Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)

7/26/2019 Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)

1/33

UNIDAD VI : AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Ejercicio 1

1. Encontrar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:

a) [3 08 1]

La matriz caracteristica sera (A . In )

(A . In )=[3 08 1]

223=0Ec .Caracteristica

b) [10 94 2]


(A . In )=[10 94 2]

28+16=0Ec .Caracteristica

c) [0 34 0]


(A . In )=[ 3

4 ]

212=0Ec . Caracteristica


2/33

) [2 71 2]


(A . In )=[2 71 2 ]

2+3=0Ec .Caracteristica

e) [0 00 0 ]


(A . In )=[ 00 ]

2=0Ec .Caracteristica

!) [1 00 1 ]

(A . In )=[1 0

0 1]

22+1=0Ec . Caracteristica

". Encontrar los autovalores de las matrices del ejercicio 1

a) A#

[3 0

8 1]


(A . In )=[3 08 1]


3/33

det(A . In )=(3 ) (1 ) 0=0

=3 , =1 autovalores

b) A=[10 94 2]


(A . In )=[10 94 2]

det

(A . I

n )=(10) (2 )+36=0

28+16=0

(4)(4)=0

(4 )2=0

=4 autovalor

c) A=[0 34 0 ]


(A . In )=[ 34 ]

det(A . In )=212=0

1(+2 3)(23)

=23 , =23 autovalores


4/33

) A=[2 71 2]


(A . In )=[2 71 2 ]det(A . In )=

2+3=0

Nohay autovalores reales

La matriz caracteristica sera (A . I

n )

(A . In )=[ 00 ]det(A . In )=() ( ) 0=0

=0 autovalor

!) A=[1 00 1]


(A . In )=[1 00 1]

det(A . In )=(1 ) (1 )=0

(1 )2=0

=1 autovalor


5/33

$. Encontrar bases para los autovectores de las matrices del ejercicio 1

a) A# [3 08 1]


(A . In )=[3 08 1] det(A . In )=(3 ) (1 ) 0=0

=3 , =1 autovalores

b) A=[10 94 2]


(A . In )=[10 94 2]

det(A . In )=(10) (2 )+36=0

28+16=0

(4)(4)=0

(4 )2=0

=4 autovalor

(AI) ..Cuado =4

(AI) ..Cuado =3

(AI)=

[0 0

8 4]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 120 0

]x

1x=0 (1 )

(AI) ..Cuado =1

(AI)=

[4 0

8 0

]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 00 0]x =0 1


6/33

(AI)=[6 94 6]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 320 0

]x

1

3

2x

2=0 (1 )

De la ecuacin 1 del sistema (1)

encontramos con la variablex

1:

x1=

3

2x

2x=(

3

2x

2

x2

)

c) A=[0 34 0 ]

La matriz caracteristica sera

(A . In )

(A . In )=[ 34 ]

det(A . In )=212=0

1(+23)(23)

=23 , =23 autovalores

(AI) ..Cuado =23

(AI)=

[

23 3

4 23]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 320 0

]x

1+

3

2x

2=0

(1

)

(AI) ..Cuado =2

(AI)=

[

23 3

4 2

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 320 0

]x

1

3

2x

2

=0 (1


7/33

) A=[2 71 2]


Nohay autovalores reales

Sin los autovalores no se puede hallar los autovectores

(A . In )=[2 71 2 ]det(A . In )=

2+3=0

e) A=[0 00 0]


(A . In )=

[ 0

0 ]det(A . In )=() ( ) 0=0

=0 autovalor

(AI) ..Cuado =0

(AI)=

[0 0

0 0

]

%% (AI)

%% rref(AI)


8/33

[0 00 0]x=(x1x

2)

!) A=[1 00 1]


(A . In )=[1 00 1]det(A . In )=(1 ) (1 )=0

(1 )2=0

=1 autovalor

(AI) ..Cuado =1

(AI)=[0 00 0]

%% (AI)

%% rref(AI)

[0 00 0]x=(

x1x

2)

&. Determinar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:


9/33

a) [ 4 0 12 1 02 0 1 ] La matriz caracteristica sera (A . In )

(A . In )=[4 0 12 1 02 0 1]

362+116=0Ec . caracteristica

b)

[3 0 5

15

1 0

1 1 2]


(A . In )=

[

3 0 51

51 0

1 1 2

]

32=0Ec . caracteristica

c) [2 0 16 2 019 5 4 ]


