Diseño por medio del lugar geométrico de las raíces (PI, PD y PID)

IntroducciónEl LGR nos permite escoger la ganancia de lazo adecuada para satisfacer una especificación de respuesta transitoria.Cuando la ganancia se hace variar, nos movemos en diferentes regiones de respuesta.Establecer la ganancia en un valor particular da la respuesta transitoria dictada por los polos en el punto sobre el LGR.Entonces estamos limitados a estas respuestas que existen a lo largo del LGR.

Mejoramiento de la respuesta transitoria

Se puede aumentar la flexibilidad del diseño de una respuesta transitoria si podemos diseñar respuestas transitorias que no estén en el lugar geométrico de las raíces.

Supóngase que la respuesta transitoria deseada, definida por el sobrepaso en porcentaje y tiempo de asentamiento, está representada por el punto B.Desafortunadamente, en el LGR actual al %OSespecificado, sólo podemos obtener el tiempo de asentamiento representado por el punto A.

Por lo tanto nuestra meta es acelerar la respuesta en A para igualarla a la de B, sin afectar el sobrepaso en porcentaje.

Este aumento en velocidad no se puede lograr con un simple ajuste de ganancia, puesto que el punto B no se encuentra en el LGR.

Una forma de resolver este problema es sustituir el sistema existente con uno cuyo LGR cruce el punto de diseño deseado.Desafortunadamente esta sustitución es costosa y contraproducente pues la mayor parte de los sistemas se seleccionan por características que no son la respuesta transitoria.Por ejemplo la plataforma de pasajeros y el motor de un elevador se seleccionan para velocidad y potencia.Si escogemos componentes para respuesta transitoria puede que no satisfagan los requerimiento de potencia.

En lugar de cambiar el sistema existente, lo aumentamos o lo compensamos, con polos y ceros adicionales, de modo que el sistema compensado tenga un LGR que pase por el lugar deseado para algún valor de ganancia.Un método de compensación para la respuesta transitoria, consiste en insertar un derivador en la trayectoria directa en paralelo con la ganancia.

Suponga un control de posición con una entrada escalón.Observamos que el error experimenta un gran cambio inicial.Derivar este cambio rápido produce una señal grande que mueve la planta.La salida del derivador es mucho mayor que la salida de la ganancia pura.Esta gran entrada inicial a la planta produce una respuesta más rápida.Cuando el error se aproxima a cero, su derivada se aproxima a cero y la salida del derivador se hace despreciable en comparación con la salida desde la ganancia.

Mejoramiento del error en estado estable

No solo se usa la compensación para mejorar la respuesta transitoria de un sistema. También se emplea para mejorar las características en estado estable.Cuando mayor es la ganancia, menor es el error, pero mayor es el sobrepaso en porcentaje.Por otra parte, reducir la ganancia para disminuir el sobrepaso aumenta el error en estado estable.

De antemano sabemos que el error en estado estable se puede mejorar al agregar un polo en lazo abierto en el origen en la trayectoria directa, aumentando el tipo de sistema y llevando a cero el error de estado estable relacionado.Este polo adicional en el origen requiere de un integrador para su construcción.

En resumen, entonces, la respuesta transitoria se mejora con la adición de un derivador y el error en estado estable con la adición de un integrador en la trayectoria directa.Los nombres relacionados con los compensadores provienen del método de implementar el compensador.Los sistemas que alimentan el error en forma directa a la planta se llaman Sistemas de control proporcionales.

Los sistemas que alimentan la integral del error a la planta se llaman Sistemas de control integrales.Los sistemas que alimentan la derivada del error a la planta se llaman Sistemas de control derivativos.Si un sistema combina los 3 es llamado Controlador proporcional más integral más derivativo (PID).

Compensación Integral Ideal (PI)Un error en estado estable se puede mejorar si se coloca un polo en lazo abierto en el origen, porque aumenta el tipo de sistema.Por ejemplo un sistema tipo 0 que responde a una entrada escalón con un error finito, responde con error 0 si el tipo de sistema aumenta en 1.

La figura (a) muestra un sistema que opera con una respuesta transitoria deseable generada por los polos en lazo cerrado en A.Si agregamos un polo en el origen para reducir el error, el LGR ya no pasa por el punto A, es decir la forma de la respuesta transitoria ya no es la misma.

