocido es el que la Real Academia de la Lengua Española define como«armonía de posición de las partes o puntos similares respecto unos de otros y con referenciaa punto determinado».Se dice que el punto A es simétrico del B con respecto al O si los tres están alineados y AO = OB (Fig. 44.21).La simetría puede ser también axial: A es simétrico de 8 respecto a O si AB es perpendicular aO y O pasa por el punto medio de AB (Fig. 44.22). Así el círculo y la esfera son figuras total-mente simétricas, ya que todos sus puntos son simétricos unos de otros respecto al centro. Sellama simetría central (Fig. 44.23).En cambio, la simetría pentagonal a la que nos hemos referido es una simetría axial quíntuple(figura 44.24).Pero nos interesa más la definición más amplia dada al principio, de la que Vitrubio dice en suTratado de Arquitectura: «Cuando alcanzamos por el camino apropiado esta simetría o conmo-





dulación entre los elementos y el todo obtenemos la euritmia.» La euritmia, según la Academiade la Lengua, es «la buena disposición, correspondencia, armonía y proporción de las diversaspartes de una obra de arte». Después de lo que hemos visto sobre la Sección Áurea es eviden-te que ésta juega un importante papel en la simetría.Vitrubio dice también en su Tratado que «las cuestiones más sutiles de la simetría se debenresol-ver con proporciones irracionales» (Fig. 44.25). Es lo que Platón llamó Simetría Dinámica.Con esta idea Jay Hambidge desarrolló una técnica para realizar dicha simetría dinámica (ver

45.4), muy utilizada de antemano por artistas como Seurat, los marcos de cuyos cuadros solíanestar en la proporción VΦ.

ESTRUCTURA

Estructura es la distribución, disposición y orden de las partes de un todo.La estructura de un objeto cualquiera depende, pues, de la proporción que las partes guardanentre sí y de la que éstas tienen con el todo. Depende, portanto, la estructura de la simetría.Según lo que hemos visto, la Sección Áurea es la propor-ción que más abunda en la Naturaleza y la que, consecuen-temente, en el proceso de asimilación del espacio exteriorpor el hombre más se ha utilizado en las realizacioneshumanas, desde los egipcios a Le Corbusier.Parece indicado entonces considerar como estructura idealla Estructura Simétrica Dinámica, entendiendo por esta ex-presión la distribución, disposición y orden de las partes deun todo de tal forma que la proporción que aquéllas guardanentre sí y respecto al todo están basadas en los númerosirracionales y en la Sección Áurea. Es decir utilizando lasproporciones V2, V3, V4, V5, Φ, VΦ y Φ2.Hemos hecho un recorrido desde el concepto de razón al deestructura para tener una visión vertebrada del conjunto ysus elementos. Estos conceptos, junto con los «síntomas

del espacio», son los que hemos de manejar constantemen-te en la composición y el diseño.

FORMA Y ESTRUCTURA TRIDIMENSIONALES





Pasamos ahora del plano al espacio. Hemos estado haciendo abstracción de una dimensiónpara mejor manejar los conceptos. Sin embargo, debemos advertir a aquellos que quieran de-dicarse a la realización de obras tridimensionales (arquitectos, ingenieros, escultores, diseña-dores, escenógrafos) que el manejo del espacio mediante su proyección en el plano, si bien esimprescindible y ofrece enormes ventajas, tiene el gran peligro de olvidarse de esa tercera di-mensión que no consta en el papel. Porque una cosa es una cota indicando una altura y otra

muy distinta esa altura materializada. Así pues, será necesario que, mientras resolvemos losproblemas espaciales en el plano, tengamos una experiencia espacial suficiente como paraque la representación plana que realicemos sea el fiel reflejo de una experiencia espacial de-terminada y conocida.Para adquirir esa experiencia vamos a analizar la forma y la estructura en el espacio y a hacer-la real hasta donde nos sea posible.

LA FORMA EN EL ESPACIO Y SU ESCALA

La primera diferencia a nivel perceptivo que existeentre la forma plana y la forma espacial es que laprimera puede ser captada con un solo golpe devista (supuesto que el observador goza del puntode vista adecuado), mientras que la segunda re-quiere puntos de vista distintos para ser captada ensu totalidad. Precisa, por consiguiente, un recorrido,una variación continua del punto de vista.En definitiva, el espacio tridimensional no se puedeexperimentar sin el concurso del tiempo. Apareceasí una relevancia de la posición relativa entre laforma y quien la contempla.