(A . In )=[2 0 16 2 019 5 4]

3+8 2++8=0Ec . caracteristica


10/33

d) [1 0 11 3 04 13 1] La matriz caracteristica sera (A . In )

(A . In )=[1 0 11 3 04 13 1 ]

322=0Ec . caracteristica

e) [ 5 0 11 1 07 1 0] La matriz caracteristica sera (A . In )

(A . In )=

[5 0 1

1 1 0

7 1

]362+128=0Ec . caracteristica

f) [5 6 20 1 81 0 2]


(A . In )=[5 6 20 1 81 0 2 ]


11/33

32215+36=0Ec . caracteristica

'. btener los autovalores de las matrices del ejercicio !.

a) A=[ 4 0 12 1 02 0 1] La matriz caracteristica sera (A . In )

A . In=

4 0 1

2 1 0

det(A . In )=( 4 ) (1 ) (1 ) {(1 ) (1 ) (2 )}=0

(4 ) (1 ) (1)+{2 (1 ) }=0

(1 )2{(1 ) (4 )+2}=0

(1 )2{(25+6)}=0

det(A . In )=(3 )+2=0

(1)()(2)(+2)=0

b) A=[3 0 51

51 0

1 1 2]


3 0 5

c) [2 0 16 2 019 5 4 ]


(A . In )=2 0 16 2 0

det(A . In )=(3 )828=0

(( )21) (+8)=0

=8 autovalor

) [1 0 11 3 04 13 1]La matriz caracteristica sera (A . In )

A . I =1 0 1

det(A . In )=(3 )+2++2=0

((2 )1)(2)=0

=2 autovalor

e) [ 5 0 11 1 07 1 0] La matriz caracteristica sera (A . In )

A . I =5 0 1

1 1 0

det(A . In )=(3 )+6212+8=0

1 (2 ) (2 ) (2 )=0

(1 ) (2 )3=0


12/33

(. "alle las bases de los autoespacios de las matrices del ejercicio !

aA=

[ 4 0 12 1 02 0 1]

=1, =2,=3 autovalores

(AI) ..Cuado =1

(AI)=[ 3 0 12 0 02 0 0]%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 0

0 0 10 0 0

]x1=0

x3=0 (1 )

!) [5 6 2

0 1 81 0 2]


5 6 2

det(A . In )=(3 )+62+1536=0

1 (+ 4 ) (3 ) (3 )=0

(1 ) (+4 ) (3 )2=0


13/33

#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variablex

3:

% de la ecuacin

1 del sistema (1)la variablex

1

x3=0 , x1=0x=

(0

x20)

(AI) ..Cuado =2

(AI)=[ 2 0 12 1 02 0 1]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 1

2

0 1 10 0 0

]x1+

1

2x3=0

x2x3=0 (1 )

#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variablex

2:

#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variablex

1:

x2=x3, x1=1

2x3x=(

1

2x

3

x3

x3

)

(AI) ..Cuado =3


14/33

(AI)=[ 1 0 12 2 02 0 2]%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 00 1 10 0 0

]x

1+x

3=0

x2x

3=0 (1 )

#De la ecuacin $ del sistema (1)encontramos con la variable x2 :


1:

x2=x

3, x

1=x

3x=(

x3

x3

x3

)

b) A=

[3 0 51

5 1 0

1 1 2]=0 , =2 , =2 ,

(AI) ..Cuado =0

(AI)=

[3 0 51

5 1 01 1 2]%% (AI)

%% rref(AI)


15/33

[

1 0 5

3

0 1 1

3

0 0 0

]x15

3x

3=0

x2

1

3x

3=0 (1 )

#De la ecuacin $ del sistema (1) encontramos con la variablex

2 :


1:

x1=5

3x3 , x2=

1

3x3x=(

0x

2

0 )

(AI) ..Cuado =2

(AI)=[2+ 3 0 5

1

521 0

1 1 22]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 5215

7

0 0 22+1

7

0 0 0 ]


16/33

x15215

7x

3=0

x2+

22+17

x3=0 (1 )


2 :


1:

x1=

52+157

x3

, x2=

2217

x3

,

x=

(52+15

7x

3

22

1

7 x3

x3 )(AI) ..Cuado =2

(AI)=[2+3 0 5

1

5 21 0

1 1 22]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 5215

7

0 0 22+1

7

0 0 0]

x1+

52157

x3=0

x2+

22+17

x3=0 (1 )


