Fundamentos de Investigacion de Operaciones

Certamen # 1

Alvaro Luzzi

8 de Septiembre de 2014

Instrucciones:

Responda cada pregunta en una hoja separada identificada con nombre y rol UTFSM.

En caso de no responder una pregunta entregue una hoja en blanco bien identificada.

Escriba las respuestas con tinta para tener derecho a eventuales recorrecciones.

Cada pregunta se evalua con una escala de 100 puntos y representa1

3del certamen.

Tiempo: 120 minutos.

No se permite ningun material de apoyo.

1. Una empresa de arriendo de vehculos desea establecer la flota de automoviles, camionetas y jeeps parael presente ano. Para tales efectos, estudia la adquisicion de vehculos de los tres tipos. Todos lo vehculoscomprados son depreciados y pagados en un perodo de 2 anos, despues del cual son vendidos. La tablasiguiente muestra el precio de compra y los ingresos del perodo para los tres tipos de vehculo (losingresos para el segundo ano incluyen el valor de salvataje).

Vehculo Costo [US$] Ingresos primer ano [US$] Ingresos segundo ano [US$]

Automovil 7000 3000 5400Camioneta 6500 2300 5300

Jeep 5800 2100 5000

Aun cuando la empresa puede pagar el costo de lo vehculos inmediatamente, puede tambien decidirdiferir parte del costo de los vehculos al final del primer o segundo ano. El costo del credito es de 14 %anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20 % de la inversion inicial al recibir un vehculo y porlo menos el 50 % de la inversion inicial mas los intereses del credito debe haber sido pagados al final delprimer ano. La empresa consta con US$2000000 para la compra de vehculos este ano.

La compana usa una tasa de descuento de 15 % para efectos de financiamiento (es decir, US$100 de hoyvalen US$85 dentro de un ano). Todo excedente en cualquier ano es invertido en otros rubros y, por lotanto, no puede considerarse en pagos futuros.

Formule un modelo de programacion lineal para el problema. Defina claramente variables, funcion obje-tivo y restricciones.

1

ILI-281 Fundamentos de Investigacion de Operaciones Departamento de Informatica, UTFSM

2. Considerando el siguiente modelo de programacion lineal:

Max z x1 + 3x2 + x3 + 4x4Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 35 (1)

2x1 + x2 x3 x4 20 (2)x1 + 3x2 4 (3)x4 x2 10 (4)

x1, x2, x3, x4 0

Encuentre la solucion optima mediante Simplex.

3. Considere el siguiente modelo de programacion lineal:

Min z = 3x1 + 5x2 x3 + 2x4 + x5

Sujeto a x1 + x2 10x3 3x4 + 4x5 x1 x2 10x4 x3 + x5 6x1 + x2 + x3 + x4 + x5 10x1, x2, x3, x4, x5 0

y el tableau final:

x1 x2 x3 x4 x5 s1 e2 a2 e3 a3 e4 a4 e5 a5Base cj 3 5 -1 2 1 0 0 M 0 M 0 M 0 M bis1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10e5 0 -1 -1 0 0 0 0 -2 2 0 0 -1 1 1 -1 2x5 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 9e3 0 1 1 0 3 0 0 -4 4 1 -1 -4 4 0 0 26x3 -1 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 3

zj 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 6cj zj 3 5 0 1 0 0 0 M 0 M 1 M-1 0 M

Responda las siguientes preguntas:

1. Considere que el coeficiente de x1 se reduce en 2, cambia esto la base?

2. Que valores debera tomar el coeficiente de x5 para que salga de la base?

3. El valor de la tercera restriccion pasa a ser 16, Como cambia esto la solucion optima?

4. Como vara la base si b2 = 2b2 + 1? Cuales son los nuevos valores.?

5. Se define una nueva restriccion x3 + 2x4 + 5x5 20 y otra x3x5 +x4 447 . Determine que efectotiene cada una en la base del problema.

6. Sea y una nueva variable tal que cy = 1. Por requerimiento se agrega 3y en la segunda restricciony +y en la cuarta. Determine si esta variable puede ser parte de la solucion optima.

7. Como afecta la modificacion de un coeficiente aij la region factible del modelo?

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1. Variables (15 ptos.):

xi : cantidad de vehculos del tipo i.yij : cantidad de dinero pagado por el vehculo del tipo i en el ano j.zj : cantidad de dinero pagado por intereses en el ano j.

Funcion Objetivo (10 ptos.):

Maxz = 0,85(3000x1 + 2300x2 + 2100x3) + 0,7225(5400x1 + 5300x2 + 5000x3) (y10 + y20 +y30) + 0,85(y11 + y21 + y31 + z1) + 0,7225(y12 + y22 + y32 + z2)

Restricciones (75 ptos.):

Cantidad de dinero pagado por vehculos en el perodo de dos anos. (15 ptos.)