De acuerdo con esta idea podemos, en primerainstancia, considerar dos clases de formas espacia-les (se entiende formas compuestas u objetos for-males integrados por un conjunto de formas sim-ples): la forma espacial que puede ser rodeada pornosotros y aquella que nos rodea. De aquí surge unnuevo concepto de gran importancia: la escala, quees la razón entre la dimensión o magnitud del objetoformal y la del hombre, término de comparación detodas las cosas. Un edificio o una parte de él, unahabitación, es un objeto formal que nos rodeacuando estamos dentro de él, pero que también nos

permite rodearlo por el exterior. En cualquiera de los dos casos la dimensión del edificio y la dela propia habitación es mayor que la del hombre (Fig. 46.31.





Los objetos formales más pequeños que nosotros mismos sólo nos permiten rodearlos, pero nointroducirnos en ellos.De aquí se deduce la importancia que tiene el hueco o espacio vacío,sobre el que volveremos más adelante.Desde un punto de vista puramente formal podemos diferenciar la forma plana —el plano— y la forma curva de simple o doble curvatura. Tanto

una como otras se denominan superficies. Así pues,lo que diferencia una superficie plana de otra superfi-cie plana es la forma de su contorno o perímetro (porejemplo, los polígonos regulares), que siempre seránuna forma plana. Una misma superficie curva —laesfera, por ejemplo— dará formas distintas según se la limite medianteotras superficies planas o curvas. Si se la limita mediante un plano daráuna forma plana, si se hace mediante una superficie curva dará una curvaalabeada (con algunas excepciones). Las superficies geométricas plano,esfera, cilindro, paraboloide, etc., son formas tridimensionales simples.

Los conjuntos de superficies dan, al cortarse unas con otras, las formas tridimensionales compuestas. Así los poliedros (figuras formadas por intersecciones de planos) y las bóvedas decrucería (intersección de dos semicilindros) son formas tridimensionales compuestas o figurasespaciales.Una misma forma tridimensional dependiendo de su escala -es decir, de la razón de sus di-mensiones a las del hombre- será un objeto (media pelota de ping-pong) o un espacio habita-ble (el iglú o vivienda de los esquimales).

LA ESTRUCTURA ESPACIAL Y LA SIMETRIA DE LAS FORMASYa vimos cómo a partir del punto conseguíamos, mediante el movimiento, tres figuras es-paciales: el tetraedro, el cubo y la esfera. Los puntos de estas figuras se han dispuesto median-

te el movimiento en un orden determinado, constituyendo este orden su estructura.El tetraedro, conseguido mediante el movimiento mínimo, tiene la mayor relación área/volumende todos los poliedros. Su estructura se traduce en un comportamiento mecánico —llamadoestructural normalmente— que le hace el más fuerte de todos los poliedros, siendo capaz de





resistir fuerzas exteriores en todas las direcciones. La esfera, conseguida con el movimientomáximo, tiene la relación área/volumen mínima y estructuralmente resiste bien las fuerzas in-ternas.El cubo es la fase de transición entre los dos.Vamos a profundizar en el concepto de estructura espacial siguiendo la teoría del orden en elespacio de K. Critchlow. Para ello vamos a considerar que el punto tiene dimensión para hacervisible la estructura de sus distintas configuraciones. Lo llamaremos «esferopunto», ya que la

esfera es la única forma espacial capaz de multitud de contactos simultáneos.Así el desarrollo de las dimensiones a través del movimiento mínimo queda ilustrado en la figu-ra.

Ese movimiento mínimo equivale a la agrupación más económica de «esferopuntos» (A en lafigura).Añadiendo en los intersticios otro conjunto de «esferopuntos» (B), se obtiene otro tetraedro. Eltetraedro es dual de sí mismo (C). A partir de aquí la siguiente agrupación más económica es laoctaédrica ID).Añadiendo en los intersticios otro conjunto de «esferopuntos» (E), se obtiene el cubo. El cuboes dual del octaedro (F).La agrupación de «esferopuntos» alrededor de otro da el cuboctaedro (G). Esa misma agrupa-ción sin el núcleo da la estructura triangulada del icosaedro (H1.Al añadir al icosaedro otro conjunto de «esferopuntos» en los intersticios (1), se obtiene el do-decaedro, que es dual del icosaedro (J). Este proceso muestra una jerarquía de los cinco po-liedros regulares o platónicos según criterios de economía numérica y estructural.





