Optimizacion_Sistemas_III_-_UTP-2015-I_-5-15434 (3)

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA

PERIODO 2015-I

OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS III

JOSE EDUARDO TORRES VEGA

Coronel EP ( R )

Diplomado en Ciencia y Tecnología

Ingeniero Electrónico CIP

Maestro en Administración

Experto en Logística

Diplomado en Seguridad y Salud Ocupacional

Docente Universitario a nivel pre grado y post grado

Consultor en Servicios de Telecomunicaciones

Estudios Teóricos de Radiaciones No Ionizantes

PRESENTADO POR:


SEMANA 1

El problema de transporte. Solución básica inicial: Método de la Esquina Nor-oeste,

Método de costo mínimo, Método de Vogel. Desarrollo del modelo.

SEMANA 2

Solución óptima del problema de transporte. Prueba de Optimalidad: Método de

distribución Modificada (MODI). Desarrollo de problemas.

SEMANA 3

Casos especiales. Problema de maximización y degeneración. Desarrollo de problemas.

SEMANA 4

El problema de transbordo. Desarrollo de la solución. PRÁCTICA CALIFICADA 1

SEMANA 5

El problema de asignación. El Método Húngaro. Desarrollo de problemas.

SEMANA 6

Teoría de redes: Definiciones. Problema de flujo máximo: Algoritmo de Ford y Fulkerson.

Teorema de Mínimo corte-Máximo flujo. Desarrollo de problemas.

SEMANA 7

Problema del camino más corto. Algoritmo Dijkstra. Problema de conexión mínima.

Algoritmo de Krustral. Desarrollo de problemas. PRÁCTICA CALIFICADA 2

SEMANA 8

Problema de Flujo máximo a costo mínimo. Algoritmo de Busacker y Gowen. Desarrollo de

problemas.

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

SEMANA 9

Programación de proyectos. Desarrollo de PERT/CPM: conceptos, actividad y evento.

Presentación gráfica. Construcción de la red. problemas. PRÁCTICA CALIFICADA 3

SEMANA 10

Ruta crítica - Caso determinístico: Cálculo del tiempo más próximo y más lejano.

Tiempos de holgura, Ruta crítica. Control: Presentación del proceso PERT/CPM. Ruta

crítica - Caso probabilístico. Cálculos de sensibilidad. Diagrama de tiempo, Diagrama de

nivelación de recursos. Desarrollo de problemas.

SEMANA 11

Optimización de programas. Desarrollo de problemas.

SEMANA 12

Software MS Project. PRÁCTICA CALIFICADA 4

SEMANA 13

Programación dinámica: Conceptos, Elementos, Principio de Optimalidad.

SEMANA 14

Formulación de modelos con programación dinámica.

Problemas de Programación Dinámica: Ruta más corta, problema de reemplazo,

asignación de recursos, producción, inventarios. Desarrollo de problemas.

SEMANA 15

EXAMEN FINAL

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

SUMARIO

BIBLIOGRAFÍA

1. EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN

2. EL METODO HUNGARO

EL PROBLEMA DE LA ASIGNACIÓN

WINSTON, WAYNE Investigación de operaciones. Editorial: THOMSON.

HANDY TAHA. Investigación de operaciones. Ediciones Alfa Omega, (1991).

HILLER – LIEBERMAN. Introducción a la investigación de Operaciones. Mc Graw

Hill, (1990).


ES UN TIPO ESPECIAL DE PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL EN EL QUE LOS ASIGNADOS SON RECURSOS DESTINADOS A LA REALIZACIÓN DE TAREAS

EJ.

EMPLEADOS A TRABAJO

MÁQUINAS A TAREAS

PERÍODOS A TAREAS

SUPOSICIONES DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIÓN:

o El número de asignados es igual al número de tareas (se denota por n). (esto puede variar)

o Cada asignado se asigna exactamente a una tarea.

o Cada tarea debe realizarla exactamente un asignado.

o Existe un costo cij asociado con el asignado i (i=1,2,…,n).

o El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales.

PROBLEMA DE ASIGNACIÓN


REPRESENTACIÓN DE RED PARA EL PROBLEMA GENERAL

S1 [1]

S2 [1]

Sm [1]

D1 [1]

D2 [1]

Dm [1]

c11

c12

c1n

c21 c22

c2n

cm1 cm2

cmn


FORMULACIÓN

Siendo un caso especial de P.L, su formulación contendrá:

I. Función Objetivo :MINIMIZACIÓN

II. Las restricciones se darán por filas y columnas, con la cantidad de 1 ( Sólo se podrá ASIGNAR un solo trabajador a un empleo, y un solo empleo se podrá ASIGNAR a un solo empleado).