17/33


2 :

#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la

variablex

1:

x1=52

+15

7 x3 , x2=22

1

7 x3 ,

x=(52+15

7x

3

2217

x3

x3

)c) [

2 0 16 2 019 5 4 ]

=8 autovalor

(AI) ..Cuado =8

(AI)=[ 6 0 16 6 019 5 4

]%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0

1

6

0 1 1

6

0 0 0 ]x

1+

1

6x

3=0


18/33

x2+

1

6x

3=0 (1 )


2 :

#De la ecuacin 1 del sistema (1)encontramos con la variable

x1

:

x1=1

6x

3,

x2=1

6x

3,

x=

(1

6x

3,

16

x3

,

x3

, )) [1 0 11 3 04 13 1]

=2 autovalor

(AI) ..Cuado =2

(AI)=[3 0 11 1 04 13 3]%% (AI)

%%

rref(AI)

[1 0 1

3

0 1 1

3

0 0 0]


19/33

x1

1

3x

3=0

x2

1

3x

3=0 (1 )


2 :


1:

x1=

1

3x

3,

x2=1

3x3,

x=(1

3x

3,

1

3x

3,

x3

,)

e) [ 5 0 11 1 07 1 0] =2 autovalor (AI) ..Cuado =2

(AI)=[ 3 0 11 1 07 1 2]%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 1

3

0 1 1

3

0 0 0]

#De la ecuacin $ del sistema (1)


2 :

#De la ecuacin 1 del sistema (1)


1:

x1=1

3x

3,

x2=1

3x

3,


20/33

x1+

1

3x

3=0

x2+

1

3x

3=0 (1 )

!) [5 6 20 1 81 0 2]

=4,=3 autovalores

(AI) ..Cuado =4

(AI)=[9 6 20 3 81 0 2]

%% (AI)

%% rref(AI)

[

1 0 2

0 1 8

3

0 0 0

]x1+2x3=0x

2

8

3x

3=0 (1 )


2 :


1:

x1=2x3 , x2= 8

3x

3,


21/33

, x=(2x

3,

8

3x

3,

x3

,) ,

(AI) ..Cuado =3

(AI)=[2 6 20 4 81 0 5 ]

%% (AI)

%% rref(AI)

[1 0 50 1 2

0 0 0]x

15x

3=0

x2+2x

3=0 (1 )

#De la ecuacin $ del sistema (1)


2 :

#De la ecuacin 1 del sistema (1)


1:

x1=5x

3, x

2=2x

3

, x=( 5x

3,

2x3

,

x3

,)*. Determinar las ecuaciones caractersticas de las siguientes matrices:


22/33

a) [0 0 2

1 0 1

0 1 2

0

0

0

0 0 0 1]

(A . In )=[ 0 2

1 10 1 2

0

0

0

0 0 0 1]

(1 )2 (+2 ) (+1 )=0

4+332+2=0Ecuacincaracteristica

b) [10 9 04 2 00 0 2

0

0

7

0 0 1 2]

(A . In )=

[10 9 0

4 2 0

0 0 2

0

0

70 0 1 2

]

(4 )2 (2+ 3 )=0


+. Determinar los autovalores del ejercicio &

a) [0 0 2

1 0 1

0 1 2

0

0

0

0 0 0 1] (A . In )=[

0 21 10 1 2

0

0

0

0 0 0 1]


23/33

det(A . In )=4+3 32+2=0

(1 ) (1 ) (1 ) (+1 ) (+2 )=0

(1 )2 (+1 ) (+2 )=0

=1, =1,=2 autovalores

b)

[10 9 04 2 0

0 0 2

0

0

70 0 1 2]

(A . In )=[10 9 0

4 2 00 0 2

0

0

7

0 0 1 2 ]

det(A . In )=4 +83+52+ 88176=0

(1 ) (4 ) (4 )(+11 )(11)=0

(4 )2 (+11)(11)=0

=4 , =11=11autovalores

,. Encontrar bases para los autovectores de las matrices del ejercicio &

a) [0 0 2

1 0 1

0 1 2

0

0

0

0 0 0 1]


24/33

Dado que

IA=

[

1 0 0 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 1

]

