PAUTA CERTAMEN 2 HIDRAULICA TEORICAMartes 24 de Mayo, 2016

Problema 1:

Un canal trapecial de hormigón (n = 0,014), con taludes 1 : 1, posee un ancho basal de 2 [m]. Eneste canal se poseen mediciones de altura de escurrimiento en A de 1,1 [m] y en B de 1,25 [m]. Elpunto A está ubicada a 134 [m] aguas arriba del punto B, con un desnivel de 0,268 [m].

a) Determine el caudal que escurre por el canal, explicando detalladamente sus suposiciones.

b) Clasifique el tipo de escurrimiento y analice la validez de su resultado.

c) Resuelva el problema en caso de que la altura en A hubiese sido 0,8 [m]. Analice la validezdel cálculo.

Solución:

a) Hay que hacer un análisis teórico del escurrimiento.

Las condiciones de flujo uniforme suponen el equilibrio entre las fuerzas gravitacionales y lasfuerzas de fricción viscosa, situación que ocurre cuando las características geométricas delcanal (i, n) y las características del flujo (Q) se han mantenido constantes durante ciertadistancia.

Sin embargo, en muchas situaciones esto no es así, por ejemplo ante variaciones de caudal,cambios de pendiente de fondo, presencia de algún elemento de control (compuerta, vertedero,etc).

En estos casos, la altura de escurrimiento no es constante dh/dx 6= 0, pero el flujo sigue siendopermanente y unidireccional. Esto corresponde a un Escurrimiento Permanente Variado oGradualmente Variado.

De esta forma, se tiene que sidh

dx6= 0 =⇒ i 6= J

A partir de la ecuación de energía y de la ecuación de continuidad se tiene:

dh

dx=

i− J1− F 2

r

dh

dx> 0 significa que el escurrimiento aumenta de altura

pero de acuerdo a la notación de signosdH

dx< 0 y

dz

dx< 0

=⇒ dH

dx= − J y

dz

dx= − i

1

Distancia calculada desde la profundidad

Corresponde a obtener la distancia ∆x a la que existe una altura h (que me la doy), conociendo lascondiciones hidráulicas de un punto anterior.

44x

(h+

V 2

2g

)= (i− J?)

1

(i− J?)4(h+

V 2

2g

)= 4x

1

(i− J?)

[(h+

V 2

2g

)i+1

−(h+

V 2

2g

)i

]= xi+1 − xi

xi+1 = xi +1

(i− J?)

[(h+

V 2

2g

)i+1

−(h+

V 2

2g

)i

]

J? corresponde a la pendiente de fricción entre los puntos (i) y (i+ 1), por lo tanto depende de lasalturas de escurrimiento en dichos puntos.

En general, J? puede determinarse como, Media aritmética: J? =Ji + Ji+1

2

Q n√J

=A5/3

P 2/3

Q n P 2/3

A5/3=√J

Q2 n2 P 4/3

A10/3= J

Ji+1 = Q2 n2P

4/3i+1

A10/3i+1

Ji = Q2 n2P

4/3i

A10/3i

2

[(h+

V 2

2g

)i+1

−(h+

V 2

2g

)i

]= (xi+1 − xi) (i− J?)(

hi+1 +V 2i+1

2g

)−(hi +

V 2i

2g

)= (xi+1 − xi)

(i− Ji

2− Ji+1

2

)(hi+1 − hi) +

V 2i+1

2g− V 2

i

2g= (xi+1 − xi)

(i− 1

2Q2 n2

P4/3i

A10/3i

− 1

2Q2 n2

P4/3i+1

A10/3i+1

)

(hi+1 − hi) +1

2g

Q2

A2i+1

− 1

2g

Q2

A2i

= (xi+1 − xi)

(i− n2

2

P4/3i

A10/3i

Q2 − n2

2

P4/3i+1

A10/3i+1

Q2

)

(4h) +1

2g

Q2

A2i+1

− 1

2g

Q2

A2i

= (4x)

