• Ordenar y agrupar datos en una tabla.

• Construir histogramas y polígonos de frecuencias, basados en los datos recopilados.

• Calcular e interpretar las medidas de tendencia central.

• Aplicar la Estadística Descriptiva en la resolución de problemas de la vida real.

• Analizar gráficos y tablas de datos.

Contenidos

1.1 Estadística

1.2 Población

1. Definición:

1.3 Muestra

1.4 Variable estadística, cualitativa y cuantitativa

2. Distribución de frecuencias

2.1 Distribución de frecuencias en datos NO agrupados

2.2 Distribución de frecuencias en datos agrupados

3. Gráficos estadísticos

4. Medidas de tendencia central

4.1 Moda

3.1 Gráfico de barras

3.2 Histogramas

3.3 Polígonos de frecuencia

3.4 Gráficos circulares

4.2 Mediana

4.3 Media aritmética o promedio

5. Medidas de dispersión

5.1 Desviación típica o estándar

1. Definición:

Es una herramienta matemática que permite recopilar,

organizar, presentar y analizar datos obtenidos de un

estudio estadístico.

1.1 Estadística

1.2 PoblaciónColección o conjunto de personas, objetos o eventos que

poseen características comunes, cuyas propiedades serán

analizadas.

1.3 MuestraSubconjunto de la población que comparte una determinada

característica.

1.4 Variable estadísticaInformación a recopilar, en ella se describen las

características de la muestra. Existen dos tipos: Cualitativas

y Cuantitativas

• Cualitativas:

Las variables cualitativas tienen características no numéricas.

Por ejemplo: color de pelo, sexo, estado civil, etc.

• Cuantitativas:

Las variables cuantitativas tienen características numéricas.

Por ejemplo: edad, estatura, número de hijos, etc.

Cuantitativa discreta: Son aquellas a las que se les puede

asociar un número entero y es imposible fraccionar.

Por ejemplo: número de hijos, número de automóviles.

Cuantitativa continua: Son aquellas a las que se les puede

asociar cualquier número real. Por ejemplo: peso, estatura,

tiempo.

2. Distribución de frecuenciasOrdenamiento de datos cuando en un estudio estadístico se

recopila una gran cantidad de ellos .

Existen dos tipos de distribución de frecuencias, con datos no

agrupados y con datos agrupados.

2.1 Distribución en datos NO agrupados

Se utiliza preferentemente cuando las opciones de la variable

son pocas .

Ejemplo:

Al lanzar un dado 10 veces, se obtuvo la siguiente información:

1 – 6 – 4 – 3 – 1 – 2 – 6 – 5 – 1 – 3

Frecuencia: Corresponde a la cantidad de veces

que se encuentra un dato en una muestra.

Rango: 6 – 1 =5

Rango: Es la diferencia entre el dato mayor y el menor.

1 – 6 – 4 – 3 – 1 – 2 – 6 – 5 – 1 – 3

Al construir la tabla de frecuencias, se obtiene:

Número Frecuencia

1 3

2 1

3 2

4 1

5 1

6 2

Al sumar la columna frecuencia, se

obtiene el total de datos (n).

Total datos: 10.

2.2 Distribución en datos agrupados

Se utiliza cuando la variable ofrece una gran gama de posibilidades, si

es cuantitativa continua, debemos agrupar los datos en intervalos

semiabiertos, excepto el último, que es cerrado.

Al agrupar los datos en intervalos, se debe calcular la “marca de

clase”.

Peso (Kg.) Frecuencia Marca de clase

[55,59[ 2 57

[59,63[ 5 61

[63,67[ 3 65

[67,71[ 7 69

[71,75] 4 73

Ejemplo:

Corresponde al promedio entre los extremos del intervalo.

R N IA=

A: Amplitud=Longitud del IntervaloR: RangoN I: Número de Intervalos

MODA: Es el dato que mas se repite, es decir, es aquel que posee la mayor frecuencia absoluta, Si ningún dato se repite la tabla no tiene moda o si mas de dos datos poseen la mayor frecuencia absoluta esos datos serian la moda

La moda se aplica para obtener información sobre el punto donde hay mayor concentración de datos

MEDIANA: En un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).

