Compensadores de adelanto-atraso de fasedea.unsj.edu.ar/control2/Clase05d-1-Diseno de...Diseño de...

Compensadores de adelanto-atraso de fase

Fernando di Sciascio

La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta eincrementa la estabilidad del sistema. La compensación de retardomejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce lavelocidad de la respuesta.

Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta enestado estacionario, deben utilizarse de forma simultánea uncompensador de adelanto y un compensador de retardo. Sin embargo,en lugar de introducir un compensador de adelanto y un compensadorde retardo, ambos como elementos independientes, es más económicoutilizar únicamente un compensador de retardo‐adelanto.

La compensación de retardo‐adelanto combina las ventajas de lascompensaciones de retardo y de adelanto. Debido a que elcompensador de retardo‐adelanto posee dos polos y dos ceros, talcompensación aumenta en 2 el orden del sistema, a menos que ocurrauna cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.

aba b

a b

ö öæ æ÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç ¹÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç < >÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç >è èø ø

1 2

1 2 2 1

1 11

( ) ,1, 11 1c c

adelanto atraso

Dos gradoss sT T

G s K

de libe

s sT T T

tad

T

r


ab bb

b

ö öæ æ÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= = >ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ >ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè èø ø

1 2

2 11 2

1 1

( ) , 1 , 11c c

adelanto atraso

s sT T

G s Ks

Un gradosde libertad

s T TT T


Diseño de un compensador de adelanto-atraso de fasede dos grados de libertad

· A partir de las especificaciones de comportamientotransitorio, se determina la localización deseada para lospolos dominantes en lazo cerrado sd = d ± jd .

· Se calcula con G(sd) la contribución requerida delángulo f de la parte de adelanto de fase delcompensador de retardo‐adelanto para que el lugar delas raíces modificado pase por sd.

Diseño de compensadores de adelanto-atraso

· A partir de las especificaciones de comportamiento enestado estacionario, se determina la ganancia estáticanecesaria Kn (n es el tipo de sistema, 0, 1 o 2).

· A partir de las especificaciones de comportamientotransitorio, se determina la localización deseada para lospolos dominantes en lazo cerrado sd = d ± jd .

· Se calcula con G(sd) la contribución requerida delángulo f de la parte de adelanto de fase delcompensador de retardo‐adelanto para que el lugar delas raíces modificado pase por sd.

Diseño de compensadores de adelanto-atraso

Entonces se conoce: 1) sd = d ±jd , 2) Kn y 3) f


● El compensador tiene cinco parámetros paradeterminar: a, b, T1, T2 y Kc , son demasiados.Precisamente este controlador es de dos grados delibertad porque el diseñador puede elegir dosparámetros libremente. Normalmente se eligen b y T1,(la posición del cero de la parte de adelanto con algunode los criterios vistos anteriormente, por ejemplo, elmétodo de la bisectriz).

aba b

a b

ö öæ æ÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç ¹÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç < >÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç >è èø ø

1 2

1 2 2 1

1 11

( ) ,1, 11 1c c

Dos gradosds sT T

G

e libert

s Ks s

T T T

a

T

d

Diseño de compensadores de adelanto-atraso de 2gdl

· Para la parte de adelanto, se adopta T1 (la posicióndel cero) y se determina el valor de a con lacondición de fase.

fa

a

a

+ö öæ æ÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è èø ø+

ß

1

1 1

1

11 1

1

d

d d

d

sT

s sT T

sT


Se conocen sd , T1 yf, se despeja a

En este punto se conocen dos de los cinco parámetros delcompensador: a y T1, faltan determinar b, T2 y Kc .

· Para la parte de atraso de fase, se adopta el valor de b(normalmente se elije b=10) y se selecciona T2 losuficientemente grande para que se modifique poco ellugar de las raíces, esto implica al aplicar las condicionesde magnitud y de fase que:

b

+»

+

2

2

1

11

d

d

sT

sT b

+- < <

+

o 2

2

1

5 01

d

d

sT

sT

El valor de b T2, la constante de tiempo mayor delcompensador de retardo‐adelanto, no debe ser demasiadogrande con el fin de que pueda materializarse físicamente.


