Medición de Potencia en Corriente Alterna

i.up = potencia instantánea

T

0

ef ef

1P u .i . dtTU . I . cos φ

= =

=

Potencia media (habitualmente denominada simplemente P )

θ

im

Hm

Hf

if

Instrumentos Electrodinámicos

Esquema circuital básico

Deflexión media dt)t(c

T1kT

0m ∗∗= δ

=T

0mf dtiiM

T1k

∂θ∂δ

La deflexión media es proporcional al valor medio del producto de las corrientes instantáneas que circulan por sus dos bobinas.

Vatímetros Electrodinámicos

U

I

Z

U

I

ϕ

∗∗=T

dtiuT

P0

1Potencia media

=T

0mf dtiiM

T1k

∂θ∂δDeflexión media

)sen(2 ϕω −∗∗= tIi eff

tsenRU2

RUi

m

ef

mm ω∗

∗==

Pk1cosIU

k1

wefef

w∗=∗∗∗= ϕδ

Esquemas de Conexión de un Instrumento Electrodinámico para medir la Potencia Activa

en un circuito elemental (f < 400 - 500 Hz)

Datos característicos principales de un Vatímetro Electrodinámico

Clase, c

Corrientenominal,

In

Tensiónnominal,

Un

Factor de potencia nominal, cos ϕ n

nnnf cos.I.UP ϕ=A partir de los cuales se obtiene:

Error por consumo propio

VW

2

RU

Indicación del instrumento =

= Pc (potencia en la carga Z) +

Error de fase

ϕ−ε Im

ϕ

U

If

ε

(consumo del circuito voltimétrico del vatímetro)+

ϕcos.I.UP cc =

)(cos.I.UP cm εϕ −=

c

cmf P

PPe −= ϕε tg.]rad[e f =

Ejemplo: Determinar la potencia activa en la carga

Z, con su error límite

- Vatímetro: Un: 240 V, In: 5 A, c: 1, cos ϕn: 1, RVW: 1 kΩ/V; ZAW: 1 VA, cosϕ = 0,7 a 5 A.

- Voltímetro: Alcance: 240 V, RV: 1 kΩ/V, c: 1

Valores medidos: Pm = 0,783 kW ; Um = 220,1 V

VW//Vcm PPP +=VWV

2m

c R//RUP +=

Vk1.V240RVΩ= VWRk240 == Ω

Ωk120R//R VWV =Entonces:

Ωk1201,220P2

c +=VWV

2m

c R//RUP +=mP W40,0Pc +=

¿Cuánto vale mPE ?

fmP P.100cE ±= , con nnnf cos.I.UP ϕ= kW2,1=

Con lo cual W12E mP ±=

Se ve que:

W4,0R//R

U

VWV

2m =>>W12E mP ±=

Con lo cual se puede escribir:

kW783,0PP mc =≈y

kW01,0W12E mP =±=

kW)01,078,0(Pc ±=

Medición de Potencia en Sistemas de n hilos

0n302010 u...u,u,u tensiones instantáneas

n321 i...i,i,i corrientes instantáneas

L conectada a 0 :

n0n330220110 iu...iuiuiup ⋅++⋅+⋅+⋅=

L conectada a q :

nnq3q32q21q1 iu...iuiuiu'p ⋅++⋅+⋅+⋅=

Pero:

q00nnq

q030q3

q020q2

q010q1

uuu.

uuu

uuu

uuu

+=

+=

+=

+=

Con lo cual:=⋅+++⋅++⋅++⋅+= nq00n3q0302q0201q010 i)uu(...i)uu(i)uu(i)uu('p

)i...iii(uiu...iuiuiu n321q0n0n330220110 ++++⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=

Pero si L está en q : 0i...iii n321 =++++

Entonces: p'p = y ==T

0

T

0dtp

T1dtp

T1P

Conclusiones GeneralesLa suma de las indicaciones de los n aparatos es siempre la

potencia total, sea cual fuere el potencial del punto común de los circuitos de tensión.Si el punto común de los circuitos de tensión coincide con un

hilo, el vatímetro cuyo circuito de corriente esté en dicho hilo no indicará, y la potencia total resultará ser la sumatoria de las indicaciones de los n-1 vatímetros restantes. “En cualquier sistema de n hilos, la potencia total puede obtenerse a partir de las indicaciones de n-1 vatímetros”El sistema puede ser de alterna o continua, n-fásico o no, las

tensiones y las corrientes pueden o no ser sinuosidades, mientras sea de n hilos, los n-1 vatímetros darán la potencia activa total (siempre que los vatímetros sean capaces de responder a las excitaciones que se aplican) (Blondel).

