ortogonalidad y ortonormalidad

ortogonalidad ortonormalidad método gram-schmidt

Ortogonalidad y ortonormalidad

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

2 de setiembre de 2010


definiciones

vectores ortogonales

definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉

v ,w ∈ V son ortogonales si

〈v ,w〉 = 0

Notación:v⊥w


definiciones

vectores ortogonales

definición (vectores ortogonales)V e.v. con producto interno 〈, 〉v ,w ∈ V son ortogonales si

〈v ,w〉 = 0

Notación:v⊥w


definiciones

conjunto ortogonal

definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉

A ⊂ V conjunto ortogonal si

v ,w ∈ A,

v 6= w ⇒ v⊥w


definiciones

conjunto ortogonal

definicón (conjunto ortogonal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortogonal si

v ,w ∈ A,

v 6= w ⇒ v⊥w


definiciones

conjunto ortogonal


v ,w ∈ A, v 6= w

⇒ v⊥w


definiciones

conjunto ortogonal


v ,w ∈ A, v 6= w ⇒ v⊥w


observaciones

observación 1

el vector ~0~0⊥v ∀v ∈ V


observaciones

observación 2

v 6 ⊥v

v⊥v

⇒ v = ~0


observaciones

observación 2

v 6 ⊥v

v⊥v ⇒ v = ~0


definición

conjunto ortonormal

definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉

A ⊂ V conjunto ortonormal si:

1 A conjunto ortogonal2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A

Obs: ‖.‖ norma inducida por 〈, 〉


definición

conjunto ortonormal

definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortonormal si:

1 A conjunto ortogonal

2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A



definición

conjunto ortonormal

definición (conjunto ortonormal)V e.v. con producto interno 〈, 〉A ⊂ V conjunto ortonormal si:

1 A conjunto ortogonal2 ‖v‖ = 1 para todo v ∈ A



definición

observación

normalizaciónA conjunto ortogonal

~0 /∈ A⇒ el conjunto {

v‖v‖

: v ∈ A}

es ortonormal


definición

observación

normalizaciónA conjunto ortogonal~0 /∈ A

⇒ el conjunto {v‖v‖

: v ∈ A}

es ortonormal


definición

observación

normalizaciónA conjunto ortogonal~0 /∈ A⇒ el conjunto {

v‖v‖

: v ∈ A}

es ortonormal


definición

ejemplo

base canónica de Rn

V = Rn con producto interno usual

la base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormaldonde

ei = (0,0, . . . ,1, . . . 0,0)↑i


definición

ejemplo


V = Rn con producto interno usualla base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormal

dondeei = (0,0, . . . ,1, . . . 0,0)

↑i


definición

ejemplo


V = Rn con producto interno usualla base canónica {e1, . . . ,en} es un conjunto ortonormaldonde

ei = (0,0, . . . , 1, . . . 0,0)↑i


teoremas

teorema

teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉

{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal

vi 6= ~0 para todo i⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.


teoremas

teorema

teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal



teoremas

teorema


vi 6= ~0 para todo i

⇒ {v1, . . . , vk} es l.i.


teoremas

teorema




teoremas

demostración

sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0

⇒ para cada j = 1, . . . , k :

~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)

= aj‖vj‖2 = ~0

⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k⇒ {v1, . . . , vk} l.i.


teoremas

demostración

sean a1, . . . ,ak ∈ K tales que a1v1 + · · ·+ akvk = ~0⇒ para cada j = 1, . . . , k :


= aj‖vj‖2 = ~0



teoremas

demostración


~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉

= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)

= aj‖vj‖2 = ~0



teoremas

demostración


~0 = 〈a1v1, vj〉+ · · ·+ 〈akvk , vj〉= a1〈v1, vj〉+ · · ·+ ak 〈vk , vj〉

= aj〈vj , vj〉 (〈vi , vj〉 = δij)

= aj‖vj‖2 = ~0



teoremas

demostración



= aj‖vj‖2 = ~0



teoremas

demostración



= aj‖vj‖2 = ~0

⇒ aj = 0 para todo j = 1, . . . , k

⇒ {v1, . . . , vk} l.i.


teoremas

demostración



= aj‖vj‖2 = ~0



teoremas

teorema (Pitágoras)

teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno

{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal⇒

‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2


teoremas


teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal

⇒‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2


teoremas


teorema (Pitágoras)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vk} conjunto ortogonal⇒

‖v1 + · · ·+ vk‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vk‖2


teoremas

demostración

∥∥∥∥∥k∑

i=1

vi

∥∥∥∥∥ =

⟨k∑

i=1

vi ,

k∑j=1

vj

⟩

=k∑

i=1

k∑j=1

〈vi , vj〉

=k∑

i=1

〈vi , vi〉 (〈vi , vj〉 = δij)

=k∑

i=1

‖vi‖2


método gram-schmidt

método Gram-Schmidt

teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno

{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que

1 B conjunto ortonormal2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n




teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V

⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que





teorema (método Gram-Schmidt)V e.v. con producto interno{v1, . . . , vn} base de V⇒ existe B = {w1, . . . ,wn} base de V tal que






1 B conjunto ortonormal

2 [v1, . . . , vk ] = [w1, . . . ,wk ] para todo k = 1, . . . ,n



demostración

Se procede inductivamente:1 w1 := v1

‖v1‖

√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:

u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =

〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0

w2 := u2‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,

[v1, v2] = [w1,w2]

3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:

u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3

‖u3‖{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]

4 se procede inductivamente tomando:

uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk

‖uk‖{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]



demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:

u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =

〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1

⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =

〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :

〈u2,w1〉 =

〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 =

〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2

‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal,

[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉

= 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉

= 0w2 := u2


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√

2 ahora le sacamos a v2 su “componente" w1:u2 := v2 − 〈v2,w1〉w1⇒ u2⊥w1 :〈u2,w1〉 = 〈v2 − 〈v2,w1〉w1,w1〉 = 〈v2,w1〉 − 〈v2,w1〉 = 0w2 := u2


[v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√


‖u2‖ cumple: {w1,w2} ortonormal, [v1, v2] = [w1,w2]


u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3







demostración


‖v1‖√



3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1

w3 := u3‖u3‖

{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]4 se procede inductivamente tomando:





demostración


‖v1‖√



3 ahora le sacamos a v3 su “componente" w2 y w1:u3 := v3 − 〈v3,w2〉w2 − 〈v3,w1〉w1w3 := u3

‖u3‖

{w1,w2,w3} ortonormal y [w1,w2,w3] = [v1, v2, v3]4 se procede inductivamente tomando:





demostración


‖v1‖√










demostración


‖v1‖√





4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1

wk := uk‖uk‖

{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]



demostración


‖v1‖√





4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk

‖uk‖

{w1, . . . ,wk} ortonormal y [w1, . . . ,wk ] = [v1, . . . , vk ]



demostración


‖v1‖√





4 se procede inductivamente tomando:uk := vk − 〈vk ,wk−1〉wk−1 − · · · − 〈vk ,w1〉w1wk := uk




corolarios

corolariosV e.v. de dimensión finita con producto interno

tiene una base ortonormaltodo subespacio vectorial tiene una base ortonormal



corolarios


tiene una base ortonormal

todo subespacio vectorial tiene una base ortonormal



corolarios


tiene una base ortonormaltodo subespacio vectorial tiene una base ortonormal


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1

En R3, encontrar una base ortonormal para el subespacio:

S =[(√

3,2,3), (0,2,4)]

w1 = (√

3,2,3)

‖(√

3,2,3)‖

= (√

34 ,

12 ,

34)

u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1

= (0,2,4)− 4w1 =(−√

3,0,1)

w2 = u2‖u2‖

= (−√

32 ,0,

12)

⇒ B =

{(√3

4,12,34

),

(−√

32,0,

12

)}base ortonormal de S


ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S =[(√

3,2,3), (0,2,4)]

w1 = (√

3,2,3)

‖(√

3,2,3)‖ = (√

34 ,

12 ,

34)

u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1

= (0,2,4)− 4w1 =(−√

3,0,1)

w2 = u2‖u2‖

= (−√

32 ,0,

12)

⇒ B =

{(√3

4,12,34

),

(−√

32,0,

12



ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S =[(√

3,2,3), (0,2,4)]

w1 = (√

3,2,3)

‖(√

3,2,3)‖ = (√

34 ,

12 ,

34)

u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1

=(−√

3,0,1)

w2 = u2‖u2‖

= (−√

32 ,0,

12)

⇒ B =

{(√3

4,12,34

),

(−√

32,0,

12



ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S =[(√

3,2,3), (0,2,4)]

w1 = (√

3,2,3)

‖(√

3,2,3)‖ = (√

34 ,

12 ,

34)

u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√

3,0,1)

w2 = u2‖u2‖

= (−√

32 ,0,

12)

⇒ B =

{(√3

4,12,34

),

(−√

32,0,

12



ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1


S =[(√

3,2,3), (0,2,4)]

w1 = (√

3,2,3)

‖(√

3,2,3)‖ = (√

34 ,

12 ,

34)

u2 = (0,2,4)− 〈(0,2,4),w1〉w1 = (0,2,4)− 4w1 =(−√

3,0,1)

w2 = u2‖u2‖ = (−

√3

2 ,0,12)

⇒ B =

{(√3

4,12,34

),

(−√

32,0,

12



ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1

0 f (t)g(t) dt , encontrar baseortonormal de

S =[1, t ,et]

w1 = 1 (tiene norma 1)

u2 = t − 〈t ,1〉1

= t −∫ 1

0 t dt = t − 12

w2 = u2‖u2‖

= 12√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉

=

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ ,

con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1

48(3− e)2 − (e − 1)2


ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1


S =[1, t ,et]


u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1

0 t dt

= t − 12

w2 = u2‖u2‖

= 12√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉

=

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ ,

con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1

48(3− e)2 − (e − 1)2


ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1


S =[1, t ,et]


u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1

0 t dt = t − 12

w2 = u2‖u2‖

= 12√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉

=

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ ,

con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1

48(3− e)2 − (e − 1)2


ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1


S =[1, t ,et]


u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1

0 t dt = t − 12

w2 = u2‖u2‖ = 1

2√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉

=

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ ,

con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1

48(3− e)2 − (e − 1)2


ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1


S =[1, t ,et]


u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1

0 t dt = t − 12

w2 = u2‖u2‖ = 1

2√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉 =

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ ,

con ‖u3‖2 = 12(e2 − 1)− 1

48(3− e)2 − (e − 1)2


ejemplos

ejemplo 2

En V = C0[0,1], con 〈f ,g〉 =∫ 1


S =[1, t ,et]


u2 = t − 〈t ,1〉1 = t −∫ 1

0 t dt = t − 12

w2 = u2‖u2‖ = 1

2√

3(t − 1

2)

u3 = et − 112〈e

t , t − 12〉(t −

12)− 〈et ,1〉 =

et − 124(3− e)(t − 1

2)− (e − 1)

w3 = u3‖u3‖ , con ‖u3‖2 = 1

2(e2 − 1)− 148(3− e)2 − (e − 1)2


propiedades

propiedades

propiedades de bases ortonormalesV e.v. con producto interno, {v1, . . . , vn} base ortonormal,v ∈ V

1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn

2 ‖v‖2 =∑n

i=1 |〈v , vi〉|23 v =

∑ni=1 αivi , w =

∑ni=1 βivi , entonces

〈v ,w〉 =n∑

i=1

αiβi


propiedades

propiedades


1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn

2 ‖v‖2 =∑n

i=1 |〈v , vi〉|2

3 v =∑n

i=1 αivi , w =∑n

i=1 βivi , entonces

〈v ,w〉 =n∑

i=1

αiβi


propiedades

propiedades


1 v = 〈v , v1〉v1 + · · ·+ 〈v , vn〉vn

2 ‖v‖2 =∑n

i=1 |〈v , vi〉|23 v =

∑ni=1 αivi , w =

∑ni=1 βivi , entonces

〈v ,w〉 =n∑

i=1

αiβi


propiedades

demostración

1 Sea v ∈ V ,

entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn

Ahora

〈v , vj〉 =

⟨n∑

i=1

αivi , vj

⟩

=n∑

i=1

αi〈vi , vj〉

= αj


propiedades

demostración

1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn

Ahora

〈v , vj〉 =

⟨n∑

i=1

αivi , vj

⟩

=n∑

i=1

αi〈vi , vj〉

= αj


propiedades

demostración

1 Sea v ∈ V , entonces, v = α1v1 + · · ·+ αnvn

Ahora

〈v , vj〉 =

⟨n∑

i=1

αivi , vj

⟩

=n∑

i=1

αi〈vi , vj〉 = αj


propiedades

demostración

2 tenemos:

‖v‖2 =

∥∥∥∥∥n∑

i=1

〈v , vi〉vi

∥∥∥∥∥2

(parte(1))

=n∑

i=1

‖〈v , vi〉vi‖2 (teo.Pitgoras)

=n∑

i=1

|〈v , vi〉|2‖vi‖2

=n∑

1=1

|〈v , vi〉|2


propiedades

demostración

3 sale usando linealidad (ejercicio)

ortogonalidad y ortonormalidad

Documents

Transcript of ortogonalidad y ortonormalidad