III. Las variables son SIEMPRE POSITIVAS,

IV. Xij= El empleado a i al empleo j


PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO MODELO GENERAL

).y todapara binarias, (y para,0

,,...,2,1 para1

,,...,2,1 para1

a sujeta

min

1

1

1 1

jixjix

njx

mix

xcZ

ijij

m

j

ij

n

j

ij

ij

m

i

n

j

ij


Caso Fowle Marketing Research

1 2 3

1. Terry 10 15 9

2. Carla 9 18 5

3. Roberto 6 14 3

Jefe de

Proyecto

Cliente

Tiempos estimados de terminación del

proyecto (días)


J1 [1]

J2 [1]

J3 [1]

C1 [1]

[1]

[1]

C2

C3

18

3

Jefes de Proyecto

Nodos de Origen

Clientes

Nodos de Destino Asignaciones

Posibles

Arcos


Variables de decisión

así es no si

cliente al proyecto de jefe el asigna se si

0

1 jixij

Sea Z tiempo total para concluir el trabajo

)4,3,2,1;3,2,1(0

1

1

1

1

1

1

3146518991510

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jix

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxxZ

ij

nesrestriccio las a Sujeta

Max


1 2 3

1. Terry 0 1 0 1 = 1

2. Carla 0 0 1 1 = 1

3. Roberto 1 0 0 1 = 1

1 1 1

= = = Costo 26

1 1 1

Asignaciones

Jefe de

Proyecto

Cliente


El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes:

Problema Natación (Asignación)

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4

Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8

Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6

Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

Tiempo de Nado


Carlos Cristy David Antony José

Dorso 0 0 1 0 0 1 = 1

Pecho 0 0 0 1 0 1 = 1

Mariposa 0 1 0 0 0 1 = 1

Libre 1 0 0 0 0 1 = 1

1 1 1 1 0

<= <= <= <= <=

1 1 1 1 1

TIEMPO Min.

Tiempo de Nado

126.2


Electrónica Ballston

Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas.

El tiempo para realizar una buena inspección de un área depende de la línea de producción y del área de inspección.

La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.

Datos

Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.

Area de InspecciónA B C D E

1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15

4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19


RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

1

2

3

4

5

Línea de ensamble Área de Inspección

A

B

C

D

E

S1=1

S2=1

S3=1

S4=1

S5=1

D1=1

D2=1

D3=1

D4=1

D5=1

Supuestos restricciones

o El número de trabajadores es igual al número de empleos.

o Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador.

o Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.


ES UN MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN DE PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN. EL ALGORITMO ESTÁ DISEÑADO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MINIMIZACION ÚNICAMENTE; PARA SER EMPLEADO EN PROBLEMAS DE MAXIMIZACION REQUIERE DE UN PAZO ADICIONAL: 1. ALGORITMO HÚNGARO, PASO 1

TRABAJA EN UNA MATRIZ DE COSTOS (MATRIZ M*M), EN DONDE EL NÚMERO DE FILAS ES IGUAL AL NÚMERO DE COLUMNAS; UNA VEZ CONSTRUIDA ESTA SE DEBE ENCONTRAR EL ELEMENTO MÁS PEQUEÑO EN CADA FILA DE LA MATRIZ.

2. ALGORITMO HÚNGARO, PASO 2 UNA VEZ SE CUMPLE EL PROCEDIMIENTO ANTERIOR SE DEBE CONSTRUIR UNA NUEVA MATRIZ M*M, EN LA CUAL SE CONSIGNARÁN LOS VALORES RESULTANTES DE LA DIFERENCIA ENTRE CADA COSTO Y EL VALOR MÍNIMO DE LA FILA A LA CUAL CADA COSTO CORRESPONDE (VALOR MÍNIMO HALLADO EN EL PRIMER PASO).

3. ALGORITMO HÚNGARO, PASO 3 SE HALLA EL VALOR MÍNIMO DE CADA COLUMNA, CON LA DIFERENCIA QUE ESTE SE HALLA DE LA MATRIZ RESULTANTE EN EL SEGUNDO PASO, LUEGO SE CONSTRUIRÁ UNA NUEVA MATRIZ EN LA CUAL SE CONSIGNARÁN LOS VALORES RESULTANTES DE LA DIFERENCIA ENTRE CADA COSTO Y EL VALOR MÍNIMO DE LA COLUMNA A LA CUAL CADA COSTO CORRESPONDE (MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS).