La figura superior muestra la simetría 2, 2, 3 del tetraedro (A), la sime-tría 2, 3, 4 del octaedro (B) y la simetría 2,3,5 del icosaedro (C). Eldodecaedro y el icosaedro, que son los desarrollos del pentágono entres dimensiones, están dominados por la proporción de la SecciónAurea. En el icosaedro los doce vértices configuran tres rectángulosáureos (figura de la derecha), de los que existen en este poliedro untotal de quince.Icosaedro y dodecaedro son duales o recíprocos, igual que octaedro ycubo, mientras que el tetraedro lo es de sí mismo. El dual de un polie-dro se obtiene uniendo los puntos centrales de sus caras.Los cinco poliedros regulares tienen todas sus caras iguales y se pue-den inscribir en una esfera.

Además de los cinco poliedros regulares existen los semirregulares o arquimedianos, que tam-bién se pueden inscribir en una esfera, pero cuyas caras son dos o tres polígonos regularesdistintos. Existen trece de estos poliedros, pero sólo hablaremos de los dos más importantes: elcuboctaedro de 14 caras (8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados de la-dos iguales) y el yamencionado octaedro truncado (Fig. 46.14), de 14 caras (8 hexágonos y 6 cuadrados de ladosiguales).La esfera posee simetría central y sus transformaciones homológicas: elipsoide, y paraboloidee hiperboloide elípticos, poseen tres planos y tres ejes de simetría (Fig. 46.15).





La estructura de los poliedros y de las superficies curvas se manifiesta, sobre todo en aquéllos,en la disposición simétrica de sus puntos característicos llamados vértices.

ENTORNO Y MEMBRANA

Entorno es el espacio inmediato que rodea a la forma espacial y en elque ésta se sitúa. Existe una relación directa e inmediata entre la forma ysu entorno.Membrana es la noción de superficie plana o curva, cuya misión es sepa-rar en mayor o menor grado el espacio que encierra —espacio interiordel objeto formal— y el espacio exterior o entorno.Las caras de un poliedro son membranas, así como las láminas de su-

perficie curva de un objeto formal. Tanto la posición de un objeto formalcon respecto a su entorno como el mayor o menor grado de separaciónque realicen las membranas que lo circunscriben son características fun-damentales para su resultado formal.

EL ESPACIO VACIO

Lao-Tse dice en el Libro del Tao (Tao-Te-Ching):«Treinta radios convergen en el eje de la rueda y es el agujero del medio el que hace que el carro funcione. Hacemos una vasija de un puñado de arcilla, y es el espacio vacío en su interior lo que la hace útil. Hacemos puertas y ventanas en una habitación, y son estos huecos los que hacen la habitación habitable. Así, mientras lo tangible tiene sus ventajas, es lo intangible lo

que lo hace útil».Estas consideraciones sobre el «espacio vacío», sobre el hueco, y su utilidad son un punto departida muy aconsejable para tratar los problemas del espacio. Sonlos huecos los que ponen el espacio interior de los objetos en contac-to con el espacio exterior, con su entorno; los que permiten entrar ysalir de él; son sus bocas a través de las cuales asimilan lo que lesrodea, igual que hacemos nosotros con nuestros sentidos.La forma espacial posee características que no posee la forma plana.Así, el manejo de una y otra son completamente distintos. Sin embar-go, la forma plana es un instrumento muy útil para el manejo de laforma espacial. Esto es lo que hacen los Sistemas de Representaciónde la Geometría Descriptiva. A través de ellos podemos manejar el espacio y sus formas,siempre que no olvidemos la realidad de la tercera dimensión.





LA COMPOSICIÓN EN EL ESPACIO

Aunque la forma espacial es tridimensional, como la realidad, posee, sin embargo, un poder deabstracción muy grande (escultura abstracta). Todos los conceptos manejados en la composi-ción plana siguen siendo válidos para la composición en el espacio, pero en ésta intervienen demanera decisiva algunos factores que en absoluto intervenían en el plano, o si lo hacían eracomo reflejo psicológico de la realidad espacial.