[

0 0 2

1 0 1

0 1 2

0

0

0

0 0 0 1

]=

[

0 21 1

0 1 +2

0

0

0

0 0 0 1

]Sea:det(IA )=(1 )2 (+2 ) (+1 )=0


Entonces

(1 )2 (+2 ) (+1 )=0

1=2,2=1y 3=1

De modo que

existen 3 eigenespacios de A.Por definicin,

x=[x

1

x2

x3

x4

]Es un eigenvector de Acorrespondiente aA si y slo si x es una

solucin no trivial de det(IA ) ; es decir, de

[ 0 21 1

0 1 +2

0

0

0

0 0 0 1][

x1

x2

x3

x4

]=[0

0

0

0]

Para

1=2

[2 0 21 2 1

0 1 0

0

0

0

0 0 0 3] [

x1

x2

x3

x4

]=[0

0

0

0]

Resolviendo este sistema

se otiene

[1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0

0

0

0

0 1

0 0

0

0][x

1

x2

x3

x4

]=[t

0

t

0]=t[

10

1

0]

B=1

0

Para

2=1

[

1 0 21 1 1

0 1 1

0

0

0

0 0 0 2

][

x1

x2

x3

x4

]=

[

0

0

0

0

]Resolviendo estesistema se otiene[

1 0 2 0 0

0 1 1 0 0

0

0

0

0

0 1

0 0

0

0]

x1x

2 =2 t

t=

21


25/33

b) [10 9 04 2 00 0 2

0

0

7

0 0 1 2]

!ase para el eigenespacio

correspondiente a 1=2 :

(1

0

1

0 )!ase para el eigenespaciocorrespondiente a

2=1

: (2

1

1

0)

!ase para el eigenespacio

correspondiente a

3=1

: (00

0

1) ,(23

1

0)

Para

3=1

[ 1 0 2

1 1 10 1 3

0

00

0 0 0 0][x

1

x2

x3

x4]

=

[Resolviendo este sistema seotiene

[1 0 2 0 00 1 3 0 0

0

0

0

0

0 0

0 0

0

0]

x1

x2 =

2 s

3 s=s

2

3+ t

0

0

Dado que483+19 224+48=0Ecuacincaracteristica

Entonces

(4 )2 ( 2+3 )=0

1=4

De modo que

existe un eigenespacio de A.Por definicin,

x=

[x

1

x2x

3

x4]Es un eigenvector de Acorrespondiente aA si y slo si x es una solucin no trivial de

det(IA ); es decir, de

[

10 9 04 +2 0

0 0 +2

0

0

7

0 0 1 2

] [

x1

x2

x3

x4

]=

[

0

0

0

0

]


26/33

1-. 'or inspeccin halle los autovalores de las siguientes matrices:

a) [1 69 5]


1 6

9

(A . In )=[ ]

det(A . In )=(1 ) (5 )54=0

Resolviendo este sistema se otiene

[1 1.5 0 0 00 0 1 0 0

0

0

0

0

0 1

0 0

0

0

][x

1

x2

x3

x4]=[

3

2t

t

0

0]=t[

3

2

1

0

0]

B1=

{(3

2

1

0

0 )}


27/33

=9.873999999999999 , =5.874 autovalores

b)

[ 3 0 0

2 7 04 8 1 ]


(A . In )=[3 0 02 7 04 8 1 ]

det(A . In )=(3 ) (7 )(1)=0

=3 , =7,=1 autovalores

c)

[

13

0 0 0

0 1

30 0

0 0 1 00 0 0

1

2

](A . In )=

[

13

0 0 0

0 1

3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

2

]

det(A . In )=(13 )2

(1)( 12)=0


28/33

=

13

, =1,=1

2autovalores

11. Encontrar los autovalores de *

+ [1 3 7

0 1

23

0 0 0

11

8

4

0 0 0 2]

Dado que

IA=[

1 0 0 0

0 1 0 0

0

0

0

0

1 0

0 1][

1 3 7

0 1

23

0 0 0

11

8

4

0 0 0 2]=[

1 3 7

0 1

23

0 0

1184

0 0 0 2]

Sea:

det(IA )=0

det[1 3 7

0 1

23

0 0

1184

0 0 0 2 ]=0(12 ) ( ) (2 )=0


(12 ) (

) (2 )=0

1=0,

2=

1

2y

3=2


29/33

De modo que 1=09=0 ,

2=( 12 )

9

= 1

512y

3=29=512 son eigenvalores de

A9

1". Encontrar los autovalores % bases para los autoespacios de $,para

+ [1 2 21 2 11 1 0]Dado que

IA=

[

1 0 0

0 1 0

0 0 1

]

[

1 2 21 2 1

1

1 0

]=

[

+1 2 21 2 1

1 1

]Sea:det(IA )=0det[+1 2 21 2 1

1 1 ]=0(+1 )[(2 ) ( )(1 ) (1 )](2 )[(1 ) ( )(1 ) (1 )]+(2 )[(1 ) (1 )(1 ) (2 )]=0

(+1 )[22+ 1 ](2 )[+1 ]+(2 )[+ 1 ]=0

322+1+222+2=0

322+1=0Ecuacincaracteristica

Entonces

(+1 ) (1 )2=0

1=1,

2=1

"De modo queexisten 2 eigenespacios de A.

Por definicin,

x=

[x1x

2

x3]

Es un eigenvector de Acorrespondiente a A si y slo si x es una solucin

no trivial de det(IA ) ; es decir, de


30/33

[+1 2 21 2 11 1 ] [

x1

x2

x3]=[000]

Para

1=1

[ 0 2 21 3 11 1 1] [

x1

x2

x3]=[000]


[1 0 2 00 1 1 00 0 0 0

]

[x1

x2

x3]=[

2 t

tt]=t[

2

11]

B1={( 211)}

Para 2=1

[ 2 2 21 1 11 1 1

][x1x2x3]=[000]


[1 1 1 0

0 0 0 0

0 0 0 0]

[x1x2x3]=[stst]=s [110]+t[101]


31/33

B2={(110) ,(

10

1)}

De modo que 1= (1 )25=1 , 2=(1 )25=1 son eigenvalores de A

25

!ase para el eigenespacio correspondiente a

1=1

: ( 211)

!ase para el eigenespacio correspondiente a

2=1

: (110) ,(10

1)

1$. Sea una matri- de orden $ $. /a recta 0ue pasa por el origen de $es

invariante bajo si est2 sobre la recta cuando tambi3n lo est2.

Encontrar las ecuaciones de las rectas en $ en caso de verlas 0ue son

invariantes bajo las matri- dada.

1&. Encontrar det() dado 0ue tiene p ( ) como su polinomio

caracterstico.

a) p (

) +

3

2

2

++5

El polinomio caracteristico de A esP( )=et(AI) "

P( )=n+c1

n1++cn=0

#omocn ! 0 , la matri$ A es invertile, entonces %aciendo =0

Resulta:

et(A )=cn o (1)net(A )=cn

entonces(1 )net(A )=cn

(1 )net(A )=5

et(A )=5


32/33

b) p ( ) + 43+7

El polinomio caracteristico de A esP( )=et(AI) "

P( )=n+c1n1++cn=0

#omocn ! 0 , la matri$ A es invertile, entonces %aciendo =0

Resulta:

et(A )=cn o (1)net(A )=cn

entonces

(1 )net(A )=cn

(1 )net(A )=7

et(A )=7

1'. Sea una matri- n n

a) Demostrar 0ue el polinomio caracterstico de es grado n

Si et(AI) es un polinomio en &" Puede mostrarse que si

A es una matri$ de n ' n, entonceset(AI)

es un polinomio degrado n"Es decir, en el desarrollo de la determinante de una matri$ de nxn,

cada termino es un producto de n elementos de la matri$, el cual tiene

exactamente un elemento en cada fila (renglon) y un elemento en

cada columna" En consecuencia, si desarrollamos et(AI) ,

otenemos un polinomio de grado n

b) Demostrar 0ue el coe4ciente de n

en el polinomio caracterstico es

1.

*a expresion relacionada con n

en el polinomio caracteristico de A

proviene del producto


33/33

(a11 )( a22 ) (ann )

De modo que el coeficiente n=1

15. Desmostrar 0ue la ecuacin caracterstica de una matri- de orden $$ se

puede epresar como 2tr (A )+det(A )=0 .

1&. 6sando el resultado del ejercicio 15 demostrar 0ue si + [a "c d] entonces las soluciones de la ecuacin caracterstica de son

=1

2

[ (a+d ) #(ad)2+4 "c ]

6sando el resultado anterior demostrar 0ue

a) tiene dos autovalores reales distintos si (ad )2+4 "c 7 8

b ) tiene un autovalor real si (ad )2+ 4 "c + 8

c ) 9o tiene autovalores reales si (ad )2+4 "c 8

Ejercicio 1 - Unidad Vi Autovectores y Autovalores (1)

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