Medición de Potencia en Sistemas Trifásicos

( )bcaP( )RNRP

Medición de Potencia en Sistemas Trifásicos Trifilares

Método de los Dos Vatímetros

)()( STSRTR PPP +=

)()( STSRTR PPP +=

( ) )30(cosUIP RRTRRTR−∗∗= ϕ

( ) )30(cosUIP SSTSSTS+∗∗= ϕ

)()( STSRTR PPP +=

( ) )30(cosUIP RRTRRTR−∗∗= ϕ

( ) )30(cosUIP SSTSSTS+∗∗= ϕ

º60R −<ϕ capacitivo (-)

º90)30( R −<− ϕ ( ) 0P RTR <

º60S >ϕ inductivo

º90)30( S >+ oϕ ( ) 0P STS <

Caso particular: Sistema con Generador yCarga Perfectos

Limitaciones del Método de los Dos Vatímetros

)()( STSRTR PPP +=

)EE(E )ST(SP)RT(RPP +±= y

PEe P

P ±=

Medición de Potencia en Sistemas Trifásicos Tetrafilares

)TN(T)SN(S)RN(R PPPP ++=

Medición de Potencia Reactiva con Vatímetros

U´

I

U

´UU =

ϕcosIUP ∗∗=

)90(cosI´UP ϕ−∗∗=

ϕsenIU ∗∗= Q=

ϕsenIUQ RRR ∗∗=

)º90(cosI3

UR

ST ϕ−∗∗=

3

P )ST(R=

=

=

=

Medición de Potencia Reactiva con Vatímetros en Sistemas Trifásicos

3

PQ )ST(RR =

3

PQ )TR(SS =

3

PQ )RS(TT =

Ejemplo: determinar la potencia activa total y la potencia reactiva total de una carga Z (que puede

considerarse aproximadamente perfecta), de 2,5 kVA, cos ϕ ≅ 0,7 (ind), Ifase < 5 A, alimentada por un sistema

de generador perfecto de 3 x 380 V.

Elementos disponibles (3 de cada uno):

- Vatímetro: Un: 240 y 400 V, In: 5 A, c: 1, cos ϕn: 1, RVW: 133 Ω/V; ZAW: 1 VA, cosϕ = 0,8 a 5 A.

- Amperímetro: Alcance: 5 A, c: 1, ZAW: 1 VA, cosϕ = 0,8 a 5 A

- Voltímetro: Alcance: 240 y 400 V, c: 1, RV: 133 Ω/V

Circuito propuesto para la medición de Ptotal

)ST(S)RT(RTotal PPP += )EE(E )ST(SP)RT(RPTotalP +±=

Suponiendo carga aproximadamente perfecta:

fL I.U.3S = A80,3V380.3

kVA5,2I f ≈=

UR

USUT

IR

IS

IT UST

R

T

S

URT

R S T 30º

30º

7,0cos =ϕ

º6,45=ϕ

)UI(cosUIP RTRRTR)RT(R

∧∗∗=

( ) )UI(cosUIP STSSTSSTS

∧∗∗=

C

A

R

G

A

PR(RT)

PS(ST)

R

S

Tv

A

A

v

UR

USUT

IR

IS

IT UST

R

T

S

URT

R S T 30º

30º

)º30º6,45(cosV380*A80,3P )RT(R −∗= kW39,1=

)º30º6,45(cosV380*A80,3P )ST(S +∗= kW36,0=

kW75,1PTotal =

f)ST(SP)RT(RP P100cEE ±== kW02,0kW2

1001 ±=±=

kW04,0)EE(E )ST(SP)RT(RPTotalP ±=+±=

Consumo propio de los dos vatímetros y los dos voltímetros, para Un o alcance = 400 V :

ΩΩ k2,53V

133*V400RR VWV ===

W7,2k2,53)V380(

RUPP

2

V

2

VWRVR ====Ω

Y para los cuatro instrumentos:

kW01,0W7,2*4P TotalVW//VR ≈= (que no es despreciable frente al error límite)

Así, al hacer la medición, la suma de las potencias medidas por los vatímetros dará la potencia en la carga (1,75 kW), más el consumo de los circuitos voltimétricosde los vatímetros y voltímetros (0,01 kW), por lo cual, al valor obtenido, deberá restársele 0,01 kW.

La expresión final, teniendo en cuenta el error límite, será:

kW)04,075,1(PTotal ±=

Circuito propuesto para la medición de QtotalPR(ST)

PS(TR)

PT(RS)

Secuencia R - S - T

A

vv

A

v

A

ϕsenIUQ RRR ∗∗=3

P )ST(R= )º90(cosI3

UR

ST ϕ−∗∗=

)º6,45º90(cos8,33

380 −∗∗= kVAr595,0=

=

kVAr595,03

PQ )TR(SS ==

kVAr595,03

PQ )RS(TT ==

( )3

PPPQQQQ )RS(T)TR(S)ST(RTSRTotal

++=++=

kVAr78,1kVAr595,0*3 ==

=

Y el error límite:

3

EEEEEEE )RS(TP)TR(SP)ST(RP

TQSQRQTotalQ

++

=++=

kW02,0kW21001P

100cEEE f)RS(TP)TR(SP)ST(RP

±=±=±===

kVAr03,0kVAr02,033E TotalQ ±=±=

kVAr)03,078,1(QTotal ±=