P1 Fundamentos Matemáticos en El Estudio de Los Sistemas Dinámicos

M. en C. Rodrigo Mora Martínez

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Unidad Profesional Interdisciplinaria de

Biotecnología

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Ingeniería Biomédica Manual de Laboratorio de Sistemas Dinámicos

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Practica 1: Fundamentos matemáticos en el estudio

de los sistemas dinámicos

Objetivo general:

Aplicar herramientas computacionales para la solución y/o manipulación de los elementos

matemáticos que se encuentran en el estudio de los sistemas dinámicos y las técnicas de

control de los mismos.

Objetivos particulares:

Recapitular los elementos de sintaxis para la programación en la plataforma Matlab

Comprender el concepto y la utilidad de las variables simbólicas

Resolver ecuaciones diferenciales lineales

Realizar transformadas de Laplace directas e inversas

Solucionar ecuaciones matriciales, además del cálculo de determinantes, matrices

exponenciales, eigenvectores e eigenvalores.

Trabajar con objetos “funciones de transferencia” y el álgebra de bloques

Materiales:

Laptop con Matlab 2012 o superior instalado

Marco Teórico:

Ecuaciones Diferenciales

Existen dos caminos para la solución de ecuaciones diferenciales: el analítico y el numérico.

Cuando se habla del uso de computadoras digitales para la solución de dichos elementos

matemáticos, se podría pensar que solo existe la opción de los métodos numéricos, sin

embargo, existen paqueterías (Matlab, Maple, Mathematica, Maxima etc) que con capaces

de emular la solución por vía analítica. Esta nueva forma de entender un tipo de variable se

le conoce como variable simbólica.

Dentro de la plataforma Matlab, existen dos objetos dentro de esta temática: las variables

simbólicas y las funciones simbólicas. Estas últimas correspoden (dentro del contexto de

Matlab) a los objetos “sym” y “symfun” que son creados mediante el comando syms (Figura

1.1)

Fig. 1.1 Creación de las variables y funciones simbólicas




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Otra forma de declararlo, consiste en el uso del comando sym, tal como se muestra a

continuación (Figura 1.2).

Fig. 1.2 Forma alternativa para la creación de variables simbólicas

Es necesario tocar el tema de las variables simbólicas, debido a que el método de solución de

las ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de Matlab así lo exige. El comando

encargado de dicha tarea es dsolve. Los parámetros son dos: la ecuación diferencial y las

condiciones iniciales; ambos deben ser ingresado en forma de ecuaciones simbólicas.

Para ejemplificar la implementación de este método, se recurre al siguiente ejemplo práctico:

Sea el siguiente circuito y la ecuación diferencial (Figura 1.3) que modela la tensión en el

capacitor:

𝑑𝑉𝐶1𝑑𝑡

+1

𝑅1𝐶1𝑉𝐶1 =

1

𝑅1𝐶1𝑉𝐵1…(1)

Fig. 1.3 Circuito RC con modelo en forma de ecuación diferencial

Considerando los valores de los elementos y que el capacitor se encuentra inicialmente

descargado, la solución por Matlab tiene la siguiente forma (Figura 1.4):

Fig. 1.4 Solución de la ecuación diferencial del modelo del circuito RC

Otra forma de resolver el problema, con los parámetros descritos de forma distinta se muestra

en la Figura 1.5




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Fig. 1.5 Forma alternativa para la solución de la ecuación diferencial del modelo del circuito RC

La equivalencia entre ambas formas se ilustra en la Figura 1.6

Fig. 1.6 Equivalencia entre los comandos mostrados en las Figuras 1.4 y 1.5

La respuesta se grafica mediante el comando ezplot

Fig. 1.7 Voltaje del capacitor con respecto al tiempo para el circuito de la Figura 1.3

Transformada de Laplace y objetos Función de Transferencia

La Transformada de Laplace es una de las herramientas más empleadas en la teoría del

control. Los dos comandos relativos son laplace para el caso del cálculo de la transformada

directa e ilaplace ejecuta la transformada inversa. En la Figura 1.8 se muestran ejemplos de

cómo calcular dichas transformadas. Es necesario el uso de variables simbólicas t y s




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Fig. 1.8 Ejemplos de cálculo de Transformadas de Laplace directas e indirectas

La función de transferencia es el modelo matemático (en forma de cociente) que representa

la dinámica de un sistema (en el dominio de la frecuencia, real o compleja). La forma de

declarar este objeto es a través del comando tf. Requiere dos parámetros los cuales

representan un polinomio de la variable s del numerador (en forma de sus coeficientes), y su

contraparte del denominador. Dichos objetos pueden ser sujetos a las operaciones del álgebra

de bloques. En la Figura 1.9 se muestra el ejemplo de cómo declarar un objeto del tipo

“función de transferencia”.

