Optimalidad basada en la densidad condicional y filtro de ...
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Estimacion y Prediccion en SeriesTemporales
Ejemplos de Kalman
Departamento de Procesamiento de Senales
Instituto de Ingenierıa ElectricaFacultad de Ingenierıa
2022
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Introduccion
Motivacion:• Filtro de Kalman: muy generales• Pueden ser intimidantes• Como llevarlo a la practica?• Intentaremos ganar un poco de intuicion
Agenda:• Medicion de una constante• Modelado de procesos ARMA• Aplicacion completa: KalmanPaint
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Medicion de una constante
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Modelo de constanteModelando
• N medidas secuenciales de una constante a + ruido• Como podemos disenar un filtro de Kalman para esto?
(si estas leyendo los slides, tomate un rato para pensarlo)
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Modelo de constanteModelando
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Modelo de constanteModelo
Modelo general
xn+1 = Fxn +wn , x,w ∈ RM ,A ∈ RM×M
yn = Cxn + vn , y,v ∈ RN ,C ∈ RN×N
Este caso
xn+1 = 1 · xn = a ∈ Ryn = 1 · xn + 1 · vn vn ∼ N (0, σ2)
Identificando• F = 1, Q = 0, C = 1, R = σ2
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Modelo de constanteImplementacion
Recursion generica1 Gananacia de Kalman: Kn = PnC
⊺n(CnPnC
⊺n +Rn)
−1
2 Correccion del estimador: xn = xn +Kn(yn −Cnxn)
3 Correccion de covarianza: Pn = (I−KnCn)Pn
4 Proyeccion a n+ 1:
xn+1 = Fnxn, Pn+1 = FnPnF⊺n +Qn
Recursion en este caso1 Gananacia de Kalman: Kn = Pn · 1 · (1 · Pn · 1 + σ2)−1
2 Correccion del estimador: xn = xn +Kn(yn − 1 · xn)3 Correccion de covarianza: Pn = (1−Kn · 1) · Pn
4 Proyeccion a n+ 1:
xn+1 = 1xn, Pn+1 = 1 · Pn · 1
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Modelo de constanteImplementacion
Recursion en este caso1 Gananacia de Kalman: Kn = Pn/(Pn + σ2)
2 Correccion del estimador: xn = xn +Kn(yn − xn)
3 Correccion de covarianza: Pn = (1−Kn)Pn
4 Proyeccion a n+ 1:
xn+1 = xn, Pn+1 = Pn
5 Valores iniciales: x0 = 0, P0 = 1
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Modelo de constanteResultado
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Modelos ARMA
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Modelos ARMAEsquema de sıntesis modelo ARMA
Realizaciónde proceso ARMA
Realizaciónde ruidoblanco
+
+
+
+
+
+
+-
• v[n] es ruido blanco• Filtro transpuesto tipo II• Representacion no es unica
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Modelos ARMAModelado
Modelo general
xn+1 = Fxn +wn , x,w ∈ RM ,A ∈ RM×M
yn = Cxn + vn , y,v ∈ RN ,C ∈ RN×N
Este caso• Que es que?• No es tan facil hacer la correspondencia• Infinitas formas distintas: elegimos una
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Modelos ARMAConceptos clave
• Que es lo que observamos? Eso deberıa ser y[n]• Cual es el estado del sistema? Eso deberıa ser x[n]• Estado = memoria del sistema• Y donde esta la memoria?
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Modelos ARMAPensemos
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Modelos ARMASolucion
+
+
+
+
+
+
+-
estado
salidaruido est.
X(hipotesis)
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Modelos ARMAEcuaciones
+
+
+
+
+
+
+-
estado
salidaruido est.
X(hipotesis)
ϕn = −a⊺(ϕn−1, . . . , ϕn−M ) + vn
ϕn−r = ϕn−(r+1)−1
un = b⊺(ϕn−1, . . . , ϕn−K)
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Modelos ARMAModelo final
Tenıamos:
ϕn = −a⊺(ϕn−1, . . . , ϕn−M ) + vn, ϕn−r = ϕn−(r+1)−1
un = b⊺(ϕn−1, . . . , ϕn−K)
Definimos:• Estado xn = (ϕn−1, . . . , ϕn−M )
• Salida yn = un = b⊺(ϕn−1, . . . , ϕn−K) = b⊺xn
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Forma de Kalman
Llegamos a la siguiente forma:
xn+1︷ ︸︸ ︷ϕn
ϕn−1
· · ·ϕn−M+1
=
F︷ ︸︸ ︷
−a1 −a2 · · · −aM−1 −aM1 0 · · · 0 0
0 1. . . 0
......
......
......
0 0 · · · 1 0
xn︷ ︸︸ ︷ϕn−1
ϕn−2
· · ·ϕn−M
+
wn︷ ︸︸ ︷vn0...0
yn =
C︷ ︸︸ ︷(b⊺, 0, 0, . . . , 0)xn
• Recordar: hay muchas formas de hacer esto mismo, conotras definiciones de estado y otras matrices.
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Suavizado de trayectorias
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• Kalman aplicado a modelo fısico• Objetivo: seguir trayectoria• Observacion: posicion• Estado: posicion + velocidad + aceleracion• Hipotesis (FALSA): aceleracion constante + ruido
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Ecuaciones dinamicas
• Aceleracion a, perıodo de muestreo ∆t
• Velocidad (horizontal): xn+1 = xn + xn∆t
• Posicion (horizontal): xn+1 = xn + xn∆t+ xn(∆t)2
• Aceleracion: xn+1 = xn + vn
• Idem con vel. y pos horizontal• Ruido en la aceleracion: σ2
a
• Ruido en la posicion: σ2x
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Sistema dinamico
xn+1 = Fxn +wn , x,w ∈ RM ,A ∈ RM×M
yn = Cxn + vn , y,v ∈ RN ,C ∈ RN×N
• Estado = posicion + velocidad + aceleracion (natural!)• Eso tanto vertical como horizontal ⇒ (6 variables)• Observacion: posicion (2 variables)• Con esto, F , C y R quedan muy sencillas
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Sistema dinamico (cont)
F =
1 ∆t ∆2/2t 0 0 00 1 ∆t 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 ∆t ∆2t/20 0 0 0 1 ∆t0 0 0 0 0 1
C = (1, 0, 0, 1, 0, 0)
R =
(σ2p 0
0 σ2p
)
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Sistema dinamico (cont)
• Ya Q no es tan trivial• El ruido en la aceleracion afectan pos. y vel.!• Hay que tomar valores esperados en cada casilla...• La solucion es:
F = σ2a
∆t2/4 ∆t3/2 ∆t2/2 0 0 0∆t3 ∆t2 ∆t 0 0 0∆t2/2 ∆t 1 0 0 0
0 0 0 ∆t2/4 ∆t3/2 ∆t2/20 0 0 ∆t3 ∆t2 ∆t0 0 0 ∆t2/2 ∆t 1
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SuavizadoAplicacion: suavizado de trazos
KalmanPaint
https://eva.fing.edu.uy/mod/resource/view.php?id=173415
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