(0)c cG K=

= = =

0 0lim ( ) ( ) (0) lim ( ) (0)

SCn

n n SCn c c c ns s

K

K s G s G s G s G s G K

ab= nc SC

n

KK

K

En este punto ya se conocen cuatro de los cincoparámetros del compensador: a, b, T1, T2 y, faltadeterminar Kc .Encontramos Kc aplicando la ecuación de la gananciaestática en estado estacionario

ab=(0)c cG K


El diseño está completo ya que se obtuvieron loscinco parámetros de compensador.

es la gananciaestática sin compensarSCnK

Ejemplo de diseño de un compensador de

adelanto-atraso de fasede dos grados de libertad

Consideremos el mismo sistema que utilizamos anteriormente con lasmismas especificaciones

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s=

+ +

1,2

% 16% 0.504

1.5 5 2.7 4.6.3 /n

Os Polosdominantesen

Ts seg rad s s jeg

zw = -

= =

= =

La constante de error de velocidad estática Kv=50seg‐1 o equivalen‐temente el error en estado estacionario de seguimiento a una rampaunitaria ess = 1/Kv = 0.02seg

Ejemplo de compensación de adelanto-atraso

Utilizamos un compensador de dos grados de libertada b ¹1.

1 2

2 11 2

1 1 1

1, 1( ) ,1 1c c

s sT T

G s Ks s T T

T T

aba b

a b

æ ö æ ö÷ ÷ç ç ¹+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç < >= ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç+ + >÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø

1 2

2 1

1 2

1 143.35 ( )( )

1( ) ( ) ,

1 1( 4)( 6)( )( )

c

c

K s sT T

G s G sT T

s s s s sT T

ab

a b

+ +¹

=>

+ + + +


aa

+ö öæ æ÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è èø ø+

1

1 1

1

11 1

68.51

d

d d

d

sT

s sT T

sT

Vimos que la deficiencia de fase para este problema esfc =68.5o


Colocamos el cero del compensador en zc = ‐3.

= - = - = =11 1

3 0.333c

c

z Tz

Buscamos con la condición de fase la posición del polo delcompensador.

q

q

q

- - - + - = -

- - = -

= - =

54.34 74.22 86,27 120 180

162.29 180

180 162.29 17.71

pc

pc

pc

17.71pcq =

17.71 2.7 4.6 / tan(17.71 * / 180) 17.11pc cp piq = = + =

= 17.11cpa = = =

30.175

17.11c

c

z

p

a = 0.175

Para la parte de retardo de fase, se selecciona T2 tal quesatisfaga las condiciones

=- +

+»

+

2

2 2.7 4.6

1

11

10d

d

d

s j

sT

sT

=- +

+- < <

+

2

22.7 4.6

1

5 01

10d

d

d

s j

sT

sT

Se prueba con T2=10seg

=- +

+= »

+2.7 4.6

0.10.9916 1

0.01d

d

d s j

s

s

=- +

+- < = - » - <

+

2.7 4.6

0.15 119.48 120.50 1 0

0.01d

d

ds j

s

s

(0)c cG K=

ab

ab

-

= =

= =´

0 0

1

lim ( ) ( ) lim ( )

43.3550

4 6

v

vC c cs s

K

c

K sG s G s K sG s

K seg

(0)c cG Kab=

27.68cKab =

Como el requisito sobre la constante de error estático develocidad Kv es de 50 seg‐1, se tiene que:


De la parte de adelanto se obtuvo a=0.175 y de la parte deatraso b=10.Ahora podemos despejar Kc para cumplir con la condición demódulo. ab = ´ ´ =

ß

= »

0.175 10 27.68

27.6815.8

1.75

c c

c

K K

K

15.8cK =


15.8( 3)( 0.1)( )

( 17.11)( 0.01)cs s

G ss s

+ +=

+ +

El diseño esta competo, se obtuvo el siguientecompensador de atraso‐adelanto de un grado de libertad


15.8( 3)( 0.1)( )

( 17.11)( 0.01)cs s

G ss s

+ +=

+ +

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s=

+ +

Resumen Dado el proceso:

Se diseño un compensador de atraso‐adelanto para que elsistema cumpla con las especificaciones:

El compensador obtenido es:

685( 3)( 0.1)( ) ( ) ( )

( 17.11)( 6)( 4)( 0.01)cs s

L s G s G ss s s s s

+ += =

+ + + +

2

685( 3)( 0.1)( )