Para resolver este problema, también agregamos un cero cerca del polo en el origen.Ahora la aportación angular del polo y el cero se anulan y el punto A sigue en el LGR.Además la ganancia necesaria es casi la misma que antes de la compensación.

De esta forma, hemos mejorado el error en estado estable sin afectar de manera apreciable la respuesta transitoria.

Un compensador con un polo en el origen y un cero cerca del polo se llama Compensador integral ideal.

Ejemplo: Efecto de un compensador integral ideal

Dado el sistema de la figura (a), que opera con un factor de amortiguamiento relativo de 0.174. Demuestre que la adición de un compensador integral ideal que se muestra en la figura (b) reduce el error de estado estable para una entrada escalón sin afectar de manera apreciable la respuesta transitoria. Utilice MATLAB.

La simulación muestra que el sistema compensado tarda 18 segundos en llegar a estar dentro de 2% del valor final unitario, en tanto que el sistema no compensado tarda 6 segundos en estabilizarse dentro del 2% de su valor final de 0.892.La compensación puede parecer dar deterioro en el tiempo de asentamiento, pero note que el sistema compensado llega al valor final del sistema no compensado alrededor del mismo tiempo.El tiempo restante se emplea para mejorar el error en estado estable sobre el tiempo del sistema no compensado.

Controlador PILa figura siguiente muestra el método de implementar un compensador integral ideal.La red de compensación precede a G(s) y es un compensador integral ideal porque

sKK

sK

sKKGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+= 1

21

21

El valor final del cero se puede ajustar al hacer variar K2/K1

Como tiene control tanto proporcional como integral, al controlador integral ideal o compensador se le da el nombre de controlador PI.

sKK

sK

sK

KGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+= 1

21

21

Construcción Física

Los compensadores PI, PD y PID se construyen con circuitos activos.

)()(

)()(

1

2

sZsZ

sVsV

i

o −=

La tabla siguiente muestra la forma de implementar un controlador Proporcional más Integral.

sKKsK

sK

KGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+= 1

21

21

Ejemplo: Construcción de un Controlador PI

Para el sistema antes analizado construya físicamente el compensador PI.

Para este sistema obtuvimos que K = 154 entonces

Dando un valor de C = 1µF y despejandoR2

También tenemos queDespejando R1

( )s

CRs

RR

ssGc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=+

= 2

1

2

11.0154 1.01

2

=CR

Ω=××

= − MR 101011.0

162

1541

2 =RR

Ω== kR

R 9.64154

21

Nuestro compensador PI queda:

Compensación Derivativa ideal (PD)

Una forma de acelerar el sistema original, que generalmente funciona, es agregar un solo cero a la trayectoria directa.Este cero puede ser representado por un compensador cuya función de transferencia es Gc(s) = s + ZcEsta función, la suma de un diferenciador y una ganancia pura se llama derivativo ideal, o controlador PD.

Una adecuada selección de la posición del cero del compensador puede acelerar la respuesta sobre el sistema no compensado.A continuación se ilustran 3 ejemplos sencillos, donde el sistema no compensado de la primer figura operando con factor de amortiguamiento relativo de 0.4 cambia por la adición de un cero compensador en -2, -3 y -4 en las figuras b), c) y d) respectivamente.

Observe que cuando el cero se coloca mas alejado de los polos dominantes, los polos dominantes compensados en lazo cerrado se mueven hacia el origen o hacia los polos dominantes en lazo cerrado no compensados.

Cada uno de los casos compensados tiene polos dominantes con el mismo factor de amortiguamiento relativo que el caso no compensado.De esta manera pronosticamos que todos tendrán el mismo sobrepaso en porcentaje.

Un beneficio agregado es la mejoría en el error en estado estable, sin embargo no siempre es el caso.

Ejemplo: Diseño de un compensador derivativo ideal

Dado el siguiente sistema, diseñe un compensador derivativo ideal para obtener un sobrepaso de 16%, con una reducción en el tiempo de asentamiento de 1/3 del sistema original.

Controlador PDLa figura siguiente muestra un controladorproporcional más derivativo.La función de transferencia es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2

1212 K

KsKKsKGc

K1/K2 se selecciona para igualar el negativo del cero del compensador, y K2 se selecciona para aportar al valor necesario de ganancia.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2

1212 K

KsKKsKGc

Construcción Física de un controlador PD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

2

1212 K

KsKKsKGc

Ejemplo: Construcción física del compensador PD

Para el Compensador PD resultante del problema anterior, construya un controlador PD con circuitos activos.