Así, el entorno de la composición plana o coincide con el contorno de la superficie donde serealiza o es, como mucho, un marco que se le pone, mientras que en la composición espacialexiste una dialéctica entre el objeto formal y el espacio inmediato que lo rodea.Por otra parte, es de señalar la inexistencia en la composición plana de temas como la mem-brana, el espacio interior (sólo existe de manera virtual), el hueco y el macizo y, sobre todo, elcomportamiento estructural (mecánico) de las formas espaciales, regido por la ley de la grave-dad y que se manifiesta en el equilibrio.La diferencia más evidente entre la composición espacial y la composición plana es el efectode la luz sobre el volumen.Existen, por último, una serie de relaciones entre proporciones, temas y figuras que se dan enel espacio y que no se daban en el plano.Evidentemente las técnicas de la composición espacial serán distintas a las de la composiciónplana, sobre todo en la realización del objeto formal. Piénsese en la diferencia entre pintar uncuadro y construir un edificio.Aquí vamos simplemente a analizar los conceptos que intervienen en la composición en el es-pacio, dejando los métodos y las técnicas para los cursos especializados.

LENGUAJE DE LA FORMA TRIDIMENSIONAL

Según palabras de D'Arcy Thompson, el primer concepto a tener en cuenta es la dimensión o magnitud, acompañado del de dirección. Sólo que ahora las direccio-nes principales serán 3 en lugar de 2, ejemplificadas en los 3 ejescartesianos (la dirección vertical y dos direcciones horizontales orto-

gonales).La comparación de estas dimensiones dos a dos da tres razones, decuya combinación surge la forma tridimensional y la idea del color orientado.Esta forma, siguiendo el razonamiento que hacíamos para la compo-sición plana, es el paralelepípedo, que representa un volumen abc. Elcolor orientado responde a la idea de que una superficie coloreadacambia de tono —luminosidad del color—según la luz que recibe. Esevidente que, dada una posición relativa del paralelepípedo abc y elfoco de luz y suponiendo las caras del mismo uniformemente pintadasde un mismo color, las tres caras visibles ofrecerán a la vista tres to-nos diferentes del mismo color. Este efecto visual es el que más claramente expresa el volu-

men, que es la expresión de la forma tridimensional.Así pues, la luz es un factor de importancia decisivaen la composición espacial. Le Corbusier definió laArquitectura como «El juego de la luz sobre los vo-lúmenes».De la comparación de dos razones surge la pro- porción. Aquí la proporción se da no sólo entre di-mensiones lineales y superficies, sino también entrevolúmenes.En el plano no existe ninguna construcción que nospermita pasar del cuadrado al triángulo o al pen-tágono; las tres simetrías son antagónicas y de ahí laya aludida ley de no mezclar temas o proporcionesdistintos en la composición plana.





En cambio, en el espacio esta ley no tiene lugar, ya que podemos pasar del dodecaedro (pen-tágono) al cubo (cuadrado) tomando 8 de sus vértices. Los 20 vértices de un dodecaedro sonasí los vértices de 5 cubos o de 10 tetraedros (triángulo), ya que los 8 vértices de un cubo sonlos vértices de dos tetraedros que se intersectan.

Los 12 vértices del icosaedro están en la superficie de un cubo. Tomando los puntos medios delas aristas de un tetraedro obtenemos los 6 vérti-

ces de un octaedro.Así, la ley de no mezclar temas no ha lugar en elespacio. Un edificio (como muchas iglesias bi-zantinas) puede tener su planta y volúmenesderivados del cuadrado, el cubo y la esfera (enlos que predomina la proporción V2) y, sin em-bargo, tener sus alzados compuestos y sus pare-des decoradas según la Sección Aurea.Como ya vimos, la Sección Aurea en el espaciopredomina en el icosaedro y el dodecaedro, queson desarrollos espaciales del pentágono.Al considerar la simetría nos podemos plantear también aquí el tema de la equipartición o ma-

cización del espacio. Ya vimos cómo los agregados celulares se ordenaban en agrupacionesde prismas hexagonales (panal de abejas) o de octaedros truncados (parénquima del maíz).La figura muestra, aparte de los dos casos citados, todos los demás poliedros -prismas en al-gunos casos- que son capaces de macizar el espacio -o de dividirlo en células idénticas- inde-finidamente.