EL MÉTODO HÚNGARO


4. ALGORITMO HÚNGARO, PASO 4 SE DEBEN DE TRAZAR LÍNEAS HORIZONTALES O VERTICALES O AMBAS (ÚNICAMENTE DE ESOS TIPOS) CON EL OBJETIVO DE CUBRIR TODOS LOS CEROS DE LA MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS CON EL MENOR NÚMERO DE LÍNEAS POSIBLES, SI EL NÚMERO DE LINEAS ES IGUAL AL NÚMERO DE FILAS O COLUMNAS SE HA LOGRADO OBTENER LA SOLUCIÓN ÓPTIMA (LA MEJOR ASIGNACIÓN SEGÚN EL CONTEXTO DE OPTIMIZACIÓN), SI EL NÚMERO DE LÍNEAS ES INFERIOR AL NÚMERO DE FILAS O COLUMNAS SE DEBE DE PROCEDER CON EL PASO 5.

5. ALGORITMO HÚNGARO, PASO 5 ENCONTRAR EL MENOR ELEMENTO DE AQUELLOS VALORES QUE NO SE ENCUENTRAN CUBIERTOS POR LAS LINEAS DEL PASO 4 Y RESTARLO DEL RESTANTE DE ELEMENTOS QUE NO SE ENCUENTRAN CUBIERTOS POR LAS LÍNEAS; A CONTINUACIÓN ESTE MISMO VALOR SE SUMARÁ A LOS VALORES QUE SE ENCUENTREN EN LAS INTERSECCIONES DE LAS LINEAS HORIZONTALES Y VERTICALES, UNA VEZ FINALIZADO ESTE PASO SE DEBE VOLVER AL PASO 4.


EL PROBLEMA LA COMPAÑÍA DE MANUFACTURA "JIMÉNEZ Y ASOCIADOS" DESEA REALIZAR UNA JORNADA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO A SUS TRES MÁQUINAS PRINCIPALES A, B Y C. EL TIEMPO QUE DEMANDA REALIZAR EL MANTENIMIENTO DE CADA MÁQUINA ES DE 1 DÍA, SIN EMBARGO LA JORNADA DE MANTENIMIENTO NO PUEDE DURAR MÁS DE UN DÍA, TENIENDO EN CUENTA QUE LA COMPAÑÍA CUENTA CON TRES PROVEEDORES DE SERVICIOS DE MANTENIMIENTO DEBE DE ASIGNARSE UN EQUIPO DE MANTENIMIENTO A CADA MÁQUINA PARA PODER CUMPLIR CON LA REALIZACIÓN DEL MANTENIMIENTO PREVENTIVO. TENIENDO EN CUENTA QUE SEGÚN EL GRADO DE ESPECIALIZACIÓN DE CADA EQUIPO PRESTADOR DE SERVICIOS DE MANTENIMIENTO EL COSTO DE LA TAREA VARÍA PARA CADA MÁQUINA EN PARTICULAR, DEBE DE ASIGNARSE EL EQUIPO CORRECTO A LA MÁQUINA INDICADA CON EL OBJETIVO DE MINIMIZAR EL COSTO TOTAL DE LA JORNADA. LOS COSTOS ASOCIADOS SE PUEDEN OBSERVAR EN LA SIGUIENTE TABLA:


PASO 1 SE DETERMINA EL MENOR ELEMENTO DE CADA FILA

PASO 2 SE CONSTRUYE UNA NUEVA MATRIZ CON LAS DIFERENCIAS ENTRE LOS VALORES DE LA MATRIZ ORIGINAL Y EL MENOR ELEMENTO DE LA FILA A LA CUAL CORRESPONDE.


PASO 3 EN LA MATRIZ CONSTRUIDA SE PROCEDE A EFECTUAR EL PASO 1 ESTA VEZ EN RELACIÓN A LAS COLUMNAS, ESCOGIENDO EL MENOR ELEMENTO DE CADA COLUMNA. SE CONSTRUYE UNA NUEVA MATRIZ CON LA DIFERENCIA ENTRE LOS VALORES DE LA MATRIZ 2 Y EL ELEMENTO MENOR DE LA COLUMNA A LA CUAL CORRESPONDE CADA VALOR.


PASO 4 SE TRAZA LA MENOR CANTIDAD DE COMBINACIONES DE LÍNEAS HORIZONTALES Y VERTICALES CON EL OBJETIVO DE CUBRIR TODOS LOS CEROS DE LA MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS.