( 19.77)( 2.76)( 0.1018)( 4.486 36.98)

s sT s

s s s s s

+ +=

+ + + + +

%OS = 16%, Ts = 1.5seg, ess = 1/Kv = 0.02seg

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s=

+ +

2

43.35( )

( 7.6)( 2.41 5.7)T s

s s s=

+ + +

Ahora verificamos si se cumplen las especificaciones

Sistema original sin compensar

685( 3)( 0.1)( )

( 17.11)( 6)( 4)( 0.01)s s

L ss s s s s

+ +=

+ + + +

2

685( 3)( 0.1)( )

( 19.77)( 2.76)( 0.1018)( 4.486 36.98)c

s sT s

s s s s s

+ +=

+ + + + +

Sistemacompensado

Lugar de las raíces para los sistemas sin compensar ycompensado

Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas sincompensar y compensado

Respuesta al un escalón unitario de los sistemas sincompensar y compensado

Diseño de un compensador de adelanto-atraso de fase

de un grado de libertad

· Como siempre, en el diseño de compensadores clásicos sedetermina mediante las especificaciones decomportamiento transitorio la localización de los polosdominantes en lazo cerrado sd = d ± jd .

· Se calcula con G(sd) la contribución requerida delángulo f de la parte de adelanto de fase del compensadorde retardo‐adelanto para que el lugar de las raícesmodificado pase por sd.

Se conoce: i) sd = d + jd , 2) Kn y 3) f



● El compensador ahora tiene cuatro parámetros paradeterminar: b, T1, T2 y Kc . Este controlador es de ungrado de libertad porque el diseñador puede elegirsolamente un parámetro libremente. Normalmente seelige T2, (la posición del cero de la parte de atraso defase), ahora la posición del cero de la parte de adelantoespecificada por T1no puede elegirse libremente.

aba b bb

b

ö öæ æ÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç =÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç = >÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç >è èø ø

1 2

1 2 2 1

1 11

( ) ,1 / , 11c c

Uns sT T

G s

gradode liberta

sT

d

KsT T T


(0)c cG K=

= = =

0 0lim ( ) ( ) (0) lim ( ) (0)

SCn

n n SCn c c c ns s

K

K s G s G s G s G s G K

= nc SC

n

KK

K

Obtenemos Kc aplicando la ecuación de la gananciaestática en estado estacionario


Ahora Gc(0) es:

es la gananciaestática sin compensarSCnK

1 2

01 2

1 1(0) lim

1c c cs

s T s TG K K

s T s T

¤ ¤

b ¤ ¤b

éæ öæ öù+ +÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç+ +÷ ÷ç çè øè øê úë û

Los valores de T1 y b (posición del cero y el polo del compensador) dela parte de adelanto se determinan unívocamente a partir de lascondiciones de magnitud y de fase:

11

1 1

1 /1 /( ) ( ) 1

/ /dd

c d c dd d

s Ts TK G s K G ss T s Tb b

++= =

+ +


rb

+= =

+1

1

1 / 1/ ( )

d

d c d

s T

s T K G s

1

1

1

1

1 / a/ b

1

d d c

d d c

d

d

s T s z

s T s p

sT

sT

rb

fb

+ -= = =

+ -

+=

+

Dos ecuaciones con dos incógnitas. Yano se puede colocar el cero zcarbitrariamente como hicimos antes.

Hay una sola configuración de los lados del triángulo a y b quedeterminan las posiciones del cero zc y del polo pc (o lo que esequivalente de los parámetros =pc/zc y T1=1/|zc|). La solución delproblema (un poco larga y tediosa) se obtiene mediante la teoríaelemental de triángulos y trigonometría. Las siguientes fórmulas danlas posiciones del cero zc y el polo pc en función de la posición del polodominante sd=σd+jωd, la condición de magnitud () y la condición defase (f).

c

( )z = +

( )d d

cos

sen

r fs w

f

æ ö÷ç ÷ç ÷çççè ø

-÷÷ c

( ) 1p = +

( )d d

cos

sen

r fs w

r f

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

IMPORTANTELas dos fórmulas de abajo que permiten encontrar lasposiciones del cero zc y del polo pc deben utilizarse conprecaución. Cuando la contribución requerida del ángulof excede un valor máximo determinado fmax , zc sehace positiva (cero de fase no‐mínima) y eso no esaceptable para un compensador. En este caso, se debeimplementar el compensador con dos o más etapas.

c

( )z = +

( )d d

cos

sen

r fs w

f


-÷÷

c

( ) 1p = +

( )d d

cos

sen

r fs w

r f


Ejemplo: En la siguiente secuencia de cálculos, se mantieneconstante la posición del polo deseado sd = σd+jωd =1+j y lacondición de magnitud =0.6 y se varía la contribución requeridadel ángulo para los valores f= 10o, 53.13o, 75o , 109.9o y 130o.