(i− n2

2

P4/3i

A10/3i

Q2 − n2

2

P4/3i+1

A10/3i+1

Q2

)

4h+1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)Q2 = 4x i−4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)Q2

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)Q2 +

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)Q2 = 4x i−4h[

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)+

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)]Q2 = 4x i−4h

Q2 =4x i−4h[

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)+

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)]

Q =

4x i−4h[

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)+

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)]

1/2

Donde:

i =4z4x

=0,268

134= 0,002

n = 0,014

3

Canal trapezoidal:

m = 1 k = 1

A(h) = b h+ 12 h

2 (m+ k) = b h+ h2

P (h) = b+ h√

1 +m2 + h√

1 + k2 = b+ 2√

2 h

m k

1 1 hc

b

bc

xi xi+1 4x hi hi+1 4h b Ai Ai+1 Pi Pi+1

0 134 134 1.1 1.25 0.15 2 3.41 4.0625 5.1113 5.5355

Q =

4x i−4h[

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)+

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)]

1/2

=

√0,118

0,00184= 8,002 [m3/s]

b) Clasificación:Altura crítica:Q2 (b+ hc (m+ k)) = g

(b hc + 1

2 h2c (m+ k)

)3=⇒ hc = 0,9906 [m]

Altura normal:Q n√i

=A5/3

P 2/3=

(b h+ 1

2 h2 (m+ k)

)5/3(b+ h

√1 +m2 + h

√1 + k2

)2/3 =⇒ hn = 1,0771 [m]

Por lo tanto, el ejemplo correspondería a un rio peraltado, que puede ser producto de una singula-ridad aguas abajo del punto B, tal como un vertedero o una compuerta.

c) Si hi = 0,8 [m]

xi xi+1 4x hi hi+1 4h b Ai Ai+1 Pi Pi+1

0 134 134 0.8 1.25 0.45 2 2.24 4.0625 4.2627 5.5355

Q =

4x i−4h[

4x n2

2

(P

4/3i

A10/3i

+P

4/3i+1

A10/3i+1

)+

1

2g

(1

A2i+1

− 1

A2i

)]

1/2

=

√−0,182

0,000297= @

4

Problema 2:

El canal de la figura posee dos cambios de sección en los cuales la pérdida de energía singular sepuede considerar despreciable. La longitud de los tramos extremos es muy grande.Clasifique las pendientes y grafique los escurrimientos que se pueden dar dependiendo de la condiciónde salida, (Za, Zb, Zc) y de la longitud del tramo intermedio.

Solución:

Canal rectángular:

bc = b

A(h) = b h

P (h) = b+ 2h

Altura crítica: hc =

(Q2

g b2

)1/3

Altura normal:Q n√i

=A5/3

P 2/3=

(b h)5/3

(b+ 2h)2/3

hc

b

bc

5

Canal trapezoidal:

bc = b+ h (m+ k)

A(h) = b h+ 12 h

2 (m+ k)

P (h) = b+ h√

1 +m2 + h√

1 + k2

Altura crítica:Q2 (b+ hc (m+ k)) = g

(b hc + 1

2 h2c (m+ k)

)3Altura normal:Q n√i

=A5/3

P 2/3=

(b h+ 1

2 h2 (m+ k)

)5/3(b+ h

√1 +m2 + h

√1 + k2

)2/3m k

1 1 hc

b

bc

Zona Q [m3/s] b [m] n i hc [m] hn [m]

(1) 4 2 0.013 0.01 0.7418 0.528(2) 4 2 0.018 0.002 0.7418 1.2045(3) 4 2.5 0.023 0.002 0.5885 0.8682

Como la longitud de los tramos extremos es muy grande, entonces podemos decir que en el tramo1 y 3 se alcanza la altura normal de escurrimiento.