SE OBSERVA QUE EL MENOR NÚMERO DE LÍNEAS HORIZONTALES Y/O VERTICALES NECESARIAS PARA CUBRIR LOS CEROS DE LA MATRIZ DE COSTOS REDUCIDOS ES IGUAL A 2, POR ENDE AL SER MENOR QUE EL NÚMERO DE FILAS O COLUMNAS ES NECESARIO RECURRIR AL PASO 5.

PASO 5 EN ESTE PASO SELECCIONAMOS EL MENOR ELEMENTO DE LOS ELEMENTOS NO SUBRAYADOS.


SE PROCEDE A RESTAR DE LOS ELEMENTOS NO SUBRAYADOS Y A ADICIONARSE A LOS ELEMENTOS UBICADOS EN LAS INTERSECCIONES DE LAS LÍNEAS (INTERSECCIÓN EN (3)).


EFECTUANDO EL PASO 4.

SE OBSERVA LA NECESIDAD DE TRAZAR TRES LÍNEAS (LA MISMA CANTIDAD DE FILAS O COLUMNAS DE LA MATRIZ) PARA CUBRIR LOS CEROS ENTONCES SE DETERMINA QUE SE HA LLEGADO A LAS ASIGNACIONES ÓPTIMAS.


POR ENDE LA ASIGNACIÓN QUE REPRESENTA EL MENOR COSTO PARA LA JORNADA DE MANTENIMIENTO PREVENTIVO DETERMINA QUE: EL EQUIPO 1 REALICE EL MANTENIMIENTO DE LA

MÁQUINA 1 EL EQUIPO 2 REALICE EL MANTENIMIENTO DE LA

MÁQUINA 3 EL EQUIPO 3 REALICE EL MANTENIMIENTO DE LA

MÁQUINA 2 JORNADA QUE TENDRÁ UN COSTO TOTAL DE 17 UNIDADES MONETARIAS.


Problema:

El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipear cada uno de los capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulos difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackeline 120 102 113 111

Edith 114 105 118 115


Restricciones del Método

* Solo problemas de minimización.

* Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m.

* Todas las asignaciones son posibles

* Una asignación por persona y una persona por asignación

Matriz de Costos Capítulos


Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackeline 120 102 113 111

Edith 11 105 118 115


Restar el Menor valor de cada fila Capítulos


Juana 0 3 9 12

María 20 13 11 0

Jackeline 18 0 11 9

Edith 9 0 13 10

Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior

Capítulos


Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackeline 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10


Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.

Capítulos


Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackeline 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10

Si el número de líneas es igual al número de filas se ha determinado la solución óptima, sino es así, se tiene que identificar el menor valor no rayado y restarlo a los demás números no rayados y sumar esta diferencia en las intersecciones.

Pare este caso corresponde al valor 2 FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y MECÁNICA

Capítulos


Juana 0 5 0 14

María 18 13 0 0

Jackeline 16 0 0 9

Edith 7 0 2 10

Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0 Juana Cap. 13

María Cap. 16

Jackeline Cap. 15

Edith Cap. 14

*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410


Ejemplo:

Un padre desea ASIGNAR a sus tres hijos tres tareas para este fin de semana, para ello ha ideado la siguiente tabla para DETERMINAR quien de ellos realizará cada trabajo, al MINIMO COSTO TOTAL

Qué tarea realizará cada hijo

Cuál es el costo total de dichos trabajos

HIJO/ TAREAS

PODAR LAVAR (AUTO)

PINTAR (CASA)

MARIO 20 15 30

JULIO 28 22 50

JANET 28 25 55

HIJO / TAREAS

PODAR LAVAR PINTAR OFERTA

MARIO 20X11 15X12 30X13 1

JULIO 28X21 22X22 50X23 1

JANET 28X31 25X32 55X33 1

DEMANDA 1 1 1 3


I. MIN(CT)= 20X11+15X12+30X13+28X21+22X22+50X23+28X31+ 25X32 + 55X33.

II. RESTRICIONES

X11 +X12+X13 <=1

X21+X22+X23 <=|

X31+X32+X33 <=1

III. POR LA DEMANDA :

X11 +X21 +X31 = 1 X12+X22+X32 =1 X13 +X23 +X33 =1

IV. CNN

Vij >=0, i =1,2,3 J = 1,2,3,


GRACIAS POR SU ATENCIÓN

ESCUELA DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

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