Resumen sobre el cálculo de las posiciones del cero zc y el polopc del compensador de adelanto de fase en función de laposición del polo dominante sd=σd+jωd, la condición demagnitud () y la condición de fase (f) vienen dadas por lasecuaciones:

c

( )z = +

( )d d

cos

sen

r fs w

f


-÷÷

c

( ) 1p = +

( )d d

cos

sen

r fs w

r f


r k k rf f

k-

öæ - + - ÷ç ÷ç£ = ÷ç ÷ç + ÷çè ø

2 21

max(1 )

cos1

sk

w

öæ ÷ç ÷= ç ÷ç ÷è ø

2d

dconpara

Si la contribución de fase requerida del compensador f excedeel valor máximo fmax el compensador de adelanto se debeimplementar con n etapas idénticas, donde cada etapa aporta1/n del ángulo requerido).

Finalmente el diseño se completa seleccionando T2 quedetermina las posiciones del polo y el cero de la parte deretardo de fase (recordar que ya se conoce b) tal quesatisfaga las especificaciones y no modifique mucho el lugarde las raíces.

b

+»

+

2

2

1

11

d

d

sT

sT b

+- < <

+

2

2

1

5 01

d

d

sT

sT


Consideremos el mismo sistema que utilizamosanteriormente con las mismas especificaciones

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s=

+ +

1,2

% 16% 0.504

1.5 5 2.7 4.6.3 /n

OS Polosdominantesen

Ts seg rad s s jeg

zw = -

= =

= =

La constante de error de velocidad estática Kv=50seg‐1 oequivalentemente el error en estado estacionario deseguimiento a una rampa unitaria ess = 1/Kv = 0.02seg


(0)c cG K=

1

0

43.35lim ( ) ( ) 1.81 50

42

67.68c

v c ccs

KK sG s G s K Kseg-

= = = = =

´

Como el requisito sobre la constante de error estático de velocidadKv es de 50 seg‐1, se tiene que (observar que )

Los valores de T1 y b (posición del cero y el polo delcompensador) de la parte de adelanto se determinan a partir delas condiciones de magnitud y de fase:

b+

=+

1

1

1 /( ) 1

/d

c dd

s TK G ss T

1 11 1

2.7 4.61 1

1 1

1 1

43.35 27.68 81

( 4)( 6) 4.77s j

s sT T

s s ss s

T Tb b=- +

+ +´

= =+ +

+ +


b b=- +

+ +´= =

+ + + +1

1 1

1 1 1 1 12.7 4.6

1 / 1 /43.35 27.688.33 1

/ ( 4)( 6) /d d

d ds j

s T s T

s T s s s s T

rb

=- +

+= = = =

+1

1

1 2.7 4.6

1 / 1 30.12

/ 8.33 25d

d s j

s T

s T

bf

b

+ ö öæ æ÷ ÷ç ç÷ ÷= = + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è èø ø+

1

1 1

1

11

68.5d

c d d

d

sT

s sT T

sT

Vimos que para este sistema la deficiencia de fase esfc =68.5o


0.12r =

68.5cf =

rb

bf

+= =

+

ö öæ æ÷ ÷ç ç÷ ÷= + - + =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è èø ø

1

1

1 1

1 /0.12

/

168.5

d

d

c d d

s T

s T

s sT T

Las condición de magnitud () y de fase (fc), determinan demanera unívoca los valores de la constante de tiempo T1 y elparámetro b (o lo que es equivalente las posiciones del cero zc yel polo pc del compensador).

Esto es así porque al elegir b =1/a se ha perdido un grado delibertad y se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Ya no sepuede colocar el cero zc arbitrariamente como hicimosanteriormente.

a0.12 , 68.5

b c c cz pr f½ ½

= = = - =½ ½

Las condición de módulo es el cociente entre losmódulos de los vectores a y b ( =½a½/½b½) y la condiciónde fase fc la diferencia de ángulo entre zc y pc.

Para nuestro ejemplo: σd=‐2.7, ωd=4.6, =0.12, fc =68.5º.Aplicando las fórmulas

se obtiene: 1 1c c

c c 1 c

z = 3.92 , p = 42.1

=p /z 10.74 , 1 / z 0.26

seg seg

T segb

- -- -

= = =

c c

( ) ( ) 1z = + , p = +

( ) ( )c c

d d d dc c

cos cos

sen sen

r f r fs w s w

f r f

æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ çè ø

-

÷çè ø

Para la parte de retardo de fase, se selecciona T2 (el últimoparámetro del compensador que resta definir) tal que satisfagalas especificaciones y no modifique mucho el lugar de las raíces.

2 2

2 2

2.7 4.62.7 4.6

1 1

1 5 01 1

10.76 10.76

,

dd

d d

d d

s js j

s sT T

s sT T

b b=- +

=- +

+ +» - < <

+ +

Probamos con T2=10seg

2.7 4.6

0.10.9915 1

0.0093d

d

d js

s

s=- +

+= »

+

2.7 4.6

0.15 119.48 120.32 0.85 0

0.0093d

d

ds j

s

s=- +

+- < = - = - <

+

Se observa que paraT2=10seg se verifican lascondiciones.

27.68( 3.92)( 0.1)( )

( 42)( 0.01)cs s

G ss s

+ +=

+ +

Se obtuvo un compensador de atraso‐adelanto de un gradode libertad con los siguientes cuatro parámetros:

Kc=27.68, b=10.74, T1=0.26seg, T2=10seg

27.68( 3.92)( 0.1)( )

( 42)( 0.01)cs s

G ss s

+ +=

+ +

43.35( )

( 4)( 6)G s

s s s=

+ +

Resumen:Dado el proceso

Se diseñó un compensador de atraso‐adelanto para que elsistema cumpla con las siguientes especificaciones:

Se obtuvo el siguiente controlador de atraso‐adelanto

1200( 3.92)( 0.1)( ) ( ) ( )

( 42)( 6)( 4)( 0.01)c

s sL s G s G s

s s s s s

+ += =

+ + + +

2

1200( 3.92)( 0.1)( )

( 42.76)( 3.891)( 0.102)( 5.254 27.72)

s sT s

s s s s s

+ +=

+ + + + +

%OS = 16%, Ts = 1.5seg, ess = 1/Kv = 0.02seg

Lugar de las raíces para los sistemas sin compensar ycompensado

Respuesta a una rampa unitaria de los sistemas sincompensar y compensado

Respuesta al un escalón unitario de los sistemas sincompensar y compensado

CompensadorProporcional-Integral-Derivativo

(PID)

La función de transferencia de un controlador PID ideal es:

Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

2 21 21

( ) 1 n nc p d i p d p

i

s sG s K K s K s K T s K

Ts s

zw w-æ öæ ö + + ÷ç÷ç ÷÷ ç= + + = + + =ç ÷÷ çç ÷÷ç ÷çè ø è ø

Los ceros pueden ser reales o complejos conjugados.

El PID es un caso especial de un compensador de adelanto‐atraso conel polo de la parte de atraso en el origen y el polo de la parte deadelanto en el infinito.

Primer método. En el primermétodo, la respuesta de laplanta a una entrada escalónunitario se obtiene de maneraexperimental, tal como semuestra en la Figura.

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID

La función de transferenciaC(s)/U(s) se aproxima medianteun sistema de primer orden con unretardo.

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdocon la fórmula que se muestra en la Tabla.


El controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas deZiegler‐Nichols produce un polo en el origen y un cero doble en s=-1/L.

Segundo método. En el segundo método, primero se fija Ti= ∞ y Td=0.Usando sólo la acción de control proporcional, se incrementa Kp desde 0hasta un valor crítico Kcr, en donde la salida presente oscilaciones sostenidas.


Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PIDZiegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdocon la fórmula que se muestra en la Tabla.

El controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas deZiegler‐Nichols produce un polo en el origen y un cero doble en s=-4/Pcr.Observar que Kcr y Pcr pueden obtenerse del Lugar de las Raíces en los crucesde las ramas por el eje j.

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