Fig. 1.9 Ejemplo de declaración y operaciones con funciones de transferencia




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Matrices y determinantes

Dentro de la plataforma Matlab (Matrix Laboratory), casi todo objeto puede ser tratado como

una matriz. Las operaciones básicas suma, resta y multiplicación, no tienen un comando

especial; sin embargo, existen operaciones exclusivas del mundo de las matrices, tales como

la inversión, la transposición y el cálculo del determinante (entre otras). En la Figura 1.10 se

muestra la declaración y operaciones básicas de matrices.

Fig. 1.10 Declaración y operaciones con matrices

Eigenvalores e Eigenvectores

Los eigenvalores (valores propios) y eigenvectores (vectores propios) son propiedades de las

matrices cuadradas que cumple la siguiente ecuación:

𝐴𝕩 = 𝜆𝕩… (2)

Donde 𝑥 es uno de los vectores propios, y 𝜆 es uno de los correspondientes valores propios

dela matriz A. La matriz A tiene tantos valores y vectores propios como filas (o también

columnas). La forma de calcular ambos, es mediante el comando eig (Figura 1.11)

Fig. 1.11 Cálculo de los eigenvectores y los eigenvalores




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Matriz de transición

Existe un modelado para los sistemas dinámicos basado en la representación matricial. Dicha

representación es sumamente versátil y poderosa (es la base de la teoría del control moderno).

𝑑𝕩(𝑡)

𝑑𝑡= 𝐴𝕩(𝑡) + 𝐵𝕦(𝑡)… (3)

Donde 𝕩 es el vector de variables de estado y 𝕦 el vector de entradas. Existe una matriz 𝜙(𝑡) que representa la respuesta libre del sistema y que satisface la ecuación anterior en su versión

homogénea (sin tomar en cuenta las entradas).

Uno de los métodos para calcular dicha matriz 𝜙(𝑡) es mediante la transformada de Laplace,

mediante la siguiente formula:

𝜙(𝑡) = ℒ−1[(𝑠𝐼 − 𝐴)−1]… (4)

Para realizar dicho cálculo en Matlab, se puede hacer uso de la instrucción expm. Un ejemplo

de aplicación es el siguiente (Figura 1.12):

Fig. 1.12 Cálculo de la matriz de transición

Ejercicios:

Resolver los siguientes puntos utilizando Matlab

1.- Para el siguiente circuito, obtener su modelo en función de la corriente en la resistencia y

calcular su respuesta. Considere que el inductor está totalmente descargado




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2.- Calcular la transformada de Laplace de la siguiente función:

𝑓(𝑡) = e−(t+j)cosh(𝑡 − 4) + e2tsinh(𝑡 + 4)

3.- Obtener la función de transferencia equivalente para el siguiente diagrama de bloques

4.- Resolver la siguiente ecuación matricial

𝐴𝑋 + 2𝐵 = 3𝐶

Siendo:

𝐴 = [1 0 01 1 01 1 1

] 𝐵 = [0 1 11 0 00 0 1

] 𝐶 = [1 0 00 1 01 0 1

]

5.- Para la siguiente matriz:

𝑨 = [𝟏 −𝟐 𝟒𝟏 −𝟒 𝟐𝟑 −𝟏 −𝟏

]

Comprobar la igualdad de la ecuación de la eigendescomposición

6.- Calcular la matriz de transición. Seguir la fórmula de cálculo mediante la transformada

de Laplace y comprobar mediante el comando expm.




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Cuestionario:

1.- Investigar como calcular la matriz inversa a partir de la adjunta

2.- Mencione aplicaciones de los eigenvectores y los eigenvalores

3.- Investigue como resolver ecuaciones diferenciales no lineales en Matlab

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