Si la muestra esta compuesta por un numero impar de datos la mediana es el dato central

Si la muestra esta compuesta por un numero par de datos la mediana es el promedio de los dos datos centrales

PROMEDIO O MEDIA ARITMETICA:El promedio de n datos es el cuocienteentre la suma de los n datos, divididos

por nEjemplo: 5, 8, 12, 4, 6, 85+8+12+4+6+7= 42/6= 7Luego el promedio es 7

Observación: En datos cualitativos no tiene sentido

Ejercicio: 24, 25, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 35, 37

MARCA DE CLASE: Corresponde al promedio de los extremos de los intervalos

ClasesClases FrecuenciasFrecuencias FrecuenciasFrecuenciasAcumuladasAcumuladas

Marca de Marca de ClaseClase

118 – 126118 – 126 33 33   122122

127 – 135127 – 135 55 88   131131

136 – 144136 – 144 99 1717   140140

145 – 153145 – 153 1212 2929   149149

154 – 162154 – 162 55 3434   158158

163 – 171163 – 171 44 3838   167167

172 - 180172 - 180 22 4040   176176

PROMEDIO: Se calcula sumando todos los productos de marca de clase con la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos, es decir:

 

Frecuencia absoluta (fi)

Marca de Clase (xi)

[60 - 63[ 5 61,5

[63 - 66[ 18 64,5

[66 - 69[ 42 67,5

[69 - 72[ 27 70,5

[72 - 75] 8 73,5

Ejemplo 1

Promedio: 67,95

ClasesClases FrecuenciasFrecuencias FrecuenciasFrecuenciasAcumuladasAcumuladas

Marca de Marca de ClaseClase

118 – 126118 – 126 33 33   122122

127 – 135127 – 135 55 88   131131

136 – 144136 – 144 99 1717   140140

145 – 153145 – 153 1212 2929   149149

154 – 162154 – 162 55 3434   158158

163 – 171163 – 171 44 3838   167167

172 - 180172 - 180 22 4040   176176

Ejemplo 2

Promedio: 146,9 147

En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más debido a que supone una interpolación de datos.

Fórmula para interpolar:

ii

iant

i Af

FN

LMe *2

donde:

Li = límite inferior del intervalo mediano

N= total de observaciones de la población

Fiant= frecuencias acumuladas en la clase anterior del

intervalo mediano

fi= frecuencia absoluta simple del intervalo mediano

Ai = amplitud del intervalo mediano

Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas.

Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla. A diferencia de la media, la mediana de una variable

discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros).

Es función de los intervalos escogidos. Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el

superior no tenga límites. En variables ordinales puede ser calculada pero sólo

indica una clase dentro de la distribución. Por ejemplo, si se analiza el nivel educativo podría suceder que al menos el 50% tienen estudios de cuando más (por ejemplo) secundaria, porque se alcanza este porcentaje en esta categoría de la variable.

ClasesClases FrecuenciasFrecuencias FrecuenciasFrecuenciasAcumuladasAcumuladas

Marca de Marca de ClaseClase

118 – 126118 – 126 33 33   122122

127 – 135127 – 135 55 88   131131

136 – 144136 – 144 99 1717   140140

145 – 153145 – 153 1212 2929   149149

154 – 162154 – 162 55 3434   158158

163 – 171163 – 171 44 3838   167167

172 - 180172 - 180 22 4040   176176

Veamos un ejemplo:

Es muy fácil de calcular ( o identificar) Puede no ser única (distribución unimodal,

bimodal, etc). Es función de los intervalos elegidos a

través de su amplitud, número y límites de los mismos.

Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior o superior respectivamente, la moda puede ser calculada.

Observación: El intervalo donde la frecuencia absoluta es la mas grande se llama intervalo modal.

Para obtener la moda para datos agrupados, podemos seguir los siguientes pasos:

1º Identificar el intervalo modal, en este caso es 32 - 37, con una frecuencia de 45 personas.