Igualando las formulas

Dando un valor de C = 10µF y despejandoR1

Despejando R2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=+×=

CRsCRsGc

12

1)3(48

Ω=×∗

= − kR 3.3310103

161

Ω=×

= − MR 8.41010

4862

Nuestro compensador PD queda

Vi Vo

R24.8M

R133k

+

C110uF

Mejoramiento del error en estadoestable y la respuesta transitoria

Si juntamos los 2 controladores anterioresobtenemos mejoría en el error en estado estable y en la respuesta transitoria de forma independiente. A este compensador se le llama Controlador Proporcional más Integral más Derivativo (PID).

En esencia, primero mejoramos la respuesta transitoria mediante el compensador derivativo, y enseguida mejoramos el error en estado estable con un compensador integral.Una desventaja de este método es la ligera disminución en la velocidad de la respuesta cuando se mejorar el error en estado estable.

Como alternativa, podemos primero mejorar el error en estado estable y luego seguir con el diseño para mejorar la respuesta transitoria. Una desventaja de este método es que la mejoría en respuesta transitoria, en algunos casos deteriora la mejoría del error en estado estable que se diseñóprimero.

Diseño de un controlador PIDEn la figura se muestra un controlador PID. Su función de transferencia es

sKK

sKK

sK

ssKKsK

sKs

KKsGc⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=++

=++= 3

2

3

1232

3213

21)(

La técnica de diseño usada en el próximo ejemplo es la siguiente:

1. Evaluación del desempeño del sistema no compensado para determinar cuánta mejoría se necesita en respuesta transitoria.

2. Diseño del controlador PD para satisfacer las especificaciones de respuesta transitoria. El diseño incluye la ubicación del cero y la ganancia de lazo.

3. Simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho.

4. Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho.

5. Diseño del controlador PI para obtener el error necesario en estado estable.

6. Determinación de las ganancias, K1, K2, K3.

7. Simulación del sistema para estar seguros que todos los requerimientos se hayan satisfecho.

8. Rediseño si la simulación demuestra que los requerimientos no se han satisfecho.

Ejemplo: Diseño de un controlador PID

Dado el sistema siguiente, diseñar un controlador PID para que el sistema pueda operar con un tiempo pico que es dos tercios del tiempo pico de un sistema no compensado a 20% de sobrepaso, y con error en estado estable cero para una entrada escalón.

ResultadosLa compensación PD mejoro la respuesta transitoria al reducir el tiempo necesario para llegar al primer pico, así como dar alguna mejoría en el error en estado estable. El controlador PID completo mejoró aun mas el error en estado estable sin cambiar de modo apreciable la respuesta transitoria diseñada con el controlador PD.Como hemos mencionado antes, el controlador PID exhibe una respuesta mas lenta que llega al valor final de 1.Si esto es indeseable, la velocidad del sistema debe aumentarse mediante un rediseño del compensador derivativo ideal o al mover el cero del PI más allá del origen.

La simulación desempeña una función importante en este tipo de diseño, puesto que nuestra ecuación derivada para el tiempo de asentamiento no es aplicable para esta parte de la respuesta, donde hay una lenta corrección del error en estado estable.

Nuestro Diagrama de Bloques es:

CONTRUCCIÓN FÍSICA DEL PID

Ejemplo: Construcción física del compensador PIDPara el Compensador PID resultante del problema anterior, construya un controlador PID con circuitos activos.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

sCR

sCRCC

RR 21

122

1

1

2

1

Comparando el diagrama con la ecuación tenemos:

1371

21

=CR

9.412 =CR

2762

1

1

2 =+CC

RR

Dando un valor de C2 = 0.1µFTenemos que R1 = 73kΩC1 = 27.3µFR2 = 179.48kΩEl circuito del PID queda:

AlSistem

100k

100kPuntoSum

+

C20.1uF

+

C127uF

R2180k

R173k

Se acostumbra conectar los compensadores por separado en paralelo:

Proporcional

Integral

Derivativo

AlSistemPuntoSum +

++27uF

+

+0.1uF

+

100k

100k

179k10

10 R101k

73k

100k

R91k

R81k

1k

270k