7000x1 = y10 + y11 + y126500x2 = y20 + y21 + y225800x3 = y30 + y31 + y32

Cantidad de dinero disponible para la compra de vehiculos (inicial). (5 ptos.)

y10 + y20 + y30 2000000 Cantidad de dinero disponible para la compra de vehiculos al final del primer ano. (5 ptos.)

y11 + y21 + y31 + z1 3000x1 + 2300x2 + 2100x3 Cantidad de dinero disponible para la compra de vehiculos al final del segundo ano. (5 ptos.)

y12 + y22 + y32 + z2 5400x1 + 5300x2 + 5000x3 Cantidad de dinero pagado en interese el primer ano. (5 ptos.)

z1 = 0,14(7000x1 + 6500x2 + 5800x3 y10 y20 y30) Cantidad de dinero pagado en interese el segundo ano. (5 ptos.)

z2 = 0,14(7000x1 + 6500x2 + 5800x3 y10 y20 y30 y11 y21 y31) Por lo menos el 20 % del valor de los vehculos debe pagarse al inicio. (10 ptos.)

y10 + y20 + y30 0,2(7000x1 + 6500x2 + 5800x3) Por lo menos el 50 % del valor de los vehculos debe pagarse al final del primer ano. (10 ptos.)

y10 + y20 + y30 + y11 + y21 + y31 0,5(7000x1 + 6500x2 + 5800x3) Naturaleza. (15 ptos.)

xi, yij , zj 0, i, j

3

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2. Considerando el siguiente modelo de programacion lineal:

Max z x1 + 3x2 + x3 + 4x4Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 35 (1)

2x1 + x2 x3 x4 20 (2)x1 + 3x2 4 (3)x4 x2 10 (4)

x1, x2, x3, x4 0

Encuente la solucion optima mediante Simplex.

Estandarizacion (10 ptos.):

Max z x1 + 3x2 + x3 + 4x4 + 0s1 + 0s2 + 0e3 + 0e4 Ma3 Ma4Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 + s1 = 35 (1)

2x1 + x2 x3 x4 + s2 = 20 (2)x1 + 3x2 e3 + a3 = 4 (3)x4 x2 e3 + a3 = 10 (4)

x1, x2, x3, x4, s1, s2, e3, e4, a3, a4 0Tableau inicial (15 ptos.):

x1 x2 x3 x4 s1 s2 e3 a3 e4 a4Base cj 1 3 1 4 0 0 0 M 0 M bi biaijs1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 35 35s2 0 2 1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 20 20a3 M 1 3 0 0 0 0 -1 1 0 0 4 43a4 M 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 1 10

zj M 2M 0 M 0 0 M M M M 14Mcj zj M + 1 2M + 3 1 M + 4 0 0 M 0 M 0

Primera iteracion (25 ptos.):

x1 x2 x3 x4 s1 s2 e3 a3 e4 a4Base cj 1 3 1 4 0 0 0 M 0 M bi biaijs1 0

23 0 1 1 1 0

13 -

13 0 0

1013

1013

s2 053 0 -1 -1 0 1

13 -

13 0 0

563

x2 313 1 0 0 0 0 -

13

13 0 0

43

a4 M 13 0 0 1 0 0 - 13 13 -1 1 343 343zj -

M3 3 0 M 0 0 M3 -M3 M M 34M3 + 4

cj zj 1 + M3 0 1 M + 4 0 0 -M3 - 2M3 M 0Segunda iteracion (25 ptos.):

x1 x2 x3 x4 s1 s2 e3 a3 e4 a4Base cj 1 3 1 4 0 0 0 M 0 M bi biaijs1 0

13 0 1 0 1 0

23 -

23 1 -1

673

673

s2 0 2 0 -1 0 0 1 0 0 -1 1 30 x2 3

13 1 0 0 0 0 -

13

13 0 0

43

x4 413 0 0 1 0 0 -

13

13 -1 1

343

zj73 3 0 4 0 0

73

73 -4 4

1483

cj zj 43 0 1 0 0 0 73 M 73 4 -M + 4Tercera iteracion (25 ptos.):

4

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x1 x2 x3 x4 s1 s2 e3 a3 e4 a4Base cj 1 3 1 4 0 0 0 M 0 M bi biaije4 0

13 0 1 0 1 0

23 -

23 1 -1

673

s2 073 0 0 0 1 1

23 -

23 0 0

1573

x2 313 1 0 0 0 0 -

13

13 0 0

43

x4 423 0 1 1 1 0

13 -

13 0 0

1013

zj113 3 4 4 4 0

13 -

13 0 0

4163

cj zj 83 0 -3 0 -4 0 -13 M + 13 0 M

5

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3. Considere el siguiente modelo de programacion lineal:

Min z = 3x1 + 5x2 x3 + 2x4 + x5

Sujeto a x1 + x2 10x3 3x4 + 4x5 x1 x2 10x4 x3 + x5 6x1 + x2 + x3 + x4 + x5 10x1, x2, x3, x4, x5 0

y el tableau final:

x1 x2 x3 x4 x5 s1 e2 a2 e3 a3 e4 a4 e5 a5Base cj 3 5 -1 2 1 0 0 M 0 M 0 M 0 M bis1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10e5 0 -1 -1 0 0 0 0 -2 2 0 0 -1 1 1 -1 2x5 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 9e3 0 1 1 0 3 0 0 -4 4 1 -1 -4 4 0 0 26x3 -1 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 3

zj 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 6cj zj 3 5 0 1 0 0 0 M 0 M 1 M-1 0 M

Responda las siguientes preguntas:

1. Considere que el coeficiente de x1 se reduce en 2, cambia esto la base? (10 ptos.)

x1 x2 x3 x4 x5 s1 e2 a2 e3 a3 e4 a4 e5 a5Base cj 3+4 5 -1 2 1 0 0 M 0 M 0 M 0 M bis1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10e5 0 -1 -1 0 0 0 0 -2 2 0 0 -1 1 1 -1 2x5 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 9e3 0 1 1 0 3 0 0 -4 4 1 -1 -4 4 0 0 26x3 -1 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 3

zj 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 6cj zj 3+4 5 0 1 0 0 0 M 0 M 1 M-1 0 M

Como 3 +4 04 3 entonces la reduccion en 2 no afecta la base.2. Que valores debera tomar el coeficiente de x5 para que salga de la base? (15 ptos.)

x1 x2 x3 x4 x5 s1 e2 a2 e3 a3 e4 a4 e5 a5Base cj 3 5 -1 2 1 +4 0 0 M 0 M 0 M 0 M bis1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10e5 0 -1 -1 0 0 0 0 -2 2 0 0 -1 1 1 -1 2x5 1 +4 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 9e3 0 1 1 0 3 0 0 -4 4 1 -1 -4 4 0 0 26x3 -1 0 0 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 3

zj 0 0 -1 1 +4 1 0 4 4 0 0 -14 1+4 0 0 6cj zj 3 5 0 14 0 0 4 M4 0 M 1+4 M-14 0 M

14 04 14 04 0

M 4 04 M1 +4 04 1

M 14 04 M 1

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Por consiguiente 0 4 1, por lo tanto, si el coeficiente de x4 es menor que 1 o mayor a 2 lavariable saldra de la base.

3. El valor de la tercera restriccion pasa a ser 16, Como cambia esto la solucion optima? (10 ptos.)

Dado que la restriccion no esta activa, la solucion no cambiara mientras la variable artificial permita.

En este caso e3 = 26 por lo que se puede modificar b3 hasta 36 sin que se modifique la activacionde la restriccion, por lo que un cambio a 16 no tiene efecto en la solucion optima

4. Como vara la base si b2 = 2b2 + 1? Cuales son los nuevos valores.? (20 ptos.)

Como es una restriccion activa, es necesario hacer el analisis sobre la solucion completa

s1e5x5e3x3

=

1029263

4b2

02141

~0

2 + 24b2 09 +4b2 0

26 + 44b2 03 +4b2 0

4b2 1 1 4b2

Por lo tanto la base no cambia, solo afecta el valor final de la restriccion. Considerando que 4b2 = 7s1e5x5e3x3

=

1029263

4b2

02141

=

10 04b22 + 24b29 +4b2

26 + 44b23 +4b2

=

1016165410

5. Se define una nueva restriccion x3 + 2x4 + 5x5 20 y otra x3x5 +x4 447 . Determine que efecto

tiene cada una en la base del problema. (15 ptos.)

x3 + 2x4 + 5x5 20

Dado que x3 = 3 y x5 = 9 esta restriccion se cumple, por lo que no tiene efecto sobre la base.

x3 x5 + x4 447En este caso x3 x5 + x4 = 12 447 , por lo que es necesario buscar entre las bases calculadaspreviamente hasta encontrar una que cumpla con esta restriccion y agregarla ah al tableau.

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6. Sea y una nueva variable tal que cy = 1. Por requerimiento se agrega 3y en la segunda restricciony +y en la cuarta. Determine si esta variable puede ser parte de la solucion optima. (15 ptos.)

El aporte de esta variable es de 1.

El costo de esta variable es de

i aiy (cj zj)ei,si = 3 0 + 1 = 1

Por lo tanto en el mejor de los casos se obtiene una solucion alternativa

7. Como afecta la modificacion de un coeficiente aij la region factible del modelo? (15 ptos.)

Cada vez que se genera un cambio en los coeficientes aij de una restriccion esta cambia su grafico porlo que la region factible se modifica.

Incluso existen casos donde estas modificaciones terminan haciendo dos o mas restricciones lineales porlo que se pierde una al determinar la region factible.

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