2º Identificar las frecuencias absolutas del intervalo anterior y posterior al intervalo modal. En este caso, el intervalo anterior corresponde a 26 - 31, con una frecuencia de 30 personas; y el intervalo posterior a 38 - 43, con una frecuencia de 40 personas.

3º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior (d1). Entonces, tenemos que, 45 – 30 = 15.

4º Obtener la diferencia de la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo posterior (d2). Entonces, tenemos que, 45 – 40 = 5.

5º Obtener la amplitud de los intervalos

6º Obtener el número que representa el extremo inferior del intervalo modal (Li ).

Luego, el cálculo de la moda se puede obtener por medio de la expresión:

add

diLM

21

1

Ejemplo: En una empresa, las edades del personal se resumen en la siguiente tabla.

Veamos un ejemplo

Moda: 36

 

Frecuencia Absoluta (fi) Marca de Clase (xi)

[60 - 63[ 5 61,5

[63 - 66[ 18 64,5

[66 - 69[ 42 67,5

[69 - 72[ 27 70,5

[72 - 75] 8 73,5

Ejemplo 2:

Moda: 67.8

Las estaturas de los y las estudiantes de un 8º Básico se resumen en la siguiente tabla. Complétala.

Calcula e interpreta la media aritmética y la moda.

EjemploLas inversiones anuales, en miles de dólares, de una muestra de 40 empresas fueron:

31 17 27 20 10 34 25 28 4 24 15 39 18 30 26 12 46 41 18 23 36 19 29 37 27 27 24 33 26 31 25 28 33 28 23 31 29 22 35 21Determine las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. Interprete los resultados.

Solución:

1. n = 40,Xmax = 46, Xmin = 4, entonces:

Rango = R = 46 – 4 = 42.

2. √ 40 = 7

3. Amplitud = 42 / 7 = 6.

Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi Conteo absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 / 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 /// 3 0,075 4 0,100

16, 22 19 //// / 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 //// //// // 12 0,300 22 0,550

28, 34 31 //// //// / 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 //// 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 // 2 0,050 40 1,000 Total 40 1,000

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi fri Fi Fri

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000

40 1,000

40

2*435*3711*3112*256*193*131*7x

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000

40 1,000

1°Hallamos n:2=20 y buscamos en Fi que clase lo contiene.

Li = 22

fmediana=12

F i-1 =10

27612

102022

Me

Ejemplo: Título: “Inversión anual de empresas”Unidades: miles de dólares.

Frecuencias FrecuenciasIntervalo mi absolutas acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 10 7 1 0,025 1 0,025 10, 16 13 3 0,075 4 0,100 16, 22 19 6 0,150 10 0,250 22, 28 25 12 0,300 22 0,550 28, 34 31 11 0,275 33 0,825 34, 40 37 5 0,125 38 0,950 40, 46 43 2 0,050 40 1,000

40 1,000

1°Hallamos la clase modal

Li = 22

d1=12-6=6

d2=12-11=1

14,27616

622

Mo

Ejercicio Propuesto:

A continuación, se muestra el promedio obtenido en Matemática por los alumnos y las alumnas de un curso:

4,4 - 5,5 - 5,0 - 4,9 5,9 - 6,0 - 4,2 - 6,8 - 7,0 - 6,1 - 7,0 - 3,7 - 4,5 4,8 - 6,3 - 4,1 - 3,4 - 5,3 - 5,0 - 6,0 - 2,6 - 3,8 4,0 - 2,0 - 5,6 - 6,7 - 6,0 - 4,9 - 3,3 - 7,0 - 6,3 5,0

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos.

b) Determina la media aritmética y moda.

Ejercicio Propuesto:

Los datos que a continuación se presentan corresponden al número de llamadas telefónicas que un grupo de personas realiza durante el día.

0, 1, 2, 4, 3, 5, 10, 6, 13, 9, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 6, 14, 8, 15, 16, 17, 18, 19, 5, 12, 7, 11, 3, 20

a) Construye una tabla de frecuencias cuyos datos estén agrupados en cinco intervalos.

b) Determina la media aritmética y moda.

Ejercicio Propuesto: