Ortogonalidad en Rn

Definición Un conjunto de vectores {v1,v2,…vk}se denomina

conjunto ortogonal si todos los pares de vectores distintos del

conjunto son ortogonales, es decir, si

vi.vj = 0 siempre que i j para i, j = 1,2,…,k

La base estándar {e1,e2,…en}de Rn es un conjunto ortogonal, como

cualquier subconjunto del mismo

Ejercicios

1. Demuestre que {v1,v2, v3}es un conjunto ortogonal en R3

si

2. Determine cuáles conjuntos de vectores son ortonormales

1

1

2

1v

1

1

0

2v

1

1

1

3v

2

1

1

,

1

4

2

,

2

1

3

.1

2

1

2

,

0

2

1

,

5

2

4

.2

Ejercicios

7

2

6

4

0

1

1

2

,

4

1

3

2

.5

2

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

.6

4

2

2

,

1

2

1

,

1

1

3

.3

1

1

3

,

1

2

1

,

1

3

5

.4

Teoremas

1. Si un conjunto de vectores {v1,v2,…vk}es un conjunto

ortogonal de vectores distintos de cero en Rn, entonces estos

vectores son linealmente independientes

2. Sea {v1,v2,…vk} una base ortogonal de un subespacio W de Rn

y sea w cualquier vector de W. Entonces los escalares únicos

c1,…ck tales que

w = c1v1+…+ckvk

Están dados por

Para i = 1,…kii

ii

vv

vwc

Ejemplo

Encuentre las coordenadas de w = (1, 2, 3) con respecto a a la

base ortogonal B = {v1,v2, v3}

1

1

2

1v

1

1

0

2v

1

1

1

3v

Conjunto ortonormal

Definición Un conjunto de vectores en Rn es un conjunto

ortonormal si es un conjunto ortogonal de vectores unitarios.

Si S = {q1,…qk} es un conjunto ortonormal de vectores,

entonces qi.qj = 0 para i j y ǁqiǁ = 1.

Ejemplo

Demuestre que S = {q1, q2} es un conjunto ortonormal en R3

si.

3

13

13

1

1q

6

16

26

1

2q

Ejemplo

Construya una base ortonormal de R3 con los vectores

ortogonales

Solución Si tenemos un conjunto ortogonal se puede

obtener un conjunto ortonormal simplemente

normalizando cada vector del conjunto

1

1

2

1v

1

1

0

2v

1

1

1

3v

Teorema

Sea {q1, q2,…qk}una base ortonormal de un subespacio W de

R3 y sea w cualquier vector en W. Entonces

w = (w.q1)q1+(w.q2)q2+…+(wqk)qk

Matrices ortogonales

Definición Una matriz Q de n×n cuyas columnas forman un

conjunto ortonormal se denomina matriz ortogonal

Ejemplo

001

100

010

A

1

0

0

1q

0

0

1

2q

0

1

0

3q

Teoremas1. Las columnas de una matriz Q de m×n forman un

conjunto ortonormal si y solo si QTQ=In

2. Una matriz cuadrada Q es ortogonal si y solo si Q-1 = QT

es decir Q QT = QT Q= I

3. Sea Q una matriz ortogonal de n×n. Los enunciados siguientes son equivalentes

ǁQxǁ = ǁxǁ para todo x en Rn

Qx.Qy = x.y para todo x y y en Rn

4. Si Q es una matriz ortogonal, entonces sus renglones forman un conjunto ortonormal

TeoremasSea Q una matriz ortogonal

Q-1 es ortogonal

det Q = ± 1

Si es un eigenvalor de Q, entonces || = 1

Si Q1 y Q2 son matrices ortogonales de n×n, entonces también lo

es Q1Q2

Proceso de ortogonalización de Gram-

Schmidt

Es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de

vectores linealmente independientes, otro conjunto ortonormal

de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Proceso para n = 3.

Sean los vectores v1,v2 y v3 una base de R3 . Obtendremos una

base ortonormal a partir de estos vectores.

1. Obtener un primer vector unitario u1

1

11

v

vu

Proceso de ortogonalización de Gram-

Schmidt

2. Obtener un vector ortogonal a u1

3. Normalizar

4. Obtener un vector ortogonal a u2 y a u1

5. Normalizar

11222 uuvvu

2

22

u

uu

2u

2u

22311333 uuvuuvvu

3u

3

33

u

uu

3u

Eigenvalores y eigenvectores

Definición Sea A una matriz de n×n. Un escalar es llamado eigenvalor de A si existe un vector x distinto de cero tal que Ax = x. Al vector x se le conoce como un eigenvector de Acorrespondiente a

Con la finalidad de encontrar el valor de , se analiza la expresión Ax = x de la cual se puede escribir como

Ax - x = 0

Ax – (I)x = 0

(A - I)x = 0

Esta última representa un sistema homogéneo de n ecuaciones que tiene al menos la solución trivial.

Eigenvalores y eigenvectores

La única manera de que tenga soluciones no triviales es que

det(A - I) = 0

La ecuación det(A - I) = 0 recibe el nombre de ecuación o

polinomio característico de A.

Ejemplo

Determinar los eigenvalores y eigenvectores de la matriz

36

14A