Perodo de una Funcin Compuesta por Funciones Peridicas (Enero 2007)

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Perodo de una Funcin Compuesta por Funciones Peridicas (Enero 2007)I. Lpez EspejoEste texto recoge la demostracin del procedimiento para el clculo del perodo de una funcin compuesta por funciones peridicas.

I. DESARROLLO el perodo de una funcin compuesta por funciones peridicas, siempre que tenga sentido (es decir, cuando / es un nmero racional para todo ), como el mnimo comn mltiplo de los perodos de las funciones peridicas componentes, es decir:E DEFINE

ltima seal como ( ) = . . . /2, 2 /3, 2 tal y como se puede comprobar grficamente.

=2 ,

S

( ) =

. .

.

,

,,

,

(1)Fig. 2. Grficas de funciones correspondientes al segundo ejemplo.

donde es el nmero total de funciones peridicas que componen la funcin ( ), siendo el perodo de la funcin nsima. Toda funcin perodica ( ) verifica la igualdad ( ) = ( ) para todo , donde es el perodo de ( ). Notamos como al menor de los , siendo = / con perteneciente al conjunto de los nmeros racionales y con = 2,3, , . Por tanto, = con = 2,3, , . Hacemos = . . . 1, , , , . Para cada tenemos que ( + )= + = ( ), donde = / , por es ( )-peridica para todo . En lo que tendremos que consecuencia, la suma ( ) + ( ) + + ( ) es ( )peridica. II. EJEMPLO PRIMERO La seal azul de la figura 1 es la funcin cos(5 /2) mientras que la seal verde es la funcin 3 sin( ). Se comprueba fcilmente que el perodo de la primera seal es 4 /5 mientras que el perodo de la segunda seal se obtiene fcilmente como 2 . La seal roja es la funcin cos(5 /2) + 3 sin( ). Aplicando el razonamiento anteriormente expuesto obtenemos que el perodo de la funcin suma ( ) es ( ) = . . . 4 /5, 2 = 4 , como se puede comprobar grficamente.

Fig. 1. Grficas de funciones correspondientes al primer ejemplo.

III. EJEMPLO SEGUNDO En la figura 2 la seal roja es tan(2 ), la seal verde es sin(3 2) y la seal azul es 3 sec( ). La seal negra est compuesta por las seales anteriores de la forma 3 sec( ) tan(2 ) sin(3 2). Se define el perodo de esta