6

En el tramo 2 se pueden dar las siguientes situaciones, dependiendo de su longitud:

a) h < hc2

Entre tramo 1 y 2,

Entre tramo 2 y 3,

b) h = hc2

Entre tramo 1 y 2,

Entre tramo 2 y 3,

7

c) hc2 < h < hn2

Entre tramo 1 y 2, se produce resalto, si es sobre tramo 1, hay perfil S1, si es sobre tramo2, hay un perfil M3.

Entre tramo 2 y 3, se produce perfil M2

d) h = hn2 , si el tramo 2 llega a ser suficientemente largo.

Entre tramo 1 y 2,

Entre tramo 2 y 3,

8

hn

hc

za M1

hn

hc zb

hn

hc

zc

M2

9

Problema 3:

Un canal de sección triangular y rugosidad de Manning n = 0,018, que une dos embalses, estáconformado por dos tramos de las siguientes características:Tramo 1: L = 50 [m] (Horizontal) i = 0,020Tramo 2: L = 300 [m] (Horizontal) i = 0,002

a) Determinar una expresión para el caudal que transporta el sistema conociendo h1. (Se sabeque la pendiente del tramo 1 es fuerte).

b) Analice y dibuje cualitativamente los posibles ejes hidráulicos existentes en el sistema.

c) Determine cuantitativamente el eje hidráulico del canal para un caudal Q = 17 [m3/s]. En elcaso de existir un resalto, determine su ubicación.

Solución:

Canal triangular:

tan(π/3) =bc/2

h

bc = 2 tan(π/3) h = 2√

3 h

A(h) =√

3 h2

P (h) = 4 h

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Altura crítica: Imponemos la condición 1 = F 2r

1 =v2c

g A(hc)

bc

=Q2 bc

g A(hc)3=⇒ Q2

(2√

3 hc

)= g

(√3 h2c

)3Altura normal:

Q n√i

=A5/3

P 2/3=

(√3 h2

)5/3(4 h)2/3

De la geometría tenemos:

4H1 = i1 · l1 = 0,02 · 50 = 1 [m] =⇒ L1 =√4H2

1 + l21 = 50,01 ≈ 50

4H2 = i2 · l2 = 0,002 · 300 = 0,6 [m] =⇒ L2 =√4H2

2 + l22 = 300,001 ≈ 300

a) Determinar una expresión para el caudal que transporta el sistema conociendo h1. (Se sabeque la pendiente del tramo 1 es fuerte).

No conocemos el caudal Q, en este caso al saber que la pendiente del tramo 1 es fuerte, en-tonces el flujo está controlado por aguas arriba, y por lo tanto existiría crisis en la entrada yeste sería un punto de control.

Conservación de energía entre el estanque (1) y (c). Para un canal triangular debería cumplirseque:

H = hc +v2c2g

= hc +1

2g

Q2

A(hc)2

h1 = hc +1

2g

Q2

(√

3 h2c)2

= hc +1

6g

Q2

h4c

11

Por otro lado, como hc = f(Q, geometria)

Q2(

2√

3 hc

)= g

(√3 h2c

)3=⇒ Q2 =

g(√

3 h2c)3(

2√

3 hc) =

3

2g h5c

Reemplazando Q2 de la última ecuación en la ecuación de energía entre (1) y (c).

h1 = hc +1

6g

Q2

h4c= hc +

1

6g

1

h4c

g(√

3 h2c)3(

2√

3 hc) = hc +

(√

3)2

12√

3

h6ch5c

= hc +1

4hc =

5

4hc

=⇒ hc =4

5h1

Una vez determinada la altura crítica hc en función del valor de h1, se reemplaza para deter-minar el valor del caudal Q.

Q =

√3

2g h5c =

√3

2g

(4

5

)5

h51

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b) Analice y dibuje cualitativamente los posibles ejes hidráulicos existentes en el sistema.

c) Determine cuantitativamente el eje hidráulico del canal para un caudal Q = 17 [m3/s]. En elcaso de existir un resalto, determine su ubicación.

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