Estas células idénticas consiguen un espacio uniformemente estructurado, que se denominamodulado, siendo el módulo la estructura mínima que se repite indefinidamente. La secciónplana de estas estructuras modulares produce las retículas planas.





La modulación tiene un enorme campo de aplicaciones en el mundo del diseño en general y enla Arquitectura en particular. A este respecto la aplicación del Modulor de Le Corbusier y suposterior desarrollo realizado por el arquitecto español Rafael Leoz son de enorme interés. LaUnidad de Habitación de Marsella, realizada por Le Corbusier según el Modulor, es un inmensoedificio de 140 m de largo y 70 m de altura, pero que se nos presenta íntimo y familiar, ya quede la terraza al sótano, tanto por dentro como por fuera, está modulado de acuerdo a la escalahumana.

METODOS INSTRUMENTALES PARA LA COMPOSICION ESPACIAL

Los métodos que se utilizan para la composición de un objeto formal tridimensional son dos.Uno utiliza su representación en el plano, su proyección en el plano; de ahí que se le llame





«proyecto» —que quiere decir proyectado sobre el plano—, y a la operación de crear o compo-ner el objeto formal (cenicero, mesa, edificio), «proyectar». Esta proyección o proyectación sehace en cualquiera de los Sistemas de Representación de la Geometría Descriptiva, utilizandouna escala de dibujo. En ellos se ve muy bien la definición de la forma tridimensional mediantela proyección de sus dimensiones principales.El otro método consiste en la reproducción esquemática del objeto formal a una escala máspequeña y se llama maqueta o modelo.

En ambos casos la técnica y los materiales utilizados deben reflejar lo más fielmente posible laulterior realidad del objeto representado.Es muy conveniente la realización de maquetas para mejor captar la realidad espacial del obje-to. Pero aun así, estando los planos del proyecto y la maqueta a una escala menor que la real,existe el peligro de malinterpretar las proporciones. Por eso es muy conveniente utilizar siste-mas de modulación referidos a la escala humana, que aseguran unas proporciones aceptables.Esta distancia entre la realidad y su representación se puede acortar también con una expe-riencia personal en los problemas espaciales de la realidad.

47.4. LOS MATERIALES EN LA COMPOSICION ESPACIAL

Los conceptos de estructura, textura y factura de los materiales son, evidentemente, válidospara la composición espacial.Pero aquí la estructura de/ material habrá de ser válida y eficaz para que se pueda conseguir laestructura de la composición, sometida inevitablemente a comportamientos mecánicos debidosa la ley de la gravedad que, a través de los pesos de los elementos que conforman aquélla, setraduce en esfuerzos mecánicos que los materiales y sus formas deben poder soportar y en-cauzar para conseguir el equilibrio de la estructura. Y este problema se plantea a todas las es-calas: desde una estatuilla hasta un puente.La forma tiene, a este respecto, un papel decisivo. Un ejemplo muy claro lo tenemos en unachapa lisa o la misma chapa acanalada; en este segundo caso es capaz de soportar esfuerzosque no puede soportar en la primera forma.

El estudio de estos problemas de resistencia de los materiales y el de los problemas del equili-brio de las estructuras son imprescindibles para la composi-ción en el espacio.Otro tema a tener en cuenta es el efecto de la luz sobre lasformas tridimensionales. Por ello el estudio de las sombrasde los cuerpos, tanto propias como arrojadas, es tambiénfundamental. En este juego intervienen también los huecos,que producen sombra interior —o luz, si se quiere— y cuya

proporción y simetría en relación a las partes macizas tienengran importancia, produciendo un determinado rit mo.La transparencia y opacidad de los materiales e incluso su

capacidad de reflejar imágenes, así como la mayor o menor opacidad y transparencia de las




membranas que separan unos espacios de otros contribuyen tam-bién decisivamente a la calidad de la estructura de una composiciónespacial.Por último, el color de cada material (textura) o aquel con que se lerecubre (factura) tiene un gran valor superficial si se tiene en cuentaque los colores más luminosos o más iluminados se acercan al ojodel observador, mientras que los otros se alejan. Y este efecto puedeser decisivo para el volumen y la estructura de un objeto formal.Con la composición espacial hemos entrado en el complejo mundode los objetos de todas clases que nos rodean constantemente y denuestra experiencia con ellos.

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