Operadores Mecanico Cuanticos en Derive 6.1

Pedro Gonzalez Beermann

1. Operadores

Un operador es una regla matematica que permite la transformacion de una funcion en otra. Usualmentelos operadores se denotan con letras mayusculas con acento circunejo^de tal manera que:

A^f(x) = g(x) (1)

donde el operador A^ actua sobre la funcion f(x) transformandola en una nueva funcion g(x).

Por ejemplo veamos al operador D^ = ddx que deriva una funcion f(x) respecto a x. Si la funcion f(x) esderivable entonces obtendremos una nueva funcion g(x).

Ejemplo 1 Sea f(x) = 3x2 + 5x

D^f(x) =d

dx(f(x)) = g(x)

D^(3x2 + 5x) = 6x+ 5

En Derive 6.0, podemos denir un operador como un procedimiento cuyo argumento es la funcion a sertransformada. Utilicemos como ejemplo el operador primera derivada D^ y la funcion f(x) denidas en elEjemplo 1. En Derive podemos expresar a D^ y f(x) de la siguiente manera:

#1 D(u):=dif(u,x,1)

#2 f:=3x2 + 5x

#3 D(f)

#4 6x+5

En la primera lnea se asigna a la funcion D(u) con argumento u la operacion primera derivada conrespecto a x. El argumento u se pasa a la funcion y se le efectua la operacion indicada en el lado derechode la proposicion. En la segunda lnea se dene la funcion f asignandole como 3x2 + 5x. Finalmente en latercera lnea se aplica el operador D(f) a la funcion f .

NOTA: Luego de escribir cada lnea debemos presionar la tecla ((Enter)). Para que Derive ejecute lalnea #3 es necesario presionar la tecla ((=)) dando como resultado #4 6x+ 5.

1

1.1. Suma y Diferencia de Operadores

Denimos la Suma y Diferencia de dos operadores A^ y B^ de la forma

(A^+ B^)f(x) = A^f(x) + B^f(x)

(A^ B^)f(x) = A^f(x) B^f(x)

Ejemplo 2 Sea A^ = ddx , B^ = 3 y C^ = A^+ B^ entonces

(A^+ B^)(x35) = C^(x35) = ( ddx

+3)(x35) = ddx

(x35)+3(x35) = 3x2+(3x315) = 3x3+3x215

En Derive podemos realizar estas operaciones de la siguiente manera:

#1 A(u):=dif(u,x,1)

#2 B(u):=3*u

#3 C(u):=A(u)+B(u)

#4 C(x3 5)

((=))

Respuesta

#5 3(x3 + x2 5)

1.2. Producto de Operadores

El producto de dos operadores A^ y B^ se dene como

A^B^f(x) = A^hB^f(x)

i

Primero hacemos actuar el operador B^ sobre f(x) y a continuacion tomamos la funcion resultante paraaplicarle el operador de la derecha A^

Ejemplo 3 Dado los operadores A^ = ddx y B^ = 3

A^B^f(x) = A^(3f(x)) =d

dx(3f(x)) = 3f 0(x)

Para este caso en particular resulta que A^B^ = B^A^, pero en general no podemos esperar que A^B^ y B^A^produzcan los mismos resultados.

2

En Derive este problema lo podemos plantear como sigue:

#1 A(u):=dif(u,x,1)

#2 B(u):=3*u

#3 f(x):=

En este caso podemos indicar que la funcion f depende de x sin asignarle ningun argumento. Denidoslos operadores A^ y B^ planteamos el producto A^B^f(x)

#4 A(B(f(x)))

((Enter))

((=))

Lo cual resulta en:

#5 3 f 0(x)

#6 B(A(f(x)))

((Enter))

((=))

#7 3 f 0(x)

donde se demuestra que en este caso en particular el operador A^B^ = B^A^

Se dice que dos operadores A^ y B^ son iguales si A^f = B^f para toda funcion f .

De acuerdo al algebra de operadores, el operador 1^ (multiplicacion por 1) es el operador unidad y eloperador 0^ (multiplicacion por 0) es el operador nulo. Generalmente se elimina el acento circunejo cuandoel operador es una constante multiplicativa.

1.3. Conmutador

Denimos el conmutador [A^; B^] de los operadores A^ y B^ como

[A^; B^] = A^B^ B^A^Si A^B^ = B^A^ entonces [A^; B^] = 0 y se dice que los operadores A^ y B^ comutan. Por otro lado, si A^B^ 6= B^A^entonces A^ y B^ no comutan.

Ejemplo 4 Dado los operadores A^ = 3 y B^ = ddx . Calculamos el conmutador [A^; B^] como

3^;

d

dx

f(x) = 3f 0(x) f 0(x)3 = 0

mientras que el conmutadord

dx; x^

f =

d

dx(xf) x df

dx= x

df

dx+ f x df

dx= f = 1^f

por lo tanto los operadores ddx y x^ no conmutan.

3

En Derive denimos los operadores ddx y x^ y el conmutadorddx ; x^

de la siguiente manera:

#1 A(u):=dif(u,x,1)

#2 B(u):=xu

#3 P(u):=A(B(u))-B(A(u))

#4 f(x):=

#5 P(f(x))

lo cual resulta en

#6 f(x)

1.4. Potencia de un Operador

La potencia n-esima de un operador se dene como la aplicacion n veces sucesivas del operador sobre lafuncion f . As, el cuadrado del operador A^f = A^A^f

Si A^ = ddx entonces A^2 = ddx

ddxf

= d

2

dx2 f .

En Derive lo expresamos como:

#1 A(u):=dif(u,x,1)

#2 f(x):=

#3 A(A(u))

#4 f(x)

1.5. Operadores Lineales

Los operadores que intervienen en mecanica cuantica son lineales. Se dice que A^ es lineal, si y solo si:

A^(f(x) + g(x)) = A^f(x) + A^g(x)

A^(cf(x)) = cA^f(x)

donde c es una constante.

Para comprobar la linealidad de un operador en Derive podemos plantear el problema de la siguienteforma:

#1 f(x):=

#2 g(x):=

Para el operador primera derivada en x tenemos

#3 A(u):=dif(u,x,1)

4

#4 A(f(x) + g(x)) = A(f(x)) + A(g(x))

#5 f'(x) + g'(x) = f'(x) + g'(x)

En este caso se cumple la igualdad y el operador es lineal

Para el operador raz cuadrada

#6 A(u):=pu

#7 A(f(x) + g(x)) = A(f(x)) + A(g(x))

#8p(f(x) + g(x)) 6= p(f(x)) +p(g(x))

En este caso no se cumple la igualdad y